Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

1. UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề chính thức (Đề gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) a) So sánh: 17 26 1 và 99 . 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: 10 . 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) Cho S 1 và P . 2 3 4 2013 2014 2015 1008 1009 1010 2014 2015 Tính S P 2016 . Bài 2: (4,0 điểm) a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r. 2 b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab (a b)3 Bài 3: (6,0 điểm) z x y a) Cho x; y; z 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức B 1 1 1 x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z b) Cho . Chứng minh rằng: 4 3 2 2 3 4 5 x c) Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất. x 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho x· Ay 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH  Ay tại H, CM  Ay tại M, BK  AC tại K. Chứng minh: AC a) KC = KA b) BH = c) ΔKMC đều. 2 Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có Bµ 2.Cµ < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC. Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính. Họ và tên thí sinh: SBD: Họ tên và chữ ký giám thị 1: Họ tên và chữ ký giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm So sánh: 17 26 1 và 99 1,0đ Ta có: 17 16; 26 25 => 17 26 1 > 16 25 1 4 5 1 10 0,5đ a) Mà 10 = 100 99 0,5đ Vậy: 17 26 1 > 99 . 1 1 1 1 1 Chứng minh: 10 1,0đ 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ; ; ; ; 0,5đ 1 100 2 100 3 100 99 100 b) 1 1 1 1 1 Suy ra: 100. 10 1 2 3 100 100 0,5đ 1 1 1 1 Vậy: 10 1 2 3 100 1 1 1 1 1 1 ChoS 1 và 2 3 4 2013 2014 2015 2,0đ 1 1 1 1 1 2016 P . Tính S P 1008 1009 1010 2014 2015 Bài1: (4,0 điểm) 1 1 1 1 1 Ta có: P 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ 1 1 c) 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 3 1006 1007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 4 6 2012 2014 1,0đ 1 1 1 1 1 1 1 = S. 2 3 4 2013 2014 2015 0,5đ Do đó S P 2016 = 0 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r. 2,0đ Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r x3 = ab 8 => 8 2 x = 3; 4 vì x N * 2 - Nếu x = 3 => ab (a b)3 = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận) 0,5đ
3. 2 - Nếu x = 4 => ab (a b)3 = 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000 => x = 4 (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 z x y Cho x; y; z 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức B 1 1 1 2,0đ x y z z x y x z y x z y Ta có: B 1 1 1 . . 0,5đ a) x y z x y z Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 1,0đ y z x Suy ra: B = . . 1(x; y; z 0) 0,5đ x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Cho . Chứng minh rằng: 2,0đ 4 3 2 2 3 4 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) Ta có: 0,5đ 4 3 2 16 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) b) 0 0,75đ 16 9 4 16 9 4 4(3x 2y) x y 3(2z 4x) x z => 0 3x 2y (1) và 0 2z 4x (2) Bài 3: (6,0 điểm) 16 2 3 9 2 4 0,75đ x y z Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 4 5 x Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M nhỏ nhất 2,0đ x 2 5 x 3 (x 2) 3 Ta có: M 1 (x 2) 0,5đ x 2 x 2 x 2 c) 3 M nhỏ nhất  nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0 x 2 1,0đ  x lớn nhất và x < 2  x = 1 (vì x nguyên) 3 Khi đó GTNN của M là: M = 1 4 khi x = 1 0,5đ 1 2 y M z C H K A B x Chứng minh: KC = KA 1,0đ Ta có ·yAz z·Ax = 300 (Az là tia phân giác của x·Ay ) Bài 4: (3,0 điểm) Mà: ·yAz A·CB (Ay // BC, so le trong) 0,5đ a) z·Ax A·CB VABC cân tại B Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy 0,5đ BK cũng là đường trung tuyến của ABC KC = KA
4. AC Chứng minh: BH = 1,0đ 2 Ta có: ·ABH 900 x·Ay 300 ( ABH vuông tại H). 0,25đ Xét hai tam giác vuông ABH và BAK, có: b) AB: Cạnh chung; z·Ax ·ABH ( 300 ) 0,5đ ABH = BAK BH = AK AC AC Mà: AK =(cmt) BH 0,25đ 2 2 Chứng minh: ΔKMC đều 1,0đ Ta có: AMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền KM = AC/2 (1) 0,5đ c) Mà: AK = KC = AC/2 (2) Từ (1) và (2) => KM = KC => KMC cân tại K (3) Mặt khác: AMC có ·AMC 900 ; y·Az=300 M· CK 900 300 600 (4) 0,5đ Từ (3) và (4) AMC đều A K B C H I D Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC 3,0đ Ta có: Bµ 2.Cµ Bµ Cµ nên AC > AB => HC > HB 0,25đ Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => AHI = AHB 0,5đ => AI = AB và A· IB A·BC 2.A·CB Mặt khác: A· IB A·CB I·AC I·AC A·CB Bài 5: (3,0 điểm) 0,5đ Do đó: IA = IC DBH cân tại B 1,0đ 1 Do đó: B·DH B·HD A·BC A·CB 2 Suy ra: K·HC A·CB( B·HD) K·AH K·HA (phụ hai góc bằng nhau) Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC 0,75đ Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa. - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.