Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Phần I: Hình học - Trần Trung Chính

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Phần I: Hình học - Trần Trung Chính

1. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Gọi (O1; r1); (O2; r2); (O3; r3) là các đường trịn cĩ đường kính là AB, AC, BC Đặt: AB = 2a, AC = 2x thì r1 = a, r2 = x. Suy ra: BC = 2a 2x và r3 = a x Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường trịn Ta cĩ : 222 22 2 πr πr πr πa πx π a - x A O2 C O1 O3 B S =12 - + 3 = - - = πx a - x 2 2 2 2 2 2 S lớn nhất x(a x) lớn nhất Mặt khác x + (a x) = a khơng đổi nên a x(a x) lớn nhất x = a x x = C ≡ O1 2 πa 2 Lúc đĩ ta cĩ S = . 4 Bài tập 30: Cho đường trịn (O; R). Trong đường trịn (O) vẽ hai đường trịn (O ) và (O ) tiếp xúc ngồi nhau và tiếp xúc 1 2 O2 trong với (O) trong đĩ bán kính đường trịn (O2) gấp đơi bán kính đường trịn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi các hình trịn (O1) và(O2). O Giải Gọi x là bán kính đường trịn (O1). O1 Khi đĩ 2x là bán kính đường trịn (O2) Xét OO1O2, ta cĩ: O1O2 O O1 + OO2 R 3x (R x) + (R 2x) 6x 2R x 3 Gọi S là phần diện tích hình trịn (O) nằm ngồi các đường trịn (O1) và (O2 ), ta cĩ: S = πR2 - πx 2 - π4x 2 = π R 2 -5x 2 R R 2 4πR 2 Do x nên x2 S ≥ ; 3 9 9 O1 O O2 4πR 2 R minS = x = . 9 3 Khi đĩ: O1, O, O2 thẳng hàng và bán kính các đường trịn (O1) R 2R và (O2 ) là và . 3 3 Bài tập 31: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 1, điểm M nằm trên đường chéo BD. a) Nếu cách dựng đường trịn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng đường trịn (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB, BC. b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường trịn khơng đổi. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình trịn đạt giá trị nhỏ nhất. Giải a) Qua M kẻ đường vuơng gĩc với BD cắt AB, BC, CD, DA tại P, Q, F, E. Do AB, BC tiếp xúc với (K) nên K MB PQ  KM nên PQ là tiếp tuyến của (K) Vậy (K) là đường trịn nội tiếp PBQ Biên soạn: Trần Trung Chính 72
2. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Tương tự (I) là đường trịn nội tiếp EDF. b) Tổng chu vi hai đường trịn (I) và (K) bằng: 2 .IM + 2 .MK = 2 .IK P A B MD = ID +IM = 2.IJ + IM = 2.IM + IM = ( 2 +1).IM MB = KB +MK = E K  2.KH + KM = 2.KM + KM = ( 2 +1).KM H M BD = MD + MB = 2 +1 IM + MK = 2 +1 IK J BD I IK = = BD 2 -1 . 2 +1 D F C Do BD = AB 2 = IK = ( 1) = 2 Q Vậy tổng chu vi hai đường trịn bằng 2 (2 ) c) Gọi x và y là bán kính các đường trịn (I) và (K) Ta cĩ: x + y = 2 Gọi S1, S2 là diện tích các hình trịn trên 2 2 2 - 2 2 2 2 2 x + y S1 + S2 = x + y = (x + y ) ≥ π = π 22 S1 + S2 nhỏ nhất x = y M là trung điểm của BD. Bài tập 32: Cho đường trịn (O; R), A và B là hai điểm cố định nằm ngồi đường trịn. M là điểm cố định trên đường trịn (O). Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB cĩ giá trị: a) Lớn nhất b) nhỏ nhất Giải C Vẽ đường thẳng d qua O và vuơng gĩc AB tại K M d cắt đường trịn (O) tại C và D. Hạ AH  AB MH.AB SMAB = O 2 a) Ta cĩ: MH ≤ MK Xét 3 điểm M, O, K, ta cĩ: MK ≤ OM + OK MK ≤ OC + OK D MH ≤ CK CK.AB A H K B SMAB ≤ (khơng đổi) 2 Dấu “ = “ xảy ra H  K M  C. b) Xét 3 điểm M, O, H, ta cĩ: MH ≥ OH OM Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK MH ≥ DK DK.AB SMAB ≥ (khơng đổi). Dấu "=" xảy ra M [OH] 2 Và M  K M  D Bài tập 33: Cho đường trịn (O; R); A là điểm cố định trong đường trịn (A O). Xác định vị trí của điểm B trên đường trịn O sao cho gĩc OBA lớn nhất. Giải Giả sử cĩ B (O). Biên soạn: Trần Trung Chính 73
3. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Vẽ dây BC của đường trịn (O) qua A ta cĩ OB = OC = R. 1800 COB B OBC cân tại O OBC = 2 Nên max min. OBA COB H Trong COB, cĩ: CO = OB = R khơng đổi A O min BCmin = OHmax Mà OH OA nên OHmax H  A BC  OA tại A C Vậy max B (O) sao cho BC  OA tại A. Bài tập 34: Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đĩ sao cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất. Giải D Với 3 điểm M, A, C, ta cĩ: MA + MC AC C Ta cĩ: MB + MD BD. M AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (khơng đổi). O M AC M  O Dấu "=" xảy ra M BD Vậy min(AM + MB + MC + MD) = AC + BD M  O A B Bài tập 35: Cho ABC ( A 900 ) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD  AB; ME  AC (D AB, A E AC). Xác định vị trí của M để DE cĩ độ dài nhỏ nhất. D Giải E Vẽ AH  BC (H BC), H cố định và AH khơng đổi, tứ giác AEMD cĩ A E D 900 AEMD là hình chữ nhật. B H M C DE = AM mà AM AH (khơng đổi) (Theo tính chất đường xiên và đường vuơng gĩc). Dấu "=" xảy ra M  H. Vậy khi M  H thì DE nhỏ nhất. Bài tập 36: Cho đường thẳng d và đường trịn (O; R) cĩ khoảng cách từ tâm đến d là OH R. Lấy hai điểm bất kỳ B A d; B (O; R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đĩ. O Giải Từ tâm (O) kẻ OH  d, OH cắt đường trịn (O) tại K. Xét ba điểm A, B, O, ta cĩ: K AB + OB OA mà OA OH (quan hệ đường xiên và d đường vuơng gĩc). A H AB OH - OB = HK khơng đổi A AH Vậy min AB = KH A' M BK B' Bài tập 37: Cho đường trịn (O) và một điểm M nằm trong đường B trịn đĩ (M O). Xác định vị trí của dây cung AB của đường trịn O (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất. Giải Ta cĩ dây AB  OM tại M là dây cung cĩ độ dài nhỏ nhất. Biên soạn: Trần Trung Chính 74
4. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ của (O), A'B' khơng vuơng gĩc với OM. Vẽ OM'  A'B'. M' A'B'; M' M OM'  MM' OM > OM' AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây). Bài tập 38: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn (O; R). M là điểm di động trên đường trịn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Giải Ta xét M cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. A Ta chứng minh được: BMD là tam giác đều.   0 BB23 = 60 .   0   0 Mà BB12 = 60 BB13 = 60 . Chứng minh cho BAD = BCM (g-c-g) AD = MC O MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA D Mà MA là dây cung của đường trịn (O; R) MA = 2R B C max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA là đường kính của đường trịn (O) M là điểm chính M giữa của cung BC. Tương tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC M là điểm chính giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 39: Cho đường trịn (0; R), đường kính AB, M là điểm chuyển động trên đường trịn. Xác định vị trí của M trên đường trịn, để MA + 3 MB đạt giá trị lớn nhất Giải Ta cĩ: AMB 900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MAB, cĩ: M 900 . Theo định lý Pitago ta cĩ: MA2 + MB2 = AB2 = 4R2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta cĩ: M MA + 3 MB ≤ (1 3)(MA2 MB 2 ) 4.4R 2 = 4R MA + 3 MB ≤ 4R A B 1 3 MB O Dấu "=" xảy ra 3 MA MB MA MB tanA = 3 = tg600 MA MAB 600 nên max(MA + 3 .MB) = 4R Bài tập 40: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn ấy. Vẽ các đường trịn đường kính MA, MB. Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình trịn cĩ giá trị nhỏ nhất. Giải A M B O Đặt MA = x, MB = y. O1 2 Ta cĩ: x + y = AB ( 0 < x < y < AB ) Gọi S và S’thứ tự là diện tích của 2 hình trịn cĩ đường kính là MA và MB Biên soạn: Trần Trung Chính 75
5. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. 22 x y x22 y Ta cĩ: S + S’ = . 2 2 4 2 2 xy xy AB2 Áp dụng BĐT: x2 + y2 ≥ S + S’ ≥ . = . 2 8 8 Dấu "=" xảy ra x = y. AB2 Vậy Min(S + S’ ) = . M là trung điểm của AB. 8 Bài tập 41: Cho ABC cĩ BC = a, AC = b, AB = c. Tìm điểm M nằm bên trong tam giác ABC sao a b c cho cĩ giá trị nhỏ nhất. Trong đĩ x, y, z là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. x y z Giải Gọi diện tích ABC là S. A Ta cĩ ax + by + cz = 2S (khơng đổi) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta cĩ: 2 a b c a b c b M z c (ax + by + cz) ≥ ax by cz y x y z x y z x a b c 2 (ax + by + cz) ≥ (a + b + c) x y z C a B 2 a b c a b c ≥ x y z 2S a b c Vậy đạt giá trị nhỏ nhất. x y z 2 a b c a b c = x y z 2S axby cz x = y = z ABC là tam giác đều. a b c x y z Bài tập 42: Cho đường trịn (O; R), dây BC cố định. Tìm vị trí của A trên cung lớn BC để tam giác ABC cĩ chu vi lớn nhất. Giải BC cố định nên CAB khơng đổi, độ dài BC khơng đổi Chu vi ABC chỉ cịn phụ thuộc vào AB + AC. Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AC = AD. D Vậy chu vi của ABC phụ thuộc vào độ dài của BD. Ta cĩ: 1 A CDB cũng khơng đổi hay BD là dây của cung chứa gĩc A 2 dựng trên BC. Vậy BD lớn nhất bằng đường kính của cung chứa gĩc . O C B Dựng trên BC A là điểm chính giữa của cung lớn BC. Bài tập 43: Cho đường trịn (O; R) với dây AB cố định sao Biên soạn: Trần Trung Chính 76
6. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com R cho khoảng cách từ O tới AB bằng . Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường trịn (O; R) 2 tại C. Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý (khác A, B). Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I. Dây CM cắt dây AB tại K. a) So sánh gĩc AIM với gĩc ACB. 1 1 1 b) Chứng minh: . MA MB MK c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp MAK và MBK. Hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn nhất. Giải OH 1 a) Xét AOH cĩ cosO = = AOH = 600 A OA 2 M AOB 1200 sđAB 120 0 ACB 60 0 K ABC cĩ đường cao CH đồng thời là trung tuyến. I H Vậy tam giác ABC đều ACB 600 O AI // MB AIM CMB CAB 60 0 C Vậy AIM ACB. B b) AIM đều (cĩ hai gĩc bằng 600) AM = MI. AIC AMB (c - g - c) CI MB MK MB MKA ∽ MBC nên MA MC MK MA MKB ∽ MAC nên MB MC MK MK MB MA MB MA Vậy 1 MA MB MC MC MC hay c) AK AK AK Trong AKM: R 1 2sin M 2sin600 3 BK BK BK Trong BKM: R 2 2sin M 2sin 600 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số khơng âm R1, R2 cĩ: RR AK BK 3R R R R 12 const 12 222 3 2 3 dấu "=" xay ra khi R1 = R2 AK = BK M là điểm chính giữa của cung AB. R 2 Vậy R1R2 max = khi M là điểm chính giữa của cung AB. 4 Bài tập 44: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy điểm C là trung điểm của AO. Kẻ hai tia Ax và By vuơng gĩc với AB và ở cùng một phía với nửa đường trịn. Điểm M di động trên nửa đường trịn (M ≠ A, B). Một đường thẳng vuơng gĩc với CM tại M cắt Ax ở P, cắt By ở Q. Tìm vị trí của điểm M trên nửa đường trịn để tứ giác APQB cĩ diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị diện tích nhỏ nhất đĩ. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính 77
7. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Tứ giác APMC nội tiếp PCA PMA Cĩ AMB 900 PMA BMQ 900 P Tứ giác BQMC nội tiếp M BMQ BCQ . Q Cĩ CAQ 900 BCQ BQC 900 . Vậy PCA BQC . Do đĩ: APC ∽ BCQ: A C O B AP BC AP.BQ AC.BC AC BQ R 3R 3R 2 . const . 2 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: AP BQ 3R 2 3 AP.BQ R dấu "=" xảy ra khi AP = BQ. 2 4 2 CM  AB. 1 1 Hay S AB AP BQ .2R. 3R 3R 2 khi sđ AM = 600. ABQP 2 min 2 Bài tập 45: Cho tam giác đều ABC, E là một điểm trên cạnh AC (E ≠ A), K là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng EF đi qua E và vuơng gĩc với đường thẳng AB (F AB) cắt đường thẳng đi qua C và vuơng gĩc với đường thẳng BC tại D. Xác định vị trí của E sao cho đoạn KD cĩ độ dài nhỏ nhất. Giải AEF vuơng tại F, A 600 , FK là trung tuyến ứng với cạnh huyền AKF đều FKC 1200 . Vậy tứ giác BCKF nội tiếp. C Tứ giác BCDF cĩ F C 900 D Vậy tứ giác BCDF nội tiếp hay 5 điểm B, C, D, K, F cùng thuộc một đường trịn đường kính BD. E sđ DK = 2 DFK = 600 1 1 K KD = DB CB dấu "=" xảy ra khi E  C. 2 2 1 A Vậy KD min = CB khi E C. F B 2 Bài tập 46: Cho ABC cân ở B cĩ ABC , O là trung điểm của cạnh AC, K là chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống cạnh AB, (ω) là đường trịn tâm O bán kính OK. E là một điểm thay đổi trên cạnh BA sao cho gĩc AOE bằng α (200 < α < 900). F là điểm trên cạnh BC sao cho EF tiếp xúc với (ω). Tìm α để AE + CF nhỏ nhất. Giải Trong OEF: 11 EOF 18000 OEF OFE 180 AEF CFE 22 Trong tứ giác AEFC: AEF AFE 3600 A C 360 0 180 0  180 0  Biên soạn: Trần Trung Chính 78
8. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com 1 Vậy: EOF = 900 - β B 2 11 ABC cân A C 18000  90  22   Vậy EOF A C. F AEO ∽ OEF và OEF ∽ COF. E Vậy AEO ∽ COF. K AE CO AE.CF AO.CO const AO CF A O C Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: AE CF 2 AE.AF 2 AO.CO const . Dấu "=" xảy ra khi AE = CF OEF cân tại O AEO cân tại A 01 0 1 0 1 0 1 AOE 90 A 90 90  45  thì AE + CF nhỏ nhất 2 2 2 4 Bài tập 47: Cho hai đường trịn(O1; r1) và (O2; r2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết rằng r1 = 1cm; r2 = 2cm; AB = 1cm và hai điểm O1, O2 ở hai phía của đường thẳng AB. Xét đường thẳng (d) đi qua A, cắt (O1; r1) và (O2; r2) lầm lượt tại các điểm M và N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến của (O1; r1) tại M và tiếp tuyến của (O2; r2) tại N cắt nhau tại điểm E. a) Chứng minh tứ giác EMBN là tứ giác nội tiếp. b) Tính O1O2 b) Tìm giá trị lớn nhất của 2EM + EN. Giải a) ABN ANE; ABM AME MBN EMN ENM 1800 MEN Vậy MBN MEN 1800 nên tứ giác EMBN nội tiếp. 1 b) O1O2 = ( 3 15 ) 2 N c) OOA ∽ MNB. 12 E A BN AO2 2 (vì R1 = 1cm, R2 = 2cm) BM AO1 O1 BN 2BM O2 ∽ EMB NAB B EM AN M EM MB.AN (vì AB = 1cm) MB AB Tương tự, ta cũng chỉ ra: EN = NB.AM Vậy 2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = 2. MB.AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN MN MB Lại cĩ MBN ∽ O1AO2 đồng dạng theo tỉ số 2 O1 O 2 r 1 Biên soạn: Trần Trung Chính 79
9. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. 1 Vậy 2MB.MN 2.2r .2O O =8. ( 3 15) 4 3 15 dấu "=" xảy ra khi MB = 2r1 hay M 1 1 2 2 đối xứng với B qua O1. Bài tập 48: Cho tam giác ABC vuơng tại A nội tiếp đường trịn (O). M là điểm nằm trên cung BC khơng chứa điểm A. Gọi N, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Tìm giá trị nhỏ BC AB AC nhẩt của MH MN MK Giải Nhận thấy: Nếu K nằm ngồi AC thì N nằm trong AB. AB BN AN MN MN MN AC AK CK A MK MK MK K BN CK MCK ∽ MBN MN MK AK BH B H MAK ∽ MBH C MK MH O AN CH N MAN ∽ MCH MN HM M BC AB AC BC CH BH BC Vậy 2 MH MN MK MH MH MH MH BC AB AC Vậy nhỏ nhất MH lớn nhất MH = R M MH MN MK A là điểm chính giữa của cung BC. Bài tập 49: Trên mặt phẳng cho trước tam giác đều ABC và điểm M bất kì. Chứng minh rằng: MA + MB ≥ MC Chứng minh M Sử dụng bất đẳng thức Plotemy vào tứ giác MABC ta cĩ: MA.BC + MB.AC ≥ MC.AB B C Nên MA + MB ≥ MC (đpcm) Bài tập 50: Chứng minh rằng điểm B nằm trong đường trịn đường kính AC khi và chỉ khi ta cĩ ABC > 900 Chứng minh Cần và đủ để điểm B nằm trong hình trịn đường kính AC là B AC BM AA’ khi và chỉ khi BAC > ABA' . Do BAC > ABA' bù nhau nên BAC > ABA' khi và chỉ khi A' ABC là gĩc tù. 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho gĩc vuơng xOy; điểm A thuộc miền trong của gĩc. Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho MAB 900 . Xác định vị trí của M, N để MN cĩ độ dài nhỏ nhất. Biên soạn: Trần Trung Chính 80
10. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Bài tập 2: Cho 2 đường trịn ở ngồi nhau (O; R) và (O'; R'). A nằm trên (O), B nằm trên (O'). Xác định vị trí của điểm A, B để đoạn thẳng AB cĩ độ dài lớn nhất. Bài tập 3: Chứng minh rằng bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vuơng ABC khơng vượt quá AD 2 -1 , với AD là độ dài đường phân giác của gĩc vuơng A. Bài tập 4: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN cĩ giá trị lớn nhất. Bài tập 5: Cho nửa đường tron (O; R) đường kính AB. M là một điểm trên nửa đường trịn, kẻ MHHB. Xác định vị trí của M để: a) S ABC lớn nhất. b) Chu vi của MAB lớn nhất. Bài tập 6: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN cĩ giá trị lớn nhất. Bài tập 7: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường trịn (O; R) cho trước. Tìm tứ giác cĩ tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 8: Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho chu AMN = 2a. Tìm vị trí của M và N để S AMN lớn nhất. Bài tập 9: Cho ABC ngoại tiếp đường trịn (O; R). Kẻ các tiếp tuyến của đường trịn (O; R) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác thành 3 tam giác nhỏ cĩ diện tích là S1, S2, S3. Gọi S là diện tích của ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số SSS 1 2 3 S Bài tập 10: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn O và D là điểm nằm trên cung BC khơng chứa điểm A. Xác định vị trí của D sao cho DA + DB + DC lớn nhất. Bài tập 11: Cho hai đường trịn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O' nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng AB. Đường thẳng (d) quay quanh B cắt các đường trịn (O) và (O') lần lượt tại C và D (C ≠ A, B và D ≠ A, B). Xác định vị trí của (d) sao cho đọan thẳng CD cĩ độ dài lớn nhất. Bài tập 12: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, điểm M di động trên đường trịn sao cho MA MB. Trong tam giác AMB kẻ đường cao MH. Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự là bán kính các đường trịn nội tiếp các tam giác AMB, AMH và BMH. Hãy xác định vị trí của M để tổng: r1+ r2 + r3 đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 13: Cho ABC cĩ A 300 , AB = c, AC = b, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt đoạn AB tại P và (d) cắt đoạn AC tại Q. a) Đặt AP = x, hãy tìm tập hợp các giá trị của x. AB AC b) Tính giá trị của biểu thức . AP AQ c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích tam giác APQ theo b, c. Bài tập 14: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường trịn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O) lần lượt tại các điểm C và D. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai ACM và BDM. Bài tập 15: Cho đường trịn (O) và dây BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường trịn (O), (A khác B và C). Tia phân giác của ACB cắt đường trịn (O) tại D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường trịn (O) tại điểm K khác B. a) Chứng minh: KAC cân. b) Xác định vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất. Biên soạn: Trần Trung Chính 81
11. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 16: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuơng gĩc với AB, AC (H AB, AC). Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất. Bài tập 17: Cho hai đường trịn (O1, R1) và (O2; R2) tiếp xúc ngồi với nhau tại A. Đường thẳng (d) đi qua A cắt đường trịn (O1, R1) tại M và cắt đường trịn (O2; R2) tại N (các điểm M, N khác A). Xác định vị trí của đường thẳng (d) để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất. Bài tập 18: Đường trịn tâm O cĩ dây AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, dựng tia Ax  MI tại H và cắt BM tại C. a) Chứng minh: AIB và AMC cân. b) Khi M di động trên cung lớn AB. Chứng minh rằng điểm C di động trên một cung trịn cố định. c) Xác định vị trí của điểm M để chu vi AMC đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 19: Cho ABC nhọn. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các ABD, ACD tương ứng. a) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp AO1O2 luơn đi qua một điểm cố định khác A. b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC và I là tâm đường trịn ngoại tiếp AO1O2. Hãy xác định vị trí của D trên BC sao cho IO nhỏ nhất. Bài tập 20: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường trịn, D là hình chiếu vuơng gĩc của C trên AB. Tia phân giác của ACD cắt đường trịn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác ABC tại H. a) Chứng minh: AE // BH. b) Tia phân giác CAB cắt đường trịn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt CE tại I. Tính diện tích FID trong trường hợp tam giác đĩ là đều. c) Trên đoạn BH lấy K sao cho HK = HD, gọi J là giao của AF và BH. Xác định vị trí của C để tổng khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. Bài tập 21: Cho đường trịn tâm O, bán kính R và dây BC < 2R, các tiếp tuyến của đường trịn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC và khơng trùng với B, C. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. BM cắt HK tại P, CM cắt HI tại Q. a) Chứng minh: PQ // BC. b) Xác định vị trí của M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất. CHỦ ĐỀ 14 QUỸ TÍCH - TẬP HỢP ĐIỂM 1. Kiến thức cơ bản: 1.1. Để giải bài tốn quỹ tích, ta thực hiện các bước sau: Phần thuận: Phân tích các yếu tố cố định và thay đổi để chỉ ra tập hợp mà điểm cần tìm quỹ tích phải thuộc vào (thường là đường trịn, đường thẳng). Ta sẽ sử dụng các quỹ tích cơ bản (như cung chứa gĩc, trung trực, đường trịn Appolonius ) để xác định và chứng minh quỹ tích. Để dự đốn quỹ tích, cĩ thể phải vẽ một số vị trí (trong đĩ cĩ các vị trí đặc biệt) của cấu hình. Phần đảo: Sau khi đã làm phần thuận, tức là xác định tập hợp M những điểm mà quỹ tích thuộc vào, ta cần xem xét xem với những điểm P nào thuộc M thì tồn tại một cấu hình cĩ vị trí điểm cần tìm quỹ tích trùng với P. Bước này sẽ loại bỏ những điểm khơng tương ứng với một cấu hình nào. Giới hạn: Sau khi thực hiện phần đảo, ta cĩ thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của M thuộc về quỹ tích. Bước này mơ tả rõ phần đĩ. Ví dụ mặc dù điểm P thuộc đường trịn (C) nhưng quỹ tích cĩ thể chỉ là một cung của (C). Kết luận: Dựa trên các phần trên kết luận quỹ tích là tập hợp những điểm như thế nào. 2.2. Một số quỹ tích cơ bản Biên soạn: Trần Trung Chính 82
12. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com (1) Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuơng gĩc với AB. (2) Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một đoạn AI = R khơng đổi là đường trịn tâm I bán kính R. (3) Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng đĩ. (4) Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d khơng đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d. (5) Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một gĩc α cố định là hai cung chứa gĩc α nhận AB làm dây cung. Đặc biệt, nếu α = 900 thì quỹ tích là đường trịn đường kính AB. (6) Cho hai điểm A, B và số thực k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 – MB2 = k là một đường thẳng vuơng gĩc với AB tại H, trong đĩ H xác định bởi hệ thức: (HA HB)BA k (7) Cho hai điểm A, B với AB = 2a và số thực dương k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 + MB2 = 2k2 là tập rỗng nếu k2 < a2 và là đường trịn tâm I, bán kính R k22 a . MA (8) Cho hai điểm A, B và số thực dương k ≠ 1. Quỹ tích những điểm M sao cho k là đường MB trịn đường kính EF, trong đĩ E và F là các điểm thuộc đường thẳng AB sao cho EA FA k và k EB FB (Đường trịn Appolonius) Lưu ý: Ta phải rèn cách giải bài tốn quỹ tích: - Các quỹ tích cơ bản. - Đốn quỹ tích. - Chứng minh quỹ tích đốn nhận là đúng. Phương pháp 1: Chứng minh quỹ tích (tập hợp điểm) dựa vào tính chất của trục đối xứng, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự. Phương pháp 2: Chứng minh quỹ tích nhanh và chính xác học sinh cần phải luyện : - Xác định yếu tố cố định. - Xác định yếu khơng đổi. - Xác định yếu tố thay đổi. Lưu ý: Phải rèn phán đốn quỹ tích. Các dạng quỹ tích thường gặp: (1) Quỹ tích các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ. (2) Quỹ tích các điểm cách đều hai cạnh của một gĩc là đường phân giác của gĩc đĩ. (3) Tập hợp các điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng khơng đổi R là đường trịn (O; R). (4) Quỹ tích các điểm cách đều một đường thẳng cố định một khoảng bằng h là hai đường thẳng song song với đường thẳng đĩ và cách đường thẳng đĩ một khoảng bằng h. (5) Quỹ tích các điểm nhìn một cạnh dưới một gĩc bằng 900 là một đường trịn cĩ tâm là trung điểm của cạnh đĩ và đường kính là độ dài của cạnh đã cho. (6) Quỹ tích các điểm nhìn đoạn AB dưới một gĩc khơng đổi là hai cung chứa gĩc đi qua A, B và đối xứng với nhau qua AB. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho đường trịn (O; R) và tam giác cân ABC cĩ AB = AC nội tiếp đường trịn (O; R) Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC. Biên soạn: Trần Trung Chính 83
13. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của gĩc BMx. b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường trịn (O). Tứ giác MIKD là hình gì? vì sao? c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luơn nằm trên một đường trịn cố định. d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường trịn (O). P là giao điểm thứ hai của phân giác gĩc IBM với đường trịn (O). Chứng minh rằng, đường thẳng DP luơn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC. Hướngdẫn 1 a) AMB sđ AB (gĩc nội tiếp (O) chắn ) A 2 x 1 1 AMx 18000 AMC 180 sđ ABC = sđ AC = 2 2 N sđ AB D O M Vậy: AMB AMx hay MA là tia phân giác của BMx G 1 b) MCD cân MCD MDC = BMC (gĩc ngồi 2 B C của tam giác) P Ta lại cĩ: ABC cân I là điểm chính giữa của cung K BC I 1 Suy ra: IMC IMB BMC 2 Vậy MCD IMC , suy ra: IM // CD. MCD MDC BMI BI = MK MIK IMB Suy ra: IK // MD. Vậy MIKD là hình bình hành. c) D thuộc đường trịn (A; AC) 1 Gọi N là điểm trên AI sao cho NA = AI. 3 2 2 NG = AD = AC = const 3 3 2 G thuộc đường trịn N; AC . 3 Bài tập 2: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O; A R). Gọi D là điểm chính giữa của cung BC khơng chứa A. Vẽ đường trịn qua D và tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường trịn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường trịn này. M I a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng. N b) Một đường trịn tâm K di động luơn đi qua A E và D, cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng B C minh rằng BM = CN. c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. Hướngdẫn y a) BED DBx ACB , CED DCy ABD x D Biên soạn: Trần Trung Chính 84
14. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Suy ra: BEC ABD ACD 1800 . Suy ra: B, E, C thẳng hàng. b) BD DC BAD CAD DN DM DM = DN. BD DC DB = DC DCN DBM BMD = CND BM = CN. A DI A c) Tính được DI = 2KD sin2 2sin2 const 2 DK 2 K thuộc trung trực của AD I thuộc đường thẳng vuơng gĩc với A DP A AD cắt AD tại P sao cho sin2 DA 2 I M Bài tập 3: Cho ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN. a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp AMN luơn đi qua một P N điểm cố định khác A. b) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp AMN. B Giải H C a) Đường cao AH cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác E AMN tại P AMP = CNP C PA = PC P là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC P cố định. H b) Tâm I của đường trịn ngoại tiếp AMN nằm trên đường trung trực của AP. Bài tập 4: Tìm quỹ tích đỉnh C các ABC cĩ AB cố định, đường cao BH bằng cạnh AC. Hướngdẫn A B Kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB tại A, trên A đĩ lấy E sao cho AE = AB ACE = BHA I ACE 900 C thuộc cung chứa gĩc 90 độ dựng trên AE. Bài tập 5: Tứ giác lồi ABCD cĩ AC cố định, gĩc A 450 , B D 900 . a) Chứng minh rằng BD cố độ dài khơng đổi. H D b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của J DC và AB. Chứng minh EF cĩ độ dài khơng đổi? B C E c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp AEF. Hướngdẫn a) B D 900 B, D thuộc đường trịn đường kính AC F Biên soạn: Trần Trung Chính 85
15. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. A 450 BD = R 2 = const. b) CDE vuơng cân CD = ED. ADF vuơng cân DA = DF. ACD = FED EF = AC = const c) Trung trực của AF cắt trung trực của AE tại J, cắt (O) tại H. Trung trực của AE cắt (O) tại I H, I là điểm chính giữa của hai cung AC H, I cố định. HJI BCD 1350 J thuộc cung chứa gĩc 135 độ dựng trên HI. Bài tập 6: Cho hai đường trịn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D cĩ các đường kính AOB và AO'C vuơng gĩc với nhau tại A. Một đường thẳng d đi qua A và cắt các nửa đường trịn khơng chứa điểm D của (O), (O') tương ứng tại các điểm M, N khác A. a) Chứng minh: ABM ∽ CAN. b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động. c) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM2 = IA. ID. d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD. e) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB cĩ diện tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đĩ theo R và R'. Hướngdẫn I a) AMB ∽ CAN. M b) PMA PNA OAM O'AN 900 0 I' OPO' 90 P thuộc đường trịn đường kính OO'. 2 O c) IMA ∽ IDM IM = IA.ID B A d) Tương tự câu c giả sử tiếp tuyến tại N của (O') cắt AD tại I' I'M2 = I'A.I'D. N Vậy I trùng I' IM = I'N I thuộc trung trực của O' NM. P Vậy khi I là giao của AD và trung trực của MN thì D tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến tại N của (O') C cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AD. e) Diện tích tứ giác BMNC lớn nhất (SBMA + SANC)min (SBMA)min (BM.AM)min Ta lại cĩ: BM2 + AM2 = R2. R 2 Vậy: BM.AM dấu bằng khi BM = AM d tạo với AB một gĩc 450. 2 1 Khi đĩ diện tích tứ giác BMNC là: R.R'+ R22 + R' . 2 D Bài tập 7: Một điểm A đi động trên nửa đường trịn đường kính BC cố định. Đường thẳng qua C song song E với BA cắt đường phân giác ngồi của gĩc BAC của tam A giác ABC tại D. Tìm quỹ tích D. Hướngdẫn AD cắt (O) tại E E cố định 0 Ta lại cĩ: CDE 45 . B O C Vậy D thuộc cung chứa gĩc 450 dựng trên CE. Biên soạn: Trần Trung Chính 86
16. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Bài tập 8: Cho đường trịn (O; R) cố định và đường thẳng d cắt (O; R) tại hai điểm A, B cố định. Một điểm M di động trên d và ở bên ngồi đoạn AB. Vẽ các tiếp tuyến MP và MN với (O; R). Gọi N, P là hai tiếp điểm. a) Chứng minh rằng khi M di động, đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP luơn đi qua hai điểm cố định. b) Tìm quỹ tích tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP. c) Trình bày cách dựng điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều. P Hướngdẫn 0 a) Giả sử (I) cắt AB tại H khác M OHM 90 O HA = HB hay H cố định. I Vậy (I) đi qua O và H cố định. H b) IO = IH I thuộc trung trực của OH. B d A M c) Tam giác MNP đều OMN 300 N OM = 2ON = 2R. Vậy M thuộc đường trịn (O; 2R). Bài tập 9: Cho hình vuơng ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F. Hướngdẫn Trên BC lấy G sao cho AI = BG AI  EG. Áp dụng định lí Menelauyt trong tam giác AEB với 3 điểm thẳng hàng C, I, M, ta cĩ: CB IA ME 1 (1) CE IB MA E B G C CB CD IB F Lại cĩ CE CE BE ME BE BE M I Thay vào (1) MA IA BG MB // AG hay DFB 900 . Vậy F thuộc đường trịn đường kính BD (cung nhỏ AB). A D Bài tập 10: Cho đường trịn (O; R) và một điểm A cố định trên đường trịn. Điểm M luơn động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R). Gọi tiếp điểm là B. a) Tìm quỹ tích tâm các đường trịn ngoại tiếp AMB. M y b) Tìm quỹ tích trực tâm H của AMB. A Hướngdẫn x H a) Đường trịn ngoại tiếp AMB là đường trịn tâm E E, đường kính OM. E thuộc trung trực của OA b) Tứ giác AOBH là hình thoi O B AH = R. Vậy H thuộc đường trịn (A; R) (thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B). Biên soạn: Trần Trung Chính 87
17. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Đường phân giác của gĩc A cắt đường trịn tại điểm D. Một đường trịn A (L) thay đổi nhưng luơn đi qua hai điểm A và D. (L) cắt hai đường thẳng AB, AC ở giao điểm thứ hai là M, N (cĩ thể trùng với A). a) Chứng minh rằng: BM = CN. b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN. O N Hướngdẫn a) BAD DAC B C DB = DC; DM = DN. Ta lại cĩ: MBD NCD ; BMD NCD M D BDM CDN . Vậy BDM = CDN BM = CN. x b) Tương tự câu c bài b) A Bài tập 12: Cho gĩc vuơng xOy. Một chiếc êke ABC trượt B trong mặt phẳng của gĩc xOy sao cho đỉnh B di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh C di chuyển trên cạnh Oy và đỉnh gĩc vuơng A di chuyển trong gĩc xOy. Tìm quỹ tích điểm A. Hướngdẫn Tứ giác OBAC nội tiếp yOA CBA . Vậy A thuộc tia tạo với tia Oy một gĩc (phần nằm trong gĩc O C y xOy) Bài tập 13: Cho đường trịn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngồi đường trịn. Vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC bất kì (A, B, C trên (O; R)). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi cát tuyến PBC quay quanh P. a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng của O qua BC. A K b) Tìm quỹ tích điểm H. Hướngdẫn a) Ta cĩ: PO' = PO = const; P cố định H O' thuộc đường trịn (P; PO) O P b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành. Vẽ hình bình B hành AOPK. C K cố định HO'PK cũng là hình bình hành O' HK = O'P = OP = const. Vậy H thuộc đường trịn (K; OP). Bài tập 14: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường trịn (O; R) cĩ AB = AC = R2. a) Tính độ dài BC theo R b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D. Chứng minh rằng: A AM.AD luơn luơn là hằng số c) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC. M Hướngdẫn B D a) BC là đường kính của (O). O C b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD AM.AD = AC2 = . Biên soạn: Trần Trung Chính 88
18. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com 1 c) ACM MDC sđ CM AC là tiếp tuyến của (I) 2 IC vuơng gĩc với AC cố định I thuộc đường thẳng qua C và vuơng gĩc với CA. 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC. Vẽ PQ song song với AC (Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB (R thuộc AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR. Bài tập 2: Cho gĩc vuơng xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc tia Ox, Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm giữa O và B. Từ B hạ đường thẳng vuơng gĩc với AM cắt AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I. a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp. b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK. c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn (O) và M di động trên cung BC. a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E khi M di động. b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F khi M di động. Bài tập 3: Cho hai đường trịn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B. Bài tập 4: Cho hai đường thẳng xx' và yy' vuơng gĩc với nhau tại O và một điểm P cố định. Một gĩc vuơng đỉnh P quay quanh P. các cạnh của gĩc vuơng này cắt xx' tại A và yy' tại B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. Bài tập 5: Trên mỗi bán kính OM của đường trịn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M đến đường kính cố định AB. Tìm tập hợp các điểm I. Bài tập 6: Cho đường trịn (O) cố định và một dây AB cố định. Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động. Tìm tập hợp tâm I của đường trịn nội tiếp tam giác ABC. Bài tập 7: Cho đường trịn (O) và một dây AB cố định. Kể một dây AC. Trên đường thẳng AC lấy hai điểm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nằm ngồi đường trịn. Tìm tập hợp các điểm M và M' khi C vạch cung AB. Bài tập 8: Cho đường trịn (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC. Bài tập 9: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho hình chiếu của M trên ba cạnh của tam giác là ba điểm thẳng hàng. Bài tập 10: Cho đoạn thẳng AB và M là điểm tuỳ ý trên đoạn AB. Dựng trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB các hình vuơng ANCD và BMEF. Các đường trịn ngoại tiếp chúng tâm P và Q cắt nhau tại M và N. a) Chứng minh rằng: AE, BC đi qua N. b) Chứng minh rằng: MN đi qua một điểm cố định khi M di động. c) Tìm tập hợp trung điểm I của PQ khi M di động. Bài tập 11: Cho đường trịn (O; R) và một điểm P cố định trong đường trịn khơng trùng với O. Qua P dựng dây cung APB, các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các điểm M khi dây AB quay quanh P. Bài tập 12: Hai đường trịn (O) và (O') giao nhau tại A và B. Một cát tuyến di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đường trịn nội tiếp tam giác BCD. Bài tập 13: Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O. Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau tại I. a) Chứng minh rằng I thuộc một đường thẳng cố định b) Từ I kẻ IH vuơng gĩc với EF tại H. Chứng minh H thuộc một đường cố định và IH đi qua một điểm cố định. Biên soạn: Trần Trung Chính 89
19. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 14: Cho tam giác ABC cĩ BC cố định cịn A di động sao cho gĩc BAC bằng 600. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. Bài tập 15: Cho đường trịn (C) tâm O. P là một điểm cố định nằm trong (C) nhưng khơng trùng với O. Một đường thẳng (d) thay đổi qua P cắt (C) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn BC khi (d) quay quanh P. Bài tập 16: Cho hai điểm A, B cố định. C là một điểm thay đổi trên đoạn AB, C khác A và B. Dựng các hình vuơng ACDE và BCFG nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của EG. Bài tập 17: Cho một gĩc nhọn Oxy và một điểm M nằm trong gĩc ấy. Từ M ta kẻ các đường vuơng gĩc MH xuống cạnh Ox và MK xuống cạnh Oy. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện MH + MK = a, trong đĩ a là một độ dài cho trước. Bài tập 18: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuơng gĩc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho A1B1C1 là tam giác cân. Bài tập 19: Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tương ứng. a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC. b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z. Từ đĩ suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác. Bài tập 20: Cho hai đường trịn (C1) và (C2) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng (d) thay đổi nhưng luơn đi qua A cắt (C1), (C2) tại các điểm thứ hai C và D tương ứng. Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi (d) quay quanh A. Bài tập 21: Cho đường trịn (C) tâm O bán kính R. Đường trịn (C1) cĩ bán kính R/2 tiếp xúc trong với (C) tại A. Bây giờ ta cố định vị trí điểm A trên đường trịn (C1) là cho (C1) lăn nhưng luơn tiếp xúc trong với (C). Hãy tìm quỹ tích điểm A. Bài tập 22 (*): Cho hai điểm A, B cố định, AB = 2a. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MA + MB = 2c khơng đổi, với c > a. Bài tập 23: Cho hình vuơng ABCD. M là một điểm di động trên cạnh CD. AM và BM kéo dài cắt BC và AD kéo dài tại P và Q. DP cắt CQ tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi M di động trên cạnh BC. Bài tập 24: Cho tam giác ABC. Trên AB kéo dài về phía B lấy điểm M và trên AC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Bài tập 25: Cho hai điểm A, B cố định. C là một điểm thay đổi trên đoạn AB, C khác A và B. Dựng các hình vuơng ACDE và BCFG nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AB. Gọi I, J là tâm các hình vuơng ACDE và BCFG. Tìm quỹ tích trung điểm K của IJ. Bài tập 26: Tìm quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho. Hướng dẫn Bài tốn tưởng như rất đơn giản này khơng thể giải bằng phương pháp hình học thuần túy. Ta cĩ thể dựng một số vị trí để thấy rằng quỹ tích khơng phải là đường thẳng. Một đặc điểm đáng chú ý nữa là trên 1 đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng đã cho sẽ tìm được duy nhất 1 điểm thỏa mãn tính chất. Bài này cĩ thể giải được dễ dàng bằng phương pháp tọa độ. Gọi điểm đã cho là P và đường thẳng đã cho là P. Xét hệ trục tọa độ cĩ Ox là đường thẳng d và Oy là đường thẳng qua điểm P và vuơng gĩc với d. Giả sử P cĩ tung độ là p > 0. Xét điểm M(x, y) bất kỳ nằm trên quỹ tích. Dễ thấy y > 0. Khi đĩ khoảng cách từ M đến d là y và từ M đến P là x22 (y p) . xp2 Từ đĩ ta cĩ y x2 (yp) 2 y 2 x 2 y 2 2pyp 2 y . 2p 2 Đĩ là phương trình của một parabol! Biên soạn: Trần Trung Chính 90
20. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com CHỦ ĐỀ 15 DỰNG HÌNH 1. Kiến thức cơ bản: Dựng hình bằng thước và com-pa là dạng tốn khĩ địi hỏi người giải phải nắm vững các kiến thức cơ bản, kỹ năng cũng như sự sáng tạo trong việc kẻ thêm các yếu tố phụ để kết nối các dữ kiện. Vì thế nắm vững kỹ năng dựng hình sẽ cĩ ý nghĩa quan trọng trong việc giải tốn hình học nĩi chung. Bài tốn dựng hình bằng thước và compa cĩ ý nghĩa tốn học rất sâu sắc và nội dung của nĩ nhiều lúc vượt ra khỏi lĩnh vực hình học. Ơng Vua của các nhà Tốn học Carl Friederich Gauss rất tự hào với kết quả tìm ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh của mình. Kết quả này cĩ được nhờ vào lượng 3600 giác, cụ thể Gauss đã tính được cos chỉ thơng qua các phép tính số học và phép khai căn bậc 2. 17 Để giải bài tốn dựng hình, ta đi theo các bước cơ bản sau: Phân tích: Giả sử hình đã dựng được, tìm cách kết nối các đối tượng đã biết với các đối tượng cần dựng bằng những cầu nối để tìm ra quy trình dựng: Bắt đầu từ một thành phần cĩ thể dựng được, tiếp tục dựng ra các thành phần khác cho đến khi hồn thành yêu cầu. Ví dụ phép dựng một tam giác sẽ hồn thành khi ta dựng được 3 đỉnh của nĩ. Cách dựng: Nêu ra các bước để dựng được cấu hình thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Mỗi bước dựng phải là những động tác cĩ thể thực hiện được bằng thước và compa (kẻ đường thẳng nối hai điểm, vẽ một đường trịn cĩ tâm và bán kính xác định, tìm giao điểm của hau đường thẳng, hai đường trịn ). Chứng minh: Chứng minh cách dựng vừa nêu ở phần trên sẽ cho ta cấu hình cần dựng. Biện luận: Biện luận số nghiệm của bài tốn theo các điều kiện ban đầu cho. Khi nào vơ nghiệm, khi nào đĩ nghiệm duy nhất, khi nào cĩ 2 nghiệm hình Kết luận: Tổng kết lại các bước trên để đưa ra kết luận. Ta đã biết vẽ hình bằng nhiều dụng cụ: thước (thước thẳng), compa, êke, thước đo gĩc, Ta xét các bài tốn vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa, chúng được gọi là các bài tốn dựng hình. Với thước, ta cĩ thể: - Vẽ được một đường thẳng khi biết hai điểm của nĩ. - Vẽ được một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của nĩ. - Vẽ được một tia khi biết gĩc và một điểm của tia. - Với compa, ta cĩ thể vẽ được một đường trịn khi biết tâm và bán kính của nĩ. Ở hình học lớp 6 và hình học lớp 7, với thước và compa, ta đã biết cách giải các bài tốn dựng hình sau : (1) Dựng trung trực của một đoạn thẳng. Dựng trung điểm của một đoạn thẳng. Dựng một đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vuơng gĩc với một điểm đã cho. (2) Dựng một đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một điểm đã cho. (3) Dựng một đoạn thẳng bằng n lần đoạn thẳng đã cho. Dựng một đoạn thẳng bằng 1/n đoạn thẳng đã cho. (4) Dựng một gĩc bằng gĩc đã cho. Chia đơi một gĩc. Dựng tổng và hiệu của hai gĩc. (5) Cho hai đoạn thẳng cĩ độ dài a, b, dựng đoạn thẳng cĩ độ dài ab . (6) Dựng tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến một đường trịn. (7) Dựng đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp của một tam giác. (8) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh và gĩc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai gĩc kề. Biên soạn: Trần Trung Chính 91
21. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Dựng hình bằng phương pháp đại số: Giải một bài tốn dựng hình bằng phương pháp đại số thường được quy về dựng một số đoạn thẳng. Ta gọi các độ dài các đoạn thẳng phải tìm là x, y, z. Sau đĩ ta lập phương trình để biểu thị mối tương quan giữa các đoạn thẳng đã biết là a, b, c. Sau đĩ giải hệ phương trình để được các ẩn x, y, z. Một vài đoạn thẳng dựng được biểu thị bằng biểu thức đơn giản là: a.b.c x = a b ; x = e.f x = na, n N ; x = a2 b 2 c 2 d 2 (a2 + d2 > b2 + c2) a x = , n N ; x = ab22 n na x = ; m, n N ; x = ab m ab x = ; x = a n ; n N c Dựng hình bằng phương pháp biến hình: Dựng hình bằng phương pháp biến hình là áp dụng phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, đồng dạng. Ta quy việc dựng một hình về việc dựng một điểm M. Dựng trực tiếp điểm M đơi khi gặp khĩ khăn. Trong trường hợp này ta chọn một phép biến hình là một song ánh f (để f cĩ ánh xạ ngược) biến điểm M thành điểm M' mà điểm M' này ta cĩ thể đựng được một cách dễ dàng. Sau khi đã dựng được điểm M' ta được phép biến hình ngược: f-1(M') = M. Ví dụ như tịnh tiến a . 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Dựng ABC biết cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m. Giải Phân tích A Giả sử ta dựng được ABC thoả mãn: BC = a; AH = h; AM = m. Ta phải xác định đỉnh A thoả mãn 2 điều kiện: - A cách BC một khoảng bằng h, suy ra A đường thẳng d// BC h và cách BC một khoảng h. m - A cách điểm M là trung điểm của BC một khoảng m. Cách dựng B C - Dựng BC bằng a H M - Dựng đường thẳng d // BC và cách BC một khoảng bằng h. A d - Dựng đường trịn tâm M bán kính m cắt d tại A. ABC là tam giác cần dựng. h Chứng minh m ABC cĩ BC = a (cách dựng) Đường cao AH = h (cách dựng) Trung tuyến AM = m (cách dựng) B H M C ABC là tam giác cần dựng. Biện luận * m > h bài tốn cĩ 4 nghiệm (4 điểm A) * m = h bài tốn cĩ 2 nghiệm (2 điểm A) * m < h bài tốn vơ nghiệm (khơng cĩ điểm A) Biên soạn: Trần Trung Chính 92
22. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Bài tập 2: Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n và điểm A khơng thuộc 2 đường thẳng đĩ. Dựng điểm B m, C n sao cho ABC là tam giác đều. Giải Phân tích Giả sử đã dựng được điểm B m, điểm C n để ABC đều. Dựng hình chiếu vuơng gĩc của A trên điểm M là E Dựng tam giác đều AEF. Xét AEB và AFC ta cĩ: AE = AF ( ABF đều) CAF BAE 600 CAE A AB = AC ( ABC đều) AEB = AFC (c.g.c) F BEA CFA 900 (vì AE  BE) m Cách dựng B E Từ A hạ AE  m tại E - Dựng AEF đều n - Từ F dựng đường vuơng gĩc với AF cắt n tại C C - Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m tại B. - Nối A với B, B với C ta được ABC cần dựng Chứng minh Xét vuơng ABE và vuơng ACF cĩ: AB AC  (Cách dựng) ABF = ACF (c.g.c) AE AF  AE = AF BAE CAF Mà CAF EAF CAE 600 CAE Và BAE BAC CAE BAC 600 ABC cĩ: AB = AC và ABC đều d) Biện luận Bài tốn cĩ 2 nghiệm vì ta cĩ thể dựng được 2 đều Bài tập 3: Dựng ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC . Giải a) Phân tích D Giả sử ta đã dựng được ABC thoả mãn các điều kiện của đầu bài. Kéo dài BA và trên đường kéo dài lấy điểm D sao cho AD = AC. Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d DAC cân A = BD  đường trung trực của CD b) Cách dựng - Dựng đoạn BC = a A - Dựng tia Bx sao cho xBC . - Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d α - Nối D với C. B C Biên soạn: Trần Trung Chính 93
23. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. - Dựng điểm A là giao của BD và đường trung trực của CD. - Nối A với C ta được ABC cần dựng. c) Chứng minh ABC = (cách dựng) BC = a (cách dựng) A đường trung trực của DC AD = AC A, D Bx; BD = d (cách dựng) BD = AB + AD = AB + AC = d ABC là cần dựng. d) Biện luận - d a Bài tốn cĩ một nghiệm Bài tập 4: Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được ABC thoả mãn điều kiện của đầu bài A đường trịn tâm M bán kính m. H đường trịn đường kính BC CH = h; B, H, A thẳng hàng Cách dựng: A - Dựng BC = a, trung điểm M của BC - Dựng đường trịn (M, m) - Dựng đường trịn đường kính BC H - Dựng điểm H đường trịn đường kính BC sao cho HC = h h m - Dựng điểm A là giao điểm của BH và (M, m) B Chứng minh: M C BC = a CH = h (cách dựng) B' A (M, m) AM = m ABC là tam giác cần dựng Biện luận: h h Bài tốn cĩ hai nghiệm do BH cắt (M, m) tại hai điểm là A và A'. Bài tập 5: Dựng ABC biết B =  < 900, đường cao BH và đường cao AD. Giải Phân tích: Giả sử ABC đã dựng được. vuơng ABD là dựng được A ta chỉ cần dựng điểm C. Muốn vậy ta phải đi dựng điểm H: H giao của hai đường trịn đường kính AB và đường trịn tâm B bán kính BH C = AH  H BD Cách dựng: - Dựng ABD vuơng tại D 0 sao cho ABD < 90 B D C và AD cho trước. - Dựng điểm H là giao điểm Biên soạn: Trần Trung Chính 94
24. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com của hai đường trịn: (B, BH) và đường trịn đường kính AB (BH cho trước). - Dựng điểm C là giao của BD và AH ABC là ta cần dựng. Chứng minh: ABD =  < 900 (cách dựng) AD là đường cao cĩ độ dài cho trước (cách dựng) BH bằng đoạn cho trước (cách dựng) ABC thoả mãn yêu cầu của đề bài Biện luận: Bài tốn luơn cĩ nghiệm Bài tốn cĩ một nghiệm Bài tập 6: Dựng hình bình hành ABCD biết 2 đỉnh đối diện A và C cịn 2 đỉnh B và D thuộc một đường trịn (O, R) cho trước. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được hình bình hành thoả mãn điều kiện của đề bài là ABCD. Nếu I là giao điểm của 2 đường chéo của ABCD thì: I AC và IA = IC, I BD và IB = ID; B, D (O,R) OI  BD Cách dựng: - Dựng I là trung điểm của AC B - Dựng đường thẳng qua I và  OI cắt (O) tại B và D I ABCD là hình bình hành cần dựng. A C Chứng minh: O OI  BD IB = ID D IA = IC (cách dựng); B, D (O, R) (cách dựng) AIB = DIC (c.g.c) ABI = IDC AB // CD ABCD là hình bình hành thoả mãn đầu bài. Biện luận: Bài tốn cĩ nghiệm khi điểm I ở trong đường trịn (O) khi đĩ bài tốn cĩ 1 nghiệm. Bài tập 7: Cho đường trịn (O, R) và điểm A đường thẳng d. Dựng đường trịn tiếp xúc với C(O,R) và tiếp xúc với d tại A. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được (O',R') tiếp xúc với (O, R) và tiếp xúc d' với d tại A O' d' là đường thẳng qua A và  với d. Dựng điểm E sao cho O'E = O'O (AE = R). O O' nằm trên đường trung trực của OE O' là giao của đường trung trực của OE & p Cách dựng: O' - Dựng đường thẳng d'  d tại A - Dựng điểm E d' sao cho AE = R A - Dựng đường trung trực của d OE là m, m d'  O' - Dựng đường trịn (O',O'A) Đĩ là đường trịn cần dựng E Chứng minh: (O', O'A) tiếp xúc với d tại A (cách dựng) Nối O với O'. Vì O' đường trung trực của OE OO' = O'E Biên soạn: Trần Trung Chính 95
25. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Mà O'E = O'A + AE OO' = OA + AE = O'A +R (O, R) & (O', O'A) tiếp xúc với nhau (O') là đường trịn cần dựng Biện luận: Trên p cĩ thể lấy E1 ở trong đường trịn (O') sao cho AE1 = R. Vậy bài tốn cĩ 2 nghiệm hình. Bài tập 8: Cho hình thang ABCD, AD // BC. Dựng đường thẳng EF//BC chia đơi diện tích hình thang. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được EF//BC chia đơi diện tích hình thang kéo dài BC, CD cắt nhau tại O. Suy ra: OBC ∽ OEF ∽ OAD Đặt OB = a, OA = b, OE = x 22 SS OBCab OAD Ta cĩ: 22; S OEF x S OEF x 22 SS OBC OAD ab 2 Sx OEF Mà: S OBC + S OAD = S OEF + Shình thang EBCF + S OAD = S OEF + Shình thang AEFD + S OAD = 2S OEF a22 b 2 2x2 = a2 + b2 x12 ab22 x2 22 ab22 Đặt y ;z x y22 z 22 y z z a b b x a 2 2 Cách dựng: - Kéo dài BA, CD cắt nhau ở O a - Dựng đoạn trung bình nhân của a, ta được y. 2 b - Dựng đoạn trung bình nhân của , b ta được z. 2 - Dựng vuơng cĩ y, z là 2 cạnh gĩc vuơng độ dài cạnh huyền của đĩ là x. - Trên OB lấy OE = x, dựng EF // BC ta sẽ được đoạn EF cần dựng. Biên soạn: Trần Trung Chính 96
26. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Chứng minh: Gọi hình thang ADEF diện tích là S1 và hình thang EBCF cĩ diện tích là S2 O Ta phải chứng minh S1 = S2 Ta cĩ OAD ∽ DEF (vì AD//EF) a b Tỉ số đồng dạng là: x 2 a x SS OADa 0 2 A S OEF x S 0 S 1 D SSSSb2 ∽ OBC 0 1 2 OEF OBC 2 S OEF x S 0 S 1 F 2 2 2 2 E a b2S0 S 1 S 2 a b 2S 0 S 1 S 2 2 22 x S0 S 1ab S 0 S 1 C 2 B 2S0 S 1 S 2 2 2S0 SS 1 2 2S 0 2S 1 S 1 S 2 SS01 Shình thang ADEF = Shình thang EBCF Biện luận: Bài tốn luơn cĩ một nghiệm hình. Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD. Dựng hai đường thẳng đi qua đỉnh A và chia hình bình hành thành 3 phần cĩ diện tích bằng nhau. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A cắt BC tại E, cắt CD tại F thoả mãn: 1 S ABE = SBECF = S AFD = SABCD 3 1 Gọi độ dài: BE = x, đường cao AH = h S ABE = h.x 2 SABCD = AH.BC = h.BC. Mà SABCD = 3 S ABE 3 2 h.BC = 3. hx BC = x x = BC 2 3 Tương tự ta gọi: DF = y y = DC Cách dựng: A D - Dựng đoạn BE = BC - Dựng đoạn DF = DC F - Nối A với E, A với F ta được: B E C S ABE = S AFD = SAECF = SABCD Chứng minh: Ta cĩ: S ABE = hx = h. BC = h.BC = SABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 97
27. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. 1 Tương tự: S ADF = SABCD 3 SAECF = SABCD Điều phải chứng minh Biện luận: Bài tốn cĩ một nghiệm hình Bài tập 10: Cho 2 điểm A, B nằm về một phía của đường thẳng d. Tìm điểm M d sao cho AM + MB là nhỏ nhất. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm M d để (AM + MB) ngắn nhất. Ta lấy điểm A' đối xứng với A qua d. IA = IA'; MA = MA' (AM + MB) ngắn nhất khi: A, M, B thẳng hàng. B M giao của đường thẳng nối 2 điểm A', B và đường thẳng d. A Cách dựng: - Dựng điểm A' đối xứng A qua d - Nối A' với B d - Dựng M = A'B  d M M' Đĩ là điểm M cần dựng Chứng minh: A' - Lấy M' d (M' tuỳ ý) và ta chứng minh: M'A + M'B > MA + MB Theo cách dựng thì A', M, B thẳng hàng và AM = A'M Xét A'BM' ta cĩ: M'A + M'B > A'B (1) Mà theo cách dựng thì A'B = MA' + MB = MA + MB (2) Từ (1) và (2), suy ra: MA' + MB' > MA + MB (MA + MB) min (đpcm) Biện luận: Bài tốn cĩ 1 nghiệm hình vì điểm A' dựng được là duy nhất. Bài tập 11: Cho 2 đường thẳng b // c, điểm A b, c. Dựng ABC đều sao cho B b, C c. Giải Phân tích: Giả sử ta dựng được ABC đều thoả mãn điều kiện của bài tốn. B b, C c. Ta thực hiện phép quay theo chiều kim đồng hồ ta cĩ: r(A, 600)(B) = C; 0 r(A, 60 )(b) = b' A Mà B b C b'. B B'b Mặt khác: C c c  b' = C Cách dựng: - Dựng đường thẳng c b' = r(A, 600)(b) C C' - Dựng điểm C là giao điểm của b' và c b' - Dựng điểm B bằng cách: r(A, 600)(C) = B Biên soạn: Trần Trung Chính 98
28. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Chứng minh: r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b Mà C b' B b (đpcm). Biện luận: Bài tốn cĩ 2 nghiệm hình Bài tập 12: Cho ABC. Dựng hình vuơng MNPQ sao cho M AB; N,P BC, Q AC. Giải Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuơng MNPQ thoả mãn điều kiện của bài tốn. BQ' Nối B với Q và thực hiện phép vị tự: V(B, k = ) (Q' BQ): Q Q'; M M'; N N'; P BQ P' M'Q'N'M'N'P'P'Q' A MQ NM NP PQ Mà MQ = MN = NP = PQ và NMQ = 900 M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900 M'N'P'Q' là hình vuơng. M Q Cách dựng: - Lấy M' AB, dựng M'N'  BC M' Q' - Dựng hình vuơng M'N'P'Q' - Kẻ BQ' cắt AC tại Q - Thực hiện phép vị tự: BQ' C V(B; k = ) (Q') = Q; p' p; M' M; N' N B N' M' P' P BQ ta dựng được hình vuơng MNPQ cần dựng. Chứng minh: MQ NM NP PQ Theo cách dựng ta cĩ: và tứ giác M'N'P'Q' là hình vuơng; M'Q'N'M'N'P'P'Q' N'M'P' 900 . MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900 MNPQ là hình vuơng Biện luận: Bài tốn cĩ 1 nghiệm hình Bài tập 13: Dựng tam giác biết độ dài ba đường trung tuyến. Giải Phân tích: A Giả sử ABC đã dựng xong và cĩ trung tuyến: AM = ma, BN = mb, CP = mc. Nhìn vào hình vẽ ta chưa thấy cĩ yếu tố nào cĩ thể dựng được, E trừ các đoạn thẳng AM, BN, CP một cách riêng lẻ. P N Và dĩ nhiên, nếu ta đã dựng, chẳng hạn AM thì cĩ thể xác định G thêm được G. Tuy nhiên, nếu ta gọi E là trung điểm của AG thì do B BG BN AG AM CP M C PE ; EG và PG (tính chất 2 3 2 3 3 đường trung tuyến và tính chất đường trung bình) nên các cạnh của PEG hồn tồn xác định. Khi đã xác định được PEG, ta dễ dàng xác định được các điểm C, A, M và cuối cùng là B. Biên soạn: Trần Trung Chính 99
29. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Từ đĩ suy ra cách dựng. Cách dựng: m m m - Dựng PEG cĩ: PE b ; PG c ; EG a . 3 3 3 - Nối dài PG về phía G, trên đĩ dựng C sao cho GC = 2GP; - Nối dài GE về phía E, trên đĩ dựng A sao cho EA = EG; - Nối dài EG về phía G, trên đĩ dựng M sao cho GM = GE; - Nối AP và MC cắt nhau tại B. ABC chính là tam giác cần dựng. Chứng minh: Theo cách dựng ở trên thì AM = ma và CP = mc. Cũng theo cách dựng và tính chất đường trung tuyến thì G chính là trọng ABC. Do đĩ BG là đường trung tuyến. 2m Vì PE là đường trung bình trong tam giác ABG nên BG = 2PE = b . 3 Suy ra đường trung tuyến kẻ từ B bằng mb. Như vậy ta cĩ ABC cĩ ba trung tuyến bằng với ma, mb, mc. Biện luận: m m m Bước dựng thứ nhất dựng được khi a;; b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 3 3 3 Điều này tương đương với ma, mb, mc là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Các bước dựng tiếp theo đều thực hiện được một cách duy nhất. Suy ra nếu độ dài 3 đoạn thẳng đã cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì bài tốn cĩ 1 nghiệm hình. Trong trường hợp ngược lại bài tốn vơ nghiệm. Ghi chú: Từ bài tốn dựng hình nĩi trên, ta suy ra một kết quả thú vị sau: “Ba đường trung tuyến của tam giác ABC là độ dài 3 cạnh của một tam giác cĩ diện tích bằng 3/4 diện tích tam giác ABC”. Bài tập 14: Cho hai đường trịn (C1), (C2) cĩ bán kính R1 < R2 cắt nhau tại A và B. Hãy dựng tiếp tuyến chung của hai đường trịn. Giải M Phân tích: N Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc (C1) tại M và (C2) tại N. A Nối dài NM cắt đường thẳng O1O2 tại P. Vì O1M và O2N đều vuơng gĩc với MN nên chúng song song với nhau. O1 O2 PO O M R Theo định lý Talet ta cĩ 1 1 1 nên từ đây ta dựng B PO2 O 2 N R 2 được điểm P. 0 Vì PMO1 = 90 nên M nằm trên đường trịn đường kính PO1. Như vậy M là giao điểm của đường trịn đường kính PO1 và (C1). Cách dựng: PO11 R - Dựng điểm P trên O2 sao cho PO22 R - Dựng đường trịn đường kính PO1; - Đường trịn đường kính PO1 cắt (C1) tại M; - Nối PM, đĩ là tiếp tuyến chung cần dựng. Chứng minh: Theo bước 2, 3 thì PM vuơng gĩc với MO1. Biên soạn: Trần Trung Chính 100
30. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Suy ra PM là tiếp tuyến của (C1). Từ O2 kẻ O2N vuơng gĩc với PM thì O2N//O1M. PO O M Áp dụng định lý Talet ta cĩ: 11 . PO22 O N PO R Theo bước 1 thì ta cĩ: 11 . PO22 R Từ hai đẳng thức cuối, với chú ý O1M = R1, ta cĩ O2N = R2, tức là điểm N nằm trên (C2). Suy ra PM tiếp xúc (C2) tại N, tức là PM chính là tiếp tuyến chung của hai đường trịn. Biện luận: Bài tốn luơn cĩ 2 nghiệm hình (HS tự chứng minh). 3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho trước một đoạn thẳng cĩ độ dài bằng 1, hãy dựng các đoạn thẳng cĩ độ dài bằng 1 1 1 a) 2; b) ; c) ; d) ; e) 2 ; f) 5 ; g) 4 2 2 3 5 Bài tập 2: Dựng ABC cĩ Â = 520, AB = 5cm, AC = 7 cm Bài tập 3: Dựng ABC cĩ Â - 600, AB = 3cm, AC + BC = 7,5 cm. Bài tập 4: Dựng ABC cĩ Â= 900, phân giác AD = 10 cm, đường cao AH = 6 cm. Bài tập 5: Dựng ABC cĩ Â= 600, AB = 3cm, đường cao AH = 2cm. Bài tập 6: Dựng tam giác biết b, a + c và C. Phân tích: Giả sử ABC đã dựng được. Nối dài CB về phía B tới điểm D sao cho BD = BA. Khi đĩ tam giác ACD cĩ gĩc C đã cho, AC = b và CD = a + c nên hồn tồn xác định. Đỉnh B là đỉnh của tam giác cân BDA, do đĩ là giao điểm của trung trực đoạn AD với CD. Bài tập 7: Cho hai đường thẳng a // b và một điểm C. Hãy dựng tam giác đều ABC cĩ A nằm trên a và B nằm trên b. Gợi ý: Hãy chọn một số điểm A tùy ý trên A rồi dựng tam giác đều ABC. Chú ý xem B sẽ vạch ra đường gì? Bài tập 8: Dựng tam giác ABC biết độ dài đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao kẻ từ đỉnh A. Câu hỏi gợi ý: Đường phân giác gĩc A và đường trung trực cạnh BC cắt nhau ở đâu? Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD. Từ A hãy kẻ một đường thẳng chia đơi diện tích tam giác. Câu hỏi gợi ý: Nếu tứ giác ABCD suy biến thành tam giác ABC thì vẽ như thế nào? Bài tập 10: Dựng tam giác biết a, b và ma. Bài tập 11: Dựng tam giác cĩ chu vi 2p, gĩc A và đường cao ha. Bài tập 12: Dựng tứ giác biết độ dài 4 cạnh liên tiếp và đoạn nối trung điểm hai đường chéo. 1 5 Bài tập 13: Cho biết cos(720 ) . Hãy nêu cách dựng ngũ giác đều cạnh bằng a cho trước. 4 Bài tập 14: Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với d. Hãy dựng đường trịn đi qua A, B và tiếp xúc với (d). Bài tập 15: Nêu cách dựng trục đẳng phương của hai đường trịn trong các trường hợp sau a) Hai đường trịn cắt nhau b) Hai đường trịn ngồi nhau c) Hai đường trịn chứa nhau Bài tập 16: Cho tam giác ABC. Hãy nêu cách dựng đường thẳng chia tam giác thành 2 phần cĩ diện tích và chu vi bằng nhau. Bài tập 17: Cho hai đường trịn (O1, R1) và (O2, R2) và phương . Dựng đoạn AB = a song song với sao cho A (O1, R1), B (O2, R2). Bài tập 18: Cho hai đường trịn (O1, R1) và (O2, R2) cùng đường thẳng d. Dựng hình vuơng ABCD sao cho A (O1, R1), C (O2, R2); B, D d. Bài tập 19: Dựng một đều sao cho diện tích của nĩ bằng diện tích một cho trước Biên soạn: Trần Trung Chính 101
31. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 20: Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. Dùng đường trịn đi qua A, B và tiếp xúc với d. Bài tập 21: Cho hai điểm A, B đường thẳng d cho trước. Dựng đường trịn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. Bài tập 22: Dựng hai đường thẳng đi qua A chia hình bình hành thành 3 phần bằng nhau về diện tích. Bài tập 23: Cho ABC, dựng đường thẳng song song với BC chia ABC thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau. Bài tập 24: Cho đường trịn (O, R) và hai điểm A, B (O, R) cùng một đoạn thẳng đã biết l. Dựng hai dây cung song song đi qua A và B sao cho tổng của chúng bằng l. Bài tập 25: Cho điểm A ở ngồi (O, R). Dựng cát tuyến đi qua A cắt (O, R) tại B và C sao cho AB = BC. Bài tập 26: Cho đường trịn (O) và một dây cung AB cố định. Dựng đều MNP thoả mãn: M & P (O); N AB và MN  AB. Bài tập 27: Cho hình vuơng ABCD cĩ giao điểm hai đường chéo là 0. hãy dựng ảnh của các điểm A, B, C, D trong phép quay tâm O một gĩc 450 ngược chiều kim đồng hồ. Bài tập 28: Dựng một hình vuơng nội tiếp một đường trịn bán kính R, dựng một lục giác và một tam giác đều nội tiếp đường trịn bán kính R. BÀI TẬP TỔNG HỢP KIẾN THỨC Bài tập 1: Cho ABC cĩ các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp. b) Chứng minh: DEA ACB . c) Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường trịn ngoại tiếp tam giác. d) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của gĩc MAN e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB. Bài tập 2: Cho đường trịn (O), đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trịn (O’), đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE  AB; DC cắt đường trịn (O’) tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì? b) Chứng minh: Tứ giác DMBI nội tiếp. c) Chứng minh: Ba điểm B; I; C thẳng hàng và MI = MD. d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC. e) Chứng minh: MI là tiếp tuyến của đường trịn (O’). Bài tập 3: Cho ABC cĩ gĩc A = 900. Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC. Dựng đường trịn (O) đường kính MC. Đường trịn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. a) Chứng minh: Tứ giác ADCB nội tiếp. b) Chứng minh: ME là phân giác của . c) Chứng minh: Gĩc ASM ACD . d) Chứng tỏ ME là phân giác của . e) Chứng minh: Ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy. Biên soạn: Trần Trung Chính 102
32. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Bài tập 5: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E; F theo thứ tự là chân đường vuơng gĩc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp. b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C. c) Chứng minh: DE  AC. d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh: MD = ME = MF. Bài tập 6: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến BC và AC. Gọi P là trung điểm AB; Q là trung điểm FE. a) Chứng minh: Tứ giác MFEC nội tiếp. b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM. c) Chứng minh: AMP ∽ FMQ. d) Chứng minh: PQM 900 . Bài tập 7: Cho (O) đường kính BC. Lấy điểm A bất kỳ nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD. Dựng hình vuơng ABED; AE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. a) Chứng minh: Tứ giác BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn này. b) Chứng minh: BFC vuơng cân và F là tâm đường trịn ngoại tiếp BCD. c) Chứng minh: Tứ giác GEFB nội tiếp. d) Chứng tỏ: C; F; G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường trịn ngoại tiếp BCD. Cĩ nhận xét gì về I và F? Bài tập 8: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường này cắt đường trịn ở E và F, cắt AC ở I (E nằm trên cung nhỏ BC). a) Chứng minh: Tứ giác BDCO nội tiếp. b) Chứng minh: DC2 = DE.DF. c) Chứng minh: Tứ giác DOIC nội tiếp. d) Chứng tỏ I là trung điểm EF. Bài tập 9: Cho đường trịn (O), cĩ dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB (M A và M B). Kẻ dây cung MN  AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. a) Chứng minh: 4 điểm A; M; H; Q cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh: NQ.NA = NH.NM. c) Chứng minh: MN là phân giác của gĩc BMQ. d) Hạ đoạn thẳng MP vuơng gĩc với BN. Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN cĩ giá trị lớn nhất. Hướng dẫn d) Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN cĩ giá trị lớn nhất: 2S MAN MQ.AN Ta cĩ: 2S MBN MP.BN 2S MAN 2S MBN MQ.AN MP.BN Ta lại cĩ: AB.MN 2S MAN + 2S MBN = 2(S MAN + S MBN) = 2SAMBN = 2. AB.MN. 2 Vậy: MQ.AN + MP.BN = AB.MN Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhất MN là đường kính M là điểm chính giữa cung AB. Biên soạn: Trần Trung Chính 103
33. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 10: Cho đường trịn (O; R) và (I; r) tiếp xúc ngồi tại A (R > r). Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm trên đường trịn (O) và C nằm trên đường trịn (I)). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trịn ở E. a) Chứng minh tam giác ABC vuơng ở A. b) Kẻ OE cắt AB ở N; IE cắt AC tại F. Chứng minh: N; E; F; A cùng nằm trên một đường trịn. c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr. d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r. Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 = 4Rr. Ta cĩ tứ giác FANE cĩ 3 gĩc vuơng (cmt) FANE là hình vuơng OEI vuơng ở E và EA  OI (tính chất tiếp tuyến). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng cĩ: AH2 = OA.AI (bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu) BC BC2 Mà AH = và OA = R; AI = r Rr BC2 = Rr. 2 4 d) SBCIO = ? Ta cĩ BCIO là hình thang vuơng OB IC SBCIO = .BC 2 (r R) rR S = . 2 Bài tập 11: Trên hai cạnh gĩc vuơng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H, cắt AO kéo dài tại I. a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp. b) Tính OMI . c) Từ O vẽ đường vuơng gĩc với BI tại K. Chứng minh: OK = KH. d) Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. Hướng dẫn d) Tập hợp các điểm K: Do OK  KB Suy ra: OKB = 900. OB khơng đổi khi M di động K nằm trên đường trịn đường kính OB. Khi M ≡ O thì K ≡ O. Khi M ≡ B thì K là điểm chính giữa cung AB. 1 Vậy quỹ tích điểm K là đường trịn đường kính OB. 4 Bài tập 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. a) Chứng minh: AM là phân giác của gĩc CMD. b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp. c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM. d) Gọi giao điểm CB với AM là N; MD với AB là I. Chứng minh: NI // CD. e) Chứng minh: N là tâm đường trịn nội tiếp CIM Hướng dẫn e) Chứng tỏ N là tâm đường trịn nội tiếp ICM: Biên soạn: Trần Trung Chính 104
34. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Ta phải chứng minh N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM. Theo chứng minh, ta cĩ MN là phân giác của CMI . Do MNIB nội tiếp (cmt) NIM NBM (cùng chắn cung MN) Gĩc MBC MAC (cùng chắn cung CM) Ta lại cĩ: CAN 900 (gĩc nội tiếp ACB 900 ); NIA 900 (vì NIB 90 0 ) Suy ra: ACNI nội tiếp CAN CIN (cùng chắn cung CN) CIN NIM IN là phân giác CIM . Vậy N là tâm đường trịn nội tiếp ICM. Bài tập 13: Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. a) Chứng minh: A; B; H; O; C cùng nằm trên 1 đường trịn. b) Chứng minh: HA là phân giác của gĩc BHC . c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH. d) Kẻ BH cắt (O) ở K. Chứng minh: AE//CK. Bài tập 14: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M; N. a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp. b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. Chứng minh: AOIH là hình bình hành. d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? Hướng dẫn d) Quỹ tích điểm I: Do AOIH là hình bình hành. Suy ra: IH = AO = R khơng đổi CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng R. Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE; DF; DG lần lượt vuơng gĩc với các cạnh AB; BC; AC. Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp. b) Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M. Chứng minh: HA.DP = PA.DE. c) Chứng minh: QM = AB. d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH. e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng. (đường thẳng Sim sơn) Hướng dẫn e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng: Ta cĩ: BFE BDE (cmt) và GFC CDG (cmt) Do ABCD nội tiếp. Suy ra: BAC BMC 1800 Do GDEA nội tiếp Suy ra: EDG EAG 1800 . Biên soạn: Trần Trung Chính 105
35. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. EDG BDC Mà EDG EDB BDG và BCD BDG CDG EDB CDG GFC BEF Vậy E; F; G thẳng hàng. Bài tập 16: Cho tam giác ABC cĩ A = 900; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC. Qua I kẻ IKBC (K nằm trên BC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp được trong đường trịn (O). b) Chứng minh: BMC 2ACB . c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 2AC.KC. d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN. e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp. Bài tập 17: Cho (O) đường kính AB cố định. Điểm C di động trên nửa đường trịn. Tia phân giác của ACB cắt (O) tai M. Gọi H; K là hình chiếu của M lên AC và AB. a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp. b) Chứng minh: Tứ giác CKMH là hình vuơng. c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hàng. d) Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào? Hướng dẫn c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hàng. Gọi I là giao điểm HK và MC. Do MHCK là hình vuơng HK  MC tại trung điểm I của MC. Do I là trung điểm MC OI  MC (t/c đường kính và dây cung) Vậy HI  MC; OI  MC và KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hàng. d) Do OIM 900 ; OM cố định Suy ra: I nằm trên đường trịn đường kính OM. Giới hạn: Khi C  B thì I  Q; Khi C  A thì I  P. Vậy khi C di động trên nửa đường trịn (O) thì I chạy trên cung trịn PHQ của đường trịn đường kính OM. Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a. Kẻ tia phân giác của ACD . Từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên. a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp trong đường trịn (O). Khi đĩ xác định tâm và bán kính của đường trịn theo a. b) Kẻ HB cắt AD tại I và cắt AC tại M; HC cắt DB tại N. Chứng tỏ rằng: HB = HC và AB.AC = BH.BI. c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp. Bài tập 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của ACM. a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp. b) Chứng tỏ CHM vuơng cân và OH là phân giác của COM . Biên soạn: Trần Trung Chính 106
36. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com c) Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM là hình thang cân. d) Kẻ BM cắt OH tại N. Chứng minh: BNI ∽ AMC. Từ đĩ suy ra: BN.MC = IN.MA. Bài tập 20: Cho ABC đều nội tiếp trong (O; R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M; N sao cho BM = AN. a) Chứng tỏ rằng: OMN cân. b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp. c) Kéo dài BO cắt AC tại D và cắt (O) ở E. Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2. d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I; AO kéo dài cắt BC tại J. Chứng minh: BI đi qua trung điểm của AJ. Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2. Do BO là phân giác của đều BO  AC hay BOD vuơng ở D. Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta cĩ: BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2. (1) Mà OB = R. AOC cân ở O cĩ OAC 300 . AOC 1200 AOE 600 R AOE là tam giác đều, cĩ AD  OE OD = ED = 2 Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta cĩ: OD2 = OC2 - CD2 = R2 - CD2. (2) R Từ (1) và (2), suy ra: BC2 = R2 + 2.R. + CD2 - CD2 = 3R2. 2 Bài tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp trong đường trịn (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường trịn (I) đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp và CN.AB = AC.MN. b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). c) Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh: Tứ giác BMOE là hình bình hành. d) Chứng minh: NM là phân giác của AND . Bài tập 22: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB; BC. Các đường này cắt AB; BC; CD; DA lần lượt ở P; Q; N; M. a) Chứng minh: Tứ giác INCQ là hình vuơng. b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB. c) Kéo dài BI cắt MN tại E; MP cắt AC tại F. Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp được trong đường trịn. Xác định tâm của đường trịn đĩ. d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp. Tính diện tích của nĩ theo a. e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp. Bài tập 23: Cho hình vuơng ABCD. Gọi N là trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC tại F. Vẽ đường trịn (O) đường kính BN. (O) cắt AC tại E. Kéo dài BE cắt AD ở M; MN cắt (O) tại I. a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp. b) Chứng tỏ rằng: BEN vuơng cân. c) Chứng minh: MF đi qua trực tâm H của BMN. d) Chứng minh: BI = BC và IEF vuơng. e) Chứng minh: FIE là tam giác vuơng. Bài tập 24: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn(AB < AC). Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ HK; HM lần lượt vuơng gĩc với AB; AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. Biên soạn: Trần Trung Chính 107
37. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC và Cx cắt AH kéo dài ở D. Vẽ HI  DB và HN  DC. Chứng minh rằng: HKM HCN . d) Chứng minh: M; N; I; K cùng nằm trên một đường trịn. Bài tập 25: Cho ABC (A = 900). Đường cao AH. Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E; Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. a) Chứng minh: D; H; E thẳng hàng. b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường trịn này. c) Chứng minh: AM  DE. d) Chứng minh: Tứ giác AHOM là hình bình hành. Bài tập 26: Cho ABC cĩ 2 gĩc nhọn. Đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB; I là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi E; F là giao điểm của KI với AB và AC. a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp. b) Chứng minh: AI = AK. c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I cùng nằm trên một đường trịn. d) Chứng minh: CE; BF là các đường cao của ABC. e) Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC. Bài tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy MK = MC và trên tia BA lấy AD = AC. a) Chứng minh: BAC 2BKC . b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp. Xác định tâm của đường trịn này. c) Gọi giao điểm của DC với (O) là I. Chứng minh: B; O; I thẳng hàng. d) Chứng minh: DI = BI. Bài tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (cung AB khơng chứa điểm C; D). IC và ID cắt AB ở M; N. a) Chứng minh: D; M; N; C cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC. c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC ở F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. Chứng minh: EF // AB. d) Chứng minh: IA2 = IM.ID. Bài tập 29: Cho hình vuơng ABCD, trên cạh BC lấ để E. Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của AEF. Kéo dài AIcắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp. b) Chứng minh: AF2 = KF.CF. c) Chứng minh: Tứ giác EGFK là hình thoi. d) Chứng minh rằng: Khi E di động trên BC thì EK = BE + DK và chu vi CKE cĩ giá trị khơng đổi. e) Gọi giao điểm của EF với AD là J. Chứng minh: GJ  JK. Hướng dẫn d) Chứng minh: EK = BE + DK. Xét ADF và ABE cĩ: AD = AB; AF = AE ( AEF vuơng cân) ADF = ABE BE = DF Mà FD + DK = FK và FK = KE (t/c hình thoi) KE = BE + DK. Biên soạn: Trần Trung Chính 108
38. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com Chứng minh chu vi CKE khơng đổi: Gọi chu vi là C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC khơng đổi. e) Chứng minh: IJ  JK. Do JIK JDK 900 Tứ giác IJDK nội tiếp JIK IDK (cùng chắn cung IK), IDK 450 (t/c hình vuơng) JIK 450 JIK vuơng cân ở I JI = IK, mà IK = GI 1 JI = IK = GI = GK 2 GJK vuơng ở J hay GJ  JK. Bài tập 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp trong đường trịn tâm O, nêu cách dựng (O). b) So sánh BAH và OAC . c) Kẻ CH cắt OD tại E. Chứng minh: AB.AE = AH.AC. d) Gọi giao điểm của AI và OH là G. Chứng minh: G là trọng tâm của ABC. Bài tập 31: Cho đường trịn (O) và AB 900 . C là một để tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI; BK; CJ của ABC cắt nhau ở H. Kẻ BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gặp nhau ở D. a) Chứng minh: B; K; C; J cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB. c) Chứng minh: MN là đường kính của đường trịn (O). d) Chứng minh: Tứ giác ACBD là hình bình hành. e) Chứng minh: OC // DH. Bài tập 32: Cho hình vuơng ABCD. Gọi N là một để bất kỳ trên CD sao cho CN < ND; Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. Đường trịn (O) cắt AC tại F; BF cắt AD tại M; BN cắt AC tại E. a) Chứng minh: BFN vuơng cân. b) Chứng minh: MEBA nội tiếp. c) Gọi giao điểm của ME và NF là Q. Kẻ MN cắt (O) ở P. Chứng minh: B; Q; P thẳng hàng. d) Chứng tỏ: ME // PC và BP = BC. e) Chứng minh: FPE là tam giác vuơng. Bài tập 33: Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy bốn để A; B; C; D sao cho AB = DB.AB và CD cắt nhau ởc E. Kẻ BC cắt tiếp tuyến tại A của đường trịn (O) ở Q; DB cắt AC tại K. a) Chứng minh: CB là phân giác của ACE . b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp. c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD. d) Chứng minh: QE // AD. Bài tập 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai để B và C sao cho AB = BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường trịn. Kẻ CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. a) Chứng minh: D nằm trên đường thẳg BF. b) Chứng minh: Tứ giác ADCF nội tiếp. c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM. d) Chứng minh: MN // AC. Biên soạn: Trần Trung Chính 109
39. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. e) Gọi giao điểm của AF với MN là I. Chứng minh rằng: DF đi qua trung điểm của NI. Bài tập 35: Cho (O; R) và đường kính AB; CD vuơng gĩc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. a) Chứng minh: Tứ giác ACBD là hình vuơng. b) Kẻ AM cắt CD; CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. Chứng minh: IB.IC = IA.IM. c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD và IJ là phân giác của CJM . d) Tính diện tích AID theo R. Hướng dẫn d) Tính diện tích AID theo R: SIAD = SCAD. 1 Mà SACD = SABCD. 2 SIAD = SABCD.SABCD = AB.CD (diện tích cĩ 2 đường chéo vuơng gĩc) 2 SABCD = 2R.2R = 2R b) SIAD = R Bài tập 36: Cho (O; R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngồi đoạn EF. Vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung để EF. a) Chứng tỏ 5 điểm: A; B; C; O; H cùng nằm trên một đường trịn. b) Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2. c) Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? d) Chứng minh: KE và KF là hai tiếp tuyến của (O). Bài tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài). Dựng đường trịn tâm O đường kính AB và đường trịn (O’) đường kính AC. Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. a) Chứng tỏ D nằm trên BC. b) Gọi M là để chính giữa cung nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. Chứng minh: DE.AC = AE.MC c) Chứng minh: AN = NE và O; N; O’ thẳng hàng. d) Gọi I là trung để MN. Chứng minh: OIO' 900 . e) Tính diện tích AMC. Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE. Do BA  AO’( ABC vuơng ở A) BA là tiếp tuyến của (O’) sđ AE = sđ AM Sđ ED = sđ MC AD Mà MC DM MC AD AM AED BAC BAE cân ở B, mà BM  AE NA = NE. Chứng minh: O; N; O’ thẳng hàng: Ta cĩ: ON là đường trung bình của ABE Biên soạn: Trần Trung Chính 110
40. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com ON // BE và OO’ // BE O, N, O’ thẳng hàng. Bài tập 38: Cho ABC đều, cĩ cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác gĩc A và gĩc B của ABC. Từ D dựng tia Dx  DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EF  BC. Gọi O là trung điểm của EB. a) Chứng minh: Tứ giác AEBC và EDFB nội tiếp. Xác định tâm và bán kính của các đường trịn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. b) Kéo dài FE về phía F, cắt (D) tại M. Kẻ EC cắt (O) ở N. Chứng minh: Tứ giác EBMC là thang cân. Tính diện tích. c) Chứng minh: EC là phân giác của DAC . d) Chứng minh: FD là đường trung trực của MB. e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng. f) Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi cung nhỏ EB của hai đường trịn. Hướng dẫn e) Chứng minh: A; N; D thẳng hàng: Ta cĩ: BND BED 450 (cùng chắn DB ) và ENB = 90o (cmt); ENA là gĩc ngồi ANC ENA NAC CAN 450 ENA ENB BND 1800 A, N, D thẳng hàng. f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính là S. Ta cĩ: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB 2 2 2 a6 a S(O) = .OE = . = 6 6 2 a S1 O 2 12 2 .BD2o .90 a 6 a 2 S = = . quạt EBD o 360 4 6 12 2 1 2 a S EBD = DB = 2 6 a 2 a 2 a2 ( 2) Sviên phân = Squạt EBD - S EDB = - = 12 6 12 a 2 a2 ( 2) a 2 S = - = . 12 12 6 Bài tập 39: Cho hình vuơng ABCD, E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với DE, đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp. b) Tính CHK . c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB. d) Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? Hướng dẫn d) Do BHD 900 khơng đổi Suy ra: E di chuyển trên BC thì H di động trên đường trịn đường kính DB. Biên soạn: Trần Trung Chính 111
41. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Bài tập 40: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường trịn đĩ (C A và B). Hai điểm M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đĩ. b) Chứng minh: KN là tiếp tuyến của đường trịn (O; R). c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường trịn (O; R) thì đường thẳng MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định. Hướng dẫn c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường trịn (O) thì đường thẳng MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định: Ta cĩ AM = MC (gt) nên AOM = MOC . Vậy OM là phân giác của AOC . Tương tự ON là phân giác của COB , mà AOC và COB kề bù nên MON = 900 . Vậy tam giác MON vuơng cân ở O. 2 R2 Kẻ OH  MN, ta cĩ OH = OM.sinM = R. = khơng đổi. 2 2 Vậy khi C di động trên đường trịn (O) thì đường thẳng MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố R2 định O; . 2 Bài tập 41: Cho đường trịn (O; R) cĩ đường kính AB. Trên đường trịn (O; R) lấy điểm M sao cho MAB = 600 . Vẽ đường trịn (B; BM) cắt đường trịn (O; R) tại điểm thứ hai là N. a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường trịn (B; BM). b) Kẻ các đường kính MI của đường trịn (O; R) và MJ của đường trịn (B; BM). Chứng minh N, I và J thẳng hàng và JI.JN = 6R2 c) Tính phần diện tích của hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường trịn (O; R) theo R. Hướng dẫn b) Chứng minh: N; I; J thẳng hàng và JI.JN = 6R2. MNI = MNJ = 900 (các gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O và tâm B). Nên IN  MN và JN MN . Vậy ba điểm N; I và J thẳng hàng. MJI cĩ BO là đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R. AMO cân ở O (vì OM = OA), MAO = 600 nên MAO đều. AB MN tại H (tính chất dây chung của hai đường trịn (O) và (B) cắt nhau). 11 Nên OH = OA = R . 22 R 3R Vậy HB = HO + OB = + R = 22 3R NJ = 2. = 3R . 2 Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2. c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường trịn (O; R) theo R: Gọi S là diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R). S1 là diện tích hình trịn tâm (B; BM). S2 là diện tích hình quạt MBN. S3, S4 là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường trịn (O; R). Ta cĩ : S = S1 – (S2 + S3 + S4). Biên soạn: Trần Trung Chính 112
42. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com 00 Tính S1: MAB 60 MB 120 MB = R 3 . 2 2 Vậy: S1 = π R 3 = 3πR . Tính S2: 2 0 π R 3 60 2 0 πR MBN = 60 S2 = = 3600 2 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB. 2 0 2 0 πR .120 πR MOB =120 Squạt MOB = = . 3600 3 1 11 1 R32 OA = OB SMOB = SAMB = . .AM.MB = R.R 3 = 2 22 4 4 πR 2 R32 Vậy S3 = - = S4 (do tính chất đối xứng). 3 4 2 2 2 22 2 πR 2πR R 3 11πR +3R 3 Từ đĩ S = S1 - (S2 + 2S3) = 3πR – +- = (đvdt). 2 3 2 6 Bài tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đĩ. Vẽ đường trịn (O) đi qua B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN. a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB. AC b) Đường thẳng ME cắt đường trịn (O) tại I. Chứng minh IN // AB c) Chứng minh rằng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố định khi đường trịn (O) thay đổi. Bài tập 43: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R và dây MN cĩ độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN). Các tia AM và BN cắt nhau ở I. Các dây AN và BM cắt nhau ở K. a) Tính MIN và AKB . b) Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí . c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB . d) AB và IK cắt nhau tại H . Chứng minh HA.HB = HI.HK . e) Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB cĩ diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn nhất đĩ theo R. Bài tập 44: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. a) Chứng minh AC + BD = CD. b) Chứng minh: COD 900 . AB2 c) Chứng minh: AC.BD = . 4 d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD. f) Chứng minh: MN  AB. g) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn g) Ta cĩ: Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD. Mà AC + BD = CD. Suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD. Biên soạn: Trần Trung Chính 113
43. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Mà AB khơng đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất. Và CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuơng gĩc với Ax và By. Khi đĩ CD // AB. Suy ra: M phải là trung điểm của cung AB. Bài tập 45: Cho đường trịn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP. Kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp. b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn . c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI. IM = IA2. d) Chứng minh: Tứ giác OAHB là hình thoi. e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hàng. f) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d. Hướng dẫn e) Theo trên OAHB là hình thoi. Suy ra: OH  AB; cũng theo trên OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O chỉ cĩ một đường thẳng vuơng gĩc với AB). f) Theo trên OAHB là hình thoi. Suy ra: AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luơn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đĩ quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R. Bài tập 46: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. a) Chứng minh: AC + BD = CD. b) Chứng minh: COD 900 . AB2 c) Chứng minh: AC. BD = . 4 d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD. e) Chứng minh: MN  AB. f) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn f) Ta cĩ chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD. Suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB khơng đổi. Chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất. Mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By, tức là CD vuơng gĩc với Ax và By. Khi đĩ CD // AB M phải là trung điểm của cung AB. Bài tập 47: Cho đường trịn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP. Gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn . c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI. IM = IA2. d) Chứng minh OAHB là hình thoi. e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. Biên soạn: Trần Trung Chính 114
44. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com f) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo trên OAHB là hình thoi. Suy ra: OH  AB; cũng theo trên OM  AB. Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O chỉ cĩ một đường thẳng vuơng gĩc với AB). f) Theo trên OAHB là hình thoi. Suy ra: AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luơn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đĩ quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R. Bài tập 48: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đĩ một điểm P sao cho AP > R. Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường trịn. b) Chứng minh BM // OP. c) Đường thẳng vuơng gĩc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. d) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Hướng dẫn d) Tứ giác OBNP là hình bình hành. Suy ra: PN // OB hay PJ // AB. Mà ON  AB ON  PJ. Ta cũng cĩ PM  OJ (PM là tiếp tuyến ). Mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật. Vì cĩ PAO AON ONP 900 . Suy ra: K là trung điểm của PO (tính chất đường chéo hình chữ nhật). (6) Ta cĩ: AONP là hình chữ nhật APO NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì: PO là tia phân giác của gĩc APM APO MPO (8) Từ (7) và (8) IPO cân tại I cĩ IK là trung tuyến đơng thời là đường cao. Suy ra: IK  PO. (9) Từ (6) và (9) I, J, K thẳng hàng. Bài tập 49: Cho đường trịn (O) bán kính R cĩ hai đường kính AB và CD vuơng gĩc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường trịn ở P. Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M. d) Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Hướng dẫn d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c). Suy ra: ODP 900 . Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định vuơng gĩc với CD tại D. Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A’B’ song song và bằng AB. Bài tập 50: Cho ABC vuơng ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường trịn tại F, G. a) Chứng minh: ABC ∽ EBD. b) Chứng minh: Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . c) Chứng minh: AC // FG. d) Chứng minh: Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Biên soạn: Trần Trung Chính 115
45. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. Hướng dẫn d) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. Bài tập 51: Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H khơng trùng O, B); trên đường thẳng vuơng gĩc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngồi đường trịn; MA và MB thứ tự cắt đường trịn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. c) Gọi K là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCID. Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp. Bài tập 52: Cho hình vuơng ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía trong hình vuơng. Lấy AB làm đường kính, vẽ 1/2 đường trịn phía trong hình vuơng. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC (khơng trùng với A và C). H và K lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường trịn lần lượt ở I và M. a) Chứng minh I là trung điểm của AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân. e) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều. Bài tập 53: Cho đường trịn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đường kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đường trịn (O) tại C. a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp được b) Chứng minh rằng tích MC. MD cĩ giá trị khơng đổi khi D di động trên dây AB. 1 c) Gọi O' là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng: MAB AO'D . 2 d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD. Bài tập 54: Cho tam giác vuơng cân ABC ( A = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đường trịn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tương ứng M, N, P. a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng. c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao? d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC. Bài tập 55: Cho hai đường trịn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng AO cắt đường trịn (O) và (O') lần lượt tại C và C'. Đường thẳng AO' cắt đường trịn (O) và (O') lần lượt tại D và D'. a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD và đường thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bài tập 56: Từ một điểm C ở ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuơng gĩc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường trịn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường trịn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bài tập 57: Cho hai đường trịn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngồi tại A ( R > R' ). Đường nối tâm OO' cắt đường trịn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đường trịn (O) vuơng gĩc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường trịn (O') tại D. a) Tứ giác BEFC là hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đường trịn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường trịn (O’). Bài tập 58:Cho đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại C. AC và BC là đường kính của (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngồi (D (O), E (O’)). AD cắt BE tại M. Biên soạn: Trần Trung Chính 116
46. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. www.VNMATH.com a) MAB là tam giác gì? b) Chứng minh: MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). c) Kẻ Ex, By vuơng gĩc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh: D, N, C thẳng hàng. d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB và OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tịn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK. Bài tập 59: Cho đường trịn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngồi (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC là phân giác ngồi của tam giác AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luơn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luơn đi qua điểm cố định. Bài tập 60:Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN. a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. b) Tính gĩc MDN. c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuơng gĩc với MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất. Bài tập 61: Cho (O; R). Điểm M cố định ở ngồi (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường trịn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh: MA.MB = MI.MN. d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài tập 62: Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN. a) So sánh AMC và BCN. b) CMN là tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành. d) Đường thẳng d đi qua N và vuơng gĩc với BM. Chứng minh d luơn đi qua điểm cố định. Bài tập 63: Cho đường trịn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD. a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường trịn. b) Gọi H là trực tâm của MAB, tứ giác OAHB là hình gì? c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luơn qua điểm cố định. d) Đường thẳng qua C vuơng gĩc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh: EC = EK. Bài tập 64: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường trịn (O) và M là điểm di động trên đường trịn đĩ. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM. a) Chứng minh BPM cân. b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đường trịn (O). Bài tập 65: Đường trịn (O ; R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngồi đường trịn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh rằng: QMO QPO và đường trịn ngoại tiếp MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d. b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuơng? c) Tìm quỹ tích tâm các đường trịn nội tiếp MPQ khi M di động trên d. Bài tập 66: Hai đường trịn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các đường trịn (O) và (I) lần lượt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI. Biên soạn: Trần Trung Chính 117
47. .:: CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::. a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào? c) Tìm vị trí của d để PQB cĩ chu vi lớn nhất. Bài tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đĩ. Bài tập 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cĩ diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 2 cm2. Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình lập phương đĩ. Bài tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và A'AC' 600 . Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật đĩ. Bài tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nĩ biết cạnh đáy dài 6 cm và gĩc AA’B bằng 300. Bài tập 71: Cho ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC. b) Tính diện tích tồn phần và thể tích của hình chĩp S.ABC, cho biết SG = 2a. a2 Bài tập 72: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy là a và đường cao là . 2 a) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là các tam giác đều. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chĩp. Bài tập 73: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) Tính diện tích tốn phần của hình chĩp. b) Tính thể tích của hình chĩp. Bài tập 74: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ chiếu cao 15cm và thể tích là 1280cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) Tính diện tích xung quanh của hình chĩp. Bài tập 75: Một hình chĩp cụt diện tích đáy nhỏ là 75cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chĩp cụt đĩ. Bài tập 76: Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tính thể tích hình chĩp. b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuơng. c) Tính diện tích xung quanh của hình chĩp. Bài tập 77: Một hình trụ cĩ đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh của nĩ. Bài tập 78: Một hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nĩn đĩ. Bài tập 79: Cho hình nĩn cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12cm và đường sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nĩn cụt đĩ. Bài tập 80: Một hình cầu cĩ diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đĩ. Biên soạn: Trần Trung Chính 118