Chuyên đề môn Toán Lớp 12 nâng cao - Chủ đề: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Nội dung text: Chuyên đề môn Toán Lớp 12 nâng cao - Chủ đề: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm của đồ thị: Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. f gọi là lõm trên K nếu  ,,  1: f x  y f x  f y ,x, y 0 f gọi là lồi trên K nếu  ,,  1: f x  y f x  f y ,x, y 0 Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K f lõm trên K f '' x 0,x K Cf H lồiU YtrênÊN K Đ Ề TfỰ''L xU Ậ N0,ĐẠxI SỐK 1. 0 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Điểm uốn của đồ thị: Điểm U x0 ; f x0 được gọi là điểm uốn của đường cong C : y f x nếu tồn tại một khoảng a;b chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a; x0 , x0 ;b thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 một khoảng a;b chứa điểm x0 . Nếu f '' x0 0 và f '' x đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x0 ; f x0 là điểm uốn của đường cong C : y f x . Chú ý: 1) Nếu y p x .y '' r x thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x0 2) Nếu f lồi trên đoạn a;b thì GTLN max f a ; f b  3) Nếu f lõm trên đoạn a;b thì GTNN min f a ; f b  Trang 1
2. KhảoCH sátUY vàÊN vẽ Đ ỀđồT thịỰ LhàmUẬ NđaĐ thức:ẠI SỐ gồm10 3 bước: CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Bước 1: Tập xác định - Tập xác định D ¡ - Xét tính chẵn, lẻ nếu có. Bước 2: Sự biến thiên - Tính các giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đúng đồ thị Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax3 bx2 cx d,a 0 có tâm đối xứng là điểm uốn. Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax4 bx2 c,a 0 Đường tiệm cận - Đường thẳng x x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x x x0 x x0 x x0 x x0 - Đường thẳng y y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu lim f x y0 hoặc x lim f x y0 x Trang 2
3. - Đường thẳng y ax b,a 0 được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị y f x nếu lim f x ax b 0 hoặc lim f x ax b 0 . x x Chú ý: 1) Nếu chia tách được y f x ax b r x và lim r x 0 thì tiệm cận xiên: y ax b x b 2) Biểu thức tiệm cận khi x : x2 bx c x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 2CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước: Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận ax b Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y với c 0,ad bc 0 cx d ax2 bx c Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y a 0,a' 0 a' x b' Trang 3
4. Chú ý: 1) Từ đồ thị C : y f x suy ra các đồ thị: y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục tung y f x bằng cách lấy đối xứng qua gốc y f x bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối xứng qua trục hoành. y f x là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x,m 0 Đưa phương trình về dạng f x h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị C : y f x . Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng y h m . 3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: Cm : y f x,m - Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua: M 0 x0 ; y0 Cm ,m y0 f x0 ,m ,m - Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số: M 0 x0 ; y0 Cm , m y0 f x0 ,m m Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau: Am B 0,m A 0, B 0 Am2 Bm C 0,m A 0, B 0,C 0 Am B 0,m A 0, B 0 Trang 4
5. Am2 Bm C 0,m A 0, B 0,C 0 2 hoặcC H AUY Ê0N, Đ ỀBTỰ L4UAẬCN Đ0Ạ I SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị: a) y x3 2x2 x 1 b) y x4 8x2 9 Hướng dẫn giải a) D ¡ . Ta có y ' 3x2 4x 1, y '' 6x 4 2 2 2 y '' 0 x ; y '' 0 x ; y '' 0 x 3 3 3 2 29 2 2 Vậy điểm uốn I ; , hàm số lồi trên khoảng ; và lõm trên khoảng ; . 3 37 3 3 b) D ¡ . Ta có y ' 4x3 16x, y '' 12x2 16 0x Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên ¡ . Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị: x2 2x 3 2x 1 a) y b) y x 1 x 5 Hướng dẫn giải x2 2x 3 6 a) D ¡ \ 1. Ta có y x 3 x 1 x 1 6 12 Nên y ' 1 , y '' 0,x 1 x 1 2 x 1 3 y '' 0 x 1; y '' 0 x 1 Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ; 1 và lõm trên khoảng 1; . 11 22 b) D ¡ \ 5 . Ta có y ' , y '' 0,x 5 x 5 2 x 5 3 y '' 0 x 5; y '' 0 x 5 Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;5 và lõm trên khoảng 5; . Trang 5
6. x a Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số y luôn có ba điểm uốn thẳng hàng. x2 x 1 Hướng dẫn giải 2 x x 1 x a 2x 1 x2 2ax a 1 Ta có: y ' 2 2 x2 x 1 x2 x 1 2 x3 3ax2 3 a 1 x 1 y '' 3 x2 x 1 y '' 0 x3 3ax2 3 a 1 x 1 0 Đặt f x x3 3ax2 3 a 1 x 1, x ¡ Ta có: f 0 1 0, f 1 1 0 lim f x , lim f x và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình x x f x 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ; 1 , 1;0 , 0; . Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên 3 2 x0 3ax0 3 a 1 x0 1 0 3 2 Ta có: x0 3ax0 3ax0 3a 1 3x0 3a 2 x0 3a 1 x0 x0 1 3 x0 a 2 x a x0 3a 1 x0 x0 1 x 3a 1 Suy ra y 0 0 0 2 2 x0 x0 1 3 x0 x0 1 3 x 3a 1 Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng y nên chúng thẳng hàng 3 Bài toán 2.4: Cho hàm số: y x3 6x2 3mx m 2 , m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3 b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65 . Hướng dẫn giải a) Khi m 3 hàm số trở thành y x3 6x2 9x 1 • Tập xác định D ¡ • Sự biến thiên: y ' 3x2 12x 9 Trang 6
7. y ' 0 x 1 x 3 Bảng biến thiên: x 1 3 y ' + 0 − 0 + y 3 −1 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 3; , nghịch biến trên 1;3 . Hàm số đạt cực đại khi x 1, yC Ð 3 và đạt cực tiểu tại x 3, yCT 1. • Đồ thị: y '' 6x 12 , y '' 0 x 2 nên tâm đối xứng là điểm uốn I 2;1 . Cho x 0 thì y 1. b) Ta có y ' 3x2 12x 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 36 9m 0 m 4 Gọi các điểm cực trị là A x1; y1 , B x2 ; y2 . x1 x2 4 Theo định lý Viet x1x2 m Ta có y1 2m 8 x1 m 2, y2 2m 8 x2 m 2 2 2 2 AB x1 x2 2m 8 x2 x1 2 2 1 2m 8 x x 4x x 1 2 1 2 4m2 32m 65 16 4m nên AB 4 65 4m2 32m 65 16 4m 1040 4m3 48m2 193m 0 m 4m2 48m 193 0 m 0 (thỏa mãn). Vậy m 0 . Trang 7
8. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2 5 Bài toán 2.5: Cho hàm số: y x3 m 1 x2 3m 2 x có đồ thị C với m là tham số. 3 3 m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2 b) Tìm m để trên đồ thị Cm có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của Cm tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0 . Hướng dẫn giải 2 5 a) Khi m 2 hàm số trở thành y x3 x2 4x . 3 3 • Tập xác định D ¡ • Sự biến thiên: y ' 2x2 2x 4 ; y ' 0 x 1 x 2 Bảng biến thiên x −1 2 y ' − 0 + 0 + y 5 −4 Trang 8
9. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 2; . Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT 4 , đạt cực đại tại x 2 và yC Ð 5 . • Đồ thị: 5 Đồ thị cắt Oy tại 0; , 3 y '' 4x 2, 1 1 1 y '' 0 x nên đồ thị nhận điểm uốn I ; làm tâm đối xứng. 2 2 2 b) y ' 2x2 2 m 1 x 3m 2 1 Hệ số góc của d : x 3y 1 0 là k 3 Tiếp tuyến của Cm tại mỗi điểm vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0 khi y ' 3 2x2 2 m 1 x 3m 2 3 2x2 2 m 1 x 3m 1 0 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 0 ' m 1 2 2 3m 1 0 m2 4m 3 0 m 3 3m 1 1 1 0 m 1 m 2 3 3 1 Vậy m 3 hay 1 m . 3 1 1 3 Bài toán 2.6: Cho hàm số y x3 x2 x 2. Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m 6 2 2 và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O. Hướng dẫn giải Hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y m . 1 1 3 Hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là nghiệm của phương trình x3 x2 x 2 m 6 2 2 Phương trình x3 3x2 9x 12 6m 0 (1) Trang 9
10. 5 17 m Đường thẳng d cắt C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi 2 6 và phương trình (1) m 0 có nghiệm x1, x1, x2 (trong đó x1, x1 là hoành độ của A, B) 2 2 Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x x1 x x2 0 3 2 2 2 Phương trình x x2 x x1 x x1 x2 0 (2) x2 3 2 Đồng nhất các hệ số của (1) và (2): x1 9 2 x1 x2 12 6m 5 Suy ra 12 6m 27 m 2 Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số a) y x3 3x2 4x 2 b) y x3 3x2 3x 1 Hướng dẫn giải a) y x3 3x2 4x 2 • Tập xác định D ¡ • Sự biến thiên lim y và lim y x x Ta có y ' 3x2 6x 4 0,x nên hàm số nghịch biến trên ¡ . Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên x y ' − y • Đồ thị: y '' 6x 6, y '' 0 x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;0 . Cho x 0 y 2. Cho y 0 x3 3x2 4x 2 0 x 1 x2 2x 2 0 x 1 b) y x3 3x2 3x 1 Trang 10
11. • Tập xác định D ¡ • Sự biến thiên: lim y và lim y x x 2 Ta có y ' 3x2 6x 3 3 x 1 0,x nên hàm số đồng biến trên ¡ , hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: x 1 y ' + 0 − y • Đồ thị: y '' 6x 6, y '' 0 x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;2 Cho x 0 y 1. Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x3 3 m 3 x2 3 m2 3m 5 x 1, m là tham số. Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 x2 x1x2 7 . Hướng dẫn giải D ¡ , y ' 3x2 6 m 3 x 3 m2 3m 5 y ' 0 3x2 6 m 3 x 3 m2 3m 5 0 Hàm số cực đại, cực tiểu tại x1, x2 khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt 4 x , x ' 3m 4 0 m 1 2 3 2 Ta có x1 x2 2 m 3 ; x1x2 m 3m 5 2 Do đó x1 x2 x1x2 7 2 m 3 3m 5 7 m2 5m 11 7 m2 5m 11 7 m2 5m 4 0 1 m 4 2 2 m 5m 11 7 m 5m 18 0 4 Kết hợp thì chọn: 1 m 3 Trang 11
12. Bài toán 2.9: Cho hàm số: y x4 2mx2 2m 1, với m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3 b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Hướng dẫn giải a) Khi m 3, hàm số trở thành y x4 6x2 5 • Tập xác định D ¡ , hàm số chẵn. • Sự biến thiên: y ' 4x3 12x 4x x2 3 y ' 0 x 0 hoặc x 3 Bảng biến thiên x 3 0 3 y ' − 0 + 0 − 0 + y 5 −4 −4 Hàm số đồng biến trên khoảng 3;0 , 3; và nghịch biến trên khoảng ; 3 ; 0; 3 Hàm số đạt cực đại tại x 0, yC Ð 5 và đạt cực tiểu tại x 3, yCT 4 • Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng b) Ta có D ¡ . y ' 4x x2 m y ' 0 4x x2 m 0 x 0 hoặc x2 m Hàm số có 3 điểm cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: Trang 12
13. A m; m2 2m 1 , B 0;2m 1 ,C m; m2 2m 1 Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy. ABC là tam giác vuông tam giác ABC vuông cân tại B AC AB. 2 m2 m m 1 hoặc m 0 . Vậy chọn m 1. Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x4 mx2 2m 1, với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi. Hướng dẫn giải Ta có y ' 4x3 2mx x 0 3 y ' 0 4x 2mx 0 2 2x m Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó các điểm cực trị: m m2 m m2 A ; 2m 1 , B 0;2m 1 ,C ; 2m 1 2 4 2 4 Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi y y O và B đối xứng nhau qua AC O B y 2 A 2m 1 m2 2m 1 m2 4m 2 0 2 4 m 2 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 2 . Bài toán 2.11: Cho hàm số: y x4 2mx2 m2 m , với m là tham số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD . Hướng dẫn giải a) Khi m 2 hàm số trở thành y x4 4x2 2 • Tập xác định D ¡ , hàm số chẵn • Sự biến thiên: y ' 4x3 8x 4x x2 2 y ' 0 x 0  x 2 Trang 13
14. Bảng biến thiên x 2 0 2 y ' + 0 − 0 + 0 − y 6 6 2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng 2;0 và 2; . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , giá trị cực tiểu yCT 2 ; hàm số đạt cực đại tại các điểm x 2 , giá trị cực đại yC Ð 6 . • Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng b) Cho y 0 x4 2mx2 m2 m 0 Đặt t x2 ,t 0 thì PT: t 2 2mt m2 m 0 Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt t1 t2 . ' m2 m2 m 0 2m2 m 0 S 2m 0 m 0 2 2 P m m 0 m m 0 1 m 0  m 2 1 m 0 1 m 2 1 m 0 Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB BO OC CD khi và chỉ khi t2 2 t1 t2 4t1 . Trang 14
15. 2 Theo định lý Viet ta có t1 t2 2m;t1t2 m m . 5t1 2m Do đó 2 2 2 2 4.4m 25 m m 4t1 m m 25 42m2 25m 0 m 0 hay m . 41 25 Ta chọn m . 41 1 Bài toán 2.12: Cho hàm số y x4 2x2 3 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để phương trình x4 8x2 6 m có 8 nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải 1 a) y x4 2x2 3 . 4 • Tập xác định D ¡ . Hàm số chẵn. • Sự biến thiên: y ' x3 4x x x2 4 y ' 0 x 0 hay x 2 Bảng biến thiên x −2 0 2 y ' − 0 + 0 − 0 + y 3 −1 −1 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2; , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 ; 0;2 . Hàm số đạt cực đại tại x 0; yC Ð 3, đạt cực tiểu tại x 2, yCT 1. • Đồ thị: Đồ thị C hàm số nhận Oy là trục đối xứng CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 15
16. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Tài liệu toán học sinh giỏi 10-11-12 nhóm em có đầy đủ file Word, ngoài ra còn rất nhiếu tài liệu dạy học toán khác nữa vui lòng liên hệ zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 16