Đề cương ôn tập Chương II môn Hình học Lớp 9

Nội dung text: Đề cương ôn tập Chương II môn Hình học Lớp 9

1. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN ÔN TẬP CHƢƠNG ĐƢỜNG TRÒN I. Kiến thức cần nhớ: 1. Trong một đƣờng tròn, đƣờng kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó. 2. Trong một đƣờng tròn, đƣờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 3. Trong một đƣờng tròn, a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. 4. Trong một đƣờng tròn, a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 5. Khi một đƣờng thẳng a và đƣờng tròn (O; R) có hai điểm chung ta nói đƣờng thẳng và đƣờng tròn (O; R) cắt nhau. Đƣờng thẳng a đƣợc gọi là cát tuyến của đƣờng tròn (O; R). (d R) 8. Nếu một đƣờng thẳng đi qua một điểm của đƣờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đƣờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đƣờng tròn. 9. Nếu hai tiếp tuyến của một đƣờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác tạo bởi hai0 bán kính đi qua các tiếp điểm. 10. Nếu hai đƣờng tròn cắt nhau thì đƣờng nối tâm là đƣờng trung trực của dây chung. Nếu hai đƣờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đƣờng nối tâm. II. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho đƣờng tròn (O; R), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 4cm, IB = 8cm. Tính khoảng cách từ tâm O tới AB và CD. Đáp án: 2cm Bài 2: Cho (O; 10), dây AB = 20cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách tới AB là 8cm. Độ dài dây CD là? Đáp án: 12cm htyennhi48@gmail.com Page 1
2. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Bài 3: Cho đƣờng tròn (O; 4). Một điểm A cách O một khoảng là 12cm. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). OA cắt đƣờng tròn tại C. Qua C dựng đƣờng thẳng song song với OB, cắt AB tại D. Độ lớn của CD là? 8 Đáp án: 3 Bài 4: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đƣờng tròn có đƣờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đƣờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đƣờng tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đƣờng tròn có đƣờng kính AC, CB theo thứ tự tại M, N. a) Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DM.DA = DN.DB c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đƣờng tròn có đƣờng kính AC và CB. d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất? Bài 5: Cho hai đƣờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung DE, D thuộc đƣờng tròn tâm O, E thuộc đƣờng tròn tâm O’. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE. a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh IM.IO = IN.IO’ c) Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đƣờng tròn có đƣờng kính là DE. d) Tính độ dài DE biết rằng OA = 5cm, O’A = 3,2cm. (đáp án: 8cm) Bài 6: Cho đƣờng tròn (O), đƣờng kính AB, điểm M thuộc đƣờng tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đƣờng tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. a) Chứng minh rằng NE AB . b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng AF là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O). c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đƣờng tròn (B; BA). Bài 7: Cho tam giác vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đƣờng tròn (O) có đƣờng kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đƣờng thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng: a) Tam giác BEF là tam giác cân. b) Tam giác AHF là tam giác cân. c) AH là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O). htyennhi48@gmail.com Page 2
3. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Bài 8: Cho nửa đƣờng tròn (O), đƣờng kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đƣờng tròn cùng phía với AB. Từ điểm M trên nửa đƣờng tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với đƣờng tròn cắt Ax và By lần lƣợt tại C, D. a) Chứng minh tam giác COD vuông. b) Chứng minh MC. MD MO2 R 3 c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R. (đáp án: AC R3, BD ) 3 Bài 9: Cho hai đƣờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đƣờng kính AB của đƣờng tròn (O) và đƣờng kính BC của đƣờng tròn (O’). Đƣờng tròn đƣờng kính OC’ cắt O tại M và N. a) Đƣờng thẳng CM cắt (O’) tại P. Chứng minh OM // BP. b) Từ C vẽ đƣờng thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh tam giác OCD là tam giác cân. Bài 10. Cho hai đƣờng tròn (O; R) và (O ; R ) cắt nhau tại A và B sao cho đƣờng thẳng OA là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O ; R /). Biết R = 12cm, R = 5cm. a) Chứng minh: O A là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O; R). b) Tính độ dài các đoạn thẳng OO , AB. Bài 11. Từ điểm M ở ngoài đƣờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Cho biết AMB 40o . a) Tính góc AOB . b) Từ O kẻ đƣờng thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân. Bài 12. Từ điểm A ở ngoài đƣờng tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Kẻ BE  AC và CF  AB ( E AC, F AB), BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi. b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng. c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đƣờng tròn (O). htyennhi48@gmail.com Page 3
4. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Bài 4: Hướng dẫn giải a) Ta có: AMC nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AC AMC 90o CNB nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính BC CNB 90o ADB nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB ADB 90o Suy ra tứ giác DMCN là hình chữ nhật b) Xét CDA vuông tại C có DC2 DM. MA Xét DBC vuông tại C có DC2 DN. DB Suy ra DM MA DN NB c) Vì DMCN là hình chũ nhật nên IM = IC Suy ra IMC cân tại I suy ra MC22 Gọi F, H, O lần lƣợt là trung điểm AC, BC và AB. Vì MFC cân tại F nên MC11 o o Mà CC12 90 suy ra MM12 90 Hay FMN 90o suy ra FM MN Chứng minh tƣơng tự ta có HN MN Suy ra MN là tiếp tuyến chung của đƣờng tròn đƣờng kính AC và BC. d) Ta có DC = MN (vì DMCN là hình chữ nhật) htyennhi48@gmail.com Page 4
5. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Mà DC DO MN DO MN lớn nhất khi MN DO, tức là CO Suy ra C là trung điểm AB. Bài 5: Hướng dẫn giải a) ID và IA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I suy ra ID = IA (1) Mà OD = OA suy ra IO là trung trực của AD IO  AD IMA 90o IE và IA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I suy ra IE = IA (2) Mà O’E = O’A suy ra IO’ là trung trực của AE IO  AE INA 90o Từ (1) và (2) suy ra IA = ID = IE Suy ra ADE vuông tại A DAE 90o Tứ giác MINA có IMA INA DAE 90o Suy ra MINA là hình chữ nhật b) Xét tam giác vuông IAO có AM IO : IA2 IM. IO (3) Xét tam giác vuông IAO’ có AN IO': IA2 IN.' IO (4) Từ (3) và (4) suy ra IM.IO = IN.IO’ c) Ta có tam giác DAE vuông tại A htyennhi48@gmail.com Page 5
6. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Suy ra 3 điểm D, E, A nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính DE (5) Do IA là tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn (O) và (O’) IA OO' (6) Từ (5) và (6) suy ra OO’ là tiếp tuyến của đƣờng tròn đƣờng kính DE. d) Xét tam giác vuông IOO’ IA2 OAOA.' IA2 5.3,2 16 IA4( cm ) Mà DE = 2IA = 2.4 = 8 (cm) Bài 6: Hướng dẫn giải a) Tam giác AMB nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB nên AMB 90o AM  MB Tam giác ACB nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB nên ACB 90o AC  CB Suy ra E là trực tâm của tam giác NAB, do đó NE AB b) Tứ giác AFNE có các đƣờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đƣờng nên AFNE là hình bình hành. Do đó AF // NE. Mà NE AB nên AF AB Suy ra AF là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) c) Tam giác ABN có đƣờng cao BM cũng là đƣờng trung tuyến nên là tam giác cân. htyennhi48@gmail.com Page 6
7. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Suy ra BN = BA. Do đó BN là bán kính của đƣờng tròn (B; BA) Tam giác ABN cân tại B nên BNA BAN (1) Tam giác AFN có đƣờng cao FM là đƣờng trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra NA11 (2) Từ (1) và (2) suy ra BNA N11 BAN A tức là FNB FAB Ta lại có: FAB 90o (câu b) nên FNB 90o Do đó FN là tiếp tuyến của đƣờng tròn (B; BA). Bài 7: Hướng dẫn giải a) Ta có: OB AD tại I nên AI = ID Suy ra tam giác BAD cân tại B, BB12 do đó BB34 Tam giác EBF có đƣờng cao cũng là đƣờng phân giác nên tam giác BEF cân tại B. b) Tam giác BEF cân tại B nên BH là đƣờng trung tuyến nên EH = HF Tam giác AEF vuông tại A có AH là đƣờng trung tuyến nên AH = HE = HF Do đó tam giác HAF cân tại H. c) Tam HAF cân tại H nên AF1 (1) htyennhi48@gmail.com Page 7
8. TOÁN 9 – CHƢƠNG 2 – ĐƢỜNG TRÒN Tam giác OAB cân tại O nên OAB B14 B (2) o Từ (1) và (2) suy ra OAH A14 OAB F B 90 Suy ra AH là tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) Bài 8: Hướng dẫn giải a) Theo tính chất hai đƣờng trung tuyến cắt nhau ta có: OO12 và OO34 o Suy ra OO23 90 . Vậy tam giác COD vuông tại O b) Theo hệ thức lƣợng trong tam giác vuông OCD ta có: MC. MD MO2 c) OC = 2R Xét tam giác OAC vuông tại A: AC OC22 OA AC R 3 1 1 1 2 Xét tam giác OCD vuông tại O: OD R MO2 OC 2 OD 2 3 1 Xét tam giác OBD vuông tại B: BD OD22 OB R 3 Tài liệu tham khảo: Internet htyennhi48@gmail.com Page 8