›
›
›

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9

doc 18 trang dichphong 4170
Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_hoc_ki_2_mon_toan_9.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9

  1. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II ®Ò c­¬ng «n tËp häc k× 2 – to¸n 9 A. PhÇn §¹i sè I. Lý thuyÕt 1. HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn - Gi¶i hÖ b»ng PP thÕ: n¾m v÷ng quy t¾c thÕ 4x y 2 VÝ dô: Gi¶i hÖ 8x 3y 5 1 y 2 4 y 1 4x y 2 y 2 x y 2 4x 4 Gi¶i: 1 8x 37 5 8x 3(2 4x) 5 4x 1 1 x x 4 4 - Gi¶i hÖ b»ng PP céng ®¹i sè: n¾m v÷ng quy t¾c céng ®¹i sè y 1 4x y 2 8x 2y 4 y 1 VÝ dô: Gi¶i hÖ 1 8x 3y 5 8x 3y 5 4x y 2 x 4 - Gi¶i hÖ b»ng PP ®Æt Èn phô 1 1 1 2 u x 2 y 1 x 2 VÝ dô: Gi¶i hÖ HD: §Æt 2 3 1 1 v x 2 y 1 y 1 2. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ PT - To¸n t×m sè VÝ dô: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp hÖ ph­¬ng tr×nh: Th¸ng tr­íc mÑ b¹n Linh ®i chî mua mét qu¶ trøng gµ vµ mét qu¶ trøng vÞt chØ hÕt 5000 ®ång. Thêi ®iÓm nµy mçi qu¶ trøng gµ t¨ng thªm 1000 ®ång cßn mçi qu¶ trøng vÞt t¨ng thªm 500 ®ång nªn mÑ b¹n Linh mua 3 qu¶ trøng gµ vµ 4 qu¶ trøng vÞt hÕt 22000 ®ång. Hái sè tiÒn mua mçi qu¶ trøng gµ vµ mçi qu¶ trøng vÞt tr­íc khi t¨ng gi¸ lµ bao nhiªu? Gi¶i: Gäi x (®ång) lµ sè tiÒn mua mét qu¶ trøng gµ, y (®ång) lµ sè tiÒn mua mét qu¶ trøng vÞt tr­íc khi t¨ng gi¸. §K: x > 0, y > 0 Tr­íc khi t¨ng gi¸: x + y = 5000 Sau khi t¨ng gi¸: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000 Hay 3x + 4y = 17000 x y 5000 x 3000 Theo bµi ra ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh Gi¶i hÖ ta ®­îc 3x 4y 17000 y 2000 VËy sè tiÒn mua mét qu¶ trøng gµ tr­íc khi t¨ng gi¸ lµ 3000 ®ång, sè tiÒn mua mét qu¶ trøng vÞt tr­íc khi t¨ng gi¸ lµ 2000 ®ång Chó ý hai d¹ng to¸n c¬ b¶n: - To¸n chuyÓn ®éng - To¸n n¨ng suÊt, lµm chung-lµm riªng 3. Hµm sè y = ax2 (a 0) - TÝnh chÊt - VÏ ®å thÞ sè y = ax2 (a 0) 1 VÝ dô: §å thÞ hµm sè y = - x2 2 Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 1
  2. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II 4. Ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn - D¹ng tæng qu¸t, d¹ng khuyÕt cña PT, x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b, c cña PT - Gi¶i PT d¹ng ax2+ bx = 0; PT d¹ng ax2 + b = 0 5. C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän Cho PT bËc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0) C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t C«ng thøc nghiÖm thu gän §Æt (Delta) = b2 – 4ac §Æt b = 2b’ + NÕu > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b : ' = b’2 – ac. b b *NÕu ' > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b: x1 = x1 = ; x2 = 2a 2a b' ' b' ' ; x2 = + NÕu = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp : a a b *NÕu ' = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp : x1 = x2 = 2a b' x1 = x2 = +NÕu < 0, PT (1) v« nghiÖm a *NÕu ' < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm 6. HÖ thøc Vi-et. øng dông b x1 x2 2 a a. NÕu PT bËc hai ax + bx + c = 0 (a 0) cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th× c x .x 1 2 a NhÈm nghiÖm PT bËc hai theo hÖ thøc Vi-et x x 7 2 1 2 VÝ dô: Cho PT x - 7x + 10 = 0 cã hai nghiÖm nªn x1 = 5; x2= 2 x1.x2 10 b. Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0) c + NÕu a + b + c = 0 th× x1 = 1; x2 = . a c + NÕu a - b + c = 0 th× x1 = -1; x2 = - . a 2 5 VÝ dô: 1. PT 2x - 7x + 5 = 0 cã 2 + (-7) + 5 = 0 nªn cã x1 = 1; x2 = . 2 2 2. PT x - 3x - 4 = 0 cã 1 - (-3) - 4 = 0 nªn cã x1 = -1; x2 = 4. c. T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña nã NÕu hai sè u vµ v cÇn t×m cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P (víi S2 - 4P 0) th× chóng lµ nghiÖm cña PT x2 - Sx + P = 0 VÝ dô: T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = -8 vµ tÝch u.v = 15 Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 2
  3. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II Gi¶i: Hai sè u vµ v lµ nghiÖm cña PT: x2 - (-8)x + 15 = 0 2 hay x + 8x + 15 = 0. Gi¶i ra ta cã x1 = -3, x2 = -5 7. Gi¶i PT quy vÒ PT bËc hai a. PT trïng ph­¬ng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) PP gi¶i: §Æt x2 = t (t 0) ®­a PT vÒ Èn t: at2 + bt + c = 0 VÝ dô: Gi¶i pt: x4 - 13x2 + 36 = 0 §Æt x2 = t (t 0). Ta ®­îc pt: t2 – 13t + 36 = 0 = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nªn = 5 13 5 13 5 t1 = = 9 (TM§K); t2 = = 4 (TM§K) 2 2 2 +) Víi t1 = 9 x = 9 x = 3 2 +) Víi t2 = 4 x = 4 x = 2 VËy pt ®· cho cã 4 nghiÖm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3 8. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT Nªu c¸c b­íc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT? VÝ dô: ChuÈn bÞ cho «n tËp häc k× 2, b¹n Nga lËp kÕ ho¹ch lµm 70 btËp trong mét sè ngµy nhÊt ®Þnh. §Ó hoµn thµnh sím h¬n dù kiÕn, mçi ngµy b¹n Nga lµm thªm 2 btËp n÷a so víi dù ®Þnh nªn tr­íc khi ®Õn h¹n 2 ngµy b¹n ®· lµm ®­îc 60 btËp. Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy b¹n Nga lµm ®­îc bao nhiªu btËp. Gi¶i: Gäi sè btËp b¹n Nga lµm trong mét ngµy theo kÕ ho¹ch lµ x (®k x > 0) 70 Thêi gian ®Ó b¹n Nga lµm xong hÕt sè btËp theo kÕ ho¹ch lµ (ngµy) x Trªn thùc tÕ mçi ngµy b¹n Nga lµm ®­îc x + 2 (btËp) 60 Nªn thêi gian ®Ó b¹n Nga lµm xong 60 bµi tËp lµ (ngµy) x 2 Thêi gian ®Ó b¹n Nga lµm xong 60 b.tËp tr­íc thêi gian ®Õn h¹n 2 ngµy nªn ta cã PT 70 60 - = 2 x2- 3x - 70 = 0 x x 2 x1 = -7 (lo¹i); x2 = 10 (TM§K) VËy sè btËp b¹n Nga lµm trong mét ngµy theo kÕ ho¹ch lµ 10 bµi. II. Bµi tËp Bµi 1 : Gi¶i c¸c hÖ PT sau : 2x y 3 a. x 2y 4 2 x 2x y 3 y 2x 3 5x 2y 4 3 Ta cã: b. x 2y 4 x 2(2x 3) 4 6x 3y 7 11 y y 2x 3 y 2x 3 x 2 3 5x 6 4 x 2 y 1 1 1 1 1 u 2(x y) 3(x y) 4 x y 4 x c. d. HD : §Æt (x y) 2(x y) 5 9 1 1 1 v x 4 y Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 3
  4. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II Bµi 2: Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ Chu Lai ®Õn phè cæ Héi An. NÕu ®i víi vËn tèc 45 km /h th× ®Õn n¬i sím h¬n dù ®Þnh 13phót 20gi©y . NÕu ®i víi vËn tèc 35km/h th× ®Õn n¬i chËm h¬n so víi dù ®Þnh lµ 2/7 h. TÝnh qu¶ng ®­êng Chu Lai - Héi An vµ vËn tèc dù ®Þnh ? HD gi¶i: Th«ng th­êng c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ PT cã hai ®iÒu kiÖn; mçi ®k gióp ta lËp ®­îc mét PT. Trong c¸c bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng cÇn nhí c«ng thøc liªn hÖ gi÷a qu¶ng ®­êng, vËn tèc vµ thêi gian lµ: s = v.t; chó ý ®Õn ®¬n vÞ cña mçi ®¹i l­îng (th«ng th­êng s tÝnh b»ng km, v lµ km/h cßn t lµ giê(h); ta cÇn ph¶i ®æi ®¬n vÞ cho phï hîp víi bµi to¸n). Gäi x (km) lµ qu¶ng ®­êng Chu Lai - Héi An (®k: x > 0) y (km/h) lµ thêi gian dù ®Þnh (®k: y > 0) 13.60 20 2 Chó ý: §æi 13phót 20gi©y = h 3600 9 C¸c em cã thÓ dùa vµo b¶ng tãm t¾t sau ®Ó lËp hÖ ph­¬ng tr×nh §iÒu kiÖn Qu¶ng ®­êng VËn tèc Thêi gian Quan hÖ Dù ®Þnh x x/y y x x 2 §iÒu kiÖn 1 x 45 y (Do ®Õn sím h¬n) 45 45 9 x x 2 §iÒu kiÖn 2 x 35 y (Do ®Õn muén h¬n) 35 35 7 x 2 y 45 9 Ta cã hÖ PT : x 2 y 35 7 Gi¶i hÖ ra ta ®­îc : y = 2 ; x = 80 (TM§K) VËy qu¶ng ®­êng Chu Lai - Héi An lµ 80 km; vµ thêi gian dù ®Þnh lµ 2 giê . Bµi 3: NÕu hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm chung sÏ hoµn hµnh c«ng viÖc trong 8h; nÕu ®éi thø nhÊt chØ 4 lµm trong 3 h råi ®éi thø hai cïng lµm tiÕp trong 4 h n÷a th× chØ xong ®­îc c«ng viÖc. Hái nÕu mçi 5 ®éi lµm riªng th× sau bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc ? HD gi¶i: GV h­íng dÉn HS lµm nh­ sau : Gäi thêi gian ®éi 1 lµm mét m×nh xong viÖc lµ x(h); thêi gian ®éi 2 lµm mét m×nh xong viÖc lµ y (h) (®k: x, y > 8 ) Mçi giê ®éi 1 lµm ®­îc 1/x (c«ng viÖc). Mçi giê ®éi 2 lµm ®­îc 1/y (c«ng viÖc). 1 1 1 Mæi giê c¶ hai ®éi lµm ®­îc 1/8 (c«ng viÖc). Ta cã PT: x y 8 MÆt kh¸c ®éi 1 lµm trong 3h; ®éi 2 ®Õn cïng lµm trong 4h n÷a th× chØ xong 0,8 (=4/5) c«ng viÖc nªn ta 3 4 4 4 7 4 4 cã PT: x x y 5 x y 5 1 1 1 1 1 a a b x y 8 x 8 Ta cã hÖ PT: §Æt Ta cã hÖ míi : 7 4 4 1 1 b 3a 0,8 x y 5 y 2 Gi¶i ra ta cã : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (tho· m·n bµi to¸n) VËy nÕu ®éi 1 lµm mét m×nh th× sau 10 h míi xong c«ng viÖc, ®éi 2 lµm mét m×nh th× sau 40 h míi xong c«ng viÖc. Bµi 4: Cho hai hàm số y = 2x + 4 và y = 2x2 a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị. Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 4
  5. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II c) Gọi A và B là giao điểm của hai đồ thị. Tính SAOB ? Bµi 5: Giải phương trình sau: a. x2 - x - 6 = 0 d. 3x2 - 4x - 4 = 0 b. 3x2 + 2x - 8 = 0 e. 2x2 - x - 6 = 0 c.x2 x 2 2 0 f. x2 - 2x - 8 = 0 Bµi 6: Giải phương trình sau: a. -3x2 + 14x – 8 = 0 b. -7x2 + 4x = 3 c. 9x2 + 6x +1 = 0 d. 2x2 – 8 = 0 e. 3x2 – 7x = 0 Bµi 7: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: Bµi 7.1 Bµi 7.2 a. 2x2 - 5x + 3 = 0 a. 23x2 – 9x – 32 = 0 b. x2 + 7x + 6 = 0 b. 4x2 – 11x + 7 = 0 2 c. 2x - 5x + 3 = 0 c. x2 – 3x – 10 = 0 d. x2 + 4x + 3 = 0 d. x2 + 6x + 8 = 0 e. x2 - 3x - 4 = 0 e. x2 – 6x + 8 = 0 Bµi 8: T×m hai sè u vµ v trong c¸c tr­êng hîp sau: a. u + v = 8; u.v = 15 c. u + v = 5; u.v = -24 b. u + v = -7; u.v = -18 d. u - v = 10; u.v = -21 Bµi 9: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y Bµi 9.1: PT trïng ph­¬ng a. x4 – 9x2 + 8 = 0 b. x4 - 29x2 + 100 = 0 c. x4 - 7x2 - 18 = 0 Bµi 9.2: PT chøa Èn ë mÉu 4 x2 x 2 2x x 8x 8 a. b. x 1 x 1 x 2 x 2 x 4 (x 2)(x 4) Bµi 9.3: PT tÝch a. 3x3 + 6x2 - 4x = 0 b. x3 3x2 2x 6 0 c. x3 – 7x2 + 6 = 0 d. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0 Bµi 10: C¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn tham sè m Bµi 10.1 Cho ph­¬ng tr×nh x 2 2(m 1)x m 2 0 víi m lµ tham sè. a. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt b. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n x1 x2 9 Bµi 10.2 Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 a. Giải phương trình trên khi m = 2 b. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm kép, vô nghiệm. c. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 2 x1 + x2 = 20 x1 - x2 =10 Bµi 10.3 Cho phương trình: (m -1)x2 – 2m2x – 3(m+1) = 0 a. Tìm m biết phương tình có nghiệm x = -1 b. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình Bµi tËp t­¬ng tù BT1: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0 1. Giải phương trình khi m = 1 2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó? BT 2: Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0 1. Tìm m để phương trình có nghiệm? Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 5
  6. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II 2. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại? BT 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – 3 = 0 1. Giải phương trình khi k = 2 2. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k. BT 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0 Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại. BT 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0 1.Giải phương trình khi m = - 3 2.Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m. BT 6: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 2 3. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n x1 x2 4 BT 7: Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm BT 8: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 4 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt BT 9: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 (víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i BT 10: BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 (víi m lµ tham sè) cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i BT 11: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu BT 12: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i BT 13: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2 b) Khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 11. Gi¶i c¸c Bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp PT C¸c b­íc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh B1: Chän Èn vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn B2: LËp ph­¬ng tr×nh B3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh B4: KÕt luËn: ®èi chiÕu nghiÖm võa t×m ®­îc víi ®k ban ®Çu råi rót ra kÕt luËn Bµi 11.0 Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng 5m, diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt 300m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng. §S: 15m vµ 20m Bµi 11.1 Lớp 9A được phân công trồng 120 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động có 6 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm một cây mới xong. Tính số học sinh lớp 9A? 120 120 H­íng dÉn: PT 1 x x 6 Gi¶i PT ta ®­îc x = -24 (lo¹i) vµ x = 30 (TM§K) Bµi 11.2 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 89. Tìm 2 số đó. H­íng dÉn: PT x(x+1) – (x+x+1) = 89 §S: 10 vµ 11 Bµi 11.3 Một tam giác vuông có chu vi 30cm, cạnh huyền 13cm. Tính mỗi cạnh góc vuông. H­íng dÉn: ¸p dông ®lÝ Pitago cho tam gi¸c vu«ng Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 6
  7. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II §S: 5cm, 12cm, 13cm Bµi 11.4 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 54m2, nếu tăng chiều dài 2m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 10m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. H­íng dÉn: Bµi nµy qu¸ dÔ, tù lµm ®i nhÐ. Bµi 11.5 Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc. H­íng dÉn : Bµi nµy cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ PT hoÆc lËp PT bËc hai ®Òu ®­îc Gäi thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong viÖc lµ x (ngµy), 12 c¶ c«ng viÖc lµ 2(50-x/2) 1 1 Mçi ngµy ®éi I lµm ®­îc c«ng viÖc cßn ®éi II lµm ®­îc c«ng viÖc x x 2(25 ) 2 V× hai ®éi cïng lµm trong 12 ngµy th× xong viÖc nªn trong mét ngµy hai ®éi lµm ®­îc 1/12 c«ng viÖc. 1 1 1 1 1 1 Suy ra : 12(50 x) 12x x(50 x) Ta cã pt: + = x x 12 x 50 x 12 x 2 50x 60 0 2(25 ) 2 Gi¶i ra ta cã: x = 20, x = 30 (TM§K) Bµi 11.6: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tìm vận tốc của ca nô lúc nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 3km/h. 30 30 2 LËp PT: 6 Gi¶i ra ®­îc vËn tèc v = 12 km/h x 3 x 3 3 B. PhÇn H×nh häc I. Lý thuyÕt 1. §­êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y C C OI  CD IC = ID CD kh«ng ®i qua t©m O I A O I A (CD kh«ng lµ ®­êng kÝnh) IC = ID OI  CD D D 2. TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn x B O I A A O C Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 7
  8. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II Ax lµ tiÕp tuyÕn Ax OA t¹i A C¸c t/c cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña (O) + AB = AC +  OAB =  OAC +  AOB =  AOC + OA lµ ®­êng trung trùc cña BC 3. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng trßn Cho hai ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) a. Hai ®trßn c¾t nhau + OO’ lµ ®­êng trung trùc A A cña AB + R – R’ < OO’ < R + R’ O O' O O' B B b. Hai ®trßn tiÕp xóc nhau + OO’ ®i qua A + TiÕp xóc trong OO’ = R – R’ + TiÕp xóc ngoµi O O' A A OO’ = R + R’ O O' c. Hai ®trßn kh«ng giao nhau O O' O O' 4. Gãc ë t©m A + ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn + TC: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ O B (có chung hai điểm mút) 5. Góc nội tiếp: + ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đ.tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ.tròn đó. + TC: Trong một đ.tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn + Hệ quả: Trong một đường tròn B - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau A O C Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 8
  9. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II - Các góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 6. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: x + TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung B bằng nửa số đo của cung bị chắn. + Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. O A 7. Góc có đỉnh ở trong và ngoài đường tròn: + Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đ.tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn. + Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn. B E D E C D O A O C B A 8. Tứ giác nội tiếp + Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ.tròn thì được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác). A Tứ giác ABCD nội tiếp (O) B  A + C =1800 (B + D =1800) O C + Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 1800. D + Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. + Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp: - Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó. OA = OB = OC = OD - Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800 Aˆ Cˆ 1800 hoặc Bˆ Dˆ 1800 * Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện. - Cách 3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. (Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì cạnh đó chính là đường kính của đường tròn). 9. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn a) Công thức tính độ dài đường tròn: C = 2 R (R: bán kính đường tròn) Công thức tính diện tích hình tròn: S = R2 R n b) Công thức tính độ dài cung tròn n0 : l (R: bán kính đường tròn) 180 Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 9
  10. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II R n l.R Công thức tính diện tích quạt tròn n0: S q 360 2 c) Công thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S 10. Hình không gian a) Hình trụ: 2 + Diện tích: Sxq= 2 rh Stp = Sxq + 2 Sd = 2 rh + 2 r 2 + Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = r h (Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđ là diện tích đáy) b) Hình nón: 2 + Diện tích: Sxq = rl Stp = Sxq + Sd = rl + r 1 1 2 + Thể tích hình nón : V = Sđ.h = r h 3 3 (Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh) c) Hình cầu: + Diện tích mặt cầu: S = d2 = 4 R2 4 + Thể tích hình cầu : V= R 3 3 (Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu) 11. Một số công thức liên quan đến tam giác và đường tròn. a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a a 3 + Đường cao của tam giác đều h 3 a + Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = 3 a + Bán kính đường tròn nội tiếp: r = 2 3 b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường tròn (có bán kính R): + Cạnh tam giác đều: a = R 3 + Cạnh hình vuông: a = R2 + Cạnh lục giác đều: a = R c) Công thức tính diện tích tam giác: + Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng). + Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông) a 2 3 + Diện tích tam giác đều : S = (a là độ dài cạnh tam giác đều) 4 II. Bài tập Phần bài tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN 1.Cho tam giác MNP và hai đường cao MH, NK. Gọi (O) là đường tròn nhận MN làm đường kính. Khẳng định nào sau đây không đúng ? A.Ba điểm M, N, H cùng nằm trên đường tròn (O). B.Ba điểm M, N, K cùng nằm trên đường tròn (O). C.Bốn điểm M, N, H, K không cìng nằm trên đường tròn (O). Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 10
  11. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II D.Bốn điểm M, N, H, K cùng nằm trên đường tròn (O). 2. Đường tròn là hình: A.không có trục đối xứng. B.có một trục đối xứng. C.có hai trục đối xứng. D.có vô số trục đối xứng. 3.Khi nào không xác định duy nhất một đường tròn ? A.Biết ba điểm không thẳng hàng. B.Biết một đoạn thẳng là đường kính. C.Biết ba điểm thẳng hàng. D.Biết tâm và bán kính. 4.Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng 2,5 cm. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính 5 cm. Khi đó đường thẳng a A.không cắt đường tròn (O). B.tiếp xúc với đường tròn (O). C.cắt đường tròn (O). D.kết quả khác. 5.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở A.đỉnh góc vuông. B.trong tam giác. C.trung điểm cạnh huyền. D.ngoài tam giác. 6.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18; AC = 24. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng A. 30. B. 20. C. 15. D. 152 . 7.Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1 cm. Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng 1 B. 3 cm. 3 1 A. cm. C. cm. D. cm. 2 2 3 8.Cho đường tròn (O; 5). Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3. Khi đó: A. MN = 8. B. MN = 4. C. MN = 3. D.kết quả khác. 9.Nếu hai đường tròn (O); (O’) có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm và khoảng cách hai tâm là 7 cm thì hai đường tròn A.tiếp xúc ngoài. B.tiếp xúc trong. C.không có điểm chung. D.cắt nhau tại hai điểm. 10.Trong các câu sau, câu nào sai ? A.Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi đường thẳng a đi qua O. C.Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung ấy thành hai phần bằng nhau. D.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. 11.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây đúng ? Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng A.đi qua A và vuông góc với AB. B.đi qua A và vuông góc với AC. C.đi qua A và song song với BC. D.cả A, B, C đều sai. 12.Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi đó khoảng cách từ M đến tiếp điểm là: A. 4 cm. B. 8 cm. C. 234 cm. D. 18 cm. 13.Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó bằng A. 2 cm. B. 2 2 cm. C. 2 3 cm. D. 4 2 cm. 14.Đường tròn là hình có A.vô số tâm đối xứng. B.có hai tâm đối xứng. C.một tâm đối xứng. D.không có tâm đối xứng. 15.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trung tuyến AM cắt đường tròn tại D. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ? A. ACD = 900. B.AD là đường kính của (O). C. AD  BC. D. CD ≠ BD. 16.Cho (O; 25cm). Hai dây MN và PQ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 cm. Khi đó: 16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là: A. 15 cm. B. 7 cm. C. 20 cm. D. 24 cm. 16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng: Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 11
  12. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II A. 17 cm. B. 10 cm. C. 7 cm. D. 24 cm. 16.3.Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là: A. 22 cm. B. 8 cm. C. 22 cm hoặc 8 cm. D. kết quả khác. 17.Cho (O; 6 cm) và dây MN. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể là: A. 8 cm. B. 7 cm. C. 6 cm. D. 5 cm. 18.Cho tam giác MNP, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. H, I, K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh NP, PM, MN. Biết OH R. Bảng 2. A B 1.Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác A.là giao điểm của các đường trung tuyến. 2.Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác B.là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C. 3.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong C.là giao điểm của các đường phân giác trong của góc A tam giác. 4.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong D.là giao điểm của đường phân giác trong góc B góc B và đường phân giác ngoài tại C. E.là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Bảng 3. A B 1.Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau A.thì có hai tiếp tuyến chung. 2.Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài B.thì không có tiếp tuyến chung. 3.Nếu hai đường tròn cắt nhau C.thì có một tiếp tuyến chung. 4.Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong D.thì có bốn tiếp tuyến chung. 5.Nếu hai đường tròn đựng nhau E.thì có ba tiếp tuyến chung. 22. Hãy điền từ (cụm từ) hoặc biểu thức vào ô trống sao cho đúng. Bảng 1.Xét (O; R) và đường thẳng a, d là khoảng cách từ O đến a. Vị trí tương đối d R Tiếp xúc nhau 3 cm 4 cm 5 cm Không giao nhau 6 cm Bảng 2.Xét (O; R); (O’; r); d = OO’ và R > r. Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Cắt nhau d = R + r 1 Đựng nhau d = 0 0 Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 12
  13. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Cho c¸c h×nh vÏ sau: D C D M Q A A C O O O O A C P B B B (h.1) N (h.3) (h.4) (h.2) 1. Trong hình 1, biết AC là đường kính, góc BDC = 600. Số đo góc ACB bằng A. 400. B. 450. C. 350. D. 300. 2. Trong hình 2, góc QMN bằng 600, số đo góc NPQ bằng A. 200. B. 250. C. 300. D. 400. 3. Trong h.3, biết AB là đường kính của đ.tròn, góc ABC = 600. khi đó số đo cung BmC =? A. 300. B. 400. C. 500. D. 600. 4. Trong h.4, biết AC là đường kính của đ.tròn, góc ACB = 300. Khi đó số đo góc CDB =? A. 400. B. 500. C. 600. D. 700. Cho c¸c h×nh vÏ sau: A A A P M M O B O B O I O D D x C M B Q (h.5) C (h.7) N (h.6) (h.8) 5. Trên h.5, biết số đo cung AmD = 800, số đo cung BnC = 300. Số đo của góc AED =? A. 250. B. 500. C. 550. D. 400. 6. Trong h.6, số đo góc BIA = 600, số đo cung nhỏ AB = 550. Số đo cung nhỏ CD là A. 750. B. 650. C. 600. D. 550. 7. Trên hình 7, có MA, MB là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Số đo góc AMB bằng 580. Khi đó số đo góc OAB là A. 280. B. 290. C. 300. D. 310. 8.Trên hình 8, số đo góc QMN = 200, số đo góc PNM = 100. Số đo của góc x bằng A. 150. B. 200. C. 250. D. 300 Cho c¸c h×nh vÏ sau: B A C D B O D O O A O C D A B A E M M F C (h.9) (h.10) (h.11) (h.12 Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 13
  14. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II 9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD = 800. Số đo góc MDA bằng A. 400. B. 500. C. 600. D. 700. 10.Trong hình 10, MA, MB là tiếp tuyến của (O), BC là đường kính, góc BCA = 700. Số đo góc AMB bằng A. 700. B. 600. C. 500. D. 400. 11. Trong h.11, có góc BAC = 200, góc ACE = 100, góc CED = 150. Số đo góc BFD bằng A. 550. B. 450. C. 350. D. 250. 12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD = 800, góc ABD = 600. Số đo góc BDC bằng A. 400. B. 600. C. 450. D. 650. 13.Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau C D C D D C 130 D 80 B A   j 60 65 65 60 75 90 70 C A B B B A A (D) (A) (B) (C) 14.Cho hình 14. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai: A. Bốn điểm MQNC nằm trên một đường tròn. A B. Bốn điểm ANMB nằm trên một đường tròn. N C. Đường tròn qua ANB có tâm là trung điểm đoạn AB. Q D. Bốn điểm ABMC nằm trên một đường tròn. C B M (h.14) 15.Tứ giác nào sau đây không nội tiếp được đường tròn ? 55 90 90 50 130 90 55 90 (D) (C) (A) (B) 16.Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn ? A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. 17.Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu: A. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. B. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800. C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800. 18.Độ dài cung 600 của đường tròn có bán kính 2cm là: 1 2 3 1 A. cm. B. cm. C. cm. D. cm. 3 3 2 2 19.Độ dài cung tròn 1200 của đường tròn có bán kính 3 cm là: A. cm. B. 2 cm. C. 3 cm. D. Kết quả khác. 20.Nếu chu vi đường tròn tăng thêm 10cm thì bán kính đường tròn tăng thêm: 5 1 A. cm. B. cm. C. 5 cm. D. cm. 5 5 1 21.Nếu bán kính đường tròn tăng thêm cm thì chu vi đường tròn tăng thêm: Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 14
  15. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II 1 1 A. cm. B. cm. C. 2cm. D. cm. 2 22.Diện tích hình tròn có đường kính 5 cm bằng: 25 5 25 A. 25 cm2. B. cm2. C. cm2. D. cm2. 2 2 4 23.Diện tích hình quạt tròn cung 600 của đường tròn có bán kính bằng 2 cm là: 2 2 3 A. cm2. B. cm2. C. cm2. D. cm2. 3 3 3 23.Một cung tròn của đường tròn bán kính R có độ dài là l (m). Khi đó diện tích hình quạt tròn ứng với cung đó là: l.R l.R l 2.R l 2.R A. m2. B. m2. C. m2. D. m2. 4 2 4 2 24.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R và r (R > r). Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính như thế nào ? A. r 2 R2 . B. R2 r 2 . C. R2 r 2 . D. Kết quả khác. 25.Cho hình vuông cạnh bằng a, vẽ vào phía trong hình vuông các cung tròn 900 có tâm lần lượt là các đỉnh của hình vuông. Hãy cho biết diện tích của phần tạo bởi 4 cung tròn đó và hình vuông ? 2 2 2 2 A. a 1 . B. a 1 . C. a 1 . D. a . 2 4 4 CHƯƠNG IV. HÌNH KHÔNG GIAN 1. Trong bảng sau, gọi h là đường cao, l là đường sinh, R là bán kính đáy của hình nón. Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng. A B 1.Công thức tính thể tích hình nón cụt là A) Rl . 2.Công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt là B) Rl R 2 . 3.Công thức tính thể tích hình nón là 2 2 4.Công thức tính diện tích toàn phần hình nón là C) R h . 5.Công thức tính diện tích xung quanh hình nón là 1 2 6.Công thức tính độ dài đường sinh hình nón là D) R h . 3 E) R1 R 2 l . 1 2 2 D) h R1 R 2 R1R 2 3 2. Trong bảng sau, gọi R là bán kính, d là đường kính của hình cầu. Hãy viết mỗi hệ thức ở cột B vào vị trí tương ứng phù hợp ở cột B. A B 1.Công thức tiính diện tích mặt cầu là 4 3 2.Công thức tính thể tích hình cầu là A) R . 3 1 B) R 2 . 3 C) 4 R 2 . D) d2 . 3. Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được một khẳng định đúng. A B 1.Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh cố định của nó ta A) một hình nón. Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 15
  16. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II được B) một hình cầu. 2.Khi quay tam giác một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định C) một hình nón cụt. của nó ta được D) hai hình nón. 3.Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định của E) một hình trụ. nó ta được 4.Khi quay một hình thang vuông một vòng quanh cạnh bên cố định vuông góc với hai đáy của nó ta được 4. Gọi R là bán kính của đường tròn đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Hãy nối mối ý ở cột A với một ya ở cột B sao cho đúng. A B 1.Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là A) R 2h . 2.Công thức tính diện tích hai đáy của hình trụ là 2 3.Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là B) 4 R . 2 4.Công thức tính thể tích hình trụ là C) 2 R . D) 2 Rh 2 R 2 . E) 2 Rh . Phần bài tập Tự luận 1) Cho hai đường tròn (O; 4cm); (O’; 3cm), biết OO’ = 7cm. Cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn đó. 2) Cho đường tròn (O; 13). Biết khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 5. Tính độ dài dây AB 3) Cho ∆MNP đều có cạnh bằng 5 3 cm.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 4) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp của nó. 5) Trên (O), lấy các điểm A, B, C, D liên tiếp sao cho cung AB = 400, cung BC = 1000 , sđ cung CD = 1200 . Tính số đo góc ABD 6) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn đó. Biết góc MAB = 700 . Tính số đo góc AOB. 7) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của AB và CD. Biết sđ cung AD = 1500 , sđ cung BC = 700 . Tính số đo góc AKD. 8) Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp đường tròn : Hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. Giải thích vì sao ? 9) Cho góc nội tiếp AMB và góc ở tâm AOB của đường tròn (O). Biết góc AOB = 120 0, tính góc AMB. 10) Cho góc nội tiếp BAC của đường tròn (O). Biết số đo cung BAC bằng 280 0 . Tính số đo góc nội tiếp BAC. 11) Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 3cm và 5cm. Tính diện tích hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đó. 12) Diện tích hình tròn thay đổi như thế nào khi bán kính a) Tăng gấp 3 lần. b) Giảm 2 lần 13) Cho ∆ABC có Â = 800 nội tiếp đường tròn (O; R). Tính diện tích hình quạt tròn OBC theo R 14) Hình nón có bán kính đáy bằng 6cm và có đường sinh bằng 10cm. Tính thể tích hình nón 15) Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HM  AB ( M AB ), HN  AC (N AC) Chứng minh rằng : a) Tứ giác AMHN nội tiếp b) AM.AB = AN.AC c) AMN ACB. Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 16
  17. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II d) Tứ giác BMNC nội tiếp 16) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao BN và CM (N AC, M AB) Chứng minh rằng : a) Tứ giác BMNC nội tiếp b) AMN ACB c) OA  MN d) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh IN . IB = IM . IC 17) Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O; 3cm) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). ( B, C (O) ). a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Qua A vẽ cát tuyến AMN. Chứng minh AB2 = AM . AN c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp ABC, biết AB = 4cm 18) Cho ABC vuông tại A ( AB > AC ), đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật b) BH.HC = EF2 c) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn d) Tứ giác BEFC nội tiếp 19) Cho hai đường tròn (O; 16cm) và (O’; 9cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( B (O); C (O’) ) .Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M a)Chứng minh ABC vuông tại A b) Tính số đo góc OMO’ c) Tính độ dài BC. 20)Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp b) Chứng minh AE.AC = AF.AB. c) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành d) Gọi I là giao điểm của AD và EF . Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp. 21) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD. Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E. a) Chứng minh DE//BC b) Chứng minh AB. AC = AK.AD. c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh tứ giácBHCD là hình bình hành. 22) Ta giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, vẽ đường tròn đường kính MC.Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. CMR: a) Tứ giác ABCD nội tiếp. b) CA là tia phân giác của góc BCS. c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC là H.CMR 3 đường HM, BA, CD đồng quy. d) Cho biết AC =12cm, AB = 9cm. Tính chu vi và diện tích đ.tròn nội tiếp tứ giác ABCD. 23) Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và AB ở D và E. CMR: a) BD2 =AD.CD. b) Tứ giác BCDE nội tiếp. c) BC // DE. 24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR: a) Tứ giác BEDC nội tiếp b) DE song song D’E’. c) OA vuông góc DE. 25) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc BC. Qua B kẻ đường vuông góc với DE, cắt DE tại H và cắt DC tại K. a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp. b) Tính góc CHK. Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 17
  18. ®Ò c­¬ng «n tËp cuèi häc k× II c) CM: KH.KB = KC.KD. 26) Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F. a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp. b) CM: MK2 =KA.KB. c) So sánh góc DNM và góc DMF. 27) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của AB (phần không chứa C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR: a) góc CID = góc CKD. b) Tứ giác CDFE nội tiếp. c) IK song song AB. d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD. 28) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I. a) CM: góc DOC = góc BAC. b) CM: 4 điểm O, I, C, D nằm trên một đường tròn. c) CM: IE =IF. d) Cho B, C cố định, khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đường nào? Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 18