Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Ba (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Ba (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT THANH BA ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN: TOÁN ( Đề luyện theo cấu trúc của sở) NĂM HỌC 2017-2018 (Thời gian làm bài 120 phút) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng Câu 1: Với x 1, giá trị rút gọn của biểu thức: A = x 2x 1 - x 2x 1 là: A. 0 B. 2 2x 1 C. 2 D. 2 3 3 Câu 2: x0 = 20 14 2 + 20 14 2 là một nghiệm của phương trình nào: A. x3 - 3x2 + x - 20 = 0 B. x3 + 3x2 - x - 20 = 0 C. x2 + 5x + 4 = 0D. x 2 - 3x - 4 = 0 Câu 3. Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2 A. M = 50 B. M = 80 C. M = 10 D. M = 40 Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách giữa hai điểm A(-2; 1) và B(4;9) là: A. 68 B. 10 C. D.1 0Đáp4 án khác Câu 5: Biết rằng phương trình 3x 2 - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là: A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2 Câu 6: Đường thẳng (d) cho bởi y = - 3x – 4, thì đường thẳng đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng y = x là: A. y = 1 x - 4 B. y = 1 x + 4 3 3 3 3 C. y = 3x + 4 D. y = 3x - 4 Câu 7: Hệ phương trình vô nghiệm là : x 2y 5 x 2y 5 A. 1 B. 1 x y 3 x y 3 2 2 2x 3y 4 x 2y 3 C. D. 3 x 2 x 3 4 x y 2 2 Câu 8. Cho hai hàm số: y 2x 1 2m (d) và y x 2m (d’) với m là tham số. Điều kiện để đồ thị (d) và (d’) của hai hàm số cắt nhau tại một điểm có hoành độ dương là: 1 1 1 A.m B. m C.m 4 4 4 D. m 4 Câu 9 Cho tam giác ABC, AB = 4,8cm, BC = 3,6cm, AC = 6,4cm E thuộc AC sao cho AE = 2,4cm, D thuộc AB sao cho AD = 3,2cm. Độ dài DE là: A. 3,6cm B. 2cmC. 1,8cm D. 1,5cm
2. Câu 10. Cho tam giác ABC nhọn đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P là đối xứng của H qua BC, AC, AB. ( H là trực tâm tam giác ABC) AM BN CP Giá trị của là: AA ' BB' CC' A. 3,5 B. 3 C. 5 D. 4 Câu 11. Cho Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8, AB = 192 , AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Độ dài AH là: A. B.2 4 C. 48 D. 4,5 12 Câu 11: Cho ABC cân tại A, biết bán kính của đường tròn nội tiếp là 6, bán kính của đường tròn ngoại tiếp là 12,5 thì độ dài các cạnh là: A. AB = AC = 24 ; BC = 20 B. AB = AC = 20 ; BC = 24 C. AB = AC = 4 21 ; BC = 5 21 D. AB = AC = 5 21 ; BC = 4 21 Câu 12: Cho ABC cân tại A. Có đường cao BH = a , ·ABC m . Độ dài đường cao AK là: a a A. AK = B. AK = C. AK = 2a.sin m D. AK = 2a.cosm 2sin m 2cosm Câu 13: Cho MNP là tam giác đều có cạnh là 5cm. Khi đó độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là: 5 3 5 3 A. 5 3 cm B. cm C. cm D. 2 3 cm 2 3 Câu 14. Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Độ dài HM bằng: A. 2,4 B. 2,8 C. 1,4 D . 2 Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là: A. 20cm B. 25cm C. 30cm D. 35cm Câu 16: Nhân dịp tết siêu thị điện máy có khuyến mại trên hóa đơn tính tiền. Nếu hóa đơn trị giá từ 5 triệu thì giảm 5%, từ 12 triệu giảm 15%. Bác Hoa mua 1 quạt máy giá 2,2 triệu, 1 máy lạnh giá 11triệu, 1 nồi cơm điện giá 1,5 triệu ở siêu thị đó theo giá niêm yết. Hỏi bác Hoa đã trả bao nhiêu tiền sau khi giảm giá? A. 11,87025 triệu B. 11,76 triệu C. 12,495 triệu D13,965 triệu 3 5 2 17 5 38 2017 Câu 17: Với x . Giá trị của biểu thức B 3x3 8x2 2 5 14 6 5 A:32017 B: 2 C: 22017 D:-1 Câu18: Cho các số x, y, z thỏa mãn x y z 3 x3 y3 z3 . Giá trị biểu thức P x2013 y2013 y2015 z2015 z2017 x2017 là: A:0 B: 1 C:6 D: 2
3. a b c 6 Câu 19: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn 2 2 2 a b c 12 Giá trị của biểu thức P a 3 2017 b 3 2017 c 3 2017 là A: 2 B: 3 C: 0 D: -3 2 Câu 20: Cho b .Giá trị của biểu thức 1 1 3 1 1 3 1 1 11 B b4 b3 b2 3b 4 32 A: 2016 B: 2017 C: 32 D: -32 Câu 21: Cho các số x, y, z thỏa mãn x y z 1 . GTNN của M x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 là: 3 A: 5 B: 2017 C: 3 D: 2 Câu 22: Nếu a, b, c là các số hữu tỉ và ab bc ac 1 thì 1 a2 1 b2 1 c2 là bình phương của một số hữu tỉ. 2 2 2 A: a 1 b 1 c 1 B: ac ab bc C: a c a b b c D: 52 Câu 23: số 13n 3 là số chính phương khi A: n = 6 B: n 13m2 8m 1 m ¥ C: n 13m2 8m 1 m ¥ D: n = 6; n = 22; n=1 1 Câu 24. Biết ax by cz 0 và a b c . Giá trị của 2018 ax2 by2 cz2 M là: bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2 A:2017 B:2016 C:2018 D:2015 Câu 25: Hình thang cân ABCD (AB PCD) cóđáy lớn CD= 10 cm, đáy nhỏ băng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Khi đó đường cao của hình thang có độ dài bằng : A: 3 cmB: cm2 5 C: 4 cm5 D: 2 cm Câu 26: Diện tích của một tam giác vuông có chu vi bằng 72cm, hiệu giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 7cm là: A: 125 cm2 B: 96 cm2 C: 144 cm2 D: 120 cm2 Câu 27: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1dm. canh của tam giác đều AEF với E thuộc CD, F thuộc BC là: A:11 3 B: C:2 3 D: 6 2 6 1
4. Câu 28: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, x là độ dài của các đường phân giác tương ứngthì 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A: B: C: 2( ) x y z a b c x y z a b c x y z a b c 1 1 1 1 1 1 D: 2( ) x y z a b c Câu 29: Cho ABC, I là giao điểm 3 đường phân giác , G là trọng tâm ABC, biết AB = 6cm, AC = 12 cm, BC = 9 cm thì AI =? IN A: 3 B: 1,5 C: D1: 2 2 Câu 30: Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC. 2 2 Tính diện tích hình bình hành biết rằng : SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm A: 11 B: 11,5 C:12 D: 22 2 Câu 31: Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình x - 2(m-1)x-1=0 (1). Phương 1 1 trình có 2 nghiệm 2 và 2 x1 x2 A: x2 – 17mx +70 =0B: x 2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + 1 = 0 C: x2 - (2m2 - 4m + 3)x + 1 = 0 D: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + 2 = 0 2 Câu 32: Cho phương trình x - (m+1)x+m=0 (1). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của 2 2 phương trình (1). A = x1 x2 + x1x2 + 2007 đạt giá trị nhỏ nhất là: 1 3 3 A: 2007 B:2006 C: D20:0 7 2006 4 4 4 Câu 33. Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm. Độ dài của dây dài nhất đi qua M là A: 8 B: 5 C: 3 D: 4 Câu 34. Trên đường tròn (O), lấy ba cung liên tiếp AB, BC, CD có số đo lần lượt tỉ lệ với 3; 2; 4 và số đo cung DA bằng 900 . Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại P. Số đo của góc CPD bằng: A: 300 B: 600 C: 500 D: 200 Câu 35: Một lão nông dân chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đát hình chữ nhật có chu vi 800 m. Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất A: 200m 200m B: 300m 100m C: 250m 150m D: Đáp án khác II. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1 (4 điểm) x3 x2 x a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì:P 1985. 1979. 5. có x 3 3 6 giá trị là số nguyên b) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.
5. Câu 2 (3 điểm) a) Giải phương trình x2 2x 3 2 2x2 4x 3 2x 2 2xy 5x y 2 0 b Giải hệ phương trình: 2 2 4x y 2x 3 Câu 3 (3,5 điểm) Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. a) Trong trường hợp BC cắt xy tại điểm G, hãy chứng minh rằng: AG(BE + CF) = 2S. b) Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. Câu 4 (1,5 điểm) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x y z 3 . Chứng minh rằng: x y z 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy HẾT Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
6. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018 MÔN TOÁN I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp C A,D D D B,C A B,C B C D B B C D B A án Câu 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Đáp D A D A C C B C B C C B D C B D án Câu 33 34 35 Đáp A B A án II. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1 (4 điểm) x3 x2 x a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì:P 1985. 1979. 5. có giá trị là x 3 3 6 số nguyên b) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Ta có: x3 x2 x P 1985. 1979. 5. x 3 3 6 0,5 điểm 3970x3 3958x2 5x 4x3 3x2 x P 661x3 659x2 x x 6 6 Ta có: 4x3 3x2 x x3 x 3x3 3x2 x 1 x x 1 3x2 x 1 0,5 điểm 6 6 6 4x3 3x2 x Vì x 1 x x 1 6,3x2 x 1 6 6 1 điểm 6
7. x3 x2 x Vậy P 1985. 1979. 5. có giá trị là số nguyên. x 3 3 6 b) Nếu n 3k 1 k ¥ thì n 1 3k 2 , không là số chính phương (loại). - Nếu n 3k 2 k ¥ thì 2n 1 6k 5 3k 2k 1 2 , không là số chính 1 điểm phương(loại). Vậy n 3k k ¥ , do đó n3 .(1) Chứng minh n chia hết cho 8. Vì 2n 1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1, nên 2n chia hết cho 8, n 1 điểm chia hết cho 4, n + 1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1, do đó n chia hết cho 8.(2) Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 3, 8 mà 3,8 1 nên n24 . Câu 2 (3 điểm) a) Giải phương trình x3 (1 x2 )3 x 2 1 x2 2x 2 2xy 5x y 2 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 4x y 2x 3 a) điều kiện: 1 x2 0 1 x 1 0,25 điểm Đặt a x;b 1 x2 a2 b2 1 Phương trình đã cho tương đương với a3 b3 ab. 2 a3 b3 2 a2 b2 ab 2 0,5 điểm a3 b3 2 a2 b2 ab 2 2 a b 2 a2 b2 ab 2 a2 b2 ab 2 2 2 2 a b ta có: . a b 4ab; a2 b2 ab ; a2 b2 ab ab 2 2 2 2 2 a b a b a2 b2 ab 4ab. .ab 0,75 điểm do đó 2 2 a b 2 a2 b2 ab 2 a2 b2 ab 2
8. a b x 1 x2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x2 1 2 x 2 2 x 2 2 x Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2 x 2 Từ PT 2x2 2xy 5x y 2 0 (2x2 – 5x + 2) + (2xy – y) = 0 (2x – 1)(x – 2) + y(2x – 1) = 0 0.5điểm 2x 1 0 (2x – 1)(x + y – 2) = 0 x y 2 0 2x 1 0 1 1 ;1 , ; 1 Giải hệ 2 2 ta được (x;y) = 0,5 điểm 4x y 2x 3 2 2 x y 2 0 Giải hệ 2 2 suy ra hệ vô nghiệm 0,5 điểm 4x y 2x 3 1 1  Vậy tập nghiệm của hệ S = ;1 , ; 1  0,5 điểm 2 2  Câu 3 (3,5 điểm) Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. a) Trong trường hợp BC cắt xy tại điểm G, hãy chứng minh rằng: AG(BE + CF) = 2S. b) Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. 1 1 a) Ta có: S = S = S + S = BE.AG CF.AG 2.0 ABC ABG ACG D 2 2 F 2S AG(BE CF) ( ĐPCM) A A K 0,75 E E C G B B C 2.0 F
9. b) 1,25 +) Nếu xy cắt cạnh BC tại điểm G. Ta có: 2S = AG(BE+CF) => BE + CF = 2S AG Bởi vì 2S không thay đổi nên ( BE + CF ) nhỏ nhất khi AG đạt giá trị Max. Vậy AG lớn nhất nếu AG là độ dài lớn nhất của 1 trong 2 cạnh. Nếu AC AB thì AG =AC thì max AG = AC và min(BE+CF) = hb. Nếu AC AB thì max AG = AB và min(BE+CF) = hc. Khi đó xy đi qua cạnh lớn trong 2 cạnh AB; AC. +) Nếu xy không cắt BC. 1,25 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Xét tam giácACD đường thẳng xy cắt cạnh CD. Vẽ DK xy theo trường hợp 1 có: min(CF+DK) = h hoặc min(CF+DK) = h c d 2.0 ta có: ABE ADK BE DK ; tương tự có hd = hb.  min(CF+DK) = min(BE+CF) = hb khi AC AB.  min(CF+DK) = min(BE+CF) = hc khi AC AB. Khi đó xy đi qua cạnh lớn trong 2 cạnh AB; AC. Câu 4 (1,5 điểm) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x y z 3 . Chứng minh rằng: x y z 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy 2 Từ x yz 0 x2 yz 2x yz (*) Dấu “=” x2 yz 0.25 Chỉ ra : 3x yz (x y z)x yz x2 yz x(y z) 2x yz x(y z) 0.5 Suy ra : 3x yz 2x yz x(y z) x( y z ) ( Áp dụng (*)) x x 0.25 x 3x yz x( x y z ) (1) x 3x yz ( x y z ) y y z z 0.25 Tương tự : (2); (3) y 3y xz x y z z 3z xy x y z x y z Từ (1), (2) và (3) 1 0.25 x 3x yz y 3y xz z 3z xy Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Hết ./.