Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 11: Đại lượng tỉ lệ thuận

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 11: Đại lượng tỉ lệ thuận

1. CHƯƠNG II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ 11. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa: Nếu đại lương y liên hệ với đại lượng x theo công thức y kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. 2. Chú ý: * Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ thuận với nhau. 1 * Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số . k * Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 , y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 thì z tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1.k2 . 3. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì: * Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi: y y y 1 2 3 k. x1 x2 x3 * Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x y x y 1 1 ; 1 1 ; x2 y2 x3 y3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thời gian t (giờ) và quãng đường s (km) trong một chuyển động: Thời gian t (giờ) 0,8 1,2 1,5 2,5 4 Quãng đường s (km) 20 30 37,5 62,5 100 a) Hai đại lượng quãng đường s (km) và thời gian t (giờ) có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? b) Tính quãng đường đi ứng với thời gian 6 giờ 30 phút? c) Nếu quãng đường là 90 km thì thời gian đi là bao nhiêu ?  Tìm cách giải: Dựa vào tính chất để kết luận: ta nhận thấy: 20 30 37,5 62,5 100 25 0,8 1,2 1,5 2,5 4 Nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi. Từ đó tìm ra công thức và tính s với t = 6 giờ 30 phút = 6,5 giờ và tính t với s = 90 km. Giải Trang 1
2. s 20 30 37,5 62,5 100 a) Ta có: 25. t 0,8 1,2 1,5 2,5 4 s Ta thấy tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi 25 s 25t nên đại lượng t s tỉ lệ thuận với đại lượng t. b) Với t = 6,5 (giờ) thì s 25.6,5 162,5 km . c) Với s 90 km thì t 90 : 25 3,6(giờ) = 3 giờ 36 phút.  Chú ý: Đây chính là bài toán thể hiện quan hệ giữa ba đại lượng quãng đường (s), thời gian (t) và vận tốc (v) của một động tử mà quan hệ là s v.t . Trong bài toán chuyển động đều cùng vận tốc v thì s và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận (nếu cùng thời gian t thì s và v cũng là hai đại lượng tỉ lệ thuận). Ví dụ 2: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau: Bảng I x 1 2 3 4 6 y 2 3 5 6 10 Bảng II x -2 -3 -4 -6 1 y 6 9 12 18 -3 a) Trong bảng nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau? b) Trong trường hợp hai đại lượng tỉ lệ thuận, hãy tìm x biết y 18 ; tìm y biết x 15 .  Tìm cách giải: a) Ta tìm tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y nếu chúng luôn không đổi thì y tỷ lệ thuận với x. Còn nếu xét hai tỷ số giữa hai cặp giá trị tương ứng nào đó của hai đại lượng mà khác nhau ta kết luận luôn hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau. b) Ta tìm hệ số tỷ lệ k, tìm công thức y kx rồi tính ra số cần tìm. Giải 2 3 a) Trong bảng I ta có ; nên y và x không tỉ lệ thuận với nhau. 1 2 6 9 12 18 3 b) Trong bảng II ta có 3 nên y và x tỉ lệ thuận với nhau. Suy ra k 3 2 3 4 6 1 và y 3x . + Với y 18 thì 18 3x x 18 : 3 6 + Với x 15 thì y 3.15 y 45 . Ví dụ 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. a) Biết hiệu hai giá trị nào đó của x là 2 và hiệu hai giá trị tương ứng của y là 12. Hỏi hai đại lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức nào? Trang 2
3. b) Từ đó điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau: 1 x -5 -2,5 0 2 1 y 0 3 6 18 2  Tìm cách giải: a) Biết hiệu hai giá trị của x giả sử x1 x2 2 và hiệu hai giá trị tương ứng của y là y1 y2 12 ta nghĩ đến sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm hệ số tỉ lệ k y kx . b) Từ công thức y kx x y : k rồi tính ra số cần điền vào ô trống. Giải a) Gọi hai giá trị của x là x1 và x2 với x1 x2 2 và hai giá trị tương ứng của y là y1 và y2 . Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: y y y y 12 k 1 2 1 2 6. x1 x2 x1 x2 2 Vậy công thức liên hệ là y 6x . b) Từ công thức y 6x x y : 6. Kết quả các số điền vào bảng như sau: 1 1 1 x -5 -2,5 0 1 3 2 12 2 1 y -30 -15 -3 0 3 6 18 2 Ví dụ 4: 15 lít dầu hỏa có khối lượng 12kg. Hỏi 1 thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng bao nhiêu kg? (không kể khối lượng vỏ thùng) * Tìm cách giải: Đại lượng dung tích dầu hỏa (x) tỉ lệ thuận với khối lượng dầu hỏa (y). Đại lượng x có hai giá trị x1 15 (lít); x2 55 (lít). Đại lượng y có hai giá trị tương ứng là y1 12 (kg) và y2 là y y giá trị cần tìm. Dựa vào tính chất 1 2 để tính khối lượng dầu cần tìm. x1 x2 Giải Gọi khối lượng dầu cần tìm là y2 kg; y2 0 . Do khối lượng dầu hỏa tỉ lệ thuận với dung tích của nó nên ta có: 12 y 12 2 y 55. 44 kg . 15 55 2 15 Vậy thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng 44 kg. Trang 3
4. Ví dụ 5: Cho y tỉ lệ thuận với x. Biết hiệu hai lập phương của hai giá trị y1 và y2 là 1216 và hiệu hai lập phương của hai giá trị tương ứng x1 và x2 là 19. a) Hãy viết công thức liên hệ giữa y và x. 3 3 b) Tính y3 y4 biết x3 2 và x4 3 3 3 yi yi yi 3  Tìm cách giải: Ta biết nếu k thì 3 k . Hiệu hai lập phương của hai giá trị y1 và xi xi xi 3 3 3 3 y2 là y1 y2 1216 và hiệu hai lập phương của hai giá trị tương ứng x1 và x2 là x1 x2 19 . Sử dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có cách giải sau: Giải y y a) Theo đầu bài vì y tỉ lệ thuận với x nên 1 2 k . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x1 x2 3 3 3 3 3 y1 y1 y1 y2 1216 3 k 3 3 3 3 64 4 x1 x1 x1 x2 19 k 4. Do đó ta có công thức y 4x . b) Với x3 2 thì y3 4.2 8 ; với x4 3 thì y4 4. 3 12 3 3 3 3 Do đó y3 y4 8 12 512 1728 1216 . Ví dụ 6: Một ô tô chạy từ A lúc 5 giờ sáng đến B lúc 9 giờ. Một xe máy chạy từ B cũng vào lúc 5 giờ sáng và đến A lúc 13 giờ. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?  Tìm cách giải: Ta có thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 9 giờ - 5 giờ = 4 giờ thì 1 giờ xe ô tô 1 đi được quãng đường AB. Xe máy đi quãng đường BA hết 13 giờ - 5 giờ = 8 giờ thì 1 giờ xe máy 4 1 đi được quãng đường AB. Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ 8 lệ thuận. Nên nếu gọi t là thời gian hai xe gặp nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; v1 là vận tốc ô tô; s2 là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô; v2 là vận tốc xe máy. Ta s1 s2 có t và s1 s2 chính là quãng đường AB. Từ đó có cách giải sau: v1 v2 Giải Coi quãng đường AB là đơn vị quy ước 1 . Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 9 – 5 = 4 1 (giờ) thì vận tốc xe ô tô là v (quãng đường AB/giờ). Xe máy đi quãng đường BA hết 13 – 5 = 8 1 4 1 (giờ) thì vận tốc xe máy là v (quãng đường AB/giờ). Gọi t là thời gian hai xe phải đi để gặp 2 8 Trang 4
5. nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô ta có s1 s2 1 . Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó: s s s s 1 1 8 2 t 1 2 1 2 2 (giờ) = 2 giờ 40 phút. v v v v 1 1 3 3 3 1 2 1 2 4 8 8 Vậy hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 40 phút.  Chú ý: Ta có cách giải khác: Nếu gọi độ dài quãng đường AB là a (km) thì vận tốc của vận tốc xe a a ô tô là v (km/giờ); vận tốc xe máy là v (km/giờ). Gọi t là thời gian hai xe phải đi để gặp 1 4 2 8 nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô, ta có: s1 s2 a . s s s s 1 a 8 2 Ta có: t 1 2 1 2 2 (giờ) = 2 giờ 40 phút. v v v v a a 3.a 3 3 1 2 1 2 4 8 8 Ví dụ 7: Cho ABC có số đo các góc µA, Bµ,Cµ lần lượt tỉ lệ với 2,3,5 . Tính số đo các góc của ABC .  Tìm cách giải: Ta có: µA Bµ Cµ 180 và do số đo các góc µA, Bµ,Cµ lần lượt tỉ lệ với 2,3,5 nghĩa µA Bµ Cµ là . Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải sau: 2 3 5 Giải µA Bµ Cµ µA Bµ Cµ 180 Ta có: 18 2 3 5 2 3 5 10 Suy ra µA 2.18 36; Bµ 3.18 54; µC 5.18 90  Chú ý: Bài toán trên thuộc dạng chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước. Phương pháp chung để giải các bài toán dạng đó là: Giả sử phải chia một số t thành n phần t1 ,t2 , ,tn tỉ lệ thuận với các số a1 ,a2 , ,an (khác 0) với n ¥ ;n 1 ta làm như sau: t t t t t t t 1 2 n 1 2 n k a1 a2 an a1 a2 an 1 a2 an Từ đó có t1 ka1;t2 ka2 ; ;tn kan . Ví dụ 8: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ lần lượt với 5; 4; 3; 2. Biết rằng 5 lần số cây của lớp 7A trồng cộng với 4 lần số cây lớp 7B trồng nhiều hơn ba lần tổng số cây của 7C và 7D trồng là 520 cây. Tìm số cây mỗi lớp đã trồng. Trang 5
6.  Tìm cách giải: Nếu số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là x, y, z,t ta có 5x 4y 3 z t 520. x y z t 5x 4z 3y 3t Mặt khác 5 4 3 2 25 16 9 6 Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta tìm được hệ số tỉ lệ. Từ đó tìm được x; y; z;t . Giải Gọi số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là: x, y, z,t x, y, z,t N thì x y z t 5x 4z 3y 3t k . 5 4 3 2 25 16 9 6 Theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: x y z t 5x 4z 3y 3t 5x 4y 3 y t 520 k 20 5 4 3 2 25 16 9 6 25 16 9 6 26 Suy ra x 5k 100; y 4k 80; z 3k 60;t 2k 40. Vậy số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là: 100 cây; 80 cây; 60 cây; 40 cây. Ví dụ 9: a) Một số A được chia làm 4 phần a, b, c, d biết rằng a và b tỉ lệ với 5 và 6; b và c tỉ lệ với 8 và 9; c và d tỉ lệ với 3 và 2 và c hơn d là 27. Tìm A? 1 2 3 4 5 b) Một số B được chia làm năm phần x; y; z;t;u biết rằng x : y : z : t : u : : : : và 2 3 4 5 6 x 135 z . Tìm B? 4 3  Tìm cách giải: a 5 a b a) a và b tỉ lệ với 5 và 6 nghĩa là ; hay ; b 6 5 6 b 8 b c b và c tỉ lệ với 8 và 9 nghĩa là hay . c 9 8 9 Để có thể lập được thành dãy tỉ số bằng nhau, ta nhận thấy BCNN 6;8 24 do đó ta biến đổi a 5 20 a b ; b 6 24 20 24 b 8 24 b c a b c Tương tự từ đó suy ra . c 9 27 24 27 20 24 27 Tiếp tục với c và d ta lập được dãy tỉ số bằng nhau. 1 2 3 4 5 30 40 45 48 50 b) Từ x : y : z : t : u : : : : : : : : 2 3 4 5 6 60 60 60 60 60 x 135 z 30 : 40 : 45 : 48 : 50 và 3x 4z 540 . Ta áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 4 3 Trang 6
7. Giải a 5 20 a b a) Theo bài ra, ta có: 1 b 6 24 20 24 b 8 24 b c 2 c 9 27 24 27 c 3 27 c d và 3 d 2 18 27 18 a b c d c d 27 Từ (1); (2); (3) suy ra: 3. 20 24 27 18 27 18 9 a b c d a b c d A Do đó 3 A 267. 20 24 27 18 20 24 27 18 89 x 135 z b) 3x 4z 540 . 4 3 1 2 3 4 5 30 40 45 48 50 Ta có x : y : z : t : u : : : : : : : : 2 3 4 5 6 60 60 60 60 60 30 : 40 : 45 : 48 : 50 x y z t z 3x 4z 3x 4z 540 Do đó 2 30 40 45 48 50 90 180 90 180 270 x 60; y 80; z 90;t 96;u 100. Vậy B 60 80 90 96 100 426. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 11.1. Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thể tích V cm3 với khối lượng m (g) của sắt: Thể tích V cm3 2 2,4 4 5 6 Khối lượng m (g) 15,7 18,84 31,4 39,25 47,1 a) Chứng tỏ hai đại lượng khối lượng m (g) và thể tích V cm3 là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Viết công thức? b) Tính khối lượng của 3cm3 sắt. c) Một khối lượng 125,6 g sắt có thể tích bao nhiêu? 11.2. Cùng năng suất lao động thì số lượng sản phẩm K (chiếc áo) và thời gian t (ngày) của một xưởng may là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hãy điền vào ô trống các số thích hợp trong bảng sau: Thời gian t (ngày) 4 5 15 Số lượng K (chiếc áo) 360 720 1440 11.3. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau: Trang 7
8. x -3 -2 2 4 5 Bảng I y -6 -1 2,5 8 10 x -3 -2 2 4 5 Bảng II y -1,5 -1 1 2 2,5 a) Trong bảng nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau? b) Trong trường hợp có tương quan tỉ lệ thuận, hãy tìm x biết y 60 ; tìm y biết x 0,8 . 11.4. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. a) Biết tổng hai giá trị nào đó của x là 673 và tổng hai giá trị tương ứng của y là 2019. Hỏi hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào? b) Từ đó điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (với a 0 ): 3 a x -3 2 4 3 3 y 6 -3 -3b 2 11.5. Cho x tỉ lệ thuận với y theo hệ số k1 ; y tỷ lệ thuận với z theo hệ số k2 ; z tỉ lệ thuận với t theo hệ số k3 . Chứng minh x tỉ lệ thuận với t. Tìm hệ số tỉ lệ của t với x. 11.6. Một đoạn dây đồng dài 2,5 m có khối lượng 8,4 kg. Hỏi 80 m dây đồng như thế nặng bao nhiêu kg? 11.7. Một thửa ruộng hình chữ nhật có 2 cạnh tỉ lệ với 5 và 8. Biết chiều dài hơn chiều rộng là 18m. a) Tìm diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó. b) Người ta trồng lúa trên thửa ruộng đó, biết rằng cứ 25m thu2 hoạch được 20kg thóc. Hỏi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu kg thóc? 11.8. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận; x1 và x2 là hai giá trị khác nhau của x và y1 và y2 là các giá trị tương ứng của y. 2 5 a) Tìm x biết x 5; y và y ; 1 2 1 3 2 9 b) Tính x2 và y2 biết y2 x2 8; x1 6,2; y1 3,8. 11.9*. Cho x; y; z tỉ lệ thuận với 3;4;5 . Tính giá trị biểu thức: 2 x y z A 2018 x y y z 504,5 . 6 Trang 8
9. 11.10*. Cho 24a 30b; 40c 24a; 30b 40c tỉ lệ thuận với 2018; 2019; 2020 . Biết a b c 2016 . Tìm a;b;c . 11.11. Cho y tỉ lệ thuận với x. Biết hiệu hai bình phương của hai giá trị y1 và y2 là 128 và hiệu hai bình phương của hai giá trị tương ứng x1 và x2 là 8. a) Hãy viết công thức liên hệ giữa y và x; 2 2 b) Tính y3 y4 biết x3 3 và x4 8 . 11.12*. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ M và N cách nhau 55 km và đến P cùng một lúc (ba địa điểm M, N, P nằm trên một đường thẳng). Vận tốc của ô tô đi từ M là 50km/h, vận tốc ô tô đi từ N là 60km/h. Tính quãng đường mà hai ô tô đã đi. 11.13*. Cùng lúc 7 giờ sáng một ô tô chạy từ A và đến B lúc 8 giờ 30 phút, một xe đạp điện chạy từ B đến A lúc 10 giờ. Một xe đạp khởi hành từ A lúc 6 giờ và đến B lúc 12 giờ. Hỏi: a) Xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau lúc mấy giờ? b) Xe ô tô gặp xe đạp lúc mấy giờ? 11.14. Lúc 6 giờ sáng trên quãng đường AB dài 93km, người đi xe máy thứ nhất đi từ A đến B có 3 vận tốc bằng vận tốc người đi xe máy thứ hai đi từ B đến A. Đến lúc gặp nhau thời gian người đi 4 5 xe máy thứ nhất bằng thời gian người đi xe máy thứ hai. 4 Tính quãng đường mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau. 11.15. Một ca nô khi nước yên lặng có vận tốc là 30km/h. Với cùng thời gian ca nô xuôi dòng 99km thì ca nô ngược dòng được bao nhiêu km biết một cụm bèo trôi trên dòng sô ng 9km trong 3 giờ. 11.16. Một ô tô khách và một ô tô tải cùng khởi hành lúc 8 giờ sáng từ hai đầu quãng đường AB dài 100km. Ô tô khách đi từ A đến B với vận tốc 750m/phút. Ô tô tải đi từ B đến A sau 2 giờ đi được 70km. Gọi M là trung điểm của AB. a) Hỏi đến mấy giờ thì ô tô tải cách M một khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M? b) Nếu đi tiếp với vận tốc ấy thì sau mấy giờ nữa thì ô tô khách đến B? 11.17. Ba tổ sản xuất của một xí nghiệp cùng sản xuất một loại sản phẩm với năng suất lao động của mỗi công nhân đều như sau. Tổ một có 12 người trong 9 ngày sản xuất được 540 sản phẩm. Tổ hai có 18 người trong 8 ngày; tổ ba có 10 người làm trong 4 ngày. Hỏi tổ hai và ba mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? 1 2 3 4 11.18. Một số dương A được chia làm bốn phần đều dương tỉ lệ với ; ; ;và tổng các bình 2 3 4 5 phương của bốn phần ấy là 23716. Tìm số A. Trang 9
10. 11.19*. Bốn túi đường có tổng cộng 375 kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở túi thứ nhất; 2kg ở túi 1 thứ hai; 3kg ở túi thứ ba; 4kg ở túi thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy tiếp đi số kg đường còn lại của 5 1 1 1 túi thứ nhất, số kg đường còn lại của túi thứ hai; số kg đường còn lại của túi thứ ba, số kg 4 3 2 đường còn lại của túi thứ tư thì số kg đường còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn túi bằng nhau.Tìm số kg đường mỗi túi lúc đầu. 11.20. Cho ba số x, y, z tỉ lệ thuận lần lượt với 2009;2010;2011 a) Chứng minh rằng x z 3 8 x y 2 y z ; x y z b) Cho biết . Tính x, y, z . 26 4 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ m 15,7 18,84 31,4 39,25 47,1 11.1. a) Ta nhận thấy: 7,85 g / cm3 V 2 2,4 4 5 6 nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi nên hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Từ đó m 7,85.V. b) Với V 3 cm3 thì m 7,85.3 23,55 g . c) Với m 125,6 g thì V 125,6 : 7,85 16 cm3 . 720 11.2. Ta có k 180 (chiếc áo/ngày) K kt và t K : k . Ta sẽ có 4 Thời gian t (ngày) 2 4 5 8 15 Số lượng K (chiếc áo) 360 720 900 1440 2700 11.3. 6 2,5 a) Trong bảng I hai giá trị tương ứng của hai đại lượng là ta kết luận luôn hai đại lượng 3 2 không tỉ lệ thuận với nhau. Trong bảng II tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y và x luôn không đổi 1,5 1 1 2 2,5 0,5 nên ta có y tỷ lệ thuận với x. 3 2 2 4 5 b) Trong bảng II ta suy ra k 0,5 và y 0,5x . Với y 60 thì 60 0,5x x 60 : 0,5 120. Với x 0,8 thì y 0,8.0,5 y 0,4. 11.4. Trang 10
11. a) Biết tổng hai giá trị của x giả sử x1 x2 673 và tổng hai giá trị tương ứng của y là y1 y2 2019 . Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: y y y y 2019 k 1 2 1 2 3. x1 x2 x1 x2 673 Vậy công thức liên hệ là y 3x. b) Từ công thức y 3x x y : 3 . Kết quả điền số: 1 3 a x -3 -2 1 2 b 2 4 3 3 9 y 9 6 -3 -6 -3b a 2 4 11.5. Ta có x k1 y; y k2 z; z k3t x k1k2 k3t. Nghĩa là x tỉ lệ thuận với t theo hệ số k1k2 k3 . 1 Do đó t tỉ lệ thuận với x theo hệ số . k1k2 k3 11.6. Gọi khối lượng dây đồng cần tìm là y2 . Do khối lượng dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của nó nên ta có: 8,4 2,5 y2 8,4 : 80 : 2,5 268,8 y2 80 Vậy 80m dây đồng nặng 268,8 kg. 11.7. a) Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), chiều rộng là y (m) x, y 0 thì x y 18 . Ta có x y x y 18 6 x 48; y 15. 8 5 8 5 3 Diện tích thửa ruộng là 48.15 720 m2 . b) Số thóc thu hoạch và số m2 ruộng là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó nếu gọi số thóc thu hoạch là x kg x 0 . 25 20 Ta có: x 720.20 : 25 576 kg . 720 x 11.8. Trang 11
12. 2 .5 y1 y2 y1.x2 3 a) x1 6 . x1 x2 y2 5 9 y x y x 8 b) 2 2 2 2 0,8 . y1 x1 y1 x1 3,8 6,2 Vậy: x2 0,8 . 6,2 4,96 y2 0,8 .3,8 3,04. x y z 11.9*. Do x; y; z tỉ lệ thuận với 3;4;5 nên ta đặt k 3 4 5 x 3k; y 4k; z 5k . Ta có: 2 3k 4k 5k A 2018 3k 4k 4k 5k 504,5. 6 2 12k 2018 k k 504,5. 6 2018k 2 504,5.4k 2 2018k 2 2018k 2 0 11.10*. 24a 30b; 40c 24a; 30b 40c tỉ lệ thuận với 2018;2019;2020 nên: 24a 30b 40c 24a 30b 40c 24a 30b 40c 24a 30b 40c 0 2018 2019 2020 2018 2019 2020 a b Do đó 24a 30b 0 4a 5b hay 1 5 4 a c 40c 24a 0 5c 3a hay 2 5 3 a b c a b c 2016 Từ (1) và (2) suy ra: 168. 5 4 3 5 4 3 12 Vậy a 840;b 672;c 504. 11.11. 2 2 yi yi yi 2 2 2 2 2 a) Ta biết nếu k thì 2 k . Ta có: y1 y2 128 và x1 x2 8 . Theo đầu bài vì y tỉ xi xi xi y y lệ thuận với x nên 1 2 k . x1 x2 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 2 2 2 2 y1 y1 y1 y2 128 2 k 2 2 2 2 16 4 x1 x1 x1 x2 8 k 4 hoặc k 4 . Do đó ta có công thức y 4x hoặc y 4x . Trang 12
13. b) Với x3 3 thì y3 4.3 12; Với x4 8 thì y4 4. 8 32. 2 2 2 2 Do đó y3 y4 12 32 144 1024 880. * 11.12 . Gọi quãng đường đi được của hai xe là SM và SN . Có hai trường hợp xảy ra: 1) Địa điểm P nằm giữa M và N. Do thời gian đi của hai xe bằng nhau nên quãng đường đi và vận tốc của hai xe là tỉ lệ thuận. Ta có: S S S S 55 M N M N 0,5 . 50 60 50 60 110 Vậy SM 0,5.50 25 km ;SN 0,5.60 30 km . 2) Địa điểm P không nằm giữa M và N. * Trường hợp N nằm giữa M và P không xảy ra vì nếu như vậy người đi từ N sẽ đến trước người đi từ M. * Trường hợp M nằm giữa N và P. Tương tự 1) ta có: S S S S 55 M N M N 5,5. 50 60 60 50 10 Do đó SM 5,5.50 275 km ;SN 5,5.60 330 km . 11.13*. a) Gọi quãng đường AB dài a km a 0 . 3 Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB 1 giờ 30 phút = giờ thì vận tốc xe ô tô là 2 3 2a v a : (km/giờ). 1 2 3 a Xe đạp điện đi quãng đường BA hết 3 giờ thì vận tốc xe đạp điện là: v (km/giờ). 2 3 Gọi t1 là thời gian hai xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp điện; s2 là quãng đường xe đạp điện đi từ B đến chỗ gặp ô tô t1;s1;s2 0 ta có: s1 s2 a Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó: s s s s a a t 1 2 1 2 1. 1 v v v v 2a a a 1 2 1 2 3 3 Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ. Trang 13
14. b) Gọi t2 là thời gian xe ô tô khởi hành từ A đến lúc gặp xe đạp; s3 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp, vận tốc của ô tô v3 v1 ; s4 là quãng đường xe đạp đi từ A lúc 7 giờ đến chỗ gặp ô tô t2 ;s3 ;s4 0 . a a Vận tốc xe đạp là v km/giờ. Lúc 7 giờ xe đạp cách xe ô tô quãng đường là km. Trong cùng 4 6 6 một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. a s s s s a 1 Do đó t 3 4 3 4 6 (giờ) = 20 phút. 2 v v v v 2a a 3a 3 3 4 3 4 3 6 Ô tô và xe đạp gặp nhau lúc 7 giờ 20 phút.  Chú ý: Bài toán có thể giải theo cách coi đoạn đường AB là đơn vị quy ước 1 s s s s 1 Thì t 1 2 1 2 1 (giờ) và 1 v v v v 2 1 1 2 1 2 3 3 1 s s s s 1 t 3 4 3 4 6 (giờ) , Bạn đọc tự giải. 2 v v v v 2 1 3 3 4 3 4 3 6 11.14. Gọi v1 ,v2 là vận tốc; t1 ,t2 là thời gian đi; s1 , s2 là quãng đường đi được của xe máy thứ nhất và xe máy thứ hai từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau. 3 5 15 15 Ta có: v v ; t t nên v t v t hay s s 1 4 2 1 4 2 1 1 16 2 2 1 16 2 s s s s 93 Ta có 1 2 1 2 3 15 16 15 16 31 s1 45 km và s2 48 km . 11.15. Vận tốc trôi của bèo chính là vận tốc dòng nước bằng 9 : 3 3(km/giờ). Gọi x km là quãng đường ca nô ngược dòng x 0 . Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là 30 + 3 = 33 (km/h); Vận tốc ca nô khi ngược dòng là 30 – 3 = 27 (km/h). Cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại 33 99 99.27 lượng tỉ lệ thuận. Do đó ta có x 81 km . 27 x 33 11.16. Nửa quãng đường AB dài 50km; Vận tốc ô tô khách 750m/phút = 45km/giờ. Vận tốc ô tô tải là 70 : 2 = 35 (km/giờ). Trang 14
15. a) Gọi quãng đường ô tô khách và ô tô tải đã đi là s1 và s2 và t là thời gian mỗi xe đã đi. Trong cùng s s một thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó: 1 2 t . v1 v2 50 a 50 3a 150 3a 150 3a 50 3a Ta có: t 1 . 45 35 135 135 35 Vậy thời điểm mà ô tô tải cách M một khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M là 8 giờ + 1 giờ = 9 giờ (sáng). 2 b) Thời gian ô tô khách đi tiếp đến B là: 100 45.1 : 45 1 (giờ) 9 11.17. Gọi x là số sản phẩm tổ hai làm; y là số sản phẩm tổ ba làm x; y ¥ . Tổ một có 12 người làm 9 ngày được 12.9 = 108 ngày công. Tổ hai có 18 người làm 8 ngày được 18.8 = 144 ngày công. Tổ ba có 10 người làm 4 ngày được 10.4 = 40 ngày công. Cùng năng suất lao động thì số sản phẩm làm được tỷ lệ thuận với số ngày công. 108 540 540.144 Do đó: x 720 (sản phẩm). 144 x 108 108 540 540.40 y 200 (sản phẩm). 40 y 108 11.18. Gọi bốn phần của A là x; y; z;t x; y; z;t 0 1 2 3 4 thì A x y z t và x : y : z : t : : : 30 : 40 : 45 : 48. 2 3 4 5 x y z t Vậy 30 40 45 48 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t x y z t 27316 2 4 2 900 1600 2025 2304 900 1600 2025 2304 6829 x 60; y 80; z 90;t 96 và A 60 80 90 96 326. 11.19*. Gọi số kg đường bốn túi lúc đầu lần lượt là:x 1; y 2; z 3;t 4 x, y, z,t 0 . Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là x; y; z; tvà tổng số kg đường còn lại của 4 túi là 375 1 2 3 4 365 kg 4 3 2 1 Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là: x; y; z; t . 5 4 3 2 Ta có: 4x 3y 2z t 12x 12y 12z 12t 12 x y z t 12.365 60 5 4 3 2 15 16 18 24 73 73 Suy ra x 75; y 80; z 90;t 120. Số kg đường mỗi túi lúc đầu là: Trang 15
16. + Túi thứ nhất: 75 1 76 kg + Túi thứ hai: 80 2 82 kg + Túi thứ ba: 90 3 93 kg + Túi thứ tư: 120 4 124 kg 11.20. x y z x z x y y z a) Ta có: 2009 2010 2011 2 1 1 Với ba tỉ số bằng nhau, lập phương tỉ số thứ nhất sẽ bằng bình phương tỉ số thứ hai nhân với tỷ số thứ ba nên: 3 2 3 2 x z x y y z x z x y y z . 2 1 1 8 1 x z 3 8 x y 2 y z . x y z 2x 13y z 52z b) 2x 13y 1 26 4 2012 52 2012 2012 x y z 2x 13y 2x 13y z 2 2009 2010 2011 2.2009 13.2010 2.2009 13.2010 2011 52z z Từ (1) và (2) z 0. 2012. 2.2009 13.2010 2011 Ta suy ra x y x 0. //// Trang 16