Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán: Phương trình bậc hai

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán: Phương trình bậc hai

1. Chuyên đề: phương trình bậc hai PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG 1. Cụng thức nghiệm: Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú = b2- 4ac +Nếu 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: b b x1 = ; x2 = 2a 2a 2. Cụng thức nghiệm thu gọn: Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’ 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: b ' b ' x1 = ; x2 = a a 3. Hệ thức Vi-ột a) Định lớ Vi-ột: 2 Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ax + bx + c = 0 (a 0) b c thỡ : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = a a b) Ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trỡnh ax 2+bx+c = 0 (a 0) cú: a + b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: c x1 = 1; x2 = a +Hệ quả 2: Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú: a- b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú c nghiệm: x1 = -1; x2 = a c) Định lớ: (đảo Vi-ột) Nếu hai số x1; x2 cú x1+x2= S ; x1.x2 = P thỡ x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh : x2- S x+P = 0 2 (x1 ; x2 tồn tại khi S – 4P 0) Chỳ ý: + Định lớ Vi-ột chỉ ỏp dụng được khi phương trỡnh cú nghiệm (tức là ≥ 0) + Nếu a và c trỏi dấu thỡ phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu PHẦN II. BÀI TẬP RẩN LUYỆN II. TOÁN TỰ LUẬN LOẠI TOÁN RẩN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CễNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
2. Bài 1: Giải phương trỡnh a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2-3 )x2 + 23 x – 2 –3 = 0 Giải: a) Giải phương trỡnh x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51 Do > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: ( 49) 51 ( 49) 51 x 1 ; x 50 1 2 2 2 + Lời giải 2: Ứng dụng của định lớ Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 50 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50 1 + Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lớ Viet ta cú : x1 x2 49 ( 1) 50 x1 1 x1.x2 49 50 ( 1).50 x2 50 50 Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50 1 b) Giải phương trỡnh (2-3 )x2 + 23 x – 2 –3 = 0 Giải: + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm (a = 2-3 ; b = 23 ; c = – 2 –3 ) = (23 )2- 4(2-3 )(– 2 –3 ) = 16; = 4 Do > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: 2 3 4 2 3 4 x 1 ; x (7 4 3) 1 2(2 3) 2 2(2 3) + Lời giải 2: Dựng cụng thức nghiệm thu gọn (a = 2-3 ; b’ = 3 ; c = – 2 –3 ) ’ = (3 )2 - (2 - 3 )(– 2 –3 ) = 4; = 2 Do ’ > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: 3 2 3 2 x 1 ; x (7 4 3) 1 2 3 2 2 3 + Lời giải 3: Ứng dụng của định lớ Viet Do a + b + c = 2-3 + 23 + (- 2 - 3 ) = 0 2 3 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x1 = (7 4 3) 2 3 *Yờu cầu: + Học sinh xỏc định đỳng hệ số a, b, c và ỏp dụng đỳng cụng thức + Áp dụng đỳng cụng thức (khụng nhẩm tắt vỡ dễ dẫn đến sai sút)
3. + Gv: cần chỳ ý rốn tớnh cẩn thận khi ỏp dụng cụng thức và tớnh toỏn * Bài tương tự: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 5. x2 – (1+2 )x + 2 = 0 2. x2 – 3x + 2 = 0 6.3 x2 – (1-3 )x – 1 = 0 2 3. x – 4x – 5 = 0 7.(2+3 )x2 - 23 x – 2 +3 = 0 4. 3x2 – 23 x – 3 = 0 Bài 2: Tỡm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nờn u và v là nghiệm của phương trỡnh x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta cú: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trỡnh (*) cú nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: 1. Tỡm hai số u và v biết: a) u + v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tỡm kớch thước mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tớch bằng 30m2 Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh sau (phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai) 2x x2 x 8 a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0; b) x 1 (x 1)(x 4) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2; d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 Giải a) Giải phương trỡnh x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0 x = -2 ; x = 2 ; x = - 3 Vậy phương trỡnh (1) cú nghiệm x = -2 ; x = 2 ; x = - 3 2x x2 x 8 b) Giải phương trỡnh (2) x 1 (x 1)(x 4) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thỡ (2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nờn phương trỡnh (*) cú nghiệm x 1 = -1(khụng thoả món ĐK) ; x2 = 8 (thoả món ĐK) Vậy phương trỡnh (2) cú nghiệm x = 8 c) Giải phương trỡnh 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta cú: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t 0) thỡ (3) 5t2 – 3t – 26 = 0 Xột = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. = 23 ( 3) 23 13 ( 3) 23 Nờn: t1 = (thoả món t 0) ; t2 = 2 (loại) 2.5 5 2.5 13 13 13 Với t = x 2 = x = 5 5 5
4. 13 13 Vậy phương trỡnh (3) cú nghiệm x1 = ; x2 = 5 5 d) Giải phương trỡnh 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4) Đặt x2+x = t . Khi đú (4) 3t2 – 2t – 1 = 0 1 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nờn t1 = 1; t2 = 3 2 2 t1 = 1 x +x = 1 x + x – 1 = 0 2 1 5 1 5 1 = 1 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nờn x1 = ; x2 = 2 2 1 2 1 2 t2 = x +x = 3x + 3x + 1 = 0 (*) 3 3 2 2 = 3 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nờn (*) vụ nghiệm 1 5 1 5 Vậy phương trỡnh (4) cú nghiệm x1 = ; x2 = 2 2 * Bài tương tự: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1. x3+3x2+3x+2 = 0 7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 2 2 2 2 2 2. (x + 2x - 5) = (x - x + 5) 1 1 4 2 8. x 4 x 3 0 3. x – 5x + 4 = 0 x x 4 2 4. 0,3 x + 1,8x + 1,5 = 0 x 2 6 3 2 2 2 9. 3 5. x + 2 x – (x - 3) = (x-1)(x -2 x 5 2 x x x 1 6. 10. 3 x 1 x 2 Bài 4: Cho phương trỡnh x + 3 x - 5 = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 2 2 3 3 A = ; B = x1 + x2 ; C = 2 2 ; D = x1 + x2 x2 x2 x2 x2 Giải Do phương trỡnh cú 2 nghiệm là x1 và x2 nờn theo định lớ Viet ta cú: x1 + x2 = 3 ; x1.x2 = 5 1 1 x x 3 1 A = 1 2 15 ; x 2 x 2 x1 .x 2 5 5 2 2 2 2 B = x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2= ( 3) 2( 5) 3 2 5 x 2 x 2 3 2 5 1 C = 1 2 (3 2 5) ; 2 2 2 x1 .x2 ( 5) 5 2 2 D = (x1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) = ( 3)[3 2 5 ( 5)] (3 3 3 15) * Bài tương tự: 2 Cho phương trỡnh x + 2x - 3 = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 2 2 3 3 A = ; B = x1 + x2 ; C = 2 2 ; D = x1 + x2 x2 x2 x2 x2
5. 2 2 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 3x1 5x1 x2 3x2 E = 3 3 ; F = 2 2 5x1 x2 5x1 x2 4x1 x2 4x1 x2 LOẠI TOÁN RẩN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trỡnh bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toỏn tổng quỏt) Tỡm điều kiện tổng quỏt để phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú: 1. Cú nghiệm (cú hai nghiệm) 0 2. Vụ nghiệm 0 5. Hai nghiệm cựng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trỏi dấu > 0 và P 0 và P > 0 8. Hai nghiệm õm(nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 b c (ở đú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a * Giỏo viờn cần cho học sinh tự suy luận tỡm ra điều kiện tổng quỏt, giỳp học sinh chủ động khi giải loại toỏn này Bài 2: Giải phương trỡnh (giải và biện luận): x2 - 2x + k = 0 ( tham số k) Giải ’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’ 1 phương trỡnh vụ nghiệm ’ Nếu = 0 1- k = 0 k = 1 phương trỡnh cú nghiệm kộp x1= x2=1 Nếu ’> 0 1- k > 0 k 1 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm Nếu k = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x=1 Nếu k < 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+1 k Bài 3: Cho phương trỡnh (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tỡm m để (1) cú nghiệm b) Tỡm m để (1) cú nghiệm duy nhất? tỡm nghiệm duy nhất đú? c) Tỡm m để (1) cú 1 nghiệm bằng 2? khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại(nếu cú)? Giải 3 a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm) 2
6. + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: ’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2 2 (1) cú nghiệm ’ = 3m-2 0 m 3 2 + Kết hợp hai trường hợp trờn ta cú: Với m thỡ phương trỡnh cú nghiệm 3 3 b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm) 2 + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) cú nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m = (thoả món m ≠ 1) 3 1 1 Khi đú x = 3 2 m 1 1 3 3 +Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2 2 Với m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3 3 c) Do phương trỡnh cú nghiệm x1 = 2 nờn ta cú: 3 (m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 4 3 1 Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 4 4 3 3 Theo đinh lớ Vi - et ta cú: x1.x2 = 12 x 6 m 1 1 2 4 3 Vậy m = và nghiệm cũn lại là x2 = 6 4 * Giỏo viờn cần khắc sõu trường hợp hệ số a cú chứa tham số (khi đú bài toỏn trở nờn phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sút) Bài 4: Cho phương trỡnh: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm 2 2 d) Tỡm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trỡnh thoả món x1 +x2 10. e) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc vào m f) Hóy biểu thị x1 qua x2 Giải 2 1 15 a) Ta cú: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 với mọi m; 0 > 0 với mọi m 2 4 Phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt Hay phương trỡnh luụn cú hai nghiệm (đpcm) b) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu a.c -3 Vậy m > -3
7. c) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm Khi đú theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm õm S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm Theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) 2 2 2 2 2 Khi đú A = x1 +x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = 4(m-1) +2(m+3) = 4m – 6m + 10 Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0 m 0 m 0 3 m 3 2m 3 0 2 m 2 m 0 m 0 m 0 2m 3 0 3 m 2 3 Vậy m hoặc m 0 2 e) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m 2 Theo định lớ Viet ta cú: . x1.x2 (m 3) 2x1.x2 2m 6 x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc m 8 x2 f) Từ ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2x2 8 x2 1 Vậy x1 (x2 ) 1 2x2 2 Bài 5: Cho phương trỡnh: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số) a) Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thoả món 3x1 + 2x2 = 1 1 1 c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món y1 x1 ; y2 x2 với x 1; x2 là nghiệm x2 x1 của phương trỡnh ở trờn Giải a) Ta cú ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 Vậy m = 2 b) Ta cú ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trỡnh cú nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*) Khi đú theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
8. Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3) x1 x2 2 2x1 2x2 4 x1 5 x1 5 Từ (1) và (3) ta cú: 3x1 2x2 1 3x1 2x2 1 x1 x2 2 x2 7 Thế vào (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả món (*)) Vậy m = -34 là giỏ trị cần tỡm d) Với m 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm Theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) 1 1 x x 2 2m y y x x x x 1 2 2 Khi đú: 1 2 1 2 1 2 (m≠1) x x x x m 1 1 m 1 2 1 2 1 1 1 1 m 2 y y (x )(x ) x x 2 m 1 2 1 2 1 2 1 2 (m≠1) x x x x m 1 m 1 2 1 1 2 2 2 2m m y1; y2 là nghiệm của phương trỡnh: y - .y + = 0 (m≠1) 1 m m 1 Phương trỡnh ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 *Yờu cầu: + HS nắm vững phương phỏp + HS cẩn thận trong tớnh toỏn và biến đổi + Gv: cần chỳ ý sửa chữa những thiếu sút của học sinh, cỏch trỡnh bày bài và khai thỏc nhiều cỏch giải khỏc * Bài tương tự: 1) Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp này b) Định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt đều õm. 2) Cho phương trỡnh : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. 2 2 b) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: x1 + x2 = 10 3) Cho phương trỡnh: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) C/m , phương trỡnh luụn luụn cú hai nghiệm khi m thay đổi b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: 1 < x1 < x2 <6 4) Cho phương trỡnh bậc hai cú ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m. 2 2 b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2 *) CMR: A = 8m2 – 18m + 9 ) Tỡm m sao cho A =27 c) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 2 2 5) Cho phương trỡnh ; x -2(m + 4)x + m – 8 = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. 2 2 b) B = x1 + x2 – x1x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. c) Tỡm hệ thức giữa x1 , x2 khụng phụ thuộc vào m 6) Cho phương trỡnh : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) C/m phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1, x2 với mọi m 2 2 b) Xỏc định m để: x1 + x2 = 4(x1 + x2)
9. c) Lập phương trỡnh bậc hai ẩn y cú 2 nghiệm y1 và y2 thoả món: y1 y2 y1 + y2 = x1 + x2 và 3 1 y2 1 y1 2 7) Cho phương trỡnh : x + ax + 1 = 0. Xỏc định a để phương trỡnh cú 2 nghiệm x 1 , 2 2 x1 x2 x2 thoả món : > 7 x2 x1 8) Cho phương trỡnh : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phương trỡnh (1) theo m b) Khi phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2: * Tỡm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tỡm m sao cho x1 x2 2 2 Dạng: Tỡm m để phương trỡnh ax + bx + c = 0 cú 2 nghiệm x 1, x2 thoả món đẳng thức cho trước. 2 2 Bài 1: Tỡm m để phương trỡnh : x 2( m 1 )x m 3m 0. cú 2 nghiệm x1, x2 thoả 2 2 món x1 + x2 = 8. 2 Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh : x ( 2m 1 )x 4m 3 0. cú 2 nghiệm x1, x2 thoả 2 2 món x1 + x2 = 10. Bài 3: Tỡm m để phương trỡnh : ( 2m 1 )x 2 2( m 4 )x 5m 2 0. cú 2 nghiệm 2 2 x1,x2 thoả món x1 x2 2x1 x2 16. 2 Bài 4: Tỡm m để phương trỡnh: ( m 1 )x 2mx m 1 0. cú 2 nghiệm x 1, x2 thoả x x 5 món 1 2 0. x2 x1 2 2 Bài 5: Tỡm m để phương trỡnh: mx ( m 4 )x 2m 0. cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 2 2 2( x1 x2 ) 5 x1 x2 0. 2 Bài 6: Tỡm m để phương trỡnh : x ( m 2 )x m 5 0. cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 2 2 x1 x2 10. 2 Bài 7: Tỡm m để phương trỡnh : x ( m 2 )x 2m 0. cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 2 2 x1 x2 8. 2 Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh : x ( m 3 )x 3m 0. cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 2 2 x1 x2 10. 2 Bài 9: Tỡm m để phương trỡnh : x 2( m 2 )x 4m 5 0. cú 2 nghiệm x 1,x2 thoả x x món 1 2 1. x2 x1 2 Bài 10: Tỡm m để phương trỡnh : ( m 2 )x ( 2m 1 )x m 3 0. cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x1 = 2x2. 2 Bài 11: Tỡm m để phương trỡnh : x 2( m 1 )x 4m 3 0. cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món 2x1 + x2 = 5. DẠNG: lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. 2 Bài 1: Gọi x 1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: ( m 2 )x 2( m 1 )x 3 m 0. Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
10. 2 Bài 2: Gọi x 1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: x 2( m 1 )x m 3 0. Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. 2 Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:( m 3 )x 2( m 1 )x m 5 0.Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. 2 Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:( 4m 3 )x 3( m 1 )x 2m 2 0. Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. 2 2 Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: x ( 2m 1 )x m m 1 0.Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. 2 Bài 6: Gọi x 1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: ( m 1 )x 2( m 1 )x m 0.Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m. Các bài tập tự luyện về hệ phương trình bậc 2 2 Bài 1: Cho phương trình: m 2x 2 1 2 x m2 a) Giải phương trình khi m 2 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3 2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài 2 Cho phương trình: m 4 x2 2mx m 2 0 (x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 2 2 c) Tính x1 x2 theo m Bài 3 Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 4 0 (x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M=x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m. Bài 4 Tìm m để phương trình: a) x2 x 2 m 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x2 2x m 1 0 có hai nghiệm âm phân biệt c) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 có hai nghiệm trái dấu Bài 5 Cho phương trình: x2 a 1 x a2 a 2 0 a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a 2 2 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất 1 1 1 Bài 6 Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: : CMR ít nhất một trong hai b c 2 2 phương trình sau phải có nghiệm x bx c 0 x2 cx b 0 Bài 7 Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 2x2 3m 2 x 12 0(1) 4x2 9m 2 x 36 0(2) Bài 8 Cho phương trình: 2x2 2mx m2 2 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
11. b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình Bài 9 Cho phương trình bậc hai tham số m: x2 4x m 1 0 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện: 2 2 x1 x2 10 Bài 10 Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2m 5 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11 Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2m 10 0 (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m 2 2 c) Tìm giá trị của m để 10x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 12 Cho phương trình: m 1 x2 2mx m 1 0 với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m x1 x2 5 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: 0 x2 x1 2 Bài 13 Cho phương trình: x2 mx m 1 0 (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 2 2 b) Đặt A x1 x2 6x1x2 Chứng minh A m2 8m 8 Tìm m để A = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. Bài 14 Cho phương trình: x2 2mx 2m 1 0 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m. 2 2 b) Đặt A = 2(x1 x2 ) 5x1x2 CMR A=8m2 18m 9 Tìm m sao cho A = 27 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia. Bài 15 Cho phương trình : x2 2 m 1 x m2 4m 5 0 a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 2 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính x1 x2 theo m
12. 2 Bài 16 Cho phương trình x 4x 3 8 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phương 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 trình, hãy tính giá trị của biểu thức : M 3 3 5x1x2 5x1 x2 Bài 17 Cho phương trình: x x 2 m 2 x m 1 0 1 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để: 2 x1(1 2x2 ) x2 (1 2x1) m Bài 18 Cho phương trình: x2 mx n 3 0 (1) (n , m là tham số) a) Cho n = 0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m x1 x2 1 b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ: 2 2 x1 x2 7 Bài 19 Cho phương trình: x2 2 k 2 x 2k 5 0 ( k là tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho x1 x2 18 Bài 20 Cho phương trình: 2m 1 x2 4mx 4 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m=1 b) Giải phương trình (1) khi m bất kì (Tìm nghiệm theo m) c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài 21 Cho phương trình: x2 2m 3 x m2 3m 0 a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 x1 x2 6