Đề thi olympic - Môn thi: Toán khối 7

Nội dung text: Đề thi olympic - Môn thi: Toán khối 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 HUYỆN THANH OAI Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1 (5 điểm) a c 3a 6 c6 (a c)6 a, Cho = . Chứng minh rằng: = (b +d 0) b d 3b6 d 6 (b d)6 b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8. Câu 1 (3 điểm) a, Tính giá trị của biểu thức: 2a 5b với a = 3 . a 3b b 5 b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3. Câu 3 (3 điểm) a, Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c. b, Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm. Câu 4 (2 điểm) x 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = với x là số nguyên. x Câu 5 (7 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. Hết
2. ĐÁP ÁN CHẤM OLYMPIC TOÁN LỚP 7 Câu Nội dung Điểm a c a c a c 1. a, Từ = = = (5điểm) b d b d b d 0,5đ 6 6 6 a c a c a 6 c6 (a c)6 = = = = b d b d b6 d 6 (b d)6 1,0đ 3a 6 c6 (a c)6 3a 6 c6 (a c)6 = = = 3b6 d 6 (b d)6 3b6 d 6 (b d)6 1,0đ b, Gọi hai số phải tìm là a, b (a > b > 0), theo đầu bài ta có: 15(a + b) = 60(a – b) = 8ab. 0,5đ Hay: a b = a b = ab = k. Giải ra được k = 1. 1,0đ 8 2 15 1,0đ a = 5; b = 3 2. a 2 5 3 (3điểm) 2. 5 a, 2a 5b = b = 4 = 14 . a 3b a 3 9 1,0đ 3 3 b 4 b, Theo đề bài: ab = 2, bc = 6 và ac = 3 ta có: ab . bc . ac = 2 . 6 . 3 a2b2c2 = 36 (abc)2 = 36 abc = 6 0,5đ - Trường hợp 1: abc = 6 mà ab = 2, nên c = 3 abc = 6 mà bc = 6, nên a = 1 abc = 6 mà ac = 3, nên b = 2 0,5đ - Trường hợp 2: abc = - 6 mà ab = 2, nên c = - 3 abc = - 6 mà bc = 6, nên a = - 1 abc = - 6 mà ac = 3, nên b = - 2 0,5đ a 1 a 1 Vậy b 2 ; b 2 0,5đ c 3 c 3 3. a, 3a + 5b = 8c (3điểm) 3a - 3b = 8c – 8b 3(a – b) = 8(c – b) Do đó 3(a – b)  8, từ đó a – b  8 Do a b nên a – b 8; 8 0,5đ - Trường hợp: a – b = 8 cho c – d = 3, ta có: a = 8; b = 0; c = 3 a = 9; b = 1; c = 4. 0,5đ - Trường hợp: a – b = - 8 cho c – b = 3, ta có: 0,25đ a = 1; b = 9; c = 6. Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803, 914, 196. 0,75đ
3. b, x2 + 4x + 10 = x2 + 2x +2x +4 + 6 = (x + 2)2 + 6 > 0 với mọi x. 0.75đ Do đó đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm. 0,25đ 4. Xét các trường hợp: (2điểm) +) x -2 thì A 0. 0,5đ +) x = -1 thì A = 1. 0,5đ x 2 2 +) x 1 khi đó: A = = 1 + . x x 2 A lớn nhất lớn nhất. x 2 Vì x là số nguyên dương, nên: lớn nhất x nhỏ nhất, tức là x x 0,5đ = 1, khi đó A = 3. Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi x = 1 0,5đ 5. a, (7điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 1,0đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C. 1,0đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. 0,5đ - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,5đ 0,5đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,5đ - Suy ra AK = KI b, Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 1đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 1đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H 0,5đ K O G B F I C