Chuyên đề Đại số Lớp 10 - Bài 2: Phương trình đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 10 - Bài 2: Phương trình đường tròn

1. Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN •Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2 2 Phương trình đường tròn C tâm I a;b , bán kính R là x a y b R2 . - Dạng khai triển của C là x2 y2 2ax 2by c 0 với c a2 b2 R2 - Phương trình x2 y2 2ax 2by c 0 với điều kiện a2 b2 c 0 , là phương trình đường tròn tâm I a;b bán kính R a2 b2 c II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 2 Cho đường tròn C : x a y b R2 . - Tiếp tuyến của C tại M xo ; yo là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên 2 phương trình : xo a x a yo a y a R . - : ax by c 0 là tiếp tuyến của C d I, R . 2 2 - Đường tròn C : x a y b R2 có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x a R . Ngoài hai tiếp tuyến này, các tiếp tuyến khác đều có dạng y kx m . PHẦN 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nhận dạng phương trình đường tròn 2 2 Đưa phương trình về dạng: x a y b P * - Nếu P 0 thì * là phương trình đường tròn có tâm I a;b và bán kính R P - Nếu P 0 thì * không phải là phương trình đường tròn. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. a) x2 y2 2x 4y 9 0 1 b) x2 y2 6x 4y 13 0 2 c) 2x2 2y2 6x 4y 1 0 3 d) 2x2 y2 2x 3y 9 0 4 Lời giải. a) Phương trình 1 có dạng x2 y2 2ax 2by c 0 với a 1;b 2;c 9 Ta có a2 b2 c 1 4 9 0 Vậy phương trình 1 không phải là phương trình đường tròn. b) Ta có a2 b2 c 9 4 13 0 Suy ra phương trình 2 không phải là phương trình đường tròn. 2 2 2 1 3 2 5 c) Ta có 3 x y 3x 2y 0 x y 1 2 2 2 3 10 Vậy phương trình 3 là phương trình đường tròn tâm I ;1 , bán kính R 2 2 Trang 1
2. d) Phương trình 4 không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 2. Cho phương trình x2 y2 2mx 4 m 2 y 6 m 0 1 a) Tìm điều kiện của m để 1 là phương trình đường tròn. b) Nếu 1 là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính theo m. Lời giải. a) Phương trình 1 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 b2 c 0 Với a m;b 2 m 2 ;c 6 m 2 2 2 m 2 Hay m 4 m 2 6 m 0 5m 15m 10 0 m 1 b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I m;2 m 2 và bán kính R 5m2 15m 10 . 2 2 Câu 3. Cho phương trình đường cong Cm : x y m 2 x m 4 y m 1 0 2 a) Chứng minh rằng 2 là phương trình một đường tròn. b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi. c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn Cm luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải. a) Ta có x2 y2 m 2 x m 4 y m 1 0 m 2 2 m 4 2 m 2 2 m 4 2 x2 m 2 x y2 m 4 y m 1 0 4 4 4 4 2 2 2 m 2 m 4 m 2 m 4 x y m 1 2 2 4 4 2 2 2 m 2 m 4 m 2 4 Do m 1 0 2 2 2 Suy ra 2 là phương trình đường tròn với mọi m. m 2 x 1 2 b) Đường tròn có tâm I : suy ra x1 y1 1 0 m 4 y 1 2 Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng : x y 1 0 c) Gọi M xo ; yo là điểm cố định mà họ Cm luôn đi qua. 2 2 xo yo m 2 xo m 4 yo m 1 0,m 2 2 Khi đó ta có: xo yo 1 m xo yo 2xo 4yo 1 0,m xo 1 xo yo 1 0 yo 0 2 2 xo yo 2xo 4yo 1 0 xo 1 yo 2 Trang 2
3. Vậy có hai điểm cố định mà họ Cm luôn đi qua với mọi m là M1 1;0 và M 2 1;2 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Dạng 2. Thiết lập phương trình đường tròn Cách 1: - Tìm tọa độ tâm I a;b của đường tròn C . - Tìm bán kính R của đường tròn C . 2 2 - Viết phương trình đường tròn C theo dạng x a y b R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn C là: x2 y2 2ax 2by c 0 ( Hoặc x2 y2 2ax 2by c 0). - Từ điều kiện của đề Câu thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a,b,c . Giải hệ để tìm a,b,c từ đó tìm được phương trình đường tròn C . Câu 1. Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Có tâm I 1; 5 và đi qua O 0;0 . b) Nhận AB làm đường kính với A 1;1 , B 7;5 . Lời giải. a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI 12 52 26 nên có phương trình là: 2 2 x 1 y 5 26. b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra I 4;3 , AI 4 1 2 3 1 2 13 . Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I 4;3 làm tâm và bán kính 2 2 R AI 13 nên có phương trình là x 4 y 3 13 . Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn C đi qua ba điểm A 3; 1 , B 1;3 ,C 2;2 . Lời giải. Cách 1. Phương trình đường tròn có dạng C : x2 y2 2ax 2by c 0 , với a2 b2 c 0 . Vì A, B,C thuộc C nên ta có hệ phương trình 6a 2b c 10 a 2 2a 6b c 10 b 1 4a 4b c 8 c 20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm x2 y2 4x 2y 20 0 Cách 2. Gọi I a;b là tâm của C . Vì A, B,C thuộc C nên 2 2 2 2 IA IB 3 a 1 b 1 a 3 b IA IC 2 2 2 2 3 a 1 b 2 a 2 b 4a 8b 0 a 2 2a 6b 2 b 1 Trang 3
4. Suy ra I 2; 1 , bán kính IA 5 2 2 Vậy phương trình đường tròn cần tìm C : x 2 y 1 25. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 3. Cho hai điểm A 8;0 , B 0;6 . a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Lời giải. a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I 4;3 và bán kính R IA 8 4 2 0 3 2 5. 2 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: x 4 y 3 25 . b) Ta có OA 8;OB 6;AB 82 62 10 . 1 Mặt khác OA.OB pr ( vì cùng bằng diện tích tam giác ABC ). 2 OA.OB Suy ra r 2 . OA OB AB Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là I 2;2 . 2 2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là x 2 y 2 4 . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 5 0 và hai điểm A 1;2 , B 4;1 . Viết phương trình đường tròn C có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B . Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của C . Do I d nên I t;2 t 5 . Hai điểm A,B cùng thuộc C nên IA IB 1 t 2 7 2t 2 4 t 2 6 2t 2 t 1 Suy ra I 1; 3 và bán kính R IA 5 . 2 2 Vậy phương trình đường tròn cần tìm C : x 1 y 3 25 . 5 3 Cách 2. Gọi M ; là trung điểm AB . Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận 2 2  AB 3; 1 làm vecto pháp tuyến nên có phương trình :3x y 6 0 . Tọa độ tâm I của C là nghiệm của hệ 2x y 5 0 I 1; 3 . 3x y 6 0 Bán kính của đường tròn bằng R IA 5 . Vậy phương trình đường tròn cần tìm C : x 1 2 y 3 2 25 Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x 3y 8 0,d2 :3x 4y 10 0 và điểm A 2;1 . Viết phương trình đường tròn C có tâm thuộc d1 , đi qua điểm A và tiếp xúc với d2 Lời giải. Gọi I là tâm của (C). Do I d1 nên I(-3t-8; t). Theo giả thiết ta có d(I,d2 ) IA 3( 3t 8) 4t 10 ( 3t 8 2)2 (t 1)2 25 t 3 Suy ra I(1; -3) và R=5 Vậy phương trình (C) là (x 1)2 (y 3)2 25 . Câu 6. Trong mặt phẳng oxy cho 2 điểm A (-1; 1), B(3; 3) và đường thẳng d :3x 4y 8 0 . Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và tiếp xúc d. Lời giải. Đường trung trực của AB đi qua M(1; 2) là trung điểm AB có phương trình là : 2x y 4 0 . Gọi tâm I của (C) thuộc là I (t; 4-2t) 3t 4(4 2t) 8 Ta có d(I,d) IA ( 1 t)2 (2t 3)2 9 16 t 3 31 t 2 Với t 3 , suy ra tâm I(3; -2). Bán kính R=IA=5 Phương trình (C): (x 3)2 (y 2)2 25 31 31 65 Với t , suy ra tâm I( ; 27) và R 2 2 2 31 4225 Phương trình (C): (x )2 (y 27)2 . 2 4 Câu 7. Trong mặt phẳng oxy cho d: 2x y 4 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc d. Lời giải. Gọi I(m; 2m-4) thuộc d là tâm của đường tròn (C ). 4 Ta có d(I;0x) d(I;oy) 2m 4 m m 4 hoặc m . 3 4 4 4 4 Với m thì I( ; ), R ta có 3 3 3 3 Trang 5
6. 4 4 16 (C): (x )2 (y )2 3 3 9 Với m 4 thì I(4;4), R 4 ta có (C): (x 4)2 (y 4)2 16. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 8. Trong mặt phẳng oxy cho d: 2x y 4 0 : viết phương trình đường tròn (C ) có tâm thuộc d đồng tời tiếp xúc với 1 :3x 4y 5 0 và 2 : 4x 3y 5 0 Lời giải. Gọi I(6t 10;t) d ta có 22t 35 21t 35 70 d(I, ) d(I, ) t 0 hoặc t 1 2 5 5 43 Với t 0 suy ra I(10;0), R 7 Phương trình (C) : (x 10)2 y2 49 . 70 10 70 7 Với t suy ra I( ; ), R . 43 43 43 43 10 70 49 Phương trình (C) : (x )2 (y )2 . 43 43 1849 Câu 9. Trong mặt phẳng oxy cho d : x 2y 3 0 và : x 3y 5 0 viết phương trình (C ) có bán 2 10 kính R , có tâm thuộc d và tiếp xúc với . 5 Lời giải. Gọi I( 2a 3;a) d là tâm của (C). Ta có a 2 2 10 a 6 d(I, ) R 10 5 a 2. 8 Với a 6 suy ra I( -9; 6). Phương trình (C) : (x 9)2 (y 6)2 . 5 8 Với a 2 suy ra I( 7; -2). Phương trình (C) : (x 7)2 (y 2)2 . 5 2 2 Câu 10. Trong mặt phẳng oxy cho (C): x y 4 3x 4 0 tia oy cắt (C ) tại A. Viết phương trình (C’) có bán kính R’=2 và tiếp xúc ngoài với (C ) tạiA. Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I( 2 3;0) bán kính R=4. Trang 6
7. x2 y2 4 3x 4 0 Tọa độ A là nghiệm hệ (y 0) x 0 Ta được A(0; 2). x 2 3t Đường thẳng IA đi qua 2 điểm I và A nên có phương trình y 2t 2. Đường tròn (C’) tiếp xúc ngoài với ( C) nên tâm I’ thuộc IA, nên I '(2 3t;2t 2) .   2 3 0 2(0 2 3t) 1 Hơn nữa, R 2R ' nên AI 2I 'A t . 0 2 2(2 2t 2) 2 1 Với t , suy ra I '( 3;3) . Phương trình đường tròn (C’ ): (x 3)2 (y 3)2 4 2 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 11. Trong mặt phẳng oxy cho (C): x2 y2 2x 4y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C’ ) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C ) tại 2 điểm A, B sao cho AB 3 . Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I (1;-2), bán kính R 3 Phương trình đường thẳng nối 2 tâm IM: 3x 4y 11 0 Gọi H (x; y) là trung điểm AB. H IM 3 IH R2 AH 2 2 Ta có 3x 4y 11 0 9 (x 1)2 (y 2)2 4 1 11 x x 5 5 hoặc 29 11 y y 10 10 1 29 11 11 Suy ra H ( ; ) hoặc H ( ; ) 5 10 5 10 1 29 Với H ( ; ) ta có R '2 43 5 10 Phương trình (C’): (x 5)2 (y 1)2 43. 11 11 Với H ( ; ) ta có R '2 13 5 10 Phương trình (C’): (x 5)2 (y 1)2 13 Trang 7
8. Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ hệ oxy cho đường thẳng d : x y 1 0 và hai đường tròn 2 2 2 2 (C1) : (x 3) (y 4) 8; (C2 ) : (x 5) (y 4) 32 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn trên. Lời giải. Gọi I, I1, I2 , R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của 3 đường tròn (C ), (C1) và (C2 ) . Giả sử I(t;t 1) d . Theo giả thiết Câu toán: (C ) tiếp xúc ngoài (C1) và (C2 ) nên II1 R R1 II2 R R2 Suy ra II1 R1 II2 R2 (t 3)2 (t 3)2 2 2 (t 5)2 (t 5)2 4 2 t 0 Với t 0 suy ra I(0; 1) và R 2 . Phương trình đường tròn (C ): x2 (y 1)2 2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Dạng 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn 1.1. Phương pháp 1 Cho đường thẳng và đường tròn C có tâm I bán kính R - Nếu d I; R thì cắt C tại hai điểm phân biệt. - Nếu d I; R thì tiếp xúc với C - Nếu d I; R thì và C không có điểm chung. 1.2. Phương pháp 2 Cho đường thằng : Ax By C 0 và đường tròn C : x2 y2 2ax 2by c 0 Ax By C 0 I Xét hệ phương trình 2 2 x y 2ax 2by c 0 - Nếu hệ I có hai nghiệm thì cắt C tại hai điểm phân biệt. - Nếu hệ I có một nghiệm thì tiếp xúc C . - Nếu hệ I vô nghiệm thì và C không có điểm chung. 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn - Cho hai đường tròn C1 ; C2 có tâm lần lượt là I;K bán kính R1; R2 . Ta có +) C1 và C2 ở ngoài nhau (không có điểm chung) khi và chỉ khi IK R1 R2 Trang 8
9. K I +) C1 và C2 đựng nhau (không có điểm chung) khi và chỉ khi IK R1 R2 I K +) C1 và C2 đồng tâm (không có điểm chung) khi và chỉ khi I  K; R1 R2 I +) C1 và C2 tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi I1I2 R1 R2 I K H +) C1 và C2 tiếp xúc trong khi và chỉ khi I1I2 R1 R2 K M I +) C1 và C2 cắt nhau khi và chỉ khi R1 R2 I1I2 R1 R2 I K I K Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho đường thẳng : x y 1 0 và đường tròn (C): x2 y2 4x 2y 4 0 a) Chứng minh M(2;1) nằm trong đường tròn b) Xét vị trí tương đối của và (C). Trang 9
10. Lời giải. a) Đường tròn (C ) có tâm I(2;-1) và bán kính R=3. Ta có IM 2 3 R . Do đó M nằm trong (C). b) d(I; ) 2 2 3 R nên cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho 2 đường tròn (C) x2 y2 2x 6y 15 0 và (C’ ): x2 y2 6x 2y 3 0 . Chứng minh 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B. Lời giải: Đường tròn (C ) có tâm I(1; 3) và bán kính R=5. Đường tròn (C’ ) có tâm I’(3; 1) và bán kính R 13 . Mà II ' 2 2 , do đó R R ' II ' R R ' nên 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B. Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x2 y2 2x 4y 4 0 Và đường thẳng : 2x my 1 2 0 . Tìm m để (C) cắt tại 2 điểm phân biệt. Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R=3 Để (C) cắt tại 2 điểm phân biệt d(I; ) R 2 2m 1 2 3 5m2 5m2 17 0 . Đúng với mọi m. 2 m2 Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x2 y2 4x 2y 0 và đường thẳng : mx y 3m 2 0 . Biện luận theo m số giao điểm của và (C). Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R 5 . m 3 Ta có h d(I; ) . m2 1 1 Nếu h 5 m 2 hoặc m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt. 2 1 Nếu h 5 m 2 hoặc m tiếp xúc (C ). 2 Trang 10
11. 1 Nếu h 5 m 2 không cắt (C ). 2 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 11