›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 (Vận dụng cao) - Thể tích khối đa diện - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

docx 84 trang binhdn2 09/01/2023 1702
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 (Vận dụng cao) - Thể tích khối đa diện - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtrac_nghiem_hinh_hoc_lop_12_van_dung_cao_the_tich_khoi_da_di.docx

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 (Vận dụng cao) - Thể tích khối đa diện - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

  1. TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD và góc giữa SC với mặt phẳng SAB bằng 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích chóp S.ABH lớn nhất là a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 15 8 Lời giải Chọn B Lấy điểm N BC sao cho BN CM x, 0 x a . Gọi H AN  BM Xét ABN và BCM ta có: BN CM , ·ABN B· CM 90 và AB BC ABN BCM (c.g.c) B· AN C· BM Mà B· AN B· NA 90 nên C· BM B· NA 90 B· HN 90 hay AH  BM BM  AH Ta có: BM  SAH SH  BM BM  SA Hình chiếu vuông góc của S lên BM là H . BH BN BH x Do BHN đồng dạng với BCM nên BC BM a x2 a2 ax BH x2 a2
  2. Tam giác ABH vuông tại H nên 2 2 4 2 2 2 2 a x a a AH AB BH a 2 2 2 2 x a x a x2 a2 1 1 a2 ax a3 x S ABH AH.BH . . . 2 2 2 2 x2 a2 x2 a2 2 x a 1 1 a3 x a4 2 a3 2 V SA.S .a 2. . . S.ABH 3 ABH 3 2 x2 a2 12a 12 Câu 2.Cho hình chóp tam giác S.ABC có các góc ·ASB B· SC C· SA 60 và độ dài các cạnh SA 1 , SB 2 , SC 3 . thể tích của khối chóp S.ABC là 3 2 3 2 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. S C' B' A B C Gọi B , C lần lượt là điểm trên SB , SC sao cho SA SB SC 1. 2 Suy ra S.AB C là tứ diện đều có V . S.AB C 12 VS ,ABC SB SC 2 Lại có . 2.3 VS.ABC 6VS.AB C . VS.AB C SB SC 2 Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 1, BC 2 . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC và AD . Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh IJ ta được một hình trụ tròn xoay. thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay đó là.
  3. A. V . B. V 4 . C. V 2 . D. V . 3 Lời giải Chọn A. .BC 2 V s .h .1 . T d 4 Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 5 a3 5 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 24 8 24 12 Lời giải Chọn A S F N E A C O M B Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , do S.ABC là hình chóp đều nên SO  ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và EF . Ta có S , M , N thẳng hàng và SM  BC tại M , SM  EF tại N . Ta có AEF  SBC EF  SM  SBC  SM  AEF MN  AN ANM vuông tại N . SM  EF  AN AM NM Từ đó suy ra ANM ∽ SOM NM.SM AM.OM . SO SM OM
  4. Mà ta có N là trung điểm của SM (vì E , F lần lượt là trung điểm của SB , SC ) 1 NM SM ; 2 a 3 ABC đều cạnh a và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AM ; 2 a 3 OM . 6 1 a 3 a 3 a2 a Vậy SM 2 . SM . 2 2 6 4 2 a2 a2 a 15 a2 3 Ta có SO SM 2 OM 2 ; S . 2 12 6 ABC 4 1 1 a 15 a2 3 a3 5 V .SO.S . . . S.ABC 3 ABC 3 6 4 24 Câu 5.Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là các điểm SE SF nằm trên các cạnh SB , SC sao cho k 0 k 1 . Biết mặt phẳng (AEF) SB SC vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 3 2 k a3 3 2 k a3 3 2 k A. . B. . C. . D. 24 3 3k 8 3 3k 24 5 5k a3 3 2 k . 12 3 3k Lời giải Chọn A Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng (ADFE) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 18 Lời giải Chọn A
  5. S F N E D C I O M A B 1 a2 Ta có INM ∽ SOM MN.SM OM.IM SM 2 SM a . 2 2 a2 a 2 SO SM 2 OM 2 a2 . 2 2 1 1 a 2 a3 2 V .SO.S . .a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là các SE SF điểm nằm trên các cạnh SB , SC sao cho k 0 k 1 . Biết mặt phẳng SB SC (ADFE) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . a3 2 k a3 2 1 k a3 2 k a3 2 1 k A. . . B. . . C. . . D. . 6 1 k 6 k 18 1 k 18 k . Câu 8:Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là: 2 27V 9 9V 81V A. . B. V . C. . D. . 4 2 4 8 Lời giải Chọn A.
  6. S N M P Q C K B H F O I E D J A d S, MNPQ SM 2 Ta có . d S, ABCD SI 3 S DEJ 1 1 1 1 Mặt khác gọi S SABCD ta có . S DEJ S . S BDA 4 2 8 16 S JAI 1 1 Tương tự ta có S JAI . S DAB 4 8 1 1 1 Suy ra SHKIJ 1 4. 2. S S . 16 8 2 2 SMNPQ 2 4 2 Mà SMNPQ SABCD . SHKIJ 3 9 9 1 1 3 9 27 Suy ra VS.ABCD d S, ABCD .S . d S, MNPQ . S V . 3 3 2 2 4 Câu 9:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp S.ADMN . a3 6 a3 6 3a3 6 a3 6 A. V . B. V  C. V  D. V  16 24 16 8 Lời giải Chọn A.
  7. S M N A D O B C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có S· OA là góc giữa hai mặt phẳng SA SBD và ABCD nên S· OA 60 . Khi đó tan 60 AO 2 a 6 SA AO.tan 60 a. 3 . 2 2 V SA SM SN 1 V SA SN SD 1 Ta có S.AMN . . và S.AND . . . VS.ABC SA SB SC 4 VS.ACD SA SC SD 2 3 1 1 1 3 3 1 a 6 2 a 6 Do đó VS.ADMN VS.ABCD . .VS.ABCD . . .a . 2 4 2 8 8 3 2 16 Câu 10:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Gọi B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng AB D cắt SC tại C . thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 9 3 Lời giải Chọn C. S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3
  8. Vì B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có SC  AB D . Gọi C là hình chiếu của A lên SC suy ra SC  AC mà AC  AB D A nên AC  AB D hay C SC  AB D . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1 . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 11:Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng SM ABCD . Tính tỉ số để thể tích khối đa diện MNPQ.M N P Q đạt giá trị lớn nhất. SA 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Lời giải Chọn A. S M Q N P A D Q' M' H N' P' B C SM Đặt k với k 0;1. SA MN SM Xét tam giác SAB có MN //AB nên k MN k.AB AB SA MQ SM Xét tam giác SAD có MQ//AD nên k MQ k.AD AD SA
  9. Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có: MM AM SA SM SM MM //SH nên 1 1 k MM 1 k .SH . SH SA SA SA 2 Ta có VMNPQ.M N P Q MN.MQ.MM AB.AD.SH.k . 1 k . 1 2 Mà V SH.AB.AD V 3.V .k . 1 k . S.ABCD 3 MNPQ.M N P Q S.ABCD 2 thể tích khối chóp không đổi nên VMNPQ.M N P Q đạt giá trị lớn nhất khi k . 1 k lớn nhất. 3 2 2 1 k .k.k 1 2 2k k k 2 4 Ta có k . k 1 k . k 1 . 2 2 3 27 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 1 k k k . 3 SM 2 Vậy . SA 3 Câu 12:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Đường cao SH với chân đường cao nằm trong ABC và 2SH BC ; SBC tạo với ABC một góc 600 . Biết có một điểm O thuộc SH sao cho d 0, AB d 0, AC d O, SBC 1. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp đã cho. 256 125 500 343 A. . B. . C. . D. . 81 162 81 48 Lời giải Chọn D.
  10. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ O xuống AB; AC . OE  AB  AB  SEO AB  HE SH  AB · Tương tự HF  AC ; HOE HOF HE HF AH là tia phân giác của góc BAC AH  BC D là trung điểm của BC . Kẻ OK  SD OK d O, SBC 1 , Đặt AB BC CA 2a SH a a HD a.cot 600 , AD a 3 3HD nên ABC đều nên S.ABC là chóp tam giác 3 đều. OK Xét tam giác SOK có SO 2 . sin 300 Do DEF đều và OH  DEF nên EO FO DO 1 OK K  D a2 3 DSO vuông tại D DH 2 HS.HO a 2 a a 3 2 3 21 AB 3 AH 3; SH SA2 SH 2 AH 2 2 4 SA2 7 343 R V . mc 2SH 4 mc 48 Câu 13:Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB2 CD2 18 và các cạnh khác bằng 5. Biết thể tích tứ x y diện ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạng V ; x, y N ;(x, y) 1. Khi đó x, y thỏa max 4 mãn bất đẳng thức nào dưới đây A. x y2 xy 4550 . B. xy 2x y 2550 . C. x2 xy y2 5240 . D. x2 y 19602 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm CD, và K là trung điểm AB Ta có: BM  CD và SM  CD . Kẻ SH  BM , tại H BM . Khi đó SH  (BCD) Đặt AB b 0 và CD a 0
  11. 1 1 BM BC 2 MC 2 100 a2 ; SM BM 100 a2 2 2 1 1 S BM.CD a 100 a2 BCD 2 4 1 1 82 MK BM 2 BK 2 100 (a2 b2 ) 100 18 2 2 2 1 1 82 82 S MK.AB .b b ABM 2 2 2 4 82 2. .b 1 2.S 82.b Mặt khác: S SH.BM SH BCD 4 BCD 1 2 2 BM 100 a2 100 a 2 1 1 1 2 82.b 82 Ta có: VA.BCD .SBCD .SH . a 100 a . ab 3 3 4 100 a2 12 a2 b2 Theo Cô-si ta có: ab 9 2 3 82 Suy ra : V . Dấu bằng xảy ra khi a b 3 A.BCD 4 3 82 Vậy V . Suy ra x 3; y 82 max 4 Câu 14:Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có cạnh BC 2a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BC bằng 60 . Biết diện tích của tam giác A BC bằng 2a2 . Tính thể tíchV của khối lăng trụ ABC.A B C 2a3 a3 3 A. V 3a3 .B. V a3 3 .C. V .D. V . 3 3 Lời giải Chọn B.
  12. Kẻ AI  BC ( I BC ) A I  BC . 1 Ta có S A I.BC 2a2 A I 2a . V A BC 2 Do đó AA A I.sin 60 a 3 , AI A I.cos60 a . 1 Vậy V .2a.a.a 3 a3 3 . ABC.A B C 2 Câu 15: Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy a 4, biết diện tích của tam giác A BC bằng 8 . Tính thể tíchV của khối lăng trụ ABC.A B C . A. V 4 3 . B. V 8 3 . C. V 2 3 . D. V 10 3 . Lời giải Chọn B.
  13. 1 Gọi I là trung điểm BC . Tam giác ABC cân nên S A I.BC 4 A I 4 . ABC 2 2 2 Khi đó AA AI A I 2 . VậyVABC.A B C AA .SABC 8 3 . Câu 16:Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của A lên ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . thể tích khối lăng trụ bằng a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V 2a3 3 . D. V 4a3 3 . 4 8 Lời giải ChọnC. 2 2a Gọi I là trung điểm BC, nên AG AM A G AG.tan 60 2a . 3 3 3 VậyVABC.A B C A G.SABC 2a 3 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SM (ABCD) và SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1.Khi đó giá trị của SA k để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là: 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 2 4 2 Lời giải Chọn A.
  14. Phân tích: Bài toán trên chính là bài toán về tỉ số thể tích, vì vậy trước hết phải xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (BMC) . Do (BMC) chứa BC song song với AD nên (BMC) cắt (SAD) theo giao tuyến song song AD . Để tính VS.BCNM nếu xác định đường cao thì phức tạp vì vậy sẽ chia thành hai khối và sử dụng bài toán tỉ số thể tích. Kẻ MN / / AD; N SD khi đó thiết diện của hình chóp S.ABCD với (BMC) là hình thang BCNM . Suy ra (BMC) chia khối chóp thành hai khối đa diện SBCNM và DABCNM . Đặt V1 VS.BCNM ; V2 VDABCNM ; V VS.ABCD . 1 Để V V thì V V . 1 2 1 2 VSNMC SN SM 2 1 2 Ta có . k VSNMC k .V . VSADC SD SA 2 VSMCB SM 1 Ta có k VSMCB k.V . VSABC SA 2 1 Vậy V (k 2 k).V . 1 2 1 5 k 1 2 2 Khi đó V1 V k k 1 . 2 1 5 k 2 1 5 Do 0 k 1 nên k . Vậy chọn đáp án A. 2 Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi B , D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SD . Mặt phẳng AB D cắt SC tại C . Tính thể tích của khối chóp S.AB C D . a3 16a3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 3 45 2 4 Lời giải. Chọn B. Cách 1:
  15. SD .SD SA2 SD SA2 SA2 4 SD .SD SA2 . SD SD SD SD2 SA2 AD2 5 SC SA2 SA2 2 Tương tự: . SC SC 2 SA2 AC 2 3 SD SC SD SC V 2V 2. . V . V . S.AB C D S.AD C SD SC S.ADC SD SC S.ABDC 4 2 1 16a3 V . . .2a.a2 . S.AB C D 5 3 3 45 Cách 2: Hoặc có thể áp dụng cách tính nhanh: V x y z t x y z t SA SB SC SD S.A B C D với x , y , z , t . VS.ABCD 4xyzt 2xyzt 2xyzt SA SB SC SD Câu 19:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau. B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau. C. thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau. D. thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Câu 20:Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 chiều cao bằng 2 . Xét hình đa diện lồi H có các đỉnh là trung điểm của tất cả các cạnh hình chóp đó. Tính thể tích của H . 9 5 A. . B. 4 . C. 2 3 . D. . 2 12 Lời giải. Chọn D. Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Gọi E, F, I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, AD .Gọi V là thể tích của H . Khi đó: 2 2 1 2 1 1 1 1 1 5 V VS.ABCD VS ,MNPQ 4.VN.EBF .2.1 .1. 4. .1. . 3 3 2 3 2 2 12 Câu 21:Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và chiều cao bằng 4. Tính thể tích của hình chóp đó.
  16. 4 3 A. 4 B. C. 2 3 D. 2 3 Lời giải. Chọn B. Câu 22:Cho khối đa diện H được tạo thành bằng cách từ khối lập phương có cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 như hình vẽ. Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng (A' B 'C ' D '),(BCC ' B ') và (DCC ' D ') . Tính bán kính của S . 2 3 2 3 A. . B. 3 3 . C. . D. 2 3 3 Lời giải Chọn B Giải theo tự luận Ta có CH 2 3 Gỉa sử khối cầu S có tâm I là tâm, bán kính R . I’,M, P lần lượt là hình chiếu của I lên (A' B 'C ' D '),(BCC ' B ') và (DCC ' D ') . Vì S là khối cầu chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng (A' B 'C ' D '),(BCC ' B ') và (DCC ' D ') nên MNPI.M 'C ' P ' I ' là hình lập phương cạnh R ( R là bán kính khối cầu S ) và I C ' H Ta có C ' H 2 3 , C ' I R 3 Vậy khối cầu có thể tích lớn nhất khi khối cầu đi qua H tức IH R C ' H IH C ' I Vậy 2 3 R R 3 R 3 3 Vậy chọn B Câu 23:Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho BC 4BM , AC 3AP , BD 2BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp MNP . 7 7 8 8 A. . B. . C. . D. . 13 15 15 13 Lời giải
  17. Chọn A. (Địnhlý Menelaus Cho tam giác ABC đườngthảng d cắtcáccạnh AB, BC,CA lầnlượtại MA PB NC M , N, P ta có . . 1) MB PC NA Gọi I MN  DC, K AD  PI. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD và3 điểm M , N, I ta có IC ND MB IC 1 IC . . 1 .1. 1 3 ID NB MC ID 3 ID Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD và3 điểm P, K, I ta có KD PA IC KD 1 KD 2 . . 1 . .3 1 KA PC ID KA 2 KA 3 V CP CM CN 2 3 2 1 CPMN . . . .1 V CA CB CN 3 4 4 2 CABN 1 1 V V V (3) CPMN 2 CABN 4 ABCD V AP AK AN 1 3 1 APKN . . . .1 VACDN AC AD AN 3 5 5 VNCPKD 4 4 4 1 2 VNCPKD VACDN VABCD VABCD (4) VACDN 5 5 5 2 5 13 3 , 4 V V V V CMPKDN CPMN NCPKD 20 ABCD V 7 ABMNKP VCMNDK 13 Câu 24:Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng ( ) qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 600 tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng ( ) ? 2 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 2 1 3 6 Lời giải
  18. Chọn D. Không mất tính tổng quát ta giả sử R 1. Khi cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt 0 phẳng ( ) qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 60 thì ta được thiết diện là một đường parabol có đỉnh là gốc O 0;0 và đỉnh còn lại là A 1;1 , do đó thiết diện sẽ có 4 diện tích là S . Xét mặt phẳng đi qua cạnh đáy của thiết diện vuông góc với hình tròn 3 đáy của hình nón cắt hình nón làm đôi. Gọi đa diện chứa mặt thiết diện đó là H . Gọi K là đa diện chứa đỉnh O của hình nón được sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện H . 3 Khi đó khoảng cách từ O đến mặt thiết diện là h . 2 1 3 4 2 3 Suy ra thể tích của đa diện K là V . . . K 3 2 3 9 1 1 3 Mặt khác thể tích của nửa khối nón là . 3 . 2 3 6 Do đó thể tích của đa diện nhỏ tạo bởi thiết diện và khối nón là 3 2 3 3 4 3 V . 6 9 18 3 4 3 18 3 4 Vậy tỉ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng là 3 6 3 . Câu 25: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SC a , cạnh SD thay đổi. thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là: a3 a3 3a3 a3 A. . B. . . D. . 8 4 C. 8 2 Lời giải. Chọn. B.
  19. S A D O B C Đặt SD x. Do đáy ABCD là hình thoi nên VS.ABCD 2VS.BCD 2VC.SBD . Ta có SAC BAC SO BO SBD vuông tại S. a2 x2 BD a2 x2 OA OC a2 . 4 CO  BD 1 Và do CO  SBD VS.ABCD 2VC.SBD 2. .CO.SSBD CO  SO 3 2 2 2 2 2 3 2 3a x 1 a 2 2 2 a x 3a x a VS.ABCD . . ax x 3a x . 3 2 2 6 6 2 4 a 6 dầu bằng xảy ra khi x . 2 Câu 26:Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây? A. 0,87cm . B. 10cm . C. 1,07cm . D. 1,35cm .
  20. Lời giải Chọn A. + Gọi R là bán kính đáy của phễu. 2 1 R + thể tích của lượng nước đổ vào phễu là V .10. . (1). 3 2 + Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì lượng nước tạo thành khối nón cụt có r 20 h h chiều cao là h và bán kính đáy nhỏ trên là r . Ta có r 1 R . R 20 20 + thể tích khối nón cụt cũng là thể tích lượng nước được tính theo công thức sau: 2 2 h 2 2 hR h h V R r Rr 1 1 1 (2). 3 3 20 20 2 5 h h h h + Từ (1) và (2) ta có 2 1 0,0435 h 0,87 . 6 3 20 20 20 Câu 27:Cho khối hộp ABCD.A B C D có đáy là hình chữ nhật với AB 3 ; AD 7 . Hai mặt bên ABB A và ADD A cùng tạo với đáy góc 45 , cạnh bên của hình hộp bằng1 (hình vẽ). thể tích của khối hôp là: A. . 7 B. . 3 3 C. 5. D. . 7 7 Lời giải Chọn A B' C' A' D' B K C H A I D
  21. Hạ A H  ABCD , H ABCD ; HI  AD, I AD ; HK  AB, K AB A' H  ABCD A' H  AD   A' I  AD IH  AD  A I  AD, IH  AD    ABCD , ADD A HIA (Do HIA 90 ) ADD A  ABCD AD Chứng minh tương tự  ABCD , ABB A HKA Từ giả thiết suy ra: HIA HKA 45 HA HI HK Có ABCD là hình chữ nhật, HI  AD, I AD ; HK  AB, K AB NênAIHK là hình vuông suy ra AH HK 2 A H 2 2 2 2 2 + A H  ABCD , H ABCD AH  A H AA A H HA 3A H 1 HA 3 VABCD.A B C D A H.AB.AD 7 . Câu 28:Cho hình chópS.ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC , các mặt bên SAB , SBC , SCA cùng tạo với đáy góc 60 . Biết AB 3 , BC 4 ,CD 5 , tính thể tích khối chópS.ABC . A. .2 3 B. . 6 3 C. . 5 3 D. . 10 3 Lời giải Chọn A
  22. S A C G H I K B Hạ SH  ABC , H ABC HI  AB, I AB ;,HK  BC, K BC HG  CA,G CA SH  ABC SH  AB   SI  AB IH  AB  SI  AB, IH  AB  Có  ABC , SAB HIS (Do HIS 90 ) SAB  ABC AB Chứng minh tương tự  ABC , SBC HKS  ABC , SAC SGH Từ giả thiết suy ra: HIS SKH SGH 60 SH HI 3 HK 3 HG 3 Mà H nằm trong tam giác ABC nên H và HI lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Có AB2 BC 2 AC 2 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B . 2S ABC 4.3 HI 1 SH 3 . AB BC CA 3 4 5
  23. 1 1 3.4 V SH.S . 3. 2 3 . S.ABC 3 ABC 3 2 Câu 29:Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên SBC , SAD cùng tạo với đáy góc 60 , mặt bên SAB vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng 21 SCD bằng , tính thể tích khối chópS.ABC . 7 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 8 8 Lời giải. Chọn A S I C B H M A D Hạ SH  AB, H AB , do SAB  ABCD nên SH  ABCD SH  BC Có ABCD là hình vuông AB  BC BC  SAB BC  SB SB  BC, BC  AB  Có   ABCD , SBC SBH SBC  ABCD BC (Do SAH 90 ) Chứng minh tương tự  ABCD , SAD SAH
  24. Từ giả thiết suy ra:SAH SBH 60 mà H AB suy ra tam giác SAB đều và H là trung điểm của AB . Gọi M là trung điểm của CD HM  CD Có SH  ABCD SH  CD 3 SHM  SCD . Hạ HI  SM thì HI  SCD HI 12 1 1 1 1 1 1 Có 2 2 2 2 2 2 AB 1 (Do AB BC HM HI SH HM 21 AB 3 BC 7 2 ) 1 1 3 1 3 V SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 2 2 12 Câu 30: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể là3 00 nghìn đồng/ m2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng). A. 75 triệu đồng. B. 51 triệu đồng. C. 36 triệu đồng. D. 46 triệu đồng. Lời giải Chọn B +) Gọi chiều rộng của đáy bể là a (m) thì chiều dài của đáy là 2a (m) . 200 100 +) Do thể tích bể chứa nước là 200m3 nên chiều cao của bể là h . 2a2 a2 600 +) Do đó diện tích xây dựng bể là S 2a2 2.ah 2.2ah 2a2 . a 600 300 300 300 300 + Ta có S 2a2 2a2 33 2a2. . 30 3 180 , dấu bằng xảy ra a a a a a khi a 3 15 , suy ra chi phí thấp nhất để xây bể là 300.000x30 3 180 51triệu đồng. Chọn đáp án B Nhận xét: Ta cũng có thể đánh giá S bằng cách đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 600 f a 2a2 trên khoảng a; . a
  25. Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng B' ABC.A B C có đáy ABC là tam C' giác vuông BA BC a , cạnh bên AA a 2 , M là trung điểm A' của BC (hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C là: a 2 a 2 A. . M 2 B C a 3 B. . a 3 A a 5 C. . 5 a 7 D. . 7 Lời giải Chọn D Cách 1 +) Gọi N là trung điểm BB , suy ra B' C' B C P AMN . Do đó d B C, AM d B C, AMN A' N d C, AMN K d B, AMN M B C +) Kẻ BH  AM , BK  NK . Chứng minh được BK  AMN . Vậy nên H d B C, AM d B, AMN BK A +) Tính BA2  BM 2 a 5 BH BA2 BM 2 5 BH 2  BN 2 a 7 BK . BH 2 BN 2 7
  26. Cách 2: 1 +) Tính được thể tích khối tứ diện B.AMN : V BA BM  BN . 6 +) Tính diện tích tam giác AMN là S . 3V +) d B C, AM d B, AMN . S Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn trong việc dựng BK nên điều chỉnh lại phương án nhiễu như sau: a 2 +) Nhầm lẫn 1: BK  MN , khi đó phương án nhiễu là , khoanh B 3 a 6 +) Nhầm lẫn 2: BK  AN , khi đó phương án nhiễu là , khoanh. C. 3 Câu 32: Cho hình trụ T có C và (C ) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương.Biết rằng trong tam giác cong tạo bởi đường tròn C và hình vuông ngoại tiếp của C có một hình chữ nhật kích thước a 2a (như hình vẽ dưới đây).Tính thể tích V của khối trụ T theo a. 100 a3 250 a3 A. . B. . 250 C.a 3. D. . 100 a3 3 3 Lời giải: Chọn B.
  27. A N B H C K M D O Gọi M và N lần lượt là trung điểm CD và AB Dễ thấy ACMN và BDMN là hình vuông cạnh bằng a . Do đó M· AC 45o .Tương tự O· AC 45o nên ba điểm A, M ,O thẳng hàng. Kéo dài CD cắt OH tại K Đặt AH OH OD x Do OD2 OK 2 DK 2 mà DK BH x 2a , HK AC a →x2 (x 2a)2 (x a)2 .Giải phương trình được x 5a (loại nghiệm x a ) 2 2 Vậy Vtru .r .h .5 .(2.5) 250 . Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a , AD a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. .S 5 a2 B. . C.S . 10 a2 D. . S 4 a2 S 2 a2 Lời giải: Chọn A. S I G B C M O A D
  28. AC AB2 AD2 AB 3 Theo bài ra ta có GT AB a 3 , R a , R d 2 2 b 3 a 3. 3 a . 3 2 a 3 a 5 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R a2 a2 . 4 2 2 a 5 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: S 4. . 5 a . 2 Bài toán tổng quát: Cách xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Gọi h là chiều cao hình chóp và Rd , Rb là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên vuông góc với đáy; GT là độ dài giao tuyến của mặt đáy và mặt bên vuông góc GT 2 với đáy. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R R2 R2 . d b 4 Trong đó mặt bên vuông góc với đáy thường là tam giác vuông, cân hoặc đều. Lời giải S I G B C M O A D Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp thì ta dựng trục của mặt đáy và mặt bên vuông góc với đáy, giao của hai trục chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Giả sử hình chóp có đỉnh S , giao tuyến của mặt đáy và mặt bên vuông góc với đáy là AB với M là trung điểm AB ; G , O là tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy; I là tâm mặt cầu. Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: AB2 R SI SG2 GI 2 R2 MJ 2 R2 JA2 MA2 R2 R2 . b b b d 4
  29. Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Lời giải S B C O A D AC a 2 Giao tuyến của mặt bên và đáy là GT AB a , bán kính đáy R , bán d 2 2 AB 3 a 3 kính mặt bên R . b 3 3 GT 2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R R2 R2 d b 4 2 2 a 3 a 2 a2 a 21 . 3 2 4 6 2 2 a 21 7 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: S 4 R 4. . a . 6 3 Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB cân tại S và có cạnh SA 2a . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Lời giải
  30. S A C B AB 3 a 3 Giao tuyến của mặt đáy và mặt bên là: GT AB a , bán kính đáy R , d 3 3 SA.SB.AB 4 15 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là: Rb a . 4S SAB 15 GT 2 Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R R2 R2 d b 4 2 2 4 15 a 3 a2 a 115 . a 15 3 4 10 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 3 4 3 4 a 115 23 15 3 V R a . 3 3 10 150 Câu 36: Cho x, y là các số thực dương. Xét các hình chóp SABC có SA x, BC y , các cạnh còn lại đều bằng 1 .Khi x, y thay đổi , thể tích khối chóp SABC có giá trị lớn nhất là 2 3 1 3 2 A. . B. . C. . D. 27 8 8 12 Lời giải:
  31. S N A B M C Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC. Do AM  BC ,→SM.  BC BC  SAM Chứng minh tương tự:.SA  BCN Do đó MN là đoạn vuông góc chung của SA vàBC vàSA  BC . x2 x2 y2 AM 2 AB2 BM 2 1 → M. N 2 AM 2 AN 2 1 4 4 4 x2 y2 → MN 1 . 4 1 1 x2 y2 Do đó:=V SA.BC.d(SA; BC).sin(SA, BC) .x.y. 1 .sin 90o 6 6 4 1 x2 y2 Hay V .x.y. 1 6 4 1 x2 y2 1 xy Do x2 y2 2xy →V .x.y. 1 x.y. 1 6 4 6 2 xy Đặt 1 t → xy 2(1 t 2 ) 2 1 1 1 Xét hàm số: f (t) .2.(1 t 2 ).t t t3 6 3 3
  32. 1 3 3 2 3 2 f (t) t 0 →t → f 3 3 3 27 2 3 4 Vậy V .Dấu bằng xảy ra khi:x y . min 27 3 Câu 37: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 2a . Tính thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD . 2a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D.a3 . 2 9 3 6 Lời giải Chọn B Gọi M , N, P,Q, H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,CD, BD, BC, AD Gọi V là thể tích của khối bát diện đều HMNPQK Ta có: V 2VK.MNPQ Lại có K.MNPQ là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a a3 2 Vậy V 2V . K.MNPQ 3 Câu 38: Người ta sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1,5cm và thành xung quanh cốc dày đều 0,2cm (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cm và khi ta đổ 180ml nước vào thì đầy cốc. Nếu giá thủy tính thành phẩm được tính là 500đ/cm 3 thì giá tiền thủy tính để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?
  33. A. 31 nghìn đồng. B. 40 nghìn đồng. C. 25 nghìn đồng. D. 20 nghìn đồng. Lời giải Chọn A. Gọi R1 , h1 và V1 theo thứ tự là bán kính, đường cao và thể tích của hình trụ phần vỏ cốc và R2 , h2 , V2 là bán kính, chiều cao và thể tích của hình trụ phần lòng cốc. V2 40 Ta có R1 R2 0,2 ; h1 h2 1,5 15 h2 13,5 ; V2 180 R2 nên h2 3 40 R 0,2 . 1 3 2 40 thể tích của phần thủy tinh là V V R2h 180 0,2 .15 180 60,71 1 2 1 1 3 cm3 . Vậy giá thành để sản xuất một chiếc cốc là 60,71.500 30355 nghìn đồng. Câu 39: Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r 30 cm , chiều cao h 120 cm . Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V .
  34. A. .VB. .C0,.1 .6D . m3 V 0,024 m3 V 0,36 m3 V 0,016 m3 . Lời giải Chọn D. O B h J x I R r A Gọi x là chiều cao của khúc gỗ hình khối trụ, R khúc gỗ hình khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có R h x r h x R . r h h 2 r 2 thể tích khối trụ là V x.R2 x. h x h2 2 r 2 Xét hàm số V x x. h x , 0 x h . h2 r 2 h Ta có V x h x h 3x 0 x hay x h . h2 3 Bảng biến thiên h x 0 h 3 V x 0 0 4 r 2h V x 27 0 0 h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ làx 40 cm ; 3 2 2 4 r h 4. .30 .120 3 3 Vmax 16000 cm 0,016 m . 27 27 Câu 40: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 3 , AD a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCDD .
  35. 13 13 a3 5 5 a3 13 13 a3 5 10 a3 A. .V B. . C. . VD. V V 6 6 24 3 . Lời giải Chọn B S I A D O B C Ta có SA  ABCD SA  BC   BC  SAB BC  SB S· BC 90 BC  AB gt  B thuộc mặt cầu đường kính SC (1). Tương tự ta cũng chứng minh được CD  SAD CD  SD S·DC 90 D thuộc mặt cầu đường kính SC (2). SA  AC (vì SA  ABCD ) S· AC 90 A thuộc mặt cầu đường kính SC (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra Mặt cầu đường kính SC là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Ta có SBC  ABCD BC BC  SAB cmt ·  SBC , ABCD S· BA 60 . SAB  ABCD AB SAB  SBC SB  SA AB.tan S· BA a.tan 60 a 3 . ABCD là hình vuông cạnh a AC a 2 . SC SA2 AC 2 3a2 2a2 a 5 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 5 S.ABCD làR . 2 4 5 5 a3 Ta có V R3 . 3 6 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 5SM 2SC , mặt phẳng ( ) qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh V SB, SD lần lượt tại hai điểm H, K . Tính tỉ số theo thể tích B.AMHK . VS.ABCD
  36. 1 8 1 6 A. . B. . C. . D. . 5 35 7 35 Lời giải Chọn D. Ta gọi: E SO  AM Dựng Ex PBD cắt SB, SD lần lượt tại H, K AHMK SM 4 Gọi F là trung điểm của MC . SF 7 SE SM 4 (vì EM POF ). SO SF 7 SH SK SE 4 ( vì HK PBD ). SB SD SO 7 VS.AHMK 1 VS.AHM VS.AMK 1 SH SM SM SK 1 4 2 4 2 8 Ta có:     . VS.ABCD 2 VS.ABC VS.ADC 2 SB SC SC SD 2 7 5 7 5 35 V BH 3 V 3 8 6 Mà B.AHMK B.AHMK  . VS.AHMK SH 4 VS.ABCD 4 35 35 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm trên cạnh SC , mặt phẳng qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, SD lần V lượt tại hai điểm H, K . Tính tỉ số theo thể tích B.AMHK . VS.ABCD 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 7 6 Lời giải
  37. Chọn D. Ta có: E SO  AM Dựng Ex PBD cắt SB, SD lần lượt tại H, K AHMK . Khi đó ta có: SH SK SE 2 (vì E là trọng tâm của SAC ) SB SD SO 3 VS.AHMK 1 VS.AHM VS.AMK 1 SH SM SM SK 1 2 1 1 2 1 Ta có:     VS.ABCD 2 VS.ABC VS.ADC 2 SB SC SC SD 2 3 2 2 3 3 V BH 1 V 1 Mà B.AHMK B.AHMK VS.AHMK SH 2 VS.ABCD 6 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SC xSM(x 1) , mặt phẳng qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt V hai cạnh SB,SD lần lượt tại hai điểm H,K . Tính tỉ số theo thể tích B.AMHK . VS.ABCD 2 x 2 x 1 A. . B. . C. . D. . x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 Lời giải
  38. Chọn D. Gọi: E SO  AM . Dựng Ex PBD cắtSB,SD lần lượt tại.H,K AHMK SM 2 SE SM 2 Gọi F là trung điểm của MC . SF x 1 SO SF x 1 SE SM 2 ( vìEM POF ). SO SF x 1 SH SK SE 2 (vìHK PBD ). SB SD SO x 1 VS.AHMK 1 VS.AHM VS.AMK 1 SH SM SM SK 2 Ta có:   . VS.ABCD 2 VS.ABC VS.ADC 2 SB SC SC SD x x 1 V BH x 1 V x 1 Mặt khác: B.AHMK B.AHMK . VS.AHMK SH 2 VS.ABCD x x 1 SH Chú ý: Bài toán trên có thể sử dụng kết quả sau đây để tính được tỉ số đơn giản hơn: SB
  39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng (P)cắt các cạnh SA,SB,SC và SD lần lượt tại A',B',C',D' . Khi đó: SA SC SB SD SA' SC' SB' SD' SA SC SB SD SB Áp dụng vào bài toán trên ta được 2 (do HK PBD , định lý SA SM SH SK SH Ta-let). Câu 44: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng AB 'C và mặt phẳng BCC B bằng 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C ? 2a3 3 a3 3 3a3 3 3a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 4 2 Lời giải Chọn D Cách 1. + Gọi M là trung điểm của BC AM  BCC B + Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , B trên B C + Khi đó B C  AMH B C  AH ·AB C , BB C ·AH, MH ·AHM 60o . a 6 AM a 2 + Ta có MH 2 HK 2MH a 2 . tan 60o 3 2 1 1 1 + Mặt khác B B a 3 . BK 2 BC 2 B B2 1 3a3 3 + Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là V B B. AB.AC . 2 2 Cách 2.
  40. + Gọi chiều cao của hình lăng trụ là h . + Đặt hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Khi đó A 0;0;0 , B a 3;0;0 , C 0;a 3;0 , a 3 a 3 B a 3;0;h M ; ;0 là trung điểm của BC . 2 2  a 3 a 3 + Vì AM  BCC B và AM ; ;0 nên n 1;1;0 là VTPT của BCC ' B ' 2 2 .   2 + Ta có AC, AB ah 3;0; 3a n1 h;0; 3a là VTPT của AB 'C . + Theo giả thiết góc giữa AB C và mặt phẳng BCC B bằng 60 1 h cos60 cos n,n1 h 3a 2 2. h2 3a2 3a3 3 + Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là V . 2 Câu 45: Khi xây nhà, anh Tiến cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích V 6 m3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 1.000.000đ/m2 và ở nắp 2 để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất 9 mà anh Tiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? A. 22000000 đ. B. 20970000 đ. C. 20965000 đ. D. 21000000 đ. Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng của bể là:x(m). (với ĐK: x 0 ). 6 Chiều dài của bể là: 3x(m). Từ đó suy ra chiều cao của bể là: (m). 3x2 2 2 2 6 6 16x 16 Tổng diện tích của bể là: S 2 .3x 2. 2 .3x 2. 2 .x . 9 3x 3x 3 x 16x2 8 8 Vì x 0 nên ADBĐT Cô si cho 3 số dương ; ; : 3 x x 16x2 8 8 16x2 8 8 2 33 . . 6.3 . 3 x x 3 x x 3
  41. 2 3 Suy ra: S 6 3 x 3 . min 3 2 Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là: 1.000.000.Smin 20970000 đ. Câu 46: Cho hình nón N có bán kính đáy r 20(cm) , chiều cao h 60(cm) và một hình trụ T nội tiếp hình nón N (hình trụ T có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T có diện tích xung quanh lớn nhất? 32000 A. V 3000 cm3 . B. V cm3 . C. V 3600 cm3 . D. 9 V 4000 cm3 . Lời giải Chọn A (Đề xuất vẽ lại hình) Gọi chiều cao hình trụ bằng x. 60 x R 60 x Ta có: R 60 20 3 2 2 2 2 Sxq 2 Rx 60x x 900 30 x 600 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 30 cm V R2 x 3000 cm3 . Câu 47: Cho hình nón N có bán kính đáy r 20(cm) , chiều cao h 60(cm) và một hình trụ T nội tiếp hình nón N (hình trụ T có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T có diện tích xung quanh lớn nhất?
  42. 32000 A. V 3000 cm3 . B. V cm3 . C. V 3600 cm3 . D. 9 V 4000 cm3 . Lời giải Chọn A Gọi chiều cao hình trụ bằng x. 60 x R 60 x Ta có: R 60 20 3 2 2 2 2 Sxq 2 Rx 60x x 900 30 x 600 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 30 cm V R2 x 3000 cm3 . Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy SA a 2 . Gọi B ', D ' là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD . Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC tại C '. Tính thể tích khối chóp S.AB 'C ' D ' là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 9 9 3 Lời giải Chọn C S C' D' B' C D A B SB ' SD ' 2a2 2 Ta có nên suy ra B ' D '/ /BD mà BD  SAC BD  SC . SB SD 3a2 3 Do đó B ' D '  SC (1) Ta có BC  SAB BC  AB ' và AB '  SB suy ra AB '  SC (2)
  43. Từ (1) và (2) suy ra AB 'C ' D '  SC nên ta có AC '  SC SC ' 2a2 1 . SC 4a2 2 V 2V SB ' SC ' 2 1 1 Ta có SA'B'C 'D' SAB'C ' . . . VSABCD 2VSABC SB SC 3 2 3 1 a3 2 Mà V a2.a 2 . SABCD 3 3 1 a3 2 a3 2 Vậy V . . SAB'C 'D' 3 3 9 Tổng quát: Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt SA, SB, SC, SD tại A', B ',C ', D '. Ta có VSA'B'C 'D' 1 SA' SB ' SC ' SD ' SA SB SC SD . . . VSABCD 4 SA SB SC SD SA' SB ' SC ' SD ' Câu 49: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. 2 R 6 2 R 2 2 R 3 R 6 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A. Độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x nên chu vi đường tròn đáy của hình nón là x . x Do đó bán kính đường tròn đáy của hình nón là r . 2 Hình nón luôn có đường sinh là R . 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x Nên đường cao của hình nón là: h R R 2 h R 2 . 2 4 4 1 1 x2 x2 1 x2 Suy ra thể tích khối nón là: V .h.S . R2 . . x2 R2 3 3 4 2 4 2 12 4 2 2 2 x 2 x x 2 2 R 2 2 1 2 x 2 2 x 4 8 Tính V ' 2x R 2 x 12 4 x2 6 x2 2 R2 R2 4 2 4 2
  44. 2 R 6 V ' 0 x (vì x 0 ) 3 Câu 50: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB 2a 2 . Biết AC 8a và tạo với mặt đáy một góc 450 . thể tích khối đa diện ABCC B bằng 16a3 6 8a3 6 16a3 3 8a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C. - Gọi H là hình chiếu của C trên mặt đáy. Ta có (AC ,(ABC)) C· AH 45o 2 - Chiều cao của lăng trụ là: h AC .sin 450 8a. 4a 2. 2 AB2 3 (2a 2)2 3 - Diện tích đáy ABC là: S 2 3a2 ABC 4 4 2 3 - thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là: VABC.A B C B.h 2 3a .4a 2 8 6a 2 2 16a3 6 - thể tích khối đa diện ABCC B là: V V .8 6a3 . ABCC 'B 3 ABCA B C 3 3 Câu 51: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3a , AC a . Gọi Q là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm D di động trên Q sao cho tam giác DBC nhọn và hai mặt phẳng DAB và DAC lần lượt hợp với mặt phẳng ABC hai góc phụ nhau. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp D.ABC . a3 3 3a3 3a3 2 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 13 10 8 Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có, DH MH tan D· NH tan M· DH DH 2 NH.MH . NH DH MH MH 1 Đặt NH x 0 x 3a . Ta có (do ABC : MBH ) MB 3a x 3 2 2 1 2 1 1 3a x x 3a 3 MH 3a x . Do đó DH 3a x x DH 3 3 3 2 4 2 3a Dấu " " xảy ra khi 3a x x x . 2
  45. 1 1 3a 3a3 3a Vậy V . 3a.a. khi DH . D.ABC Max 3 2 2 4 2 Câu 52: Cho hình hộp ABCD.A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc B· AD, D· AA , ·A AB đều bằng 60°. Tính thể tích tứ diện ACB D theo a. a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 24 36 6 12 Lời giải Chọn C. Theo giả thiết ta có các tam giác ABD, BB C, D DC đều cạnh a BD B D B C D C a Mặt khác AC AB AD AB2 BC 2 2AB.BC.cos120o a 3 Xét hình chóp đều A.B D C cạnh bên bằng a 3 , cạnh đáy bằng a ta có a2 3 S S d B D C 4 2 2 a 3 a 3 Gọi O là trọng tâm tam giác đều B D C ta có CO CM . 3 3 2 3 2 2 2 2 a 3 2a 6 h AO AC CO 3a 3 3
  46. 1 1 a2 3 2a 6 a3 2 Vậy V S .h . . . AB'D'C 3 d 3 4 3 6 Câu 53: Cho hình hộp MNPQ.M N P Q có các cạnh đều bằng 2a , với a 0;a R . Biết Q· MN 60 , M· MQ M· MN 120 . Tính thể tích V của khối hộp MNPQ.M N P Q theo a . A. V 2.a3 . B. V 4 2.a3 . C. V 8.a3 . D. V 2 2.a3 . Lời giải Chọn B. N P M M Q P' N' N M' O M' Q' Q . Do hình chóp M.NQM có 3 cạnh bên cùng bằng 2a nên chân đường cao của hình chóp M.NQM là tâm O của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy NQM . Như thế VMNPQ.M N P Q 6.VM .NQM 2S NQM .OM . Từ giả thiết ta có MNQ đều, suy ra NQ 2a . Dùng định lý côsin cho M MN và M MQ ta tính được. M N M Q 2a 3 . 2 Dùng Hêrông cho NQM ta tính được S NPM a 11. . NQ.QM .NM 6a Từ đó bán kính đường tròn ngoại tiếp NQM là ON . 4S NQM 11 2a 22 Xét tam giác OMN, ta có OM MN 2 ON 2 . 11 2a 22 Vậy V 2.a2 11. 4a3 2 . MNPQ.M N P Q 11 Câu 54: Cho hình hộp ABCD.A B C D có sáu mặt đều là hình thoi cạnh a và góc nhọn của hình thoi bằng 60. Tính thể tích V của khối chóp A .BB D D.
  47. 2a3 3a3 a3 2a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 18 3 9 6 Lời giải Chọn D Ta có: AB AD BD a; AA A B A D a A .ABD là tứ diện đều Chân đường cao A H trùng với tâm của ABD 2 2 a 3 a 3 3a2 6a2 HA HB HD AO . A H 2 A A 2 AH 2 a2 3 3 2 3 9 9 a 6 A H . 3 2a3 2a3 V ;V A .ABD 12 A B C .ABC 4 2a3 V V V A .BB D D ABC.A B C A ABD 6 Câu 55: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a 2 . Đường chéo AB của mặt bên ABB A tạo với mặt phẳng đáy một góc và tan 2 . Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho theo a. A. 4 a3 . B. 2 2 a3 . C. 8 a3 . D. 2 a3 .
  48. Lời giải A' C' Chọn D B' Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có bán kính đường tròn đáy là BC 2a AH a. 2 2 α · · A C Ta có: AB ', ABC B ' AB a 2 H B V Bh R2h a2.a 2. 2 2 a3. Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD . Biết khoảng cách giữa hai đường a 3 thẳng BC và SM bằng . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a. 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 12 Lời giải. Chọn C S H A B M D N C Ta gọi N là trung điểm của AB , suy ra MN song song với BC Ta có d(SM , BC) d(BC,(SMN)) d(B,(SMN) d(A,(SMN)) Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng SN Dễ dàng chứng minh được AH vuông góc với mặt phẳng SMN Ta có 1 1 1 a 3 a , AH , AN AH 2 SA2 AN 2 4 2
  49. a 3 1 1 a 3 3 Nên SA và V SA.S .a2 a3 2 ABCD 3 ABCD 3 2 6 Đáp án C đúng Câu 57: Hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có diện tích đáy bằng 4 , diện tích ba mặt bên lần lượt là 9,18 và 10. thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' bằng 4 11951 11951 A. 4 11951 . B. . C. 11951 . D. . 2 2 Lời giải Chọn A Gọi a, b, c 0 là ba cạnh của tam giác đáy; h là chiều cao của lăng trụ ABC.A' B 'C '; S1, S2 , S3 là diện tích ba mặt bên. S S S Ta có: a 1 , b 2 , c 3 h h h a b c S S S S p( p a)( p b)( p c) với p 1 2 3 2 2h S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S1 S2 S3 S2 S1 S2 S3 S3 S 2h 2h h 2h h 2h h S1 S2 S3 S3 S2 S1 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S 2h 2h 2h 2h 1 S S S S S S S S S S S S S 4h2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 h S S S S S S S S S S S S 4S 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' là 1 V h.S S. S S S S S S S S S S S S 4 11951 . 4S 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 Câu 58: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng a 2 cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2
  50. a3 3a3 a3 A. V . B. V a3 . C. V . D. V . 2 9 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi H AH  SB . (1) Mà BC  SAB ,do BC  AB, BC  SA SA  ABCD , AH  SAB . Nên BC  AH . (2) a 2 (1), (2) suy ra AH  SBC H nên AH . 2 1 1 1 1 1 1 1 Tam giác vuông SAB có nên hay SA a . AH 2 AB2 SA2 SA2 AH 2 AB2 a2 1 1 V S .SA a3 . 3 ABCD 3 Câu 59: Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 1 3 2 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 2 3 Lời giải Chọn B Đặt AB AC x x 0 , SA y y 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SI 1 . Ta có: BC  AI, BC  SA BC  SAI BC  AH, BC  SI 2 . Từ (1) và (2) suy ra d A, SBC AH 3. Góc giữa SBC và ABC bằng góc giữa SI và AI S¶IA . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 3.3 9 AH 2 AI 2 SA2 AB2 AC 2 SA2 x2 x2 y2 x4 y2 1 1 2 3 x y 81 3. 27 x4 y2
  51. 1 1 27 3 Mặt khác V SA.AB.AC x2 y 6 6 2 27 3 V dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x y 3 3. min 2 BC AB 2 3 3. 2 3 6 Suy ra: AI . 2 2 2 2 SA.AI 9 2 Mà SI.AH SA.AI SI . AH 2 AI 3 Vậy cos . SI 3 Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 30 . Tính tỉ 3V số biết V là thể tích khối chóp S.ABCD . a3 3 3 8 3 A. . B. . C. 3 . D. . 12 2 3 Lời giải Chọn D. Dễ thấy SA  ABCD và góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 30 và là 2a 3 1 2a 3 8a3 3 góc S· BA. Nên SA AB.tan 30 , suy ra V . .4a2 3 3 3 9 3V 8 3 . a3 3 Câu 61: Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R , chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính phần thể tích của khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chổ. 10 R3 3 R3 10 R3 A.  B.  C. 0. D.  2 4 3 Lời giải Chọn D +) Chiểu cao của hộp bóng bàn là h 10R . 2 3 Suy ra thể tích của hộp bóng bàn là V(H ) R h 10 R .
  52. 4 20 +) thể tích của 5 quả bóng bàn là V 5. R3 R3 . (B) 3 3 20 10 Suy ra thể tích cần tính là V V V 10 R3 R3 R3 . (H ) (B) 3 3 Câu 47: [2H1-3] Cho hình đa diện SABCD như hình vẽ: S D C B A Biết SA 4, SB 2, SC 3, SD 1 và ASB BSC CSD DSA 600. thể tích khối đa diện SABCD là 3 2 A. 3 2. B.  C. 4 2. D. 2. 2 Lời giải Chọn A S C' D O A' B' B C A Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B ', C ' sao cho SA' SB ' SC ' SD 1. Khi đó S.A' B 'C ' D ' là một chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 1, có thể tích 1 V . 0 3 2 1 VS.ABC 4.3.2 V0 12V0 2 2 2 1 VS.ACD 4.3 V0 6V0 2 2 Vậy VSABCD VS.ABC VS.ACD 3 2
  53. Câu 62: Cho hình trụ và hình vuông ABCD có cạnh a . Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai, mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy một góc 45. Khi đó thể tích khối trụ là a3 2 3 a3 2 a3 2 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 16 16 Lời giải Chọn D Gọi O,O lần lượt là tâm của đường tròn hai đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của O và O lên các đoạn AB , CD ; dễ dàng thấy M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD . Gọi I là giao của O O và MN . Có OM  AB AB  IOM nên góc giữa ABCD và đáy là góc O· MI . IM a 2 Vậy tam giác IMO vuông cân đỉnh O nên OI OM . 2 4 a 2 a2 2a2 3a2 Suy ra O O và OA2 AM 2 OM 2 . 2 4 16 8 a 2 3a2 3 2a3 thể tích khối trụ bằng V O O. .OA2 . . . 2 8 16 Câu 63: Cho khối cầu tâm O bán kính là 6cm . Mặt phẳng P cách O một khoảng là x cắt khối cầu theo một hình tròn C . Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn C . Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của x bằng A. 2cm . B. 3cm . C. 4cm . D. 0cm . Lời giải Chọn A. Điều kiện 0 x 6 . -Bán kính của hình nón là: r 62 x2 36 x2 -thể tích khối nón lớn nhất với trường hợp chiều h 6 x 1 -Khi đó thể tích khối nón là:V r 2h 36 x2 x 6 . f (x) 3 3 3 2 x 6 (L) +Ta có f '(x) 3x 12x 36 và f '(x) 0 x 2 . x 2 (N)
  54. Vậy x 2cm thì khối nón có thể tích lớn nhất. Câu 64: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . thể tích khối chóp S.ABC bằng a3 5 a3 5 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 24 8 24 12 Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi H là trọng tâm của ABC , điểm M là trung điểm của BC và I SM  EF . Suy ra I là trung điểm của SM và AI  EF (do AEF cân tại A ). AEF  SBC Ta có EF AEF  SBC AI  SBC AI  SM . AI  EF a 3 Do đó SAM cân tại A . Từ đó SA AM . 2 2 a 3 a 15 Ta có AH AM ; SH SA2 AH 2 . 3 3 6 AB2 3 a2 3 Diện tích S . ABC 4 4 1 a3 5 thể tích V S .SH . S.ABC 3 ABC 24 Câu 65: Cho khối cầu S có tâm I , bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất. O O R 2 R 3 2R 3 A. h . B. h R 2 . C. . D. . 2 3 3
  55. Hướng dẫn giải Chọn D. h2 Bán kính đáy của hình trụ là r R2 . 4 2 3 2 2 h h 2 Do đó thể tích của khối trụ là V r h R h R h . 4 4 h3 Xét hàm số f h R2 h với h 0;2R . 4 3h2 2R 3 Ta có f h R2 , f h 0 h . 4 3 Bảng biến thiên 2R 3 h 0 3 V 0 V Vmax 2R 3 Từ bảng biến thiên suy ra thể tích của khối trụ lớn nhất khi h . 3 Câu 66: Một khúc gỗ dạng nón có bán kính đáy bằng r 30cm , chiều cao h 120cm . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ sau khi chế tác. Tính V . A. 0,16 m3 . B. 0,36 m3 . C. 0,024 m3 . D. 0,016 m3 . Lời giải. Chọn D.
  56. h h' x O B A Giả sử khối trụ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là x , h' 0 x 30;0 h' 120 . h' 30 x Ta có h' 120 4x . 120 30 thể tích khối trụ V x2h' x2 120 4x 120 x2 4 x3 , 0 x 30 . V x 240 x 12 x2 . x 0 V x 0 . x 20 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 20 . Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là V 16000 cm3 0,016 m3 . Câu 67: Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện. 6a 3a 6a A. a 6 . B. . C. . D. . 9 2 3 Lời giải Chọn D
  57. Gọi V là thể tích tứ diện đều ABCD và gọi h1 , h2 , h3 , h4 lần lượt là khoảng cách từ I đến các mặt BCD , ACD , ABD , ABC . Đặt V1 VIBCD , V2 VIACD V3 VIABD , V4 VIABC . Ta có V V1 V2 V3 V4 . 1 3V1 V1 h1.SBCD h1 3 SBCD 3V2 3V3 3V4 Tương tự h2 , h3 , h4 . SACD SABD SABC 3V1 3V2 3V3 3V4 Vậy h1 h2 h3 h4 . SBCD SACD SABD SABC a2 3 Lại có tứ diện ABCD là tứ diện đều nên S S S S BCD ACD ABD ABC 4 a3 2 3. 3 V1 V2 V3 V4 3V 12 a 2 a 6 Suy ra h1 h2 h3 h4 . a2 3 a2 3 a2 3 3 3 4 4 4 Cách trắc nghiệm: Chọn đặc biệt I  A . Khi đó tổng khoảng cách từ I đến các mặt của 6a tứ diện bằng khoảng cách từ A đến mp BCD và bằng . 3
  58. Câu 68: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. 8 2 . C. 16 2 . D. 24 3 . Lời giải Chọn B. Gọi a , b , c là kích thước các mặt của hình hộp chữ nhật. Không mất tính tổng quát giả sử 0 a b c . ab ac bc 18 Theo đề ta có: 2 2 2 a b c 6 2 a b c 36 Từ đó suy ra b c 6 2 a và 0 a 2 2 . ab ac bc 18 bc 18 a b c a2 6 2a 18 . thể tích khối hộp là V abc a a2 6 2a 18 . Xét hàm f a a3 6 2a2 18a với 0 a 2 2 . a 2 f a 3a2 12 2a 18 ; f a 0 3a2 12 2a 18 0 . a 3 2 Bảng biến thiên: Vậy thể tích lớn nhất của khối hộp là 8 2 . Câu 69: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước có chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng - ti – mét? ( làm tròn sau dấu phẩy hai chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc). A. 2,67cm . B. 2,75cm . C. 2,25cm . D. 2,33cm . Lời giải Chọn A.
  59. 4 16 thể tích của 4 viên bi là: 4. r3 cm3 . 3 3 Gọi h là chiều cao nước dâng lên. Khi đó thể tích của 4 viên bi đúng bằng thể tích nước 16 4 dâng lên. Do đó ta có .22.h h cm . 3 3 4 8 Vậy nước dâng cao cách mép cốc là: 12 8 2,67cm . 3 3 Câu 70: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O ' , bán kính đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B sao cho AB 7a . thể tích của khối tứ diện OO ' AB bằng: 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 3 2 Lời giải Chọn B A' O' H D B A O Kẻ đường sinh AA', gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm O ' và H là hình chiếu vuông góc của B trên A' D .
  60. BH  A' D 1 Ta có BH  AOO ' A' nên VOO' AB SOO' A.BH BH  OO ' 3 Trong tam giác vuông A' AB có A' B AB2 AA'2 3a . Trong tam giác vuông A' BD có BD A' D2 A' B2 a . 3a Do đó suy ra tam giác BO ' D đều nên BH . 2 1 1 1 3a3 Vậy V S .BH . OA.OO '.BH . OO' AB 3 OO' A 3 2 6 3 Câu 71: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 , AC BD . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm 4 các cạnh AB, BC,CD, DA. Gọi M , N, I, K lần lượt là trung điểm các cạnh EF, FG,GH, HE. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay tứ giác MNIK quanh trục HG . A. 9 . B. 18 . C. 24 . D. 30 . Lời giải Chọn B. Gọi O là tâm hình thoi ABCD ta tính được OA 3,OD 4cm . Gọi V1 là thể tích của khối nón cụt tạo bởi IMNG quay quanh HG . V1 có chiều cao là 3 2 , bán kính đáy là r và R 3. 2 2 1 3 3 2 21 V1 .2 .3 3 . 3 2 2 2 Gọi V2 là thể tích của khối nón tạo bởi NGI quay quanh HG .V2 có chiều cao là 2 và 3 bán kính đáy là . 2 3 V . 2 2 thể tích cần tìm V 2.(V1 V2 ) 18 . Câu 72: Cho hình thang ABCD có µA Bµ 90 , AB BC a , AD 2a . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh CD . 7 a3 7 2 a3 7 2 a3 7 a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 12 6
  61. Lời giải Chọn B. B A H C B A D Khối nón đỉnh D , trục CD có CD a 2 , bán kính đáy CA a 2 1 2 2 a3 Nên khối nón có thể tích V CD. .CA2 . 1 3 3 a 2 a 2 Khối nón cụt có trục CH , hai đáy có bán kính CA a 2 và HB nên thể 2 2 3 1 2 2 7 2 a tích khối nón cụt là V2 CH. . CA HB CA.HB 3 12 1 2 a3 Khối nón đỉnh C , trục CH có thể tích V CH. .HB2 3 3 12 7 2 a3 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: V V V V . 1 2 3 6 Câu 73: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD 3a và BC x với 0 x 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD (kể V 7 cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để 1 . V2 5 3a 7a A. x . B. x . C. .x 2a D. . x a 4 5 Lời giải Chọn B. 2 1 V1 a 2a x , 3 2 2 V1 7 1 2 V2 a a x .Theo đề ta có 5 2a x 7 a x x a . 3 V2 5 3 3
  62. Câu 74: Cho tứ diện ABCD có AB AC BD CD 1 . Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, BC bằng 1 2 1 1 A. .B. . C. . D. . 2 3 3 3 Lời giải Chọn C. Gọi M là trung điểm của BC , Vì DBC, ABC cân BC  (ADM ) , Kẻ MN  AD MN là đoạn vuông góc chung của AD, BC , đặt AD x, BC y x2 y2 MN 1 . 4 4 1 1 x2 y2 2 x y x2 y2 V AD.BC.MN xy 1 ( )( ) 1 . ABCD 6 6 4 4 3 2 2 4 4 2 3 x y x2 y2 2 3 Áp dụng BĐT côsi: V , dấu bằng xảy ra khi 1 x y 27 2 2 4 4 3 . 3 Vậy MN . 3 Câu 75: Cho tứ diện ABCD có AB x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại bằng a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. a 3 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . . D. . 3 4 4 3 Lời giải Chọn B
  63. Gọi M là trung điểm của BC , Vì DBC, ADC đều DC  (ABM ) , Kẻ MN  AB MN là đoạn vuông góc chung của AD, BC , a 3 Dựng AH  BM AH  (BDC) , ta có AH AM . 2 a 3 V lớn nhất khi AH lớn nhất AH AM . ABCD 2 AM.MB a 6 Khi đó AMB vuông tại M d(AB,CD) MN . AM 2 MB2 4 Câu 76: Cho hình chóp S.ABC có SA =SB = SC = 2, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. 5 5 2 4 A. . B. . C. . D. 8 4 3 3 Lời giải Chọn A BC x2 1 Gọi H là trung điểm của BC ta có SH  ABC và AC = x thì AH . 2 2 15 x2 SH SA2 AH 2 . 2 1 1 x2 15 x2 5 V S SH x 15 x2 . SABC 3 ABC 12 2.12 8 30 Dấu bằng xảy ra khi x2 15 x2 x . 2 Câu 77: Cho hình chữ nhật S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AD = 4a, các cạnh bên bằng nhau bằng 6a. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD ? 130a3 125a3 128a3 250a3 A. . B. C. . D. 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm của đáy ta có SO  ABCD . 2 2 2 2 x 4a x Đặt AB = x ta được SO 6a 32a2 . 4 4
  64. Suy ra : 1 1 x2 2 V SO.S 4ax 32a2 ax 128a2 x2 SABCD 3 ABCD 3 4 3 2 x2 128a2 x2 128a3 a . 3 2 3 Dấu bằng xảy ra khi : x 128 x2 x 8a . Câu 78: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA  ABCD và SC hợp với đáy góc 300 . Mặt phẳng P quaA vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại E, F, K . Tính thể tích khối chópS.AEFK theo V . V 2V 3V V A. . B. . C. . D. . 10 5 10 5 Lời giải Chọn A. SF 1 SE 2 SK 2 Có ; ; SC 4 SB 5 SD 5 VSAEFK 1 V VSAEFK . VSABCD 10 10 Câu 79: Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB BC CD DA 1 vàAC , BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng. 2 3 4 3 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. 27 27 9 9 Lời giải Chọn A. BD y 1 Đặt V AC.BD.d AC, BD sin AC, BD . AC x 6
  65. BD  AH H là trung điểm của BC BD  AC sin AC; BD 1 . BD  CH Từ H kẻ HK  AC d AC; BD HK , K là trung điểm của AC . x2 y2 HK 1 . 4 1 x2 y2 1 xy V xy 1 xy 1 M . 6 4 6 2 xy Đặt t 1 0 xy 2 2t 2 . 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 2 2 3 M 1 t t t t t t . 3 3 3 27 27 27 3 27 27 2 3 Dấu “=” xảy ra x y . 3 Câu 80: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3, AD 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 250 3 125 3 500 3 50 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 6 27 27 Lời giải Chọn C. S M I B A H C D Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD Ta có cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 , nghĩa là:
  66. S· AH S· BH S· CH S·DH 60 Từ đó suy ra: HA HB HC HD hay H là tâm của hình chữ nhật ABCD hay H AC  BD Có AC BD 32 42 5 . 5 5 3 AH 5 Suy ra: SH tan 60. và SA .2 5 . 2 2 cos60 2 Gọi M là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng SAH , dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với SA và cắt SH tại I . Khi đó điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 5 5. SM SI SM.SA 5 3 Có: SMI : SHA R SI 2 . SH SA SH 5 3 3 2 3 4 3 4 5 3 500 3 Vậy V R . 3 3 3 27 Câu 81: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a . Gọi I là trung   điểm AC . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa BI 3.IH . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 600 . thể tích của khối chóp S.ABC là a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 9 6 18 3 Lời giải Chọn A
  67. z y K H AS I C B x Cách 1 - Gọi K là hình chiếu của I trên SB . Ta có AC  BH, SB AC  (SBH ) , SB  IK, AC SB  (AKC) ((·SAD),(SBD)) (K·A, KC) . - Trường hợp 1: ·AKC 60 0 a 6 a 2 Tam giác AKC là tam giác đều cạnh a 2 nên KI BI , vô lý. 2 2 - Trường hợp 2: ·AKC 120 0 AK a 6 4 2a 2 a 3 AKI có tan 600 KI ,BH BI , BK BI 2 IK 2 KI 6 3 3 3 SH BH 2a BKI : BHS suy ra SH . KI BK 3 1 a3 Vậy V S .SH . 3 ABC 9 Cách 2 Chọn hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, đặt SH h . Ta có a 2 a 2 a 2 a 2 2a 2 A ; ;0 , C ; ;0 , B 0;0;0 , S 0; ;h . 2 2 2 2 3   ah 2 ah 2 2a BA, BS ; ; . 2 2 3
  68. h 2 h 2 2 Ta chọn vectơ pháp tuyến của làS AB n ; . ; 1 2 2 3   ah 2 ah 2 2a BC, BS ; ; . 2 2 3 h 2 h 2 2 Ta chọn vectơ pháp tuyến của làS BC n ; . ; 2 2 2 3 3 | n1.n2 | 1 2a 1 a Suy ra h . Vậy V SABC .SH . | n1 |.| n2 | 2 3 3 9 Câu 82: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O , O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB 2a . thể tích tứ diện OO AB là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 24 6 12 3 Lời giải Chọn C. Hạ AA vuông góc với mặt phẳng đáy O , A O . Xét tam giác vuông AA B ta có A B AB2 AA 2 a 3 . Gọi M đối xứng với A qua O . Hạ đường cao BH xuống O M . 1 1 1 a 3 Dễ dàng nhận thấy BH . BH 2 BA 2 BM 2 2 1 1 1 a 3 a3 3 Ta có V V V .BH.S . .a2 . OO AB B.OO A 2 B.OO AA 6 OAA O 6 2 12 Câu 83: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB 2a, AC 3a . Mặt phẳng A BC hợp với mặt phẳng A B C một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 3a3 39 9a3 39 18a3 39 6a3 39 A. . B. . C. . D. . 26 26 13 13 Lời giải Chọn C
  69. A A BC  A B C Ta có B C //BC A BC  A B C A d //BC//B C B C  A B C ; BC  A BC Dựng A H  B C A H  A d Dựng A K  BC A K  A d Góc mặt phẳng A BC với mặt phẳng A B C là K· A H K· A H 60 A B 2.A C 2 6 13 Ta có A H a A B 2 A C 2 13 6 39 Ta có BB HK tan 600.A H a 13 1 1 6 39 18 39 Vậy V BB .S AB.AC.BB 2a.3a a a3 ABC.A B C ABC 2 2 13 13 Câu 84: Cho tứ diện ABCD có AB CD 6 cm , khoảng cách giữa AB và CD bằng 12 cm , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 300. Tính thể tích khối tứ diện A. 36 cm3 . B. .2 5 cm3 C. . 60cmD.3 . 32 cm3 Lời giải Chọn A Lấy D ' sao cho DCBD ' là hình bình hành Ta có d CD, AB d CD, AD ' B d D, AD ' B 12 1 VABCD VA.BCD VA.DBD' VD.AD'B d D, AD ' B .SAD'B 3 1 1 1 Với S AB.BD '.S .6.6. 9 AD'B 2 AD'B 2 2 1 3 Do đó:VABCD .12.9 36 cm 3 Câu 85: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và ABB’A’ bằng 7. thể tích khối lăng trụ là A. 10. B. 12. C. 14. D. 16. Lời giải
  70. Chọn C 1 Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có: V V ABC.A B C 2 ABCD.A B C D Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai đáy là ABB’A’ và DCC’D’. Vậy VABCD.A B C D SABB A .h Trong đó: h d CDD C , ABB A d CC , ABB A 7 1 và S 4 V .4.7 14 . ABB A ABC.A B C 2 Câu 86: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC ) và (AB C ) bằng 60 (tham khảo hình vẽ bên). thể tích của khối chóp B .ACC A bằng a3 a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Lời giải Chọn A. Ta có ACC  AB C AC . Gọi G là trung điểm của A C , H là hình chiếu của G lên AC . Ta có GH  (ACC A ) , GH  AC Ta có B G  ACC A B G  AC suy ra BH  AC . Vậy góc giữa AB C và ACC A là góc G· HB 60 . 1 a 2 a 6 Ta có V S .B G , B G , GH B G.cot 60 . B .ACC A 3 ACC A 2 6 a 6 GH AA x x 3 6 x a GC AC a 2 x2 2a2 x2 2a2 3 2 1 a 2 a3 V a.a 2. . B .ACC A 3 2 3 Câu 87: Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R , chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và dưới cùng
  71. tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính phần thể tích của khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chổ. 10 R3 3 R3 10 R3 A.  B.  C. 0. D.  2 4 3 Lời giải Chọn D +) Chiểu cao của hộp bóng bàn là h 10R . 2 3 Suy ra thể tích của hộp bóng bàn là V(H ) R h 10 R . 4 20 +) thể tích của 5 quả bóng bàn là V 5. R3 R3 . (B) 3 3 20 10 Suy ra thể tích cần tính là V V V 10 R3 R3 R3 . (H ) (B) 3 3 Câu 88: Cho hình đa diện SABCD như hình vẽ: S D C B A Biết SA 4, SB 2, SC 3, SD 1 và ASB BSC CSD DSA 600. thể tích khối đa diện SABCD là 3 2 A. 3 2. B.  C. 4 2. D. 2. 2 Lời giải Chọn A
  72. S C' D O A' B' B C A Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B ', C ' sao cho SA' SB ' SC ' SD 1 . Khi đó S.A' B 'C ' D ' là một chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 1 , có thể tích 1 V . 0 3 2 1 VS.ABC 4.3.2 V0 12V0 2 2 2 1 VS.ACD 4.3 V0 6V0 2 2 Vậy VSABCD VS.ABC VS.ACD 3 2 Câu 89: Cho hình chóp S.ABC có AB 3a , AC 3 3a , BC 6a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn ·AHB B· HC C· HA 120 . Biết rằng tổng diện tích của các mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHB , S.BHC , S.CHA bằng 288 a2 . thể tích của khối chóp S.ABC là A. .9 3a3 B. . 6 3a3 C. . D.3 .3a3 12 3a3 Lời giải Chọn D. Vì BC 2 AB2 AC 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Gọi r1 , r2 , r3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB , BHC , CHA và R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.AHB , S.BHC ,S .CHA . AB AB 3a Ta có 2r1 r1 a 3 . sin ·AHB 2sin ·AHB 2sin120 BC 6a AC 3a 3 Tương tự r2 2a 3 ; r3 3a . 2sin B· HC 2sin120 2sin C· HA 2sin120 Gọi J là trung điểm của SH . Đặt SH 2x .
  73. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó R1 SJ r1 x 3a ; R2 SJ r2 x 12a ; R3 SJ r3 x 9a . 2 2 2 2 Theo giả thiết S 4 R1 R2 R3 288 a 3x2 24a2 72a2 x2 16a2 x 4a . thể tích của khối chóp S.ABC là 1 1 1 1 V S .SH . .AB.AC.SH .3a.3 3a.8a 12a3 3 . 3 ABC 3 2 6 Câu 90: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn ·AHB 150 , B· HC 120 , C· HA 90 . Biết rằng 31 tổng diện tích của các mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHB , S.BHC , S.CHA bằng a2 3 . thể tích của khối chóp S.ABC là a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 12 2 3 6 Lời giải Chọn D. Gọi r1 , r2 , r3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB , BHC , CHA và R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.AHB , S.BHC ,S .CHA . AB AB a Ta có 2r1 r1 a . sin ·AHB 2sin ·AHB 2sin150 BC a a 3 AC a a Tương tự r2 ; r3 . 2sin B· HC 2sin120 3 2sin C· HA 2sin 90 2 Gọi J là trung điểm của SH . Đặt SH 2x . a2 a2 Khi đó R2 SJ 2 r 2 x2 a2 ; R2 SJ 2 r 2 x2 ; R2 SJ 2 r 2 x2 . 1 1 2 2 3 3 3 4 2 2 2 31 2 2 19 2 31 2 Theo giả thiết S 4 R1 R2 R3 a 3x a a 3 12 12 a2 a 3 x2 x . 3 3 1 1 a2 3 2a 3 a3 thể tích của khối chóp S.ABC là V S .SH . . . 3 ABC 3 4 3 6 Câu 91: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng 2a , SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi H lầ,nE
  74. lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm SCD . Biết khoảng cách từ điểm đếHn 3a 2 mặt phẳng bSằEngD . Tính thể tích của khối chóp G.A theoHED . a 4 Lời giải Gọi F là giao điểm của HC và ED , dựng HK  SF . Vì ABCD là hình vuông HC  ED Mặt khác ta có SH  ED vì SH  ABCD ( SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD ). Vậy ED  SHC ED  HK mà HK  SF vậy HK  SED . 3a 2 HK là khoảng cách từ H tới SED HK . 4 Xét tam giác vuông HBC Theo pitago ta có : HC 2 BC 2 BH 2 HC BC 2 BH 2 a 5 Xét CFE và CBH Có : Cµ chung C· FE C· BH 90
  75. CF CE CF a 2a 3a CFE : CBH CF HF . CB CH 2a a 5 5 5 Gọi I là trung điểm CD Trong mặt phẳng SHI dựng GP / /SH GP  AHED vì (SH  ABCD ) Xét tam giác vuông SHF theo hệ thức tam giác vuông ta có : 1 1 1 HS a 3 . HK 2 HS 2 HF 2 IG GP 1 a 3 Vì G là trọng tâm tam giác SCD GP . IS SH 3 3 a2 5a2 a 3 Xét chóp G.AHED có :S S S S 4a2 a2 , GP AHED ABCD HBE ECD 2 2 3 1 1 a 3 5a2 5 3a3 V .GP.S . . . G.AHED 3 AHED 3 3 2 18 Câu 92: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a , SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi H lầ,nE lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm SCD . Biết thể tích của khối chóp 5 3a3 G.AHED là . Tính khoảng cách từ điểm Hđến mặt phẳng theo S ED . a 144 Lời giải Gọi F là giao điểm của HC và ED , dựng HK  SF . Vì ABCD là hình vuông HC  ED
  76. Mặt khác ta có SH  ED vì SH  ABCD ( SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD ). Vậy ED  SHC ED  HK mà HK  SF vậy HK  SED . HK là khoảng cách từ H tới SED đặt HK x . Xét tam giác vuông HBC a 5 Theo pitago ta có : HC 2 BC 2 BH 2 HC BC 2 BH 2 2 Xét CFE và CBH Có : Cµ chung , C· FE C· BH 90 a CF CE CF 2 a 3a CFE : CBH CF HF . CB CH a a 5 5 2 5 2 a2 a2 5a2 Xét chóp G.AHED có : S S S S a2 AHED ABCD HBE ECD 8 4 8 1 1 5a2 5 3a3 a 3 V .GP.S .GP. GP . G.AHED 3 AHED 3 8 144 6 Gọi I là trung điểm CD Trong mặt phẳng SHI dựng GP / /SH GP  AHED vì (SH  ABCD ) IG GP 1 a 3 Vì G là trọng tâm tam giác SCD SH . IS SH 3 2 Xét tam giác vuông SHF theo hệ thức tam giác vuông ta có : 1 1 1 1 1 1 3a 2 2 2 2 2 2 2 HK . HK HS HF x a 3 3a 2 8 2 5 Câu 93: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a , SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi H lầ,nE lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm SCD . Biết góc của vàH Cmặt phẳng SED bằng 45 . Tính thể tích của khối chóp G.AHED theo a . Lời giải
  77. Gọi F là giao điểm của HC và ED , dựng HK  SF . Vì ABCD là hình vuông HC  ED Mặt khác ta có SH  ED vì SH  ABCD ( SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD ). Vậy ED  SHC ED  HK mà HK  SF vậy HK  SED . H· FK là góc của HC với SED H· FK 45 SHF vuông cân tại H Xét tam giác vuông HBC a 5 Theo pitago ta có : HC 2 BC 2 BH 2 HC BC 2 BH 2 2 Xét CFE và CBH Có : Cµ chung ; C· FE C· BH 90 a CF CE CF 2 a 3a CFE : CBH CF HF . CB CH a a 5 5 2 5 2 3a SH HF ( vì SHF vuông cân tại H ) 2 5 IG GP 1 a Vì G là trọng tâm tam giác SCD GP . IS SH 3 2 5
  78. 2 2 2 2 a a 5a a Xét chóp G.AHED có : SAHED SABCD SHBE SECD a ; GP 8 2 8 2 5 1 1 a 5a2 5 5a3 V .GP.S . . . G.AHED 3 AHED 3 2 5 8 240 Câu 94: Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng A. .4B5.0 . C. . 90D.0 . 1200 600 Lời giải Chọn D. BC  AB Ta có BC  SAB BC  AM (1) BC  SA Mặt khác theo giả thiết: AM  SB (2) Từ (1),(2) AM  SC .Chứng minh tương tự: AN  SC SC  (AMN) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (AMN) là 900 (·SB, SC) Xét tam giác SBC có SB a 3 ,SC 2a , BC a SBC vuông tại B BC 1 tan B· SC B· SC 300 900 (·SB, SC) 600 SB 3 Câu 95: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và a3 SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp Slà. ABC .D Tính góc 3 giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD . A. . 450 B. . C.60 .0 D. . 300 900 Lời giải Chọn C. Hai mặt phẳng SAB và SAD cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với 3V mặt phẳng ABCD nên SA  ABCD .Do đó SA S.ABCD a . SABCD Tam giác SAD vuông tại A nên SD SA2 AD2 a 2
  79. Ta có CD  AD,CD  SA CD  SAD CD  SD 1 a2 2 Vậy diện tích tam giác SCD là : S SD.CD .Gọi I là hình chiếu của Blên SCD 2 2 · 3V mặt phẳng SCD khi đó SB, SCD ·SB, SI B· SI . Mặt khác BI B.SCD SSCD 3V a 2 S.ABCD 2SSCD 2 Tam giác SAB vuông tại A nên SB SA2 AB2 a 2 . BI 1 Tam giác SIB vuông tại I nên sin B· SI B· SI 300 SB 2 Vậy ·SB, SCD 300 . Câu 96: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và (OBC) bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh .O GócB giữa đường thẳng OA với mặt phẳng (bằng:ACM ) 3 1 3 1 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 4 7 7 2 7 2 7 Lời giải Chọn D. Ta có Góc giữa AC và mp OBC bằng 600 . 5a 3a Suy ra OA = OC.tan 600 = a 6 ,AM = OA2 + OM 2 = , CM = OC 2 + OM 2 = 2 2 . a2 14 1 a3 3 AC = OC 2 + OA2 = 2 2a . Suy ra S = . V = OA.OC.OM = . DACM 2 A.OCM 6 6 3V 3 Suy ra d(O,(ACM )) = O.ACM = a . Gọi j là góc giữa OvớiA (ACM ) SDACM 14 d(O,(ACM )) 1 suy ra sinj = = . OA 2 7
  80. Câu 97: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi H là trung điểm của AB . Tính côsin của góc giữa SC và SHD . 15 3 a 3 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A. CI  HD Gọi K là trung điểm AD , I CK  HD . Ta có: CI  SHD tại I CI  SH SI là hình chiếu của SC lên SHD và tam giác SIC vuông tại I cos SC, SHD cos SC, SI cosC· SI DK.DC a 2a a 6 DI ; IC DC 2 ID2 ; SI SC 2 CI 2 DK 2 DC 2 5 5 5 SI 15 Vậy cos SC, SHD cosC· SI . SC 5 Câu 98: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,AB a; BC 2a . SA vuông góc với AB , SC vuông góc với BC và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 8 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . 2 D.2 .a3 8 a2 3 3 Lời giải Chọn A. Cách 1. Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm của AC , suy ra ABCD là hình chữ nhật. AB  SA Ta có AB  SD 1 AB  AD BC  SC BC  SD 2 BC  CD Từ (1) và (2) suy ra SD  ABC . Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy là góc S· CD .
  81. DC Từ đó S· CD 600 . Xét tam giác SCD vuông tại D ta có SC 2a . cos60 Do tam giác SBC vuông cân tại C nên SB 2 2a . Gọi I là trung điểm SB . Suy ra IA IB IS (do SAB vuông tại A ) và IB IC IS 1 (do SBC vuông tại C ). Suy ra IA IB IC IS SB . Hay I là tâm mặt cầu ngoại 2 tiếp hình chóp S.ABC . 1 1 4 8 2 a3 Suy ra R SB a2 4a2 3a2 2a V R3 . Chọn đáp án A. 2 2 3 3 Cách 2. (Tọa độ hóa) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó B(0;0;0) , A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S(x; y; z) , với x, y, z 0 . (ABC)  (Oxy) : z 0   Ta có SA a x; y; z , AB a;0;0 .     SA  AB SA.AB 0 a a x 0 x a.   Ta có SC x;2a y; z , BC 0;2a;0     SC  BC SC.BC 0 2a 2a y 0 y 2a. Suy ra S(a;2a; z) .  Đường thẳng SC có véc-tơ chỉ phương là CS a;0; z . Mặt phẳng (ABC) có véc-tơ pháp tuyến là k 0;0;1 . Theo đề bài, góc giữa SC và mp(ABC) là 600 nên  SC.k 3 z sin 60  z2 3a2 z 3a S a;2a; 3a . SC . k 2 a2 z2 Gọi I là trung điểm SB . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 1 1 Ta có R SB a2 4a2 3a2 2a . 2 2
  82. 4 8 2 a3 Vậy thể tích khối cầu là V R3 . 3 3 Câu 99: Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp S.ABC có SA x, BC y , các cạnh còn lại đều bằng 1 . Khi thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x.y bằng 4 4 3 1 A. . B. . C. . 2 3 D. . 3 3 3 Lời giải Chọn. A. BI  SA Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, BC . Ta có SA  BIC và CI  SA VS.IBC VA.IBC . x2 4 x2 Lại có BI SB2 SI 2 1 . 4 2 4 x2 y2 Và IH IB2 BH 2 . 2 1 y Diện tích tam giác IBC là S IH.BC 4 x2 y2 . IBC 2 4 1 x y xy Suy ra V V . . 4 x2 y2 4 x2 y2 . S.IBC A.IBC 3 2 4 24 xy Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là V 2V 4 x2 y2 . S.ABC S.IBC 12 x2 y2 x2 y2 Ta có xy V 4 x2 y2 . 2 24 t 4 t 2 Đặt t 4 x2 y2 , t 0;2 . Khi đó V f t . 24 3t 2 4 2 Ta có f t và f t 0 t . 24 3 Bảng biến thiên: 2 3 2 2 Do đó V đạt được khi t x y . max 27 3 3
  83. 4 Khi đó tích x.y . 3 Cách 2: xy xy Ta có V 2V 4 x2 y2 4 2xy S.ABC S.IBC 12 12 Hướng 1: Khảo sát hàm số như cách 1 Hướng 2 : Sử dụng MTCT thay các phương án vào ta được đáp án A. Câu 100: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a, S· BA S· CA 90 , góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 a3 a3 A. a3 .B. .C. .D. . 3 2 6 Lời giải Câu 49: Đáp án D Gọi H là hình chiếu của S lên ABC . Theo bài ra, ta có HC  CA, HB  BA ABHC là hình vuông cạnh a. Gọi O HA BC , E là hình chiếu của O lên SA. Ta dễ dàng chứng minh được EC  SA, EB  SA. Từ đó, ta được: góc giữa SAC và SAB là góc giữa EB và EC . Vì C· AB 900 nên B· EC 900 B· EC 1200. Ta dễ dàng chỉ ra được O· EB O· EC 600 .
  84. AO.SH xa 2 Đặt SH x SA x2 2a2 OE . SA 2 x2 2a2 OC a 2 xa 2 tan 600 : 3 x a . OE 2 2 x2 2a2 1 1 1 a3 Vậy V V . .a.a2 . S.ABC 2 S.HBAC 2 3 6