›
›
›

Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

doc 16 trang dichphong 3830
Download
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_ung_dung_cua_he_thuc_vi_et.doc

Nội dung text: Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

  1. CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
  2. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (*) b b Có hai nghiệm x ; x 1 2a 2 2a b b 2b b Suy ra: x x 1 2 2a 2a a ( b )( b ) b2 4ac c x x 1 2 4a2 4a2 4a2 a b Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S = x x 1 2 a c - Tích nghiệm là P : P = x x 1 2 a Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán. I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0 c Như vây phương trình có một nghiệm x 1 và nghiệm còn lại là x 1 2 a b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a b + c = 0 c Như vậy phương trình có một nghiệm là x 1 và nghiệm còn lại là x 1 2 a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) 2x2 5x 3 0 (1) 2) 3x2 8x 11 0 (2) Ta thấy : 3 Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x 1 2 2 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 và x 1 2 3 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 35x2 37x 2 0 2. 7x2 500x 507 0 3. x2 49x 50 0 4. 4321x2 21x 4300 0 2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình x2 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phương trình : x2 7x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
  3. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Bài giải: a) Thay x1 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 1 4 4 p 5 0 p 4 5 5 T ừ x1x2 5 suy ra x2 x1 2 b) Thay x1 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc 25 25 q 0 q 50 50 50 T ừ x1x2 50 suy ra x2 10 x1 5 c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 x2 2 Suy ra q x1x2 18 d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2x2 và theo VI-ÉT ta có x1x2 50 . Suy ra 2 2 2 x2 5 2x2 50 x2 5 x2 5 Với x2 5 th ì x1 10 Với x2 5 th ì x1 10 II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 3; xlập2 2một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: P x1x2 6 x2 Sx P 0 x2 5x 6 0 Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 4. x1 = 1 2 vµ x2 = 1 2 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 2 V í dụ: Cho phương trình : x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương 1 1 trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 và y2 x1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
  4. 1 1 1 1 x1 x2 3 9 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2 1 1 1 1 9 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1x2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 9 9 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0 2 2 Bài tập áp dụng: 2 1/ Cho phương trình 3x 5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình, 1 1 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 và y2 x2 x2 x1 5 1 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5y 3 0 ) 6 2 2 2/ Cho phương trình : x 5x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y 4 4 thoả mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : y2 727y 1 0 ) 2 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2x m 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho : a) y1 x1 3 và y2 x2 3 b) y1 2x1 1 và y2 2x2 1 (Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x2 3x 4 0 giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
  5. 2 2 2 81 a b T ừ a b 9 a b 81 a2 2ab b2 81 ab 20 2 2 x1 4 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 9x 20 0 x2 5 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36 2 x1 4 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 5x 36 0 x2 9 Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169 2 2 a b 13 a b 13 a b 13 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 x1 4 x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 4 thì b = 9 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 x1 4 x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: a b 11 2 2 2 2 2 2 T ừ: a + b = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 2 x1 5 x 11x 30 0 x2 6 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 2 x1 5 x 11x 30 0 x2 6 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
  6. 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (x1 x2 ) và x1x2 2 2 2 2 2 Ví dụ 1 a) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 b) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2 1 1 x x d) 1 2 x1 x2 x1x2 Ví dụ 2 x1 x2 ? 2 2 2 Ta biết x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 2 2 1. x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 = .) 2 2. x3 x3 ( = x x x2 x x x2 x x x x x x = . ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 2 2 2 2 3. x1 x2 ( = x1 x2 x1 x2 = ) 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 4. x1 x2 ( = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = ) Bài tập áp dụng 6 6 5 5 7 7 1 1 5. x1 x2 6. x1 x2 7. x1 x2 8. x1 1 x2 1 2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x2 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính 2 2 1 1 8 1. x1 x2 (34) 2. x1 x2 15 x1 x2 34 2 3. 4. x1 x2 (46) x2 x1 15 b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 9 2 2 1. 2. x1 x2 (65) x1 x2 8 c) Cho phương trình : x2 14x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 14 2 2 1. 2. x1 x2 (138) x1 x2 29 d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 x 1 x 1. (3) 2. 1 2 (1) x1 x2 x1 x2 2 2 x1 x2 5 3. x1 x2 (1) 4. x2 1 x1 1 6 2 e) Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 2 2 6x1 10x1x2 6x2 Q 3 3 5x1x2 5x1 x2 6x2 10x x 6x2 6(x x )2 2x x 6.(4 3)2 2.8 17 HD: Q 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 5x1x2 5x1 x2 5x x x x 2x x 5.8 (4 3) 2.8 80 1 2 1 2 1 2
  7. V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. 2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 4 V' 0 m (m 1)(m 4) 0 5m 4 0 m 5 Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m 2 x x x x 2 (1) 1 2 m 1 1 2 m 1 m 4 3 x .x x .x 1 (2) 1 2 m 1 1 2 m 1 Rút m từ (1) ta có : 2 2 x1 x2 2 m 1 (3) m 1 x1 x2 2 Rút m từ (2) ta có : 3 3 1 x1x2 m 1 (4) m 1 1 x1x2 Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3 2 1 x1x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2x1x2 8 0 x1 x2 2 1 x1x2 2 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng minh rằng biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 4 V' 0 m (m 1)(m 4) 0 5m 4 0 m 5 Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x x 1 2 m 1 thay v ào A ta c ó: m 4 x .x 1 2 m 1 2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0 A 3 x x 2x x 8 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1
  8. 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 5 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng: 2 1. Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m. Hướng dẫn: Dễ thấy m 2 2 4 2m 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m x1 x2 2(1) x1 x2 m 2 x1x2 1 x1.x2 2m 1 m (2) 2 Từ (1) và (2) ta có: x x 1 x x 2 1 2 2 x x x x 5 0 1 2 2 1 2 1 2 2. Cho phương trình : x2 4m 1 x 2 m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m2 33 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) 4m (x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m 2x1x2 16(2) Từ (1) và (2) ta có: (x1 x2 ) 1 2x1x2 16 2x1x2 (x1 x2 ) 17 0 VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
  9. m 0 m 0 m 0 m 0 2 ' 9 m2 2m 1 9m2 27 0 ' 9 m 1 0 m 1 ' 3 m 21 9(m 3)m 0 6(m 1) x x 1 2 m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v à t ừ gi ả thi ết: x1 x2 x1x2 . Suy ra: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 6 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 2 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1)2 4(m2 2) 0 4m2 4m 1 4m2 8 0 7 4m 7 0 m 4 x1 x2 2m 1 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2 và từ giả thiết 3x1x2 5 x1 x2 7 0 . Suy ra x1x2 m 2 3(m2 2) 5(2m 1) 7 0 3m2 6 10m 5 7 0 m 2(TM ) 3m2 10m 8 0 4 m (KTM ) 3 Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : mx2 2 m 4 x m 7 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0 2. Cho phương trình : x2 m 1 x 5m 6 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 3x2 1 3. Cho phương trình : 3x2 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
  10. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. 16 BT1: - ĐKX Đ: m 0 & m 15 (m 4) x x 1 2 m -Theo VI-ÉT: (1) m 7 x x 1 2 m x1 x2 3x2 2 - Từ x1 2x2 0 Suy ra: 2(x1 x2 ) 9x1x2 (2) 2(x1 x2 ) 3x1 2 - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1;m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m2 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m - Theo VI-ÉT: (1) x1x2 5m 6 x1 1 3(x1 x2 ) x1x2 1 3(x1 x2 ).4(x1 x2 ) 1 - Từ : 4x1 3x2 1 . Suy ra: x2 4(x1 x2 ) 1 (2) 2 x1x2 7(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 1 m 0 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m 1) 0 (thoả mãn ĐKXĐ) m 1 BT3: - Vì (3m 2)2 4.3(3m 1) 9m2 24m 16 (3m 4)2 0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 3m 2 x x 1 2 3 - -Theo VI-ÉT: (1) (3m 1) x x 1 2 3 8x1 5(x1 x2 ) 6 64x1x2 5(x1 x2 ) 6.3(x1 x2 ) 6 - Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 . Suy ra: 8x2 3(x1 x2 ) 6 2 64x1x2 15(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 36 (2) m 0 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m 96) 0 32 (thoả mãn ) m 15 VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x1x2 Điều kiện chung trái dấu  P < 0 0 0 ; P < 0.
  11. cùng dấu, P > 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì (3m 1)2 4.2.(m2 m 6) 0 0 (m 7)2 0m m2 m 6 2 m 3 P 0 P 0 P (m 3)(m 2) 0 2 Vậy với 2 m 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. mx2 2 m 2 x 3 m 2 0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2. 3mx2 2 2m 1 x m 0 có 2 nghiệm âm. 3. m 1 x2 2x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A m C (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) k B Thì ta thấy : C m (v ì A 0 ) min C m A 0 C k (v ìB 0 ) max C k B 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m 1 x m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : 2 2 A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất. x1 x2 (2m 1) Bài giải: Theo VI-ÉT: x1x2 m A x2 x2 6x x x x 2 8x x Theo đ ề b ài : 1 2 1 2 1 2 1 2 2m 1 2 8m 4m2 12m 1 (2m 3)2 8 8 3 Suy ra: min A 8 2m 3 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
  12. 2x1x2 3 B 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1x2 m 1 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1 B 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: m2 2 m2 2m 1 m 1 2 B 1 m2 2 m2 2 2 2 m 1 Vì m 1 0 0 B 1 m2 2 Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2 m 2 1 B 2 2 2 2 m2 2 m2 2 2 m2 2 2 2 2 m 2 1 Vì m 2 0 0 B 2 m2 2 2 1 Vậy min B m 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m 1 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) ( ) m2 2 Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B Để phương trình ( ) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0 1 B 2B 1 0 2 B 1 0 B 1 1 B 1 2B 1 0 1 2 B B 1 0 2 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 1 min B m 2 2 Bài tập áp dụng 2 2 1. Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0 .Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
  13. 2 2. Cho phương trình x 2(m 1)x 3 m 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều 2 2 kiện.x1 x2 10 3. Cho phương trình : x2 2(m 4)x m2 8 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 b) B x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất 4. Cho phương trình : x2 (m 1)x m2 m 2 0 . Với giá trị nào của m, biểu thức 2 2 C x1 x2 dạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 5. Cho phương trình x (m 1) m 0 . Xác định m để biểu thức E x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. BÀI TẬP PHẦN I : Bài 1. (Bắc Ninh 1997 - 1998 Đề 1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2(m 3)x 2m 7 0 (1) a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 1 1 b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 . Hãy tìm m để m x1 1 x2 1 Bài2. (Bắc Ninh 1998 - 1999 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 3mx 3m 4 0 (1) a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ? b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x1 4 2 3 . Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của phương trình đó ? Bài3. (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2x m 0 (1) a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số âm. c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5 Bài4. (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 2) Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số) : x2 3x a 2 0 (1) x2 ax 1 0 (2) a/ Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = -1. b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên luôn có ít nhất một trong hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài5. (Bắc Ninh 2000 - 2001 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
  14. x2 (m n)x (m2 n2 ) 0 (1) a/ Giải phương trình (1) khi m = n = 1. b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm. c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 x 5 0 . Bài6. (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 1) Cho phương trình : x2 2(m 1)x 2m 5 0 5 a/ Giải phương trình khi m 2 b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. Bài7. (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 2) Cho phương trình bậc hai :x2 2(m 1)x m2 3m 2 0 (1) a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn x1 x2 12 (Trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình) ? Bài8. (Bắc Ninh 2002 - 2003 Đề 2) Cho hai phương trình : x2 3x 2m 6 0 (1) và x2 x 2m 10 0 (2) a/ Giải hai phương trình trên với m = - 3. b/ Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung. c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Bài9. (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 1) a/ Chứng minh rằng : Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm là b c x , x thì x x và x .x . 1 2 1 2 a 1 2 a b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5. c/ Tìm số nguyên a để phương trình x2 ax a2 7 0 có nghiệm. Bài10. (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2x m 0 (1) a/ Tìm m để phương trình có (1) có nghiệm. b/ Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng âm. c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 2x2 5 Bài11. (Bắc Ninh 2004 - 2005 Đề 1) Cho phương trình bậc hai :x2 (m 1)x m2 2m 2 0 (1) a/ Giải PT với m=2 b/ Tìm giá trị của m để PT có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 ghiệp phân biệt Bài12. (Bắc Ninh 2005 - 2006 Đề 1) Cho phương trình bậc hai :x2 2(m 1)x m 4 0 (1) a/ Giải PT với m=1 b/ Tìm giá trị của m để PT có nghiệm trái dấu c/ Với x1, x2 là nghiệm của PT tính theo m giá trị biểu thức A= x1(1 x2 ) x2 (1 x1) Bài13. (Bắc Ninh 2006 - 2007 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : 2x2 mx m 3 0 a/ Giải PT với m=1
  15. b/ CMR PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với moi m c/ Tìm m dể pt có hai nghiệm trái dấu và nghiệm am lớn hơn nghiệm âm Bài14. (Bắc Ninh 2007 - 2008 Đề 1) Cho phương trình bậc hai x2 2(2m 1)x 3m2 4 0 (x là ẩn) (1) a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để x1 2x2 2 Bài15. (Bắc Ninh 2008 - 2009 Đề 1) Cho phương trình x 2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2. x x Tính giá trị của biểu thức : S 2 1 x1 x2 Bài16. (Bắc Ninh 2009 - 2010 Đề 1) Cho phương trình : (m 1)x2 2(m 1)x m 2 0 (1) (m là tham số). a/ Giải phương trình (1) với m = 3. b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : 1 1 3 . x1 x2 2 PHẦN II : 2 Bài 1: Cho phương trình: X – 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Tính: 2 2 3 3 4 4 5 5 x1 1 x2 1 a.x1 x2 b. x1 x2 c.x1 x2 d.x1 x2 h. + e) x1 x1 x2 x2 f. x2 x1 x1 x2 x2 x1 2 Bài 2. Cho pt x - 3x + 2 = 0, Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt. Không giải pt hãy tính. 2 2 3 3 4 4 2 2 1. x1 + x 2 2. x 1 + x 2 3. x 1 + x 2 4. x 1x2 + x 2x1 2 2 2 2 1 1 x1 x2 3x 5x x 3x x x x x (x x ) 5. 6. 7. 1 1 2 2 8. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x x 2 1 4x1 x2 4x1 x 2 x1 (x 1 1) x2 (x2 1) 9. x1 -x2 11. |x1 |-|x2| 13. x1 x2 x2 x1 x1 x2 2 2 15. 10. x1 - x 2 12. x1 x2 14. x1 x1 x2 x2 x2 x1 2 x -1 2 x -1 2 2 1 2 16. (2 x1-1)( 2x2-1) 17. x1 (x1- 1) + x2 (x2- 1) 18. x2 x1 Bài 3. Cho PT (m - 1) x2 - 2(m+1)x + m- 2 = 0 1. Giải pt với m = -1 2. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy. Bài 4: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m – 2 = 0. 1. Giải phương trình khi m = 1 2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại Bài 5:Cho phương trình : x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13 Bài 6: Cho phương trình: x2 - 2mx + m = 7 a. Giải phương trình với m = 7b. Cm phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x1 theo x2.
  16. 1 1 2 2 d. Tính theo m: ; 3 3 3x1 2mx1 2x2 m x1 x2 e. Tính m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dương. g. Tính m để phương trình có 2 nghiệm 2x1+x2 = 0 ; 2 h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x1(x2 – x1)- x2 . i.Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phương trình trên. Bài 7 : Cho phương trình: x2-(m+1)x + m = 0 a)giải phương trình với m = 3 b)Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 17 c)Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 8 : Cho phương trình: x2- 2mx + 2m – 1 = 0 a) Giải phương trình với m= 4 b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10. c) Llập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m 2 2 d) Tìm m sao cho : 2(x1 x2 ) 8x1x2 65 Bài 9: Cho x2-4x-( m2+2m)=0 a) Giải phương trình với m=5. b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m. 2 2 c) Tính (x1 x2 ) 8(x1x2 1) theo m 2 2 d) Tìm m để (x1 x2 ) 5(x1 x2 ) Bài 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0 a.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b.Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m c.Tìm m để x1-3x2=5 Bài 11. Cho pt : x2 - ( 2m - 1 ) + m2 - m- 1 = 0 (1) 1. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 1 2. Giải phương trình với m = 2 3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1) a. Tìm hệ thức lên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m b. Tìm m sao cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN Bài 12. Cho pt bặc 2 : x2 - 2( m + 1 )x + m2 + 3m + 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) với m = -1 2. Tìm m để PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 3. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của PT. Tìm m để x1 + x 2 = 12 Bài 13.Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0 3 1. Giải pt với m = 2. CMR pt luôn có nghiệm với mọi giá trị 2 của m. 3. Gọi x 1, x2 là 2 nghiệm của phương 4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trình. trái dấu. a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. 2 2 b. Tìm GTNN của hệ thức A= x1 + x2