Các dạng toán luyện thi vào Lớp 10 THPT

173 trang dichphong 9330

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán luyện thi vào Lớp 10 THPT", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_dang_toan_luyen_thi_vao_lop_10_thpt.doc

Nội dung text: Các dạng toán luyện thi vào Lớp 10 THPT

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. 2. MN// DE 3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi. Bài tập 82 Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M B ; M C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bài tập 83 Cho ABC vuụng cõn tại A. AD là trung tuyạn thuạc cạnh BC. Lạy M bạt kỡ thuạc đoạn AD (M khụng trựng A, D). Gại I, K lạn lưạt là hỡnh chiạu vuụng gúc cạa M trờn AB, AC. H là hỡnh chiạu vuụng gúc cạa I trờn đoạn DK a/Tạ giỏc AIMK là hỡnh gỡ? b/ A, I, M, H, K thuạc mạt đưạng trũn. Tỡm tõm đưạng trũn đú. c/ B, M, H thạng hàng. Bài tập 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh rằng gócEFH = góc KBH c/ Giả sử CH = AB. Tính số đo của góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đ- ờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: 1 CAB AOD a. 2 . b. Tứ giác AEDO nội tiếp. c. EI // AB. Bài tập 86 Cho đưạng trũn tõm O đưạng kớnh AC. Trờn AC lạy điạm B , vạ đưạng trũn tõm O’ đưạng kớnh BC. Gại M là trung điạm cạa AB. Tạ M kạ đưạng thạng vuụng gúc vại AB cạt đưạng trũn tõm O tại D và E. Nại DC cạt đưạng trũn tõm O’ tại I. Chạng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; I, B, E thạng hàng. c/ MD = MI. d/ DM2 = AM.MC. e/ Tạ giỏc DMBI nại tiạp. Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chứng minh AD.CD = ED.BD. 123
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và DKE ABE . Bài tập 88 Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp M B;M C điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, . Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = 1 3 AO, CE cắt (O) ở M. a. Tính CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của tam giác CDM. Bài tập 90 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chứng minh IA vuông góc với CD. b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF Bài tập 91 Cho đưạng trũn tõm O và cỏt tuyạn CAB (C ạ ngoài đưạng trũn). Tạ điạm chớnh giạa cạa cung lạn AB kạ đưạng kớnh MN cạt AB tại I, CM cạt đưạng trũn tại E, EN cạt đưạng thạng AB tại F. 4) Chạng minh tạ giỏc MEFI là tạ giỏc nại tiạp. 5) Chạng minh gúc CAE bạng gúc MEB. 6) Chạng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bài tập 92 Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. Chứng minh AE.AB = AF.AC c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. Bài tập 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chứng minh: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 124
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn. c. Chứng minh rằng: BP = BA. Bài tập 95 Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam giác PQO cân. d. PM2 = PE.PF. e. PHM PHN . Một số đề thi tuyển sinh THPT Đề số 1 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999) Câu I (2đ) Giải hệ phương trình: 2x 3y 5 3x 4y 2 Câu II (2,5đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A). 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2). 3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. Câu IV (1đ) Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 1 2 1 2 . a b Đề số 2 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I Cho hàm số f(x) = x2 – x + 3. 1 1) Tính các giá trị của hàm số tại x = và x = -3 2 2) Tìm các giá trị của x khi f(x) = 3 và f(x) = 23. Câu II Cho hệ phương trình : 125
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 mx y 2 x my 1 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Câu III Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lượt là P, Q, R. 1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông. 2) Đường thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đường tròn. 3) Đường thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lượt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI. Đề số 3 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Câu II Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: 2 2 2 2 x1 (1 – x2 ) + x2 (1 – x1 ) = -8. Câu III Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q. 1) Chứng minh BP = CQ. 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. Tính góc AHC. Đề số 4 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Câu II Giải các phương trình : 1) x2 + x – 20 = 0 1 1 1 2) x 3 x 1 x 3) 31 x x 1 . Câu III Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao của tam giác (H BC). 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC. 3) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. 126
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Chứng minh : r + R AB.AC Đề số 5 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Câu II Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. 4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I. 1) Chứng minh OI vuông góc với BC. 2) Chứng minh BI2 = AI.DI. 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng : Bã AH Cã AO . 4) Chứng minh : Hã AO Bà Cà . Đề số 6 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau: 1) x2 – 9 = 0 2) x2 + x – 20 = 0 3) x2 – 23 x – 6 = 0. Câu II (2,5đ) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh AE = AF. 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. Câu IV (1đ) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: 3 x 7 y 3200 . Đề số 7 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau : 1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4 127
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2) 3x – x2 = 0 x 1 x 1 3) 2 . x x 1 Câu II (2,5đ) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P). 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; -4)2 có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P). Câu III (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đường kính của đường tròn đường kính AH. 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 3) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC. Câu IV (1đ) 2 Chứng minh rằng 5 2 là nghiệm của phương trình: x2 + 6x + 7 = , từ đó phân tích đa thức x3 + x 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử. Đề số 8 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (3đ) Giải các phương trình: 1) 4x2 – 1 = 0 x 3 x 1 x2 4x 24 2) x 2 x 2 x2 4 3) 4x2 4x 1 2002 . Câu II (2,5đ) 1 Cho hàm số y = x2 . 2 1) Vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB. 3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao 2 2 2 2 điểm ấy. Tìm m để x1 + x2 + 20 = x1 x2 . Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. 1) Chứng minh OI song song với BC. 2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ. Câu IV (1đ) 7 Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá 7 4 3 . Đề số 9 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (2,5đ) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 128
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 . Câu II (3đ) 2 Cho phương trình : x – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: 2 2 1) x1 + x2 2) x1 x1 x2 x2 x2 x2 x x x x 3) 1 2 1 x 1 2 . 2 2 2 2 x1 x1 1 x2 x2 1 Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB. 1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đường tròn. 2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP2 = ME.MI. 3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA. Câu IV (1đ) Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12. Đề số 10 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) Câu I (1,5đ) Tính giá trị của biểu thức: 4 A = 5 2 3 8 2 18 2 Câu II (2đ) 1 Cho hàm số y = f(x) = x2 . 2 1 1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; - ; 2. 9 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. Câu III (2đ) Cho hệ phương trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl. Câu IV (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD. 1) Chứng minh : MIC = HMK . 2) Chứng minh CM vuông góc với HK. 3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V (1đ) Chứng minh rằng : (m 1)(m 2)(m 3)(m 4) là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m. 129
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Đề số 11 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) 3 Cho hàm số y = f(x) = x2 . 2 1) Hãy tính f(2), f(-3), f(-3 ), f(2 ). 3 3 1 3 2) Các điểm A 1; , B 2; 3 , C 2; 6 , D ; có thuộc đồ thị hàm số không ? 2 2 4 Câu II (2,5đ) Giải các phương trình sau : 1 1 1 1) x 4 x 4 3 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0. Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đường tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 3) Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. Câu V (1đ) Tìm số nguyên m để m2 m 23 là số hữu tỉ. Đề số 12 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua: a) A(-1; 3) ; b) B(2 ; -52 ) ; c) C(2 ; -1). 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV. Câu II (3đ) 2 Cho phương trình 2x – 9x + 6 = 0, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. 1) Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức: a) x1 + x2 ; x1x2 3 3 b) x1 x2 c) x1 x2 . 2 2 2) Xác định phương trình bậc hai nhận x1 x2 và x2 x1 là nghiệm. Câu III (3đ) 130
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đường tròn đường kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đường tròn đường kính AB và BC. 3) Kẻ đường kính MK của đường tròn đường kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. Câu IV (1đ) Xác định a, b, c thoả mãn: 5x2 2 a b c 2 . x3 3x 2 x 2 x 1 x 1 Đề số 13 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 1 a) A(-1 ; 3) ; b) B ; 2 ; c)1 C ; 5 2 2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. Câu II (3đ) Cho hệ phương trình: (a 1)x y a có nghiệm duy nhất là (x; y). x (a 1)y 2 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhận giá trị nguyên. x y Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và Mã NP Pã NQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 1) Chứng minh Pã MI Qã NI . 2) Chứng minh tam giác MNE cân. 3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME. Câu IV (1đ) Tính giá trị của biểu thức: x5 3x3 10x 12 x 1 A = với . x4 7x2 15 x2 x 1 4 Đề số 14 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức: 2 x y 4 xy x y y x N = ;(x, y > 0) x y xy 1) Rút gọn biểu thức N. 131
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2) Tìm x, y để N = 2.2005 . Câu II (2đ) Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1). 3 3 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x1 + x2 . Câu III (2đ) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi 4 chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được số mới bằng số ban đầu. 7 Câu IV (3đ) Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K. 1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. Câu V (1đ) Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. Tính: x1x2x3x4. Đề số 15 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức: a a a a N = 1 1 a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Câu II (2đ) x 4y 6 1) Giải hệ phương trình : . 4x 3y 5 2) Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : 6 x 4x 5 y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. 4 3 Câu III (2đ) Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Câu IV (3đ) Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đường tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đường tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đường tròn. 2) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh : MI. MJ = MN. MP. Câu V (1đ) 2 2 Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phương trình : y + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho phương trình : x + 2 2 ax + b = 0 có hai nghiệm là : x1 = y1 + 3y2 và x2 = y2 + 3y1. Đề số 16 132
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2x y 3 2) Giải hệ phương trình: . 5 y 4x Bài 2 (2đ) 1) Cho biểu thức: a 3 a 1 4 a 4 P = (a 0; a 4) a 2 a 2 4 a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. 2) Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 3 3 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 0. Bài 3 (1đ) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. Bài 4 (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a) CEFD là tứ giác nội tiếp. b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bài 5 (1đ) 2x m Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2. x2 1 Đề số 17 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài 1 (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 5(x - 1) - 2 = 0 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ. Bài 2 (2đ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). 2 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để x1 x2 5 . 3) Rút gọn biểu thức: x 1 x 1 2 P = (x 0; x 1). 2 x 2 2 x 2 x 1 Bài 3 (1đ) 133
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu. Bài 4 (3đ) Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK. 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bài 5 (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phương trình y = x2. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Đề số 18 (Đề thi của thành phố Hải Phòng năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho hệ phương trình: x ay 1 (1) ax y 2 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Câu II (2đ) Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 A = : , với x > 0 và x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Câu III (2đ) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Câu IV (3đ) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và một cát tuyến MCD (MC < MD) tới đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI. 1) Chứng minh rằng: R2 = OE. OM = OI. OK. 2) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. 3) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh : Dã EC 2.Dã BC . Câu V (1đ) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 3 2 14 . xy yz zx x2 y2 z2 Đề số 19 (Đề thi của tỉnh Bắc Giang năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) 134
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1) Tính : 2 1 . 2 1 x y 1 2) Giải hệ phương trình: . x y 5 Câu II (2đ) Cho biểu thức: x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 A = : . x x x x x 1 1) Rút gọn A. 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu III (2đ) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng minh: 1) Bã MD Bã AC , từ đó suy ra tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp. 2) HK song song với CD. 3) OK. OS = R2. Câu V (1đ) Cho hai số a, b 0 thoả mãn : 1 1 1 . a b 2 Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. Đề số 20 (Đề thi của tỉnh Thái Bình năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho biểu thức: x 1 x 1 x2 4x 1 x 2003 A = 2 . . x 1 x 1 x 1 x 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x Z ? để A Z ? Câu II (2đ) Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. 1 3) Tiếp xúc với parabol y = - x2 . 4 Câu III (3đ) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 2) Chứng minh bất đẳng thức: 135
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2002 2003 2002 2003 . 2003 2002 Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. 1) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp. 2) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh 2 2 2 rằng: r = r1 r2 . Đề số 21 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ). Giải các phương trình sau: 1) 2x – 3 = 0 ; 2) x2 – 4x – 5 = 0. Câu II (2đ). 2 x2 x1 1) Cho phương trình x – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức S . x1 x2 1 1 3 2) Rút gọn biểu thức : A = 1 với a > 0 và a 9. a 3 a 3 a Câu III (2đ). mx y n 1) Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình có nghiệm là 1; 3 . nx my 1 2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1) Chứng minh OM // DC. 2) Chứng minh tam giác ICM cân. 3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0). Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Đề số 22 (Đề thi của tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ). 2x 4 0 1) Giải hệ phương trình . 4x 2y 3 2 2) Giải phương trình x2 x 2 4 . Câu II (2đ). 1 1) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 – x + 1. Tính f(0) ; f( ) ; f(3 ). 2 x x 1 x 1 2) Rút gọn biểu thức sau : A = x x với x 0, x 1. x 1 x 1 Câu III (2đ) 136
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1) Cho phương trình (ẩn x) x2 – (m + 2)x + m2 – 4 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 2) Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đường kính BB’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1) Chứng minh AH // B’C. 2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC. 3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất. Đề số 23 Câu I (2đ). 2 5 2 x x y Giải hệ phương trình . 3 1 1,7 x x y Câu II (2đ). 1 x Cho biểu thức P = , với x > 0 và x 1. x 1 x x 1) Rút gọn biểu thức sau P. 1 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . 2 Câu III (2đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003. 1) Tìm a và b. 1 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = x2 . 2 Câu IV (3đ). Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đường thẳng AQ tại M. 1) Chứng minh rằng MO = MA. 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lượt tại B và C. a) Chứng minh : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đường tròn thì PQ // BC. Câu V (1đ). Giải phương trình : x2 2x 3 x 2 x2 3x 2 x 3 Đề số 24 137
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Câu I (3đ). 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 6 5 14 6 5 . 2) Cho biểu thức : x 2 x 2 x 1 Q = . , x 2 x 1 x 1 x với x > 0 ; x 1. 2 a) Chứng minh rằng Q = ; x 1 b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Câu II(3đ). a 1 x y 4 Cho hệ phương trình (a là tham số). ax y 2a 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2. Câu III(3đ). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Chứng minh : 1) Tích BM.BN không đổi. 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. Câu IV (1đ). x2 2x 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của y = . x2 2x 5 Đề số 25 Câu 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức : 1 1 x 2 1 A ( ) 2 . 1 x 2 x 1 x 1 2 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A . 3) Giải phương trình theo x khi A = -2 . Câu 2 ( 1 điểm ) Giải phương trình : 5x 1 3x 2 x 1 Câu 3 ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x +1) . a) Điểm A có thuộc (D) hay không ? b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A . c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (D) . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K . 1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân . 138
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2) Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K . 3) Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn . Đề số 26 Câu 1 ( 2 điểm ) 1 Cho hàm số : y = x 2 2 1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số. 2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên . Câu 2 ( 3 điểm ) Cho phương trình : x2 – mx + m – 1 = 0 . 1) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức . 2 2 x1 x2 1 M 2 2 . Từ đó tìm m để M > 0 . x1 x2 x1 x2 2 2 2) Tìm giá trị của m để biểu thức P = x1 x2 1 đạt giá trị nhỏ nhất . Câu 3 ( 2 điểm ) Giải phương trình : a) x 4 4 x b) 2x 3 3 x Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đường thẳng EC , DF cắt nhau tại P . 1) Chứng minh rằng : BE = BF . 2) Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF . 3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn khi AB = R . Đề số 27 Câu 1 ( 3 điểm ) 1) Giải bất phương trình : x 2 x 4 2) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x thoả mãn . 2x 1 3x 1 1 3 2 Câu 2 ( 2 điểm ) Cho phương trình : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 . b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng . Câu3 ( 2 điểm ) Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) . b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB . Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N . 1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 139
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . Đề số 28 . Câu 1 ( 3 điểm ) 2 x x 1 x 2 Cho biểu thức : A ( ) : x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3 Câu 2 ( 2 điểm ) 2x 2 x 2 x 1 Giải phương trình : x 2 36 x 2 6x x 2 6x Câu 3 ( 2 điểm ) 1 Cho hàm số : y = - x 2 2 1 a) Tìm x biết f(x) = - 8 ; - ; 0 ; 2 . 8 b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hoành độ lần lượt là -2 và 1 . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC lấy 1 điểm M . Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn đường kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E . 1) Chứng minh E, N , C thẳng hàng . 2) Gọi F là giao điểm của BN và DC . Chứng minh BCF CDE 3) Chứng minh rằng MF vuông góc với AC . Đề số 29 Câu 1 ( 3 điểm ) 2mx y 5 Cho hệ phương trình : mx 3y 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 . b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . c) Tìm m để x – y = 2 . Câu 2 ( 3 điểm ) x 2 y 2 1 1) Giải hệ phương trình : 2 2 x x y y 2 2) Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0 . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1+ 3x2 và 3x1 + 2x2 . Câu 3 ( 2 điểm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm chuyển động trên đường tròn . Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AM cắt CM ở D . Chứng minh tam giác BMD cân Câu 4 ( 2 điểm ) 1 1 1) Tính : 5 2 5 2 2) Giải bất phương trình : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) . Đề số 30 Câu 1 ( 2 điểm ) 140
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2 1 7 x 1 y 1 Giải hệ phương trình : 5 2 4 x 1 y 1 Câu 2 ( 3 điểm ) x 1 1 Cho biểu thức : A : x x x x x 2 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . Câu 3 ( 2 điểm ) Tìm điều kiện của tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 và x2 + (2m + 3 )x +2 =0 . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M trên d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F là tiếp điểm ) . 1) Chứng minh góc EMO = góc OFE và đường tròn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi trên d . 2) Xác định vị trí của M trên d để tứ giác OEMF là hình vuông . Đề số 31 Câu 1 ( 2 điểm ) Cho phương trình (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0 a) Chứng minh x1x2 < 0 . b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức : S = x1 + x2 . Câu 2 ( 2 điểm ) 2 Cho phương trình : 3x + 7x + 4 = 0 . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 không giải x x phương trình lập phương trình bậc hai mà có hai nghiệm là : 1 và 2 . x2 1 x1 1 Câu 3 ( 3 điểm ) 1) Cho x2 + y2 = 4 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của x + y . x 2 y 2 16 2) Giải hệ phương trình : x y 8 3) Giải phương trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N . 1) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân . 2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC . 3) Tứ giác CMIN là hình gì ? Đề số 32 Câu1 ( 2 điểm ) Tìm m để phương trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt . Câu 2 ( 3 điểm ) 141
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 x my 3 Cho hệ phương trình : mx 4y 6 a) Giải hệ khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x > 1 , y > 0 . Câu 3 ( 1 điểm ) Cho x , y là hai số dương thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 . Chứng minh x2 + y2 1 + xy Câu 4 ( 3 điểm ) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E . a) Chứng minh : DE//BC . b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD . c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành . Đề số 33 Câu 1 ( 2 điểm ) Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau : 2 1 1 1 A ; B ; C 2 3 2 2 2 2 3 2 1 Câu 2 ( 3 điểm ) Cho phương trình : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1) a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm m thoả mãn x1 – x2 = 2 . b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình có hai nghiệm khác nhau . Câu 3 ( 2 điểm ) 1 1 Cho a ;b 2 3 2 3 a b Lập một phương trình bậc hai có các hệ số bằng số và có các nghiệm là x1 = ; x2 b 1 a 1 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông . 2) Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đường tròn 3) E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Đề số 34 Câu 1 ( 3 điểm ) x 2 1)Vẽ đồ thị của hàm số : y = 2 2)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên . Câu 2 ( 3 điểm ) a) Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 b)Tính giá trị của biểu thức S x 1 y 2 y 1 x 2 với xy (1 x 2 )(1 y 2 ) a 142
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Câu 3 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB , AC lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn . 3) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Câu 4 ( 1 điểm ) Cho F(x) = 2 x 1 x a) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định . b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất . Đề số 35 Câu 1 ( 3 điểm ) x 2 1) Vẽ đồ thị hàm số y 2 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 ) 3) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên . Câu 2 ( 3 điểm ) 1) Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 2) Giải phương trình : 2x 1 4x 5 x 2x 1 Câu 3 ( 3 điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đường phân giác của góc BAD cắt DC và BC theo thứ tự tại M và N . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC . 1) Chứng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân . 2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đường tròn . Câu 4 ( 1 điểm ) Cho x + y = 3 và y 2 . Chứng minh x2 + y2 5 Đề số 36 Câu 1 ( 3 điểm ) 1) Giải phương trình : 2x 5 x 1 8 2) Xác định a để tổng bình phương hai nghiệm của phương trình x2 +ax +a –2 = 0 là bé nhất . Câu 2 ( 2 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đường thẳng x – 2y = - 2 . a) Vẽ đồ thị của đường thẳng . Gọi giao điểm của đường thẳng với trục tung và trục hoành là B và E . b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng x – 2y = -2 . c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đường thẳng đó . Chứng minh rằng EO. EA = EB . EC và tính diện tích của tứ giác OACB . d) Câu 3 ( 2 điểm ) Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt . 2 2 b) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị bé nhất , lớn nhất . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Kẻ đường cao AH , gọi trung điểm của AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đường kính AD . 143
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 a) Chứng minh rằng MN vuông góc với HE . b) Chứng minh N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF . Đề số 37 Câu 1 ( 2 điểm ) 9 6 So sánh hai số : a ;b 11 2 3 3 Câu 2 ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình : 2x y 3a 5 x y 2 Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . Câu 3 ( 2 điểm ) Giả hệ phương trình : x y xy 5 2 2 x y xy 7 Câu 4 ( 3 điểm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt nhau tại P và BC , AD cắt nhau tại Q . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt nhau tại một điểm . 3) Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp . Chứng minh AB.AD CB.CD AC BA.BC DC.DA BD Câu 4 ( 1 điểm ) Cho hai số dương x , y có tổng bằng 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 1 3 S x 2 y 2 4xy Đề số 38 Câu 1 ( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức : 2 3 2 3 P 2 2 3 2 2 3 Câu 2 ( 3 điểm ) 1) Giải và biện luận phương trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2 2) Cho phương trình x – x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 . Hãy lập phương trình bậc hai x x có hai nghiệm là : 1 ; 2 1 x2 1 x2 Câu 3 ( 2 điểm ) 2x 3 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức : P là nguyên . x 2 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F . 1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB . 3) Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 144
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Đề số 39 Câu 1 ( 2 điểm ) x 2 5xy 2y 2 3 Giải hệ phương trình : 2 y 4xy 4 0 Câu 2 ( 2 điểm ) x 2 Cho hàm số : y và y = - x – 1 4 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ . b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị x 2 hàm số y tại điểm có tung độ là 4 . 4 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho phương trình : x2 – 4x + q = 0 a) Với giá trị nào của q thì phương trình có nghiệm . b) Tìm q để tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 16 . Câu 4 ( 2 điểm ) 1) Tìm số nguyên nhỏ nhất x thoả mãn phương trình : x 3 x 1 4 2) Giải phương trình : 3 x 2 1 x 2 1 0 Câu 5 ( 2 điểm ) Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đường cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đường cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N . a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD . b) Chứng minh EF // BC . c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN . Đề số 40 Câu 1 : ( 2 điểm ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 . 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 . Câu 2 : ( 2,5 điểm ) 1 1 1 1 1 Cho biểu thức : A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . Câu 3 : ( 2 điểm ) 2 Cho phương trình bậc hai : x 3x 5 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Không giải phương trình , tính giá trị của các biểu thức sau : 145
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1 1 2 2 a) 2 2 b) x1 x2 x1 x2 1 1 c) 3 3 d) x1 x2 x1 x2 Câu 4 ( 3.5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . c) AC song song với FG . d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Đề số 41 Câu 1 ( 2,5 điểm ) a a 1 a a 1 a 2 Cho biểu thức : A = : a a a a a 2 a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . b) Rút gọn biểu thức A . c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . Câu 2 ( 2 điểm ) Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu . Câu 3 ( 2 điểm ) 1 1 3 x y x y a) Giải hệ phương trình : 2 3 1 x y x y x 5 x 5 x 25 b) Giải phương trình : x2 5x 2x2 10x 2x2 50 Câu 4 ( 4 điểm ) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . Vẽ về cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB các nửa đường tròn đường kính theo thứ tự là AB , AC , CB có tâm lần lượt là O , I , K . Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E . Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm cuae EA , EB với các nửa đường tròn (I) , (K) . Chứng minh : a) EC = MN . b) MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I) và (K) . c) Tính độ dài MN . d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn . Đề số 42 Câu 1 ( 2 điểm ) 1 1 a 1 1 a 1 Cho biểu thức : A = 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a . Câu 2 ( 2 điểm ) 146
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 . 2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m . 3) Với giá trị nào của m thì x1 và x2 cùng dương . Câu 3 ( 2 điểm ) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh Ã MB Hã MK 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK . Câu 5 ( 1 điểm ) xy(x y) 6 Tìm nghiệm dương của hệ : yz(y z) 12 zx(z x) 30 Để số 43 ( Thi tuyển sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải dương - 120 phút - Ngày 28 / 6 / 2006 ) Câu 1 ( 3 điểm ) 1) Giải các phương trình sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2x y 3 2) Giải hệ phương trình : 5 y 4x Câu 2( 2 điểm ) a 3 a 1 4 a 4 1) Cho biểu thức : P = a > 0 ; a 4 a 2 a 2 4 a a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9 . 2) Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số ) a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại . 3 3 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 x2 0 Câu 3 ( 1 điểm ) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ô tô đi từ A đến B , nghỉ 90 phút ở B , rồi lại từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h . Tính vận tốc lúc đi của ô tô . Câu 4 ( 3 điểm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Câu 5 ( 1 điểm ) 147
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2x m Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 . x2 1 Để số 44 ( Thi tuyển sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải dương - 120 phút - Ngày 30 / 6 / 2006) Câu 1 (3 điểm ) 1) Giải các phương trình sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ . Câu 2 ( 2 điểm ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình : y = ax + b . Xác định a , b để (d) đi qua hai điểm A ( 1 ; 3 ) và B ( - 3 ; - 1) 2 2) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m là tham số ) Tìm m để : x1 x2 5 x 1 x 1 2 3) Rút gọn biểu thức : P = (x 0; x 0) 2 x 2 2 x 2 x 1 Câu 3( 1 điểm) Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 . Nếu giảm chiều rộng đi 3 m , tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu . Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M B ; M C ) . Gọi D , E , F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Câu 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; 0 ) và Parabol (P) có phương trình y = x2 . Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất . Đề cương ôn tập học kì I-Toán 9 Năm học 2012-2013 Dạng1: Vận dụng hệ thức luợng, tỉ số lượng giác, hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài 1: Cho ABC có AB=6cm ; AC=8cm ; BC=10cm a) Chứng minh ABC vuông b) Tính  B và  C c) Đường phân giác của góc A cắt BC ở D .Tính BD, DC d)Từ D kẻ DE  AB, DFAC. Tứ giác AEDF là hình gì tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF Bài 2 : Cho ABC có  A = 90 0 , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM kẻ HDAB , HE  AC biết HB = 4,5cm; HC=8cm. a)Chứng minh  BAH =  MAC b)Chứng minh AM  DE tại K c)Tính độ dài AK 148
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D. Có đáy AB=7cm, CD= 4cm, AD= 4cm. a) Tính cạnh bên BC b) Trên AD lấy E sao cho CE = BC.Chứng minh ECBC và tính diện tích tứ giác ABCE c) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau Tại S tính SC d) Tính các góc B và C của hình thang Dạng2: Các bài tập liên quan tới đường tròn Bài 4: Cho MAB vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D . Kẻ AP  CD ; BQ  CD. Gọi H là giao điểm AD và BC chứng minh a) CP = DQ b) PD.DQ = PA.BQ và QC.CP = PD.QD c) MHAB Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB ,tiếp tuyến Bx . Qua C trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx ở M . tia Ac cắt Bx ở N. a) Chứng minh : OMBC b) Chứng minh M là trung điểm BN c) Kẻ CH AB , AM cắt CH ở I. Chứng minh I là trung điểm CH Bài 6: Cho đường tròn(O;5cm) đường kính AB gọi E là một điểm trên AB sao cho BE = 2 cm . Qua trung điểm H của đoạn AE vẽ dây cung CD  AB a) Tứ giác ACED là hình gì ? Vì sao? b) Gọi I là giao điểm của DEvới BC. CMR: I thuộc đường tròn(O’)đường kính EB c) Chứng minh HI là tiếp điểm của đường tròn (O’) d) Tính độ dài đoạn HI Bài 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A . Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn , tiếp xúc với đường tròn (O) ở M ,tiếp xúc với đường tròn(O’) ở N . Qua A kẻ đường vuông góc với OO’ cắt MN ở I. a) Chứng minh AMN vuông b) IOO’là tam giác gì ? Vì sao c) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với với đường tròn đường kính OO’ d) Cho biết OA= 8 cm , OA’= 4,5 cm .Tính độ dài MN Bài 8: cho ABC có Â = 900 đường cao AH .Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Biết BH= 4cm, HC=9 cm. a) Tính độ dài DE b) Chứng minh : AD.AB = AE.AC c) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH ,N là trung điểm của CH d) Tính diện tích tứ giác DENM Bài 9 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn(M khác A,B).Đường thẳng d tiếp xúc đường tròn tại M cắt đường trung trực của AB tại I . Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (C nằm trong AOM và O là trung điểm của AB) a) Chứng minh các tia OC,OD theo thứ tự là phân giác của  AOM và  BOM b) Chứng minh AC, BD là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB c) Chứng minh` AMB đồng dạng COD 149
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 AB 2 d) Chứng minh AC.BD 4 Bài 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính OA trong nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn O . Vẽ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là D a) Chứng minh DA = DC b) Vẽ tiếp tuyến Dx với (O’) và tiếp tuyến Cy với (O). Chứng minh Dx// Cy 1 c) Từ C hạ CH AB cho OH = OB. Chứng minh rằng khi đó BD là tiếp tuyến 3 của (O’). Dạng3:Toán về tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính a ) 5 - 48 + 5 27 - 45 b) 5 + 2 3 2 - 1 c ) 54 1 3 50 - 2 75 - 4 - 3 3 3 2 d ) 3 - 3 4 2 3 e ) 48 2 135 45 18 f ) 5 2 2 5 6 20 - 5 2 2 10 10 Bài 2 : Tính a) 9 4 5 b) 2 3 48 75 243 c) 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 5 3 5 3 5 1 d) 3 2 2 6 4 2 e) f*) 5 3 5 48 10 7 4 3 5 3 5 3 5 1 Bài3: Tính a ) 3 2x - 5 8x + 7 18x b ) 2 3 + 4 3 - 2 2 c) 3 2 2 2 - 2 d ) 4 15 4 15 + 6 5 5 4 1 30 1 e ) - 2 + 4 f ) 50 - 2 96 - + 12 5 1 + 5 5 15 6 Dạng 4:Toán về giải phương trình Bài 4: Giải phương trình : a. 2 3 - 4 + x2 0 b. 16x 16 9x 9 1 c.3 2x 5 8x 20 18x = 0 d. 4(x 2)2 8 Bài 5 : Giải phương trình 1 a) 1 x 4 4x 16 16x 5 0 b) x 2 3 x 2 4 0 c) 3 3 4x 1 3 7 150
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Dạng5:Toán rút gọn biểu thức 1 1 Bài 6 : Cho biểu thức A = 1 x : 1 2 1 x 1 x a. Tìm x để A có nghĩa b. Rút gọn A c. Tính A với x = 3 2 3 2 x y x x y y x y xy Bài 7: Cho biểu thức B : = x y y x x y a. Rút gọn B b. Chứng minh B 0 c. So sánh B với B 2 a 2 a 4a 2 a 3 Bài 8: Cho biểu thức C = : 2 a 2 a a 4 2 a 2 a a a. Rút gọn C b. Tìm giá trị của a để B > 0 c. Tìm giá trị của a để B = -1 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 9: Cho biểu thức D = x 5 x 6 x 2 3 x a. Rút gọn D b. Tìm x để D 1 x x 9 3 x 1 1 Bài 12 : Cho biểu thức : C : 3 x 9 x x 3 x x a. Tìm giá trị của x để C xác định b. Rút gọn C c. Tìm x sao cho C<-1 x 2 x 4 x P x : x 1 1 x x 1 Bài 13: Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1 c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Dạng6:Toán về Hàm số bậ nhất y = ax + b ( a) 0 Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = (1 - 4m)x + m – 2 (m 1/4) 151
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số trên đi qua gốc toạ độ. c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 2 d) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 2 Bài 15: Cho hàm số y = (m – 3)x +1 a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b. Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 2). c. Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B(1 ; –2). d. Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b và c. Bài 16: Cho hàm số y = ax + 3 có đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3. a) Tìm giá trị của a. b) Xét tính biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số. c) . Gọi B là giao điểm của (d) với trục tung. Tính khoảng cách từ O đến AB. Bài 17:Cho hàm số y = (a – 1)x + a. a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 + 1 b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ – 3 c) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với a tìm được ở câu d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó. Bài 18: Cho hàm số y = (m2 – 5m)x + 3. a) Với giá trị nào của m thì hàm số là hàm số bậc nhất ? b) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến ? c) . Xác định m khi đồ thị của hàm số qua điểm A(1 ; –3). Bài 19: :Cho hàm số y = (a – 1)x + a. a. Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. b. Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3. c. Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được ở các câu a và b trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được. Bài 20 : Viết phương trình đường thẳng thoả mãn một trong các điều kiện sau : a) Đi qua điểm A(2; 2) và B(1; 3) 152
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 c) Song song với đường thẳng y = 3x + 1 và đi qua điểm M (4; - 5) Bài 21:Vẽ đồ thị của các hàm số y = x và y = 2x + 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. a. Gọi A là giao điểm của hai đồ thị của hàm số nói trên, tìm tọa độ của điểm A. b. Vẽ qua điểm B(0 ; 2) một đường thẳng song song với Ox, cắt đường thẳng y = x tại C. Tìm tọa độ của điểm C rồi tính diện tích ABC (đơn vị các trục là xentimét) Bài 22: a. Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 3x + b có giá trị là 11. Tìm b. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của b vừa tìm được. b. Biết rằng đồ thị của hàm số của hàm số y = ax + 5 đi qua điểmA(–1 ; 3). Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của a vừa tìm được. Bài 23 : Hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k – 3. Tìm giá trị của m và k để đồ thị của các hàm số là: a. Hai đường thẳng song song với nhau. b. Hai đường thẳng cắt nhau. c. Hai đường thẳng trùng nhau. 2 Bài 24 : Cho hai hàm số bậc nhất (d1) : y = (2 – m )x + m – 5 và (d2) : y = mx + 3m – 7. Tìm giá trị của m để đồ thị của các hàm số là: a. Hai đường thẳng song song với nhau. b. Hai đường thẳng cắt nhau. c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau. Bài 25 : Cho hàm số y = ax – 3. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau : a.Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = – 2x. b.Khi x = 2 thì hàm số có giá trị y = 7. c.Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1. d.Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 – 1. e. Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2. f. Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5. Bài 26: Cho đường thẳng (d) : y = (m – 2)x + n (m 2). Tìm giá trị của m và n để đường thẳng (d): a. Cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 1 – 2 và cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 2 + 2 . b. Cắt đường thẳng : –2y + x – 3 = 0. c.Đi qua hai điểm A(–1 ; 2), B(3 ; –4). d. Song song với đường thẳng : 3x + 2y = 1. e. Trùng với đường thẳng : y – 2x + 3 = 0. 2 Bài 27: Cho hai đường thẳng : (d1) : y = (m – 1)x + m + 2 và (d2) : y = (5 – m)x + 2m + 5. Tìm m để hai đường thẳng trên song song với nhau. Bài 28: Cho đường thẳng: (d) : y = (2m – 1)x + m – 2. Tìm m để đường thẳng (d): a. Đi qua điểm A(1 ; 6). b. Song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0. 153
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 c. Vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0. d. Không đi qua điểm 1 B( ; 1) 2 e. Luôn đi qua một điểm cố định. 152 bài tập ôn tập vào lớp 10 (Sưu tập) Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức a 2 5 1 Bài 1: Cho biểu thức: P a 3 a a 6 2 a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1 x x 3 x 2 x 2 Bài 2: Cho biểu thức: P= 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<0 x 1 1 8 x 3 x 2 Bài 3: Cho biểu thức: P= : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P= 5 a 1 2 a Bài 4: Cho biểu thức: P= 1 : a 1 a 1 a a a a 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1 c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 a(1 a)2 1 a3 1 a3 Bài 5: Cho biểu thức; P= : a . a 1 a 1 a 1 a a) Rút gọn P 1 b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- ) 2 x 1 2x x x 1 2x x Bài 6: Cho biểu thức: P= 1 : 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 a) Rút gọn P 154
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1 b) Tính giá trị của P khi x . 3 2 2 2 2 x 1 x Bài 7: Cho biểu thức: P= : 1 x x x x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0 2a 1 a 1 a3 Bài 8: Cho biểu P= . a 3 a a a 1 1 a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a x 2 x 1 x 1 Bài 9: Cho biểu thức: P=1: . x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn P b) So sánh P với 3 1 a a 1 a a Bài 10: Cho biểu thức: P= a . a 1 a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P 0 x m x m 4x 4m2 a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P=0. 155
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1 a2 a 2a a Bài 15: Cho biểu thức: P= 1 a a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P=2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P a 1 ab a a 1 ab a Bài 16: Cho biểu thức P= 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 d) Rút gọn P 3 1 e) Tính giá trị của P nếu a=2 3 và b= 1 3 f) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4 a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P=7 c) Với giá trị nào của a thì P>6 a a 1 a a 1 1 a 1 a 1 Bài 17: Cho biểu thức: P= a a a a a a a 1 a 1 2 a 1 a 1 a 1 Bài 18: Cho biểu thức: P= 2 2 a a 1 a 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a để P 0  x 1 2 x x 1 x 2 Bài 21: Cho biểu thức: P= : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tính P khi x=5 2 3 156
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 3x 1 2 1 Bài 22: Cho biểu thức P=1: 2 : 2 x 4 x 4 2 x 4 2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P=20 2 x y x3 y3 x y xy Bài 23: Cho biểu thức P= : x y y x x y a) Rút gọn P b) Chứng minh P 0 1 3 ab 1 3 ab a b Bài 24: Cho biểu thức: P= . : a b a a b b a b a a b b a ab b a) Rút gọn P b) Tính P khi a=16 và b=4 2a a 1 2a a a a a a Bài 25: Cho biểu thức: P=1 . 1 a 1 a a 2 a 1 a) Rút gọn P 6 b) Cho P= tìm giá trị của a 1 6 2 c) Chứng minh rằng P> 3 x 5 x 25 x x 3 x 5 Bài 26: Cho biểu thức: P= 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì P 6 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 Bài 29: Cho biểu thức: P= . : 3 3 x y x y x y x y xy a) Rút gọn P b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất 157
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 x3 2x 1 x Bài 30: Cho biểu thức P= . xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x c) Rút gọn P d) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2 Phần 2: Các bài tập về hệ phương trình bậc 2 2 Bài 31: Cho phương trình: m 2x 2 1 2 x m2 d) Giải phương trình khi m 2 1 e) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3 2 f) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài 32: Cho phương trình: m 4 x2 2mx m 2 0 (x là ẩn) d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm còn lại e) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 2 2 f) Tính x1 x2 theo m Bài 33: Cho phương trình:x2 2 m 1 x m 4 0 (x là ẩn) d) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu e) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m f) Chứng minh biểu thức M=x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m. Bài 34: Tìm m để phương trình: a) x2 x 2 m 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x2 2x m 1 0 có hai nghiệm âm phân biệt c) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 có hai nghiệm trái dấu Bài 35: Cho phương trình: x2 a 1 x a2 a 2 0 c) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a 2 2 d) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2.Tìm giá trị của a để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất 1 1 1 Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: b c 2 2 CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm x bx c 0 x2 cx b 0 Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 2x2 3m 2 x 12 0(1) 4x2 9m 2 x 36 0(2) Bài 38: Cho phương trình: 2x2 2mx m2 2 0 c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m: x2 4x m 1 0 c) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 2 2 d) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x1 x2 10 158
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 40: Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 c) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? Bài 41: Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 10 0 (với m là tham số) d) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình e) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m 2 2 f) Tìm giá trị của m để 10x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 42: Cho phương trình m 1 x2 2mx m 1 0 với m là tham số e) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 f) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình g) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m h) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x x 5 1 2 0 x2 x1 2 Bài 43: Cho phương trình: x2 mx m 1 0 (m là tham số) d) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 2 2 e) Đặt A x1 x2 6x1x2 Chứng minh A m2 8m 8 Tìm m để A=8 Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng f) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia Bài 43.1: Cho phương trình x2 2mx 2m 1 0 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m. 2 2 b) Đặt A= 2(x1 x2 ) 5x1x2 CMR A=8m2 18m 9 Tìm m sao cho A=27 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia. 2 n n Bài 44: Giả sử phương trình a.x bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .Đặt Sn x1 x2 (n nguyên dương) c) CMR a.Sn 2 bSn 1 cSn 0 5 5 1 5 1 5 d)áp dụng Tính giá trị của: A= 2 2 2 Bài 45: Cho f(x) = x - 2 (m+2).x + 6m+1 c) CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m d) Đặt x=t+2.Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 Bài 46: Cho phương trình: x2 2 m 1 x m2 4m 5 0 159
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 e) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm f) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương g) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 2 2 h) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính x1 x2 theo m 2 Bài 47: Cho phương trình x 4x 3 8 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phương 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M 3 3 5x1x2 5x1 x2 Bài 48: Cho phương trình x x 2 m 2 x m 1 0 1 d) Giải phương trình khi m= 2 e) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu f) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để: 2 x1(1 2x2 ) x2 (1 2x1) m Bài 49: Cho phương trình x2 mx n 3 0 (1) (n, m là tham số) Cho n=0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m x1 x2 1 Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ: 2 2 x1 x2 7 Bài 50: Cho phương trình:x2 2 k 2 x 2k 5 0 (k là tham số) c) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho 2 2 x1 x2 18 Bài 51: Cho phương trình 2m 1 x2 4mx 4 0 (1) d) Giải phương trình (1) khi m=1 e) Giải phương trình (1) khi m bất kì f) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài 52:Cho phương trình: x2 2m 3 x m2 3m 0 c) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 x1 x2 6 Phần 3: Hệ phương trình: Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phương trình; m 1 x y m 1 x m 1 y 2 Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất Bài 54: Giải hệ phương trình và minh hoạ bằmg đồ thị x y 2 x 1 y y 1 x 1 a) b) x y c) 2y 5 x 1 y 3x 12 4 4 160
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2x by 4 Bài 55: Cho hệ phương trình: bx ay 5 a)Giải hệ phương trình khi a b b)Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm: * (1;-2) * (2 1; 2 ) *Để hệ có vô số nghiệm mx y 2m Bài 56:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: 4x my 6 m x ay 1 Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình: axã y 2 c) Có một nghiệm duy nhất d) Vô nghiệm x2 xy y2 19 Bài 58:Giải hệ phương trình sau: x xy y 1 x 1 y 2 1 Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x y m x y 1 x y 0 Bài 60:GiảI hệ phương trình: 2x2 xy 3y2 13 2 2 x 4xy 2y 6 a3 2b2 4b 3 0 a2 b2 Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình: 2 2 2 .Tính a a b 2b 0 (a 1)x y 3 Bài 61:Cho hệ phương trình: a.x y a c) Giải hệ phương rình khi a=- 2 d) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 Phần 4: Hàm số và đồ thị Bài 62: Cho hàm số: y= (m-2)x+n (d).Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số: e) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4) f) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+2 . g) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0 h) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1 Bài 63: Cho hàm số: y 2x2 (P) e) Vẽ đồ thị (P) f) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ g) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) y mx 1 theo m 161
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 h) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64: Cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y 2x m 1.Xác định m để hai đường đó: c) Tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm d) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại. Tìm toạ độ A và B 2.Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài 65: Cho đường thẳng (d) 2(m 1)x (m 2)y 2 e) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y x2 tại hai điểm phân biệt A và B f) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m g) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max h) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi Bài 66: Cho (P) y x2 c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) d) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 3 Bài 67: Cho đường thẳng (d) y x 3 4 d) Vẽ (d) e) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ f) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bài 68: Cho hàm số y x 1 (d) c) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d) d) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình x 1 m Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng: (d) y (m 1)x 2 (d') y 3x 1 d) Song song với nhau e) Cắt nhau f) Vuông góc với nhau Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng: (d1)y 2x 5 (d2 )y x 2 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ (d3 )y a.x 12 Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định 1 Bài 72: Cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y=a.x+b.Xác định a và b để đường thẳng (d) 2 đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P). Bài 73: Cho hàm số y x 1 x 2 c) Vẽ đồ thị hàm số trên d) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 1 x 2 m 162
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 74: Cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y=2x+m c) Vẽ (P) d) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x2 Bài 75: Cho (P) y và (d) y=x+m 4 e) Vẽ (P) f) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B g) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4 h) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bài 76: Cho hàm số y x2 (P) và hàm số y=x+m (d) d) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B e) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) f) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1 ) y=-2(x+1) e) Điểm A có thuộc (d1 )? Vì sao? f) Tìm a để hàm số y a.x2 (P) đi qua A g) Xác định phương trình đường thẳng (d2 ) đi qua A và vuông góc với (d1 ) h) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2 ); C là giao điểm của (d1 ) với trục tung. Tìm toạ độ của B và C. Tính diện tích tam giác ABC 1 Bài 78: Cho (P) y x2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ 4 lầm lượt là -2 và 4 d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên e) Viết phương trình đường thẳng (d) f) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x  2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. (Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ x  2;4 có nghĩa là A(-2;yA ) và B(4;yB ) tính yA;; yB ) x2 Bài 79: Cho (P) y và điểm M (1;-2) 4 e) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m f) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi 2 2 g) Gọi xA; xB lần lượt là hoành độ của A và B.Xác định m để xA xB xA xB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó h) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B. *Tính S theo m 163
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 *Xác định m để S= 4(8 m2 m2 m 2) Bài 80: Cho hàm số y x2 (P) d) Vẽ (P) e) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB f) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) 1 Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y x2 và đường thẳng (d) y mx 2m 1 4 d) Vẽ (P) e) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm f) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định 1 Bài 82: Cho (P) y x2 và điểm I(0;-2).Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m. 4 c) Vẽ (P). CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m R d) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất x2 3 Bài 83: Cho (P) y và đường thẳng (d) đi qua điểm I(;1 ) có hệ số góc là m 4 2 d) Vẽ (P) và viết phương trình (d) e) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) f) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt x2 x Bài 84: Cho (P) y và đường thẳng (d) y 2 4 2 d) Vẽ (P) và (d) e) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) f) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bài 85: Cho (P) y x2 d) Vẽ (P) e) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB f) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 86: Cho (P) y 2x2 c) Vẽ (P) d) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2. Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB (d )x y m Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình 1 cắt nhau (d2 )mx y 1 tại một điểm trên (P) y 2x2 Phần 5: Giải toán bằng cách lập phương trình 1. chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ C 164
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A.Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h Bài 91: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi. Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 3 Km/h, xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được quãng đường AB, xe con tăng 4 vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút. Bài 93: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút. Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau 1h40’ thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h. Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km? Bài 96: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 Km. Tính quãng đường AB Bài 97: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h. Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi. Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. 165
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc. Bài 101: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô. Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h. Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h. Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô. Bài107: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 Km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. 2. Năng xuất Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. 166
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ 2 thì hoàn thành được mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức 3 khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Bài 114: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong. 3. Thể tích Bài 115: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể? Bài 116: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy 1 định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3. Sau khi bơm được thể tích bể chứa, máy bơm 3 3 hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m . Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa. Bài 118: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy 1 tiếp trong 20 phút thì sẽ được bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể? 5 Bài 119: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? Phần 6: Hình học Bài120: Cho hai đường tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C. Kẻ các đường kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB, dựng DE  AB. e) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao? f) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’ tại F. CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng g) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’ tại G. CMR EC đi qua G h) *Xét vị trí của MF đối với đường tròn tâm O’, vị trí của AE với đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE 167
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 121: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R. Dựng Cx, Dy vuông góc với CD. Từ điểm E bất kì trên nửa đường tròn, dựng tiếp tuyến với đường tròn, cắt Cx tại P, cắt Dy tại Q. e) Chứng minh POQ vuông; POQ đồng dạng với CED f) Tính tích CP.DQ theo R R POQ 25 g) Khi PC= . CMR 2 CED 16 h) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD Bài 122: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB, COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey. d) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đường tròn. e) Tứ giác CEIO là hình gì? f) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào? Bài 123: Cho đường tròn tâm O và một điểm A trên đường tròn. Qua A dựng tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy một điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB. d) CMR tứ giác QBOA nội tiếp được e) Gọi E là trung điểm của QO, tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax. f) Hạ BK  Ax, BK cắt QO tại H. CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BK cắt nhau tại H, BK kéo dài cắt đường trong tại F. Vẽ đường kính BOE. d) Tứ giác AFEC là hình gì? Tại sao? e) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng BH f) CMR OI = và H; F đối xứng nhau qua AC 2 Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’) (với R>R’) tiếp xúc trong tại A. Đường nối tâm cắt đường tròn O’ và đường tròn O tại B và C. Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC. Nối A với M cắt đường tròn O’ tại E. a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc) b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng và O’P = R; OP = R’ c) Xét vị trí của PE với đường tròn tâm O’ Bài 126: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB. Đường tròn này cắt đường tròn O tại C và D d) Tứ giác ODBC là hình gì? Tại sao? e) CMR OC  AD; OD  AC f) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B Bài 127: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn đó tại hai điểm cố định A và B. Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ (P, Q là các tiếp điểm). d) Tính các góc của MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 450 . 168
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 e) Gọi I là trung điểm AB. CMR 5 điểm M, P, Q, O, I cùng nằm trên một đường tròn. f) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d Bài 128: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đường tròn tại M. d) CMR OM  BC e) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A. CMR Ax đi qua một điểm cố định f) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F. CMR FB. EC = FC. EB (Hướng dẫn: áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác) Bài 129: Cho ABC (AB = AC,  A AB; BAˆC > 900). I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC . Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. e) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng f) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được g) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy h) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE. Bài 131: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA =R 2 , một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN . d) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) e) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A, O, B, C là bốn đỉnh của hình vuông f) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB, AC và cung nhỏ BC của (O) Bài132: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C là trung điểm của cung AB. Trên cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. d) AFC và BEC có quan hệ với nhau như thế nào? Tại sao? e) CMR FEC vuông cân f) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn. CMR tứ giác BECD nội tiếp được Bài133: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD (E B;E D ). EC cắt AB ở M, EA cắt CD ở N. d) CMR AMC đồng dạng ANC. e) CMR: AM.CN = 2R2 169
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 CN f) Giả sử AM=3MB. Tính tỉ số ND Bài 134: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB. Gọi H, I lần lượt là hai điểm chính giữa các cungAM, MB; gọi Q là trung điểm của dây MB, K là giao điểm của AM, HI. d) Tính độ lớn góc HKM e) Vẽ IP  AM tại P, CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) f) Dựng hình bình hành APQR. Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều. Vẽ góc xOy =60 0 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. a) CMR OBM đồng dạng NCO, từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN. b) CMR: MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC. c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R ( M A, B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đường tròn đó. Đường Mz cắt Ax, By lần lượt tại N và P. Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D. Chứng minh: a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D). Dây ID, IC cắt AB lần lượt tại M và N. c) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn d) IC và AD cắt nhau tại E; ID và BC cắt nhau tại F. CMR EF // AB Bài 138: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (B C ) và vẽ đường tròn tâm (O ’) đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn (O’) tại I. d) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao? e) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng f) CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC (Lớp10- bộ đề toán) Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn. Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D d) Chứng minh: CD // AB. e) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. f) CMR: KM.KN không đổi 170
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 140: Cho một đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD với CN là K d) CMR: NKD; MAK cân e) CMR tứ giác MCKH nội tiếp được. Suy ra KH // AD f) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 141: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. e) CMR tứ giác ABMD nội tiếp được f) CMR: CM.CD không phụ thuộc vị trí của M g) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? h) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động. Bài 142: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm M nằm trên cung AB; gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K. Các tia AH; BM cắt nhau tại S. e) Tam giác BAS là tam giác gì? Tại sao? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định. f) Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA) g) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB. h) Xác định vị trí của M sao cho MKˆA 900 . Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR: e) Góc CID bằng góc CKD f) Tứ giác CDFE nội tiếp được g) IK // AB h) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A Bài 144: Cho hai đường tròn (O 1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại các điểm B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đường kính BO1D và CO2E. e) CMR: M là trung điểm của BC f) CMR: O1MO2 vuông g) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng h) Gọi I là trung điểm của DE CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác 171
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 MAB; P, Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S là giao điểm của các đường thẳng PB, QA. e) CMR: PQ là đường kính của đường tròn (O) f) Tứ giác AMBS là hình gì? Tại sao? g) Chứng minh độ dài SH không đổi h) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH, PQ. Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định. Bài 146: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm). e) CMR: BM // OP f) Đườngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì? Tại sao? g) Gọi K là giao điểm của AN với OP; I là giao điểm của ON với PM; J là giao điểm của PN với OM. CMR: K, I, J thẳng hàng h) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O) Bài 147: Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P. e) CMR tứ giác OMNP nội tiếp được f) Tứ giác CMPO là hình gì? Tại sao? g) CMR: CM.CN không đổi h) CMR: khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định Bài 148: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO, AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E, F. e) CMR: B, F, C thẳng hàng f) Tứ giác CDEF nội tiếp được g) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE h) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O’) Bài 149: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM). e) CMR các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM. f) CMR: CA và DB vuông góc với AB g) CMR: AMB đồng dạng COD h) CMR: AC.BD = R2 Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn. Gọi các điểm chính giữa của các cung AM, MB lần lượt là H, I. Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K. e) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi f) Hạ   A . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R) 172
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 g) Gọi Q là trung điểm của dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R) h) CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 151: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 900 và COˆD 900 . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lượt tại E và F. e) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? f) CMR: D là điểm chính giữa của cung MB. g) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K. CMR các tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp được. h) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn Bài 152: Cho ABC (AB = AC), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B, C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC. Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. e) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. f) CMR: MI2 = MH. MK g) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được. Suy ra PQ  MI h) CMR nếu KI = KB thì IH = IC 173