Đề cương ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bài 5: Tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung text: Đề cương ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Bài 5: Tiếp tuyến của đường tròn

1. §5. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN. BÀI TẬP. Bài 1. Cho đường tròn ( ;6 ) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B sao cho AB=8cm. a) Tính ? b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ). Bài 2. Cho đường tròn ( ) điểm B trên đường tròn. Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn, trên đó lấy điểm A. Trên OA lấy điểm C sao cho AB = AC, tia BC cắt đường tròn ( ) ở E. Chứng minh ⊥ . Bài 3. Cho đường tròn ( ;5 ), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho = 30°, tia AC cắt Bx ở E. a) Chứng minh rằng : 2 = . ; b) Tính độ dài đoạn BE. Bài 4. Cho đoạn thẳng AB và hai tia , vuông góc với AB ở trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Một góc vuông 푛 quay quanh O sao cho Om cắt tia Ax ở C, tia On cắt tia By ở D. Chứng minh rằng : 2 a) Đường thẳng CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn ; . b) . = . 2 4 Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm ′ nằm cùng phía với nửa đường tròn (O). Một cát tuyến bất kì đi qua A cắt ( ) 푣à ( ′) lần lượt tại D và C. a) Chứng minh rằng : C là trung điểm của AD và các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau. b) Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ′). Bài 6. Cho ∆ có = 90°. Gọi ( 1;푅1) là đường tròn nội tiếp ∆ và ( 2;푅2) là đường tròn ngoại tiếp ∆ . Chứng minh: + + ― a) 푅1 + 푅2 = 2 . b) 푅1 = 2 ; Bài 7. Cho hình thang vuông ABCD = = 90° , tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD. a) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ; ). b) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn ( ) nói trên, K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: 퐾 // . Bài 8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung. Kẻ tiếp tuyến và kẻ đường phân giác của góc cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D. a) Chứng minh rằng : ∆ là tam giác cân và // . b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh: ⊥ . c) Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào ? Bài 9. Cho ∆ vuông ở A. a) Dựng đường tròn tâm I đi qua B, tiếp xúc với AC và I thuộc cạnh . b) Cho = 24 , = 32 . Tính bán kính của đường tròn ( ). Bài 10. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC (hai nửa đường tròn nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AC). Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho = 90°. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA và DC với hai nửa đường tròn. Chứng minh rằng : a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. b) 퐹2 = . . Bài 11. Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C và D. Một điểm M di động trên d sao cho > và ở ngoài (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến , tới (O). Gọi H là trung điểm của CD; giao của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Chứng minh rằng : a) . = 푅2. b) Bốn điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn. c) Đường thẳng AB đi qua một điểm cố định. Bài 12. Cho ∆ cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ . b) Gọi H là trung điểm của BC; IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng : 퐾 = 퐾. Bài 13. Cho đường tròn ( ) đường kính . Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( ≠ ; ). Vẽ đường tròn ( ) tiếp xúc với AB tại H. Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến , đến đường tròn ( ). a) Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh: tổng + không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của . . c) Lấy điểm N cố định trên (O). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp các điểm P.
2. Bài 14. Cho đường tròn (O;R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên (d) ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh đường tròn đi qua ba điểm M, P, Q đi qua hai điểm cố định khi M di động trên (d). b) Xác định vị trí của M để tứ giác 푄푃 là hình vuông. c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn nội tiếp ∆ 푃푄 khi M di động trên (d). Bài 15. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax//By. a) Nêu cách dựng đường tròn (I) tiếp xúc với AB, Ax, By. b) Gọi D, E là các tiếp điểm của đường tròn (I) với Ax, By. Chứng minh tổng AD+BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By. c) Tìm tập hợp các tâm I khi Ax, By thay đổi. Bài 16. Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH, BM cắt nhau tại S. Chứng minh rằng : a) ∆ 푆 cân. Từ đó suy ra S nằm trên một đường tròn cố định. b) KS là tiếp tuyến của đường tròn ( ; ). Bài 17. Cho ∆ cân tại A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng : a) Điểm E nằm trên đường tròn (O); b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O); Bài 18. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho = 30°. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho = 푅. Chứng minh rằng: a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) 2 = 3푅2. BÀI TẬP VỀ NHÀ. Bài 1. Cho đường tròn tâm O, bán kính 3cm và một điểm A có = 5 . a) Dùng thước và compa hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn ( ); b) Tính độ dài các đoạn thẳng , ? Bài 2. Cho góc nhọn và điểm A thuộc tia Ox. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox ở A và có tâm I nằm trên tia Oy. Bài 3. Cho đường tròn ( ;푅), đường kính AB. M là một điểm nằm giữa O và B. Đường thẳng kẻ qua trung điểm E của AM vuông góc với AB cắt đường tròn (O) ở C và D. a) Tứ giác ACMD là hình gì ? Vì sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt tia OA ở I. Chứng minh: ID là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính = 2푅; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E. Cmr: = 퐹. Bài 5. Cho ∆ vuông ở A; M là trung điểm của cạnh BC. Dựng đường tròn (O) đi qua M và tiếp xúc với AB tại A. Bài 6. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và Compa, hãy dựng các điểm B,C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 7. Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. Bài 8. Cho ∆ vuông ở A. Vẽ đường tròn ( ; ) và đường tròn ( ; ), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Bài 9. Cho góc nhọn và điểm A thuộc tia Ox. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy. Bài 10. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d. Bài 11. Cho ∆ , hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (gọi là đường tròn (O)). b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 12. Cho ∆ vuông ở A có AB=8, AC=15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. a) Cmr: HE là tiếp tuyến của đường tròn. b) Tính độ dài HE.