Chuyên đề Đại số Lớp 10 - Bài 1: Bất đẳng thức

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 10 - Bài 1: Bất đẳng thức

1. Bài 1. BẤT ĐẲNG THỨC •Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. Định nghĩa Định nghĩa 1. Cho a,b là hai số thực. Các mệnh đề "a b" , "a b" được gọi là những bất đẳng thức. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng). Với A, B là mệnh đề chứa biến thì "A B" là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến "A B" đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó). Khi ta nói có bất đẳng thức mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến số là số thực. II. Tính chất a) a b và b c a c . b) a b 0 a b . c) a b a c b c . 2 2 d) a b 0 a b . e) a b và c d a c b d . n n f) a b 0 a b . g) Nếu c 0 thì a b ac bc . h) Nếu c 0 thì a b ac bc . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ III. Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối a) a a a với mọi số thực a. x a a x a b) ( với a 0 ) x a c) x a (với a 0 ) x a IV. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cauchy). a b a) Đối với hai số không âm. Cho a 0,b 0 , ta có bất đẳng thức ab . 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b Hệ quả. -Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. -Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. a b c b) Đối với ba số không âm. Cho a 0,b 0,c 0 , ta có bất đẳng thức 3 abc 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ PHẦN 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp: Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể sử dụng các cách sau: -Ta đi chứng minh A B 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phan tích A B thành tổng hoặc tích của các biểu thức không âm. -Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương về bất đẳng thức cần chứng minh. Câu 1. Cho a,b là các số thực. Chứng minh rằng 2 a2 b2 a b a) ab b) ab 2 2 Lời giải: 2 2 2 a b a) Ta có a2 b2 2ab a b 0 . Suy ra a2 b2 2ab hay ab . Đẳng thức xảy ra khi 2 và chỉ khi a b . 2 a b 2 2 2 b) Bất đẳng thức tương đương với ab 0 a 2ab b 4ab a b 0 2 (đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Câu 2. Cho a,b là hai số thực thỏa mãn a b . Chứng minh rằng 3 a) 4 a3 b3 a b b) a3 3a 4 b3 3b Lời giải 3 a) Bất đẳng thức tương đương 4 a b a2 ab b2 a b 0 2 2 2 a b 4 a ab b a b 0 2 2 a b 3a 3ab b 0 2 b 3b2 3 a b a 0 ( đúng với a b ). 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . b) Bất đẳng thức tương đương a3 b3 3a 3b 4 . 1 3 1 3 Theo câu a) ta có a3 b3 a b , do đó ta cần chứng minh a b 3a 3b 4. 4 4 Thật vậy, 3 2 a b 12 a b 16 0 a b 2 a b 2(a b) 8 0 2 a b 2 a b 4 0 ( đúng với a b ). Đẳng thức không xảy ra. Câu 3. Cho a,b là các số thực. Chứng minh rằng a) a4 b4 4ab 2 0 . 2 2 b) 2 a4 1 b2 1 2 ab 1 . Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương 2 2 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0 a2 b2 2 ab 1 0 (đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1. Trang 2
3. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ b) Bất đẳng thức tương đương với 2 a4 1 b4 2b2 1 2 a2b2 2ab 1 0 a4 b4 2a2b2 2a2 4ab 2b2 a4 4a2 1 0 2 2 2 a2 b2 2 a b a2 1 0 ( đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1. 1 1 2 Câu 4. Cho a,b là các số thực thỏa mãn ab 1. Chứng minh rằng a2 1 b2 1 1 ab Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 2 0 a2 1 b2 1 1 ab 1 1 1 1 0 a2 1 1 ab b2 1 1 ab ab a2 ab b2 0 a2 1 1 ab b2 1 1 ab a b b a 0 1 ab 1 b2 1 a2 2 a b a b ab 1 a b ab 1 . 0 ( đúng với ab 1). 1 ab 1 b2 1 a2 1 ab 1 a2 1 b2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc ab 1 1 1 1 Câu 5. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 1 a 1 b 1 ab Lời giải: Bất đẳng thức tương đương 2 2 2 2 1 ab 1 a 1 b 1 a 1 b 2 2 2 2 2 2 2 1 ab 2 1 a b a b 1 a b ab 1 ab a b 2ab a b 2 2 ab a2 b2 2ab a2b2 2ab 1 0 ab a b ab 1 0 đúng với mọi a,b 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1 . Câu 6. Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng 2 2 a) 3 a2 b2 c2 a b c b) a b c 3 ab bc ac Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 2 2 a b b c c a 0 (đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c b) Bất đẳng thức tương đương a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3 ab bc ac 2 2 2 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 0 a b b c c a 0 ( đúng). Trang 3
4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 7. Chứng minh rằng a) a b c ab bc ac với a,b,c là các số thực dương. b) a2 b2 c2 3 2 a b c với a,b,c là các số thực. Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương 2a 2b 2c 2 ab 2 bc 2 ac 0 2 2 2 a b b c c a 0 (đúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0 b) Bất đẳng thức tương đương a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1 0 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a b c 0 . Câu 8. Cho số thực a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 1 .Chứng minh rằng 2(1 a b c ab bc ac) abc 0 Lời giải: vì a2 b2 c2 1 suy ra a,b,c  1;1 nên ta có 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab cb ac abc 0 (1) Mặt khác ta có 2 1 a b c 1 a2 b2 c2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 0 0 2 2 1 a b c ab cb ac 0 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được điều cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c 0 a;b;c 1; 1;1 2 2 2 a b c 1 Và các hoán vị của nó Câu 9. Cho a,b,c,d, e là các số thực. a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e . Lời giải: Bất đẳng thức tương đương a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 0 2 2 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 ( đúng). 2 2 2 2 Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2b 2c 2d 2e . Dạng 2. Phương pháp biến đổi hệ quả a a c Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng nếu a b thì b b c Lời giải: a a c a b c b a c c a b Lập hiệu: b b c b b c b b c c a b Vì a,b,c 0 và a b nên 0 suy ra điều cần chứng minh. b b c Câu 2. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b a b a) 1 a b 1 a 1 b a b c d b) 1 2 a b c b c d c d a d a b Lời giải: a b a b a b a) Vì a,b dương nên 1 a b 1 a b 1 a b 1 a 1 b b) Vì a,b,c,d dương cho nên a a a b b b c c c ; ; ; a b c d a b c a c a b c d b c d d b a b c d c d a a c d d d a b c d d a b b d Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế,ta có điều cần chứng minh. Câu 3. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh x2 xy y2 y2 zy z2 x2 xz z2 x y z 3 Lời giải: 2 2 2 2 2 x y x y x y x y Với x, y, z 0 ta có x xy y 3 3 3 2 2 2 2 2 2 y z 2 2 x z Tương tự, ta có z zy y 3 và z zx x 3 2 2 Cộng các bất đẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 5