Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 15: Biểu thức đại số giá trị của một biểu thức đại số

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 15: Biểu thức đại số giá trị của một biểu thức đại số

1. Chuyên đề 15. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A. Kiến thức cần nhớ 1. Biểu thức mà trong đó ngoài các số, các ký hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa còn có các chữ (đại diện cho các số) được gọi là biểu thức đại số. 2. Trong biểu thức đại số, các chữ có thể đại diện cho những số tùy ý nào đó. Những chữ như vậy gọi là biến số (gọi tắt là biến). Khi thực hiện các phép toán trên các biến, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép toán như trên các số. 3. Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Hãy viết các biểu thức đại số biểu thị: a) Tổng của hai lần x và năm lần y bình phương; b) Bình phương của hiệu x và y ; c) Tổng các lập phương của x và y ; d) Tích của hiệu a và b với tổng các bình phương của a và b .  Tìm cách giải: Dựa vào quy ước: Trong một biểu thức, phép tính nào làm trước thì đọc sau, phép tính nào làm sau thì đọc trước. Giải a) 2x 5y2 ; b) x y 2 ; c) x3 y3 ; d) a b a2 b2 . Ví dụ 2: Cho biểu thức 5x2 4x 3 . Tính giá trị của biểu thức tại: a) x 2 ; b) x 0,5 ; c) x 0 ; 2 d) x . 5  Tìm cách giải: Thay biến x trong biểu thức đại số trên bằng các số đã cho ta được các biểu thức số. Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó chính là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của biến Giải Trang 1
2. a) Thay x 2 vào biểu thức trên ta có: 5. 2 2 4. 2 3 5.4 8 3 31. Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 2 là 31. b) Thay x 0,5 vào biểu thức trên ta có: 5. 0,5 2 4 0,5 3 5. 0,25 2 3 2,25 Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 0,5 là 2,25 c) Thay x 0 vào biểu thức trên ta có: 5.02 4.0 3 3 Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 0 là 3. 2 d) Thay x vào biểu thức trên, ta có: 5 2 2 2 4 8 11 1 5. 4. 3 3 2 5 5 5 5 5 5 2 1 Vậy giá trị của biểu thức 5x2 4x 3 tại x là 2 . 5 5 Ví dụ 3: a) Hãy viết biểu thức đại số P biểu thị: Hiệu diện tích hình tam giác đáy là a, đường cao h a với diện tích hình chữ nhật có kích trước là b và c (a, ha, b, c có cùng đơn vị đo). Tính P biết a 25cm; ha 10cm; b 5cm; c 4cm 1 b) Hình tròn có chu vi là C thì diện tích Q của hình tròn được biểu thị bằng công thức nào. Tính Q biết 4 C 3,2m; 3,14 Giải a.h a) P a b.c 2 Thay a 25cm; ha 10cm; b 5cm; c 4cm ta được: 25.10 P 5.4 105 cm2 2 C b) Ta biết nếu hình tròn bán kính là r , thì C 2 r r . 2 Diện tích hình tròn bán kính r được cho bởi công thức: S r 2 2 1 C C 2 Do đó Q . . 4 2 16 Trang 2
3. 3,2 2 Thay C 3,2m ta có: Q 0,2 m2 . 16 Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A x2 2xy 3y3 tại: a) x 2y 4 b) x y 10 và 3x 2y c) x 0,5 và y 4 d) 5 x 2 y 3 0 .  Tìm cách giải: Biểu thức A có hai biến x và y . a) Đã cho biết giá trị của biến x ; suy ra y rồi thay giá trị của hai biến vào biểu thức A. b) Từ quan hệ giữa hai biến x y 5 . (1) và 3x 2y . (2) ta biểu diễn x theo y từ (1) rồi thay vào (2) để tìm giá trị của y . Từ đó tìm tiếp giá trị của.x x 0,5 c) Lưu ý x 0,5 nên phải xét cả hai cặp giá trị x 0,5; y 4 và x 0,5; y 4 . x 0,5 M 0 d) Lưu ý M N 0 . N 0 Giải a) Với x 2y 4 ta có x 4 và y 2 Ta có A 4 2 2 4 2 3 2 3 16 16 24 24 b) Từ x y 10 x 10 y và 3x 2y 3 10 y 2y 30 3y 2y 30 5y y 6 Từ đó có x 4 . Thay vào biểu thức A 42 2.4.6 3.63 616 . x 0,5 c) x 0,5 x 0,5 Với x 0,5 và y 4 thì A 0,5 2 2. 0,5 .4 3.43 188,25 Với x 0,5 và y 4 thì A 0,5 2 2. 0,5 .4 3.43 196,25 . d) x 2 0 x 2 và y 3 0 y 3 Do đó A 22 2.2. 3 3. 3 3 65 . 3a 4b a 5 Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức sau: A biết . 4a 3b b 9 Trang 3
4. a 5 a b  Tìm cách giải: Do chứng tỏ a 0 và b 0 nên hướng giải là làm xuất hiện hoặc trong b 9 b a biểu thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho a hoặc cho b. Hoặc có thể biểu diễn a theo b (hoặc b theo 5 a). Cũng có thể biểu diễn a và b theo biến phụ k từ tỉ số . 9 Từ đó có một số cách giải sau: Giải a 5 Do nên a 0 và b 0 . b 9  Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho b, ta có: a 5 15 21 3. 4 3. 4 4 A b 9 9 9 3 . a 5 20 7 4. 3 4. 3 3 b 9 9 9 a 5 b 9  Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho a. Do nên . Nên: b 9 a 5 b 9 21 3 4. 3 4. A a 5 5 3 b 9 7 4 3. 4 3. a 5 5 a 5  Cách 3: nên 9a 5b . Do đó: b 9 3a 4b .9 3.9a 36b 15b 36b 21b A 3 4a 3b .9 4.9a 27b 20b 27b 7b a 5 3.5k 4.9k 21k  Cách 4: a 5k; b 9k nên A 3 b 9 4.5k 3.9k 7k 5 15 21 3. b 4b b 4b b a 5 5  Cách 5: a b A 9 9 9 3 5 20 7 b 9 9 4. b 3b b 3b b 9 9 9 9 21 3a 4. a a a 5 9  Cách 6: b a A 5 5 3 9 7 b 9 5 4a 3. a a 5 5 4a b 4a 2018 Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức sau: B 5a 2018 5a b biết a b 2018; b 4a; a 504,5; a 403,6; b 5a Trang 4
5.  Tìm cách giải: Do b 4a; a 504,5; a 403,6; b 5a nên các mẫu số trong B trước và sau khi biến đổi đều khác 0. Mặt khác, a b 2018 nên ta có thể thay 2018 a b trong biểu thức hoặc biểu diễn a theo b; b theo a từ a b 2018 . Từ đó có một số cách giải sau: Giải  Cách 1: Thay 2018 a b vào B, ta có: 4a b 4a a b 4a b 5a b B 1 1 2 . 5a a b 5a b 4a b 5a b 5a a b 4a 2018 5a a b 4a 2018  Cách 2: Biến đổi B 5a 2018 4a a b 5a 2018 4a a b 5a 2018 4a 2018 Thay x y 8 ta có B 1 1 2 5a 2018 4a 2018  Cách 3: Từ a b 2018 a 2018 b và thay vào B, ta có: 4 2018 b b 4 2018 b 2018 8072 5b 10090 4b B 1 1 2 5 2018 b 2018 5 2018 b b 8072 5b 10090 4b  Cách 4: Từ a b 2018 b a 2018 và thay vào B, ta có: 4a a 2018 4a 2018 5a 2018 4a 2018 B 1 1 2 5a 2018 5a a 2018 5a 2018 4a 2018 Ví dụ 7: Tìm giá trị các biến để: 2016 a) Biểu thức có giá trị bằng 1; 3x 2019 b) t 4 4 x3 1 y2 9 z 6 có giá trị bằng 0; c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10.  Tìm cách giải: 2016 2016 a) có giá trị bằng 1 có nghĩa là 1 (hoặc là 2016 3x 2019 ). 3x 2019 3x 2019 b) Một tích bằng 0 khi ít nhất 1 thừa số bằng 0. c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10 nghĩa là z2 8z 0 . Giải a) 3x 2016 2019 3x 4035 x 1345 . b) Do t 4 4 0 với mọi giá trị của t nên t 4 4 x3 1 y2 9 z 6 0 3 x 1 0 x 1 x 1 2 2 y 9 0 y 9 y 3 z 6 0 z 6 z 6 Trang 5
6. c) z2 8z 10 10 z2 8z 0 z z 8 0 z 0 z 0 Suy ra z và z 8 phải cùng dấu nghĩa là z 8 z 8 0 z 8 z 0 z 0 hoặc z 0 z 8 0 z 8 2 z 8 Vậy để z 8z 10 có giá trị lớn hơn 10 thì . z 0 Ví dụ 8: Cho a.b.c.d 0; a b c 0 và c 3d . a b c c Tính giá trị của biểu thức M 1 1 1 1 b c a d  Tìm cách giải: Do a.b.c.d 0 nên a, b, c, d đều khác 0. a b a b c b c a c Ta có: 1 ; 1 ; 1 b b c c a a Với c 3d và từ a b c 0 c b a; a c b; c b a thay vào biểu thức ta có cách giải sau: Giải b a c b a c 3d c a b M . . . 1 . . . 2 1 . 2 2 b c a d b b a C. Bài tập áp dụng 15.1. Tìm các cặp giữa biểu thức đại số a), b) . với các diễn đạt tương ứng 1); 2); 2 5a 5b a) 1) Bình phương hiệu các bình phương của a và b 3 3p3 b) 2) Lập phương tích của 3 và x bình phương 3 3x2 c) 3) Hiệu của 5a và bình phương của 5b x y x y d) 4) Bình phương của hiệu hai số 2a và b 2 a2 b2 e) 5) Tổng của 3 với 3 lần lập phương của p 2 2a b g) 6) Tích của hiệu hai số x và y với tổng của chúng 15.2. Viết các biểu thức đại số biểu thị: a) Hiệu giữa bình phương của a với 2 lần tích của b và c; b) Bình phương hiệu các lập phương của x và y ; c) Hiệu giữa lập phương của tổng các bình phương của a và b với hiệu các lập phương của chúng; d) Tích của tổng hai số x và y với hiệu các bình phương của chúng. Trang 6
7. 15.3. Tính giá trị của biểu thức P 6x2 4,5xy 3 tại: a) x 2; y 5 ; b) x 3; y 2 ; c) x 5 y 2 0 . 15.4. Viết các biểu thức đại số biểu thị: a) Tổng A chu vi hình vuông cạnh a với chu vi tam giác đều cạnh b. Tính giá trị của A với a 8cm; b 9cm ; b) Hiệu B diện tích hình vuông cạnh c với diện tích hình chữ nhật cạnh c và d. Tính giá trị của B với 8 1 c dm; d dm ; 9 3 c) Hiệu C giữa diện tích hình thang hai đáy e, g đường cao h với diện tích tam giác cạnh đáy e, đương cao tương ứng h. Tính giá trị của C với e 18,4m; g 16,5m; h 6,8m ; 3 d) Tổng D diện tích hai hình tròn bán kính r và r . Tính giá trị của D với r m và 1 2 1 4 r2 0,5m; 3,14 . 15.5*. Với n là số tự nhiên: a) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng P của 100 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ n. Tính giá trị của P khi n 10 ; b) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng Q của 10 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Tìm 10 số lẻ đó biết Q 200 ; c) Biết tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 36. Tính giá trị của H là hiệu các bình phương của số lớn nhất và số nhỏ nhất trong ba số đó. 15.6. Tính giá trị các biểu thức sau: 2 1 1 a) E 2x 3y 5z tại x ; y ; z 5 3 2 b) F 2x2 4 y 3z tại x 2; y 3; z 4 c) G 2 x 5 2xy2 3z3 tại x 3; y 2; z 1 . 15.7. Giữa một cái sân hình vuông cạnh a (mét) người ta xây một vườn hoa hình vuông có cạnh b (mét) ( a b ), a) Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích S còn lại của sân. Trang 7
8. b) Viết biểu thức đại số biểu diễn số viên gạch cần mua N để lát kín sân nếu gạch hình hộp chữ nhật, mặt hình chữ nhật của viên gạch để lát trên sân có kích thước dài c(m); rộng d(m); c) Tính N nếu a 40m; b 12m; c 0,2m; d 0,1m . 15.8. Một bể nước có ba vòi chảy vào và một vòi chảy ra. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào x lít nước. Vòi thứ hai cứ hai phút chảy vào y lít nước. Vòi thứ ba cứ ba phút chảy vào z lít nước. Vòi thứ tư chảy ra cứ bốn phút chảy mất t lít nước. a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước V có thêm trong bể sau khi mở cả 4 vòi trong thời gian a phút; b) Tính giá trị của V nếu x 20; y 60; z 45; t 40 và a 15 . 15.9. Tính giá trị của các biểu thức đại số sau: 9a 8b a 5 a) A biết ; 8a 9b b 6 3a b 6a 2b 2018 2018 b) B với 2a b 2018; a ; a 4b ; 5a 2018 4a b 5 6a 2b 3b a c) C với a b 2018 và a 1009; b 1009 . 2a 2018 2b 2018 9x2 5y2 15.10. Tính giá trị của biểu thức M 18x2 5y2 x2 y2 a) Với và x 0; y 0 ; 5 9 x 1 b) Với . y 3 15.11. Tìm giá trị các biến để: a) Biểu thức A x 5 y2 16 z3 1 có giá trị bằng 0; b) Biểu thức B x2 2 2xy 2016 có giá trị bằng 2018; x2 3x 14 c) Biểu thức C có giá trị nhỏ hơn giá trị của x 7 ; 2 x 6 15.12. Cho biểu thức đại số D . x 3 Tìm giá trị nguyên của x để D có giá trị nguyên. Trang 8
9. 15.13. Cho a.b.c.d 0; a b c 0 và c 3d . a b c a b Tính giá trị của biểu thức: E 1 1 1 5 b c a d 15.14. Tính giá trị của biểu thức G x y x 6 y 6 biết rằng: x y 6 0 và xy 8 15.15*. Tính giá trị biểu thức E a b2 a2 2b3 a3 3b4 a2017 2018b2019 tại: a) a 4; b 2 ; b) a 1; b 0 . 2 2 3 15.16. Cho a 3 và b 4 1 1 3 1 1 2 2 Tính giá trị các biểu thức: 2 b a) M b ; 2 a a a b b) P a b . a b a a b a a Trang 9
10. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 15.1. Các cặp là: a) với 3); b) với 5); c) với 2); d) với 6); e) với 1); g) với 4). 15.2. a) a2 2bc 2 b) x3 y3 3 c) a2 b2 a3 b3 d) x y x2 y2 15.3. a) P 72 ; b) Xét 4 trường hợp: x 3 x 3 Với thì P 30 ; với thì P 84 ; y 2 y 2 x 3 x 3 với thì P 84 ; với thì P 30 ; y 2 y 2 x 5 0 x 5 c) x 5 y 2 0 y 2 0 y 2 Do đó P 198 15.4. a) A 4a 3b ; Giá trị của A là 59 (cm). 40 b) B c2 cd ; Giá trị của B là (dm2) 81 e g h eh c) C ; Giá trị của C là 56,1 (m2) 2 2 .13 d) D r 2 r 2 ; Giá trị của D là 2,55 (m2) 1 2 16 15.5. Với n N a) P n n 1 n 2 n 98 n 99 P 100n 1 99 .99:2 hay P 100n 4950 ; Trang 10
11. Tại n 10 thì P 1000 4950 5950 . b) Số tự nhiên lẻ có dạng 2n+1; hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên: Q 2n 1 2n 3 2n 17 2n 19 Q 20n 100 Ta có: Q 20n 100 200 n 5 . Vậy 10 số lẻ liên tiếp đó là 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29. c) Gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là 2n, hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên tổng ba số là: 2n 2n 2 2n 4 36 n 5 số chẵn nhỏ nhất trong ba số là 2n 10 H 142 102 96 . (Chú ý: Ở câu c) ta có thể gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là a. Ta có a a 2 a 4 36 a 10 H 142 102 96 ). 15.6. a) E 4,3 ; b) Do z 4 nên z 4 . Tại x 2; y 3; z 4 thì F 8 ; Tại x 2; y 3; z 4 thì F 16 . c) Do x 3 nên x 3 ; Tại x 3; y 2; z 1 thì G 2. 3 5 2.3. 2 2 3 1 3 23 ; Tại x 3; y 2; z 1 thì G 2. 3 5 2. 3 . 2 2 3 1 3 37 . 15.7. a) S a2 b2 . a2 b2 b) N . c.d 402 122 c) Với a 40m; b 12m; c 0,2m; d 0,1m thì N 72800 (viên gạch). 0,2 0,1 15.8. y z t a) V a x 2 3 4 Trang 11
12. 60 45 40 b) V 15. 20 825 (lít nước). 2 3 4 15.9. 3 a) A (cách giải như ví dụ 5). 14 b) Thay 2018 2a b vào biểu thức B ta có B 2 c) Lưu ý 2a 2018 2a a b 3a b và 6a 2b 2 3a b . Mặt khác: 3b a 3b 2018 b 2b 2018 . Do đó C 2 1 1 .  Chú ý: Bài có nhiều cách giải 15.10. Bài có nhiều cách giải. Sau đây là một cách: x2 y2 5y2 5y2 10y2 a) Từ 9x2 5y2 . Do đó M 2 . 5 9 10y2 5y2 5y2 x 1 y2 5y2 6y2 b) Từ y2 9x2 . Do đó M 2 . y 3 2y2 5y2 3y2 15.11. x 5 0 2 a) A 0 y 16 0 . Đáp số: x; y; z 5; 4; 1 ; x; y; z 5; 4; 1 3 z 1 0 b) x2 2 2xy 2016 2018 x2 2xy 0 x x 2y 0 x 0 . x 2y c) C x 7 x x 5 0 0 x 5 . 9 15.12. D 1 ; D Z khi x 3 là ước số của 9 x 12; 6; 4; 2; 0; 6 . x 3 b a c b a c c c a b 15.13. .E . . . 5 . . . 3 5 8 b c a d b c a 15.14. Từ x y 6 0 suy ra x y 6; x 6 y; y 6 x . Vậy G 48 . Trang 12
13. 15.15*. a) E 0 vì tại a 4; b 2 thì a2 2b3 42 2.23 0 . b) E 1 1 2 . 1 3 1 2016 . 1 2017 1 . 2017 1 2016 2 vì có 1 1009 thừa số (-1) và 1 1008 thừa số (+1). 2 2 15.16. Tính được a 5; b 2 . 15 1169 Thay vào a) M ; b) P . 23 155 Trang 13