Chuyên đề Toán 9: Phương pháp tiếp tuyến và phương pháp cát tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề Toán 9: Phương pháp tiếp tuyến và phương pháp cát tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

1. CHUYÊN ĐỀ. PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ý tưởng. Khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà ta có thể đưa về “hàm đặc trưng hoặc đề bài cho sẵn hàm đặc trưng” , ta nghĩ đến dùng phương pháp tiếp tuyến hoặc cát tuyến để chứng minh bất đẳng thức. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1) Định lý 1. (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số fx()liên tục và có đạo hàm cấp hai trên đoạn ab;  Nếu fxxab''()0,;    ta luôn có fxfxxxfxxxa()'()(),,;.  0000 b   Nếu fxxab''()0,;    ta luôn có fxfxxxfxxxa()'()(),,;.  0000 b   Nhận xét.Hệ thức y f'( x0 ) x x 0 f ( x 0 ) chính là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0 . Do vậy nếu thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm bất kỳ trên đoạn luôn nằm phía dưới đồ thị. Nếu fxxab''()0,;    thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm bất kỳ trên đoạn luôn nằm phía trên đồ thị. 2) Định lý 2. (Bất đẳng thức cát tuyến) Cho hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai trên đoạn f( af )( b ) Nếu ta luôn có f( xxaf )(  ),;. axa b   ab f( af )( b ) Nếu ta luôn có f( xxaf )(  ),;. axa b   ab Đẳng thức xảy ra trong hai bất đẳng thức trên xa hoặc 3) Kiến thức: Nếu đa thức fx nhận x0 làm nghiệm. Khi đó ta có thể phân tích fx dưới dạng: fxxxg x 0 . Kĩ năng: Để làm tốt phần này các bạn cần có kĩ năng phân tích một đa thức thành nhân tử và thành thạo việc chia đa thức, lược đồ Horner.
2. II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ. Ví dụ 1.Cho x y,, z dương thỏa mãn điều kiện: x y z 3. Chứng minh rằng x y z 3 . 2x y z x 2 y z x y 2 z 4 x y z 3 Phân tích. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với chứng minh x 3 y 3 z 3 4 Ta cần làm rõ: Dạng của đánh giá đại diện thế nào? Trong đánh giá đại diện thì cách chọn hệ số ra sao? x Do ta có nên ta tìm một đánh giá đại diện dạng: m x n . x 3 Nhận thấy dấu bằng trong BĐT cần chứng minh đạt được khi x y z 1, do vậy trong đánh giá đại 11 diện trên ta muốn dấu bằng đạt được khi x 1 nên ta có mnnm 44 x 131 2 Khi đó đánh giá đại diện có dạng: mxmmxm xm 230 x 3444 2 31 Đặt fxmxmxm 23 . 44 3 Vì f 10 nên ta có phân tích fxxmxm 13 . 4 Ta cần tìm m sao cho fxx  00;3 nên ta có ý tưởng làm xuất hiện đại lượng x 1 2 trong 3 3 phân tích thành nhân tử của fx . Do vậy gxmxm 3 phải thỏa mãn gm 10 . 4 16 Từ đó ta có lời giải như sau: Lời giải x 31 3 2 Ta chứng minh: x . Bất đẳng thức tương đương với x 10 ( luôn đúng) x 3 16 16 16 y 31 z 31 Tương tự ta có y ; , z . y 3 16 16 z 3 16 16 Cộng về các bất đẳng thức ta suy ra điều phải chứng minh.
3. Ví dụ 2. [ề Đ tuyển sinh THPT Chuyên Hoàng Lệ Kha – Tây Ninh năm học 2013 – 2014 ] a2 22 b 2 b 2 a 2 Cho hai số thực dương ab, thỏa mãn ab 1. Chứng minh rằng 1 a 22 b b a Phân tích ab22 2 Vì giả thiết cho nên ta tìm một đánh giá đại diện dạng: manb . ab 2 2 a a 2 t 2 b atb 2 Bất đẳng thức biến đổi thành mnmtn . a 2 bt 2 b 1 m 3 Nhận xét dấu bằng xảy ra khi a b t 1. Làm tương tự ví dụ 1 ta cũng giải ra được . 2 n 3 Từ đó ta có lời giải như sau: Lời giải 22 ab 212 2 2 Ta chứng minh: ab. Thật vậy BĐT này tương đương với ab 0 ( luôn đúng). ab 233 3 ba22 221 Tương tự ta có: ab. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. ba 233 Ví dụ 3. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn abc222 3 . Chứng minh: 111 3215 abc abc Phân tích 2 Vì giả thiết cho nên ta tìm một đánh giá đại diện dạng 3.a ma2 n a Nhận thấy trong BĐT cần chứng minh dấu bằng đạt được khi abc 1, do vậy trong đánh giá đại diện, ta muốn dấu bằng đạt được khi a 1 nên ta có m n 55 n m Do đó đánh giá ạđ i diện có dạng: 2 3a ma2 5 m ma 3 3 a 2 5 m a 2 0 a
4. Đặt famaamaa 3235203 Vì f 10 nên ta có phân tích faamama 132 2 . Ta cần tìm m sao cho faa 003 nên ta có ý tưởng làm xuất hiện đại lượng a 1 2 trong phân tích thành nhân tử của fa . Do vậy g a ma2 32 m a phải thỏa mãn 1 gam 100;3  . 2 Từ đó ta có lời giải như sau: Lời giải 2 1 9 Ta chứng minh: 3aa 2 . a 22 Bất đẳng thức tương đương với aa 140 2 ( luôn đúng vì 03 a ) 219 219 Tương tự ta có 35.3bb 2 , 3cc 2 . b 22 c 22 Cộng vế các BĐT suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4. [Đề kiểm tra chất lượng lần 2 trường THCS Ngô Sĩ Liên – Hoàn Kiếm năm 2016-2017] Với các số thực không âm x y,, z thỏa mãn điều kiện xyz 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxxyyzz 212121.222 Phân tích. Gặp những bài toán có giả thiết “không âm” , ta nghĩ đến bài toán sẽ đạt tại điểm biên, do đó ta có thể thử một số bộ ba sau để đoán xem bài toán đạt max, min ở đâu. 1 11 1 1 Ta chọn bộ x; y ; zP 0;0;14, x y zPx ; ; y zP 0; ;1 2 2, ; ;; ;14. 2 23 3 3 111 Từ kết quả trênđoán P đạt max là 4 tại 0;0;1 và các hoán vị của nó và đạt min là 14 tại ;;. 333
5. Tìm max: Ta xét hàm đặc trưng của bài toán 21.xxmxn2 Ta cần tìm mn, để phương trình 21x2 x mx n có nghiệm là x 0 và x 1. Cho xn 01 ; cho xm 11 . Ta cần chứng minh 211xxx2 với 0 1 . x Thật vậy, bất đẳng thức tươg đương với xx 10 (luôn đúng với mọi 01 x ). Chứng minh tương tự ta cũng có 211;211.yyyzzz22 Do đó Pxyz 34. Vậy P đạt max là 4 tại 0 ;0 ; 1 và các hoán vị của nó. Tìm min: Ta xét hàm đặc trưng của bài toán 21.xxmxn2 1 Ta cần tìm để phương trình có nghiệm kép x . 3 14 Ta giải được mn . 4 1414 Ta cần chứng minh 21xxx2 với 44 Thật vậy, bất đẳng thức tươg đương với 310x 2 (luôn đúng với mọi ). 14141414 Chứng minh tương tự ta cũng có 21;21.yyyzzz22 4444 14 3 14 111 Do đó P x y z 14.Vậy đạt min là 14 tại ;;. 44 333
6. III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP. Bài 1. [Đề kiểm tra giữa kỳ II năm 2018 trường THCS Ngô Sĩ Liên – Hoàn Kiếm] Cho abc,, là các số thực không âm thoả mãn abc 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pabbcca . Gợi ý. Đưa Pcab 999. Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là f a( a) 9 . Bài 2. Cho là các số thực không âm thoả mãn abc 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Paabbcc 222 444. Gợi ý. Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là faaa()4. 2 Bài 3. [Đề thi thử vào 10 trường THCS Giáp Bát – Hoàng Mai năm 2017-2018] Cho abc,, là các số thực không âm thỏa mãn abc222 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pabbcca 222222 111. Gợi ý. Đưa Pcab 444.222 Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là faa()4. 2 Bài 4. [ Đề thi vào 10 chuyên Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2016] Cho abc,, là các số thực không âm thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng 5454547.abc Gợi ý. Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là faa()54. . Bài 5. Cho x y,, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: xxyyyyzzzzxxxyz222222 2222() Gợi ý. Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là xxyymxny22 2. Bài 6. [Đề thi HSG 9 TP Hà Nội năm 2016-2017] Cho abc,, là các số thực không âm thoả mãn abc2 2 2 2. 1) Chứng minh rằng a b c 2. ab a b c 2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 2 bc 2 ca 2 ab aAM GM a2 a Gợi ý. Đưa ma2 n đẳng thức xảy ra tại a 0 hoặc a 2. 24 bcbc22 a2 2 2
7. Bài 7. [Đề thi vào 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2016-2017] Cho x,, y z là các số thực dương thoả mãn x2 y 2 z 2 3. Chứng minh rằng xyz 3 . 3332 xyyzxy xxx AMGM 2 Gợi ý. Đưa mxn2 đẳng thức xảy ra tại x 1. 33 yzx yz22 2 3 2 Bài 8. [Đề thi HSG 9 TP Hà Nội môn năm học 2012 – 2013] 1 2 3 Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn 3 . Chứng minh rằng: abc 27a2 b 2 8 c 2 3 . c c2 9 a 2 a 4 a 2 b 2 b 9 b 2 4 c 2 2 123 Gợi ý. Đặt xyz ;; rồi đưa bài toán cần chứng minh về hàm đặc trưng theo xy,. abc Bài 9. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn abc 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 abc 5 abc2 2 2 3 12 Gợi ý. Ta đánh giá đại lượng đặt trưng là a2 ma n đẳng thức xảy ra tại a 1. a 3 Bài 10. Cho abc,, >0 và abc 3. Chứng minh rằng abcabbcca . Gợi ý. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng abcabcabc 2 222 . Xét đại lượng đặc trưng là aaman2 đẳng thức xảy ra tại Bài 11. [Đề thi học sinh giỏi toán 12 Hà Nội năm 2015-2016] Cho abc,, là ộđ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng: 1111 1 1 49. a b b c c aa b c 1 1 1 1 1 1 Gợi ý. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 4 9. 1 c 1 a 1 b a b c 41 1 Xét đại lượng đặc trưng là ma n đẳng thức xảy ra tại a . 1 aa 3