Các chuyên đề hình học dành cho các bạn THCS - Chuyên đề 4: Kỹ thuật sử dụng tam giác đồng dạng trong giải toán hình học

Nội dung text: Các chuyên đề hình học dành cho các bạn THCS - Chuyên đề 4: Kỹ thuật sử dụng tam giác đồng dạng trong giải toán hình học

1. Các chuyên đề hình học dành cho các bạn THCS(Số 4) Nguyễn Duy Khương-khoá 1518 chuyên Toán-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Đã khá lâu tôi mới mở lại chuyên mục này, mong các bạn lớp 9 thông cảm bởi thời gian gần đây tôi khá bận. Bài viết lần này sẽ đề cập tới một kĩ thuật cực kì quan trọng-kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng. Chuyên đề số 4: Kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng trong giải toán hình học Trong các bài toán hình học thi vào 10 thì việc sử dụng được các kiến thức nâng cao sẽ giúp nhìn rõ bản chất vấn đề xong nếu biết cách sử dụng các kiến thức đơn giản vào giải toán thì đôi lúc chúng ta sẽ thu được những lời giải ngắn gọn bất ngờ. I) Một số lưu ý: 1) Cho tam giác ABC và tam giác A0B0C0 đồng dạng cùng điểm K, K0 lần lượt thuộc KB K0B BC, B0C0 sao cho = thì 4AKB ∼ 4A0K0B0. KC K0C 2) Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Lấy các điểm E, F thuộc AC, AB. Gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A. Khi đó 4GF B ∼ 4GEC. 3) +) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c thì: a b c = = = 2R (Định lí hàm số Sin). sinA sinB sinC AB.AC.sin BAC +) S = ∠ . ABC 2 1
2. S 4) Cho tam giác ABC và tam giác A0B0C0 đồng dạng theo tỉ số k. Khi đó: ABC = SA0B0C0 k2. 5) Việc tìm ra tam giác đồng dạng hoàn toàn là dựa vào việc nhìn ra một số cấu hình quen thuộc, những hình vẽ tạo ra rất nhiều tỉ số bằng nhau, hoặc một số góc đặc biệt cũng là dấu hiệu cho việc dùng tam giác đồng dạng. II) Một số bài tập vận dụng: √ Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH = R 2. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông hạ từ H xuống AB, AC. Chứng minh rằng: M, O, N thẳng hàng. Lời giải: Gọi AD là đường kính của (O). Ta thấy rằng theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, AHC thì: AH2 = AM.AB = AN.AC = 2R2 ⇒ AN.AC = AO.AD = AM.AB do đó suy ra: 4AON ∼ 4ACD(c.g.c) đồng thời 4AOM ∼ ◦ 4ABD(c.g.c) hay là: ∠AON = ∠AOM = 90 . Hay là M, O, N thẳng hàng. Nhận xét: Việc xử lí giả thiết lạ để đưa về chứng minh tam giác đồng dạng là điểm mấu chốt của bài toán này. Bài toán 2(IMO Shortlist): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi I,J là tâm nội tiếp các tam giác ABH, ACH. Gọi P, Q là tâm (IAB), (JAC). Chứng minh rằng: PQkIJ. 2
3. Lời giải: Ta cần bổ đề sau:" Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao BD. Gọi P, I, Q lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác ABD, ABC, ADC. Chứng minh rằng tâm (IPQ) nằm trên AC". 3
4. Chứng minh: Trước khi chứng minh tôi xin nêu 1 bổ đề quen thuộc:" Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Lấy O0 đối xứng O qua BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC khi đó O0 là tâm (HBC)." C Gọi CQ ∩ AP = X, AP ∩ BQ = Y . Ta có: CXB = 180◦ − P BC − ∠ = 180◦ − ∠ ∠ 2 C C BAC − ∠ − ∠ = 90◦. Tương tự PYB = 90◦ do đó chú ý A, P, I thẳng hàng ∠ 2 2 ∠ cùng C, Q, I thẳng hàng nên I là trực tâm tam giác BP Q. Gọi (P DQ)∩AC = D, K. ◦ ◦ ◦ Ta để ý rằng: ∠P DQ = 90 nên ∠PKQ = 90 . Do ∠P DA = 45 = ∠KQP nên 4KPQ vuông cân tại K. Gọi O là tâm ngoại tiếp tam giác BP Q thế thì: DBA + DBC P OQ = 2 P BQ = 2(∠ ∠ ) = ABC = 90◦ do đó 4P OQ vuông cân ∠ ∠ 2 ∠ tại O nên K đối xứng O qua PQ, theo bổ đề thì K là tâm của (PIQ). Vậy ta thu được tâm (PIQ) nằm trên AC(đpcm). Quay trở lại bài toán, ta dễ thấy rằng: A, P, B, H và H, Q, C, A đồng viên. Đồng thời: A, P, Q cùng nằm trên phân giác ngoài góc BAC. Vậy: ∠AP I = ∠ABC, theo bổ đề thì: H, I, J, O đồng viên(gọi O là tâm (AIJ)). Theo bổ đề thì ta cũng có tâm nội tiếp tam giác ABC là T thì đồng thời là trực tâm tam giác AIJ. Vậy BAC − HAC HAB T AJ = T AC − JAC = ∠ ∠ = ∠ = HAI vậy AI, AT đẳng ∠ ∠ ∠ 2 2 ∠ ◦ ◦ ◦ giác do đó A, O, H thẳng hàng nên ∠JIH = ∠JOH = 180 −∠JOA = 180 −(180 − 2∠OAJ) = ∠HAC = ∠ABC = ∠HPQ hay PQkIJ(đpcm). Nhận xét: Tôi giới thiệu lời giải trên bởi bổ đề dùng ở trên rất hay và có nhiều ứng dụng. Thực tế có thể chứng minh ngắn hơn một chút nhờ kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng: ta có thể chứng minh ∠ABC = ∠HIJ bằng cách chứng minh 4IHJ ∼ 4BAC ⇔ 4AIH ∼ 4CJH(đúng). Bài toán 3(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giác ABC và các điểm F, E lần lượt bất kì nằm trên các cạnh AC, AB. Đường trung trực của BF, CE cắt nhau ở K. Một cát tuyến qua A cắt (O), (AEF ) tại các điểm Q, P khác A. Chứng minh rằng: KP = KQ. 4
5. Lời giải: Trước tiên xin nêu lại một tính chất quen thuộc:" Cho (O) và 1 điểm M bất 2 2 kì, khi đó phương tích từ M đến (O) kí hiệu là PM/(O) và PM/(O) = |OM − R |. Qua 2 2 M kẻ hai cát tuyến MAB, MCD thì: MA.MB = MC.MD = |OM −R | = PM/(O)”. Quay trở lại bài toán, gọi J, A = (AEF ) ∩ (O). Ta để ý rằng: 4JBF ∼ 4JCE(g.g) ◦ nên 4JMF ∼ 4JNE(c.g.c) hay là J, A, N, M, K đồng viên nên ∠KJA = 90 . Gọi 0 ◦ R, S lần lượt đối xứng O ,O qua A thì ∠RJA = ∠KJA = ∠SJA = 90 nên J, R, K, S thẳng hàng do đó OO0 đi qua trung điểm AK(theo tiên đề Euclid). Do đó AO0KO là 1 hình bình hành. Gọi AK∩(AEF ), (O) = A, X, Y , do −O0A2+KO02 = −OK2+OA2 hay là PK/(O) = −PK/(AEF ) nên KX.KA = KY.KA hay K là trung điểm XY . Gọi T là trung điểm của PQ thế thì dễ thấy 4JTP ∼ 4JKX(c.g.c) nên J, A, K, T đồng ◦ viên suy ra ∠KTA = ∠KJA = 90 nên KP = KQ(đpcm). Nhận xét: Ở trên kĩ thuật đồng dạng trung tuyến đóng vai trò quan trọng nhất trong việc chứng minh các yếu tố đồng viên. Bài toán 4(Nguyễn Duy Khương)(Cải biến từ đề thi chọn đội tuyển thi HSG lớp 9 THPT chuyên Hà Nội Amsterdam 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có P là 1 điểm nằm trên cung BC nhỏ sao cho Q đối xứng P qua BC nằm trong tam giác ABC. Gọi BQ, CQ cắt lần lượt AC, AB tại E, F . Gọi M là trung điểm BC. AM ∩ (O), (AEF ) = U, L. Chứng minh rằng: BLCU là hình bình hành. 5
6. Lời giải: Gọi X, Y là trung điểm BF, CE thế thì chú ý rằng: 4GBF ∼ 4GCE nên 4GXF ∼ 4GY E nên A, G, X, Y đồng viên. Do MX, MY là đường trung bình các ◦ tam giác BF C, BEC nên ∠XMY = ∠F QE = 180 −∠BAC nên A, G, X, M, Y đồng viên. Gọi AM ∩ (AEF ), (O) = A, L, U thì từ trên suy ra: 4AML ∼ 4AY E(g.g) UL ML nên vì 4AUL ∼ 4ACE(g.g) và 4AUM ∼ 4ACY (g.g) do đó: = = CE YE AM MU ML YE = ⇒ = = 1 nên M là trung điểm UL. Vậy BLCU là hình bình AY YC MU YC hành(đpcm). Nhận xét: Nếu gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A, AP ∩ BC = D, GD ∩ (O) = G, K thì AK là đường đối trung của 4ABC. Bài toán 5(Nguyễn Quang Trung)(Tổng quát Việt Nam TST 2015-ngày 1): Cho tam giác ABC và lấy các điểm D, E, F bất kì lần lượt trên BC, CA, AB không trùng các điểm A, B, C. Gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A, GD ∩ (O) = G, P . Lấy điểm Q trên (AEF ) sao cho ∠P AB = ∠QAC. Gọi GQ ∩ EF = H. Chứng minh rằng: DHkPQ. 6
7. Lời giải: Ta thấy rằng: ∠QGE = ∠QAE = ∠P AB = ∠DGB lại có: ∠GBD = GQ GE 180◦ − GAE = GQE do đó 4GQE ∼ 4GBD(g.g) ⇒ = . Lại có: ∠ ∠ GB GD ∠GEH = ∠GAF = ∠BP G cùng ∠QGE = ∠QAE = ∠P GB nên 4P GB ∼ GH GE GQ GE GP GP 4EGH(g.g) nên = do đó = . = do đó PQkDH(theo GB GP GH GD GE GD định lí T hales đảo)(đpcm). Nhận xét: Bài toán này hay và không cần kẻ vẽ hình phụ, ta thấy cách giải quyết còn đơn giản hơn cả bài toán ban đầu, đơn thuần là tam giác đồng dạng thuần tuý và cuối cùng là sử dụng định lí T hales. Bài toán 6: Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc ∠BAD cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Gọi O là tâm (CMN). Gọi (CMN) ∩ (BCD) = E, C. Chứng minh rằng: a) O, C, D, B đồng viên. ◦ b) Chứng minh rằng: ∠AEC = 90 . 7
8. Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠BAN = ∠DAN = ∠CNM = ∠CMN nên các tam giác ADN, CMN cân tại D, C. Do đó AD = DN = CB, ON = OC. Lại thấy rằng: ◦ ◦ ∠OCB = 180 − ∠OCM = 180 − ∠OCN = ∠OND nên 4OND = 4OCB(c.g.c) suy ra ∠OBC = ∠ODC hay là B, D, O, C đồng viên(đpcm). b) Trước khi giải ta chứng minh bổ đề sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp. Phân giác góc ∠BAC cắt lại (O) tại điểm D. Lấy E thuộc đoạn AC sao cho DB = DE. Chứng minh rằng: AE = AB." ◦ ◦ Thật vậy, ta gọi BE ∩(O) = B, J. Ta có: ∠JCD = 180 −∠EBD = 180 −∠BEC = ∠JED mà ∠EJD = ∠CJD nên từ đó chú ý rằng: DE = DC = DB nên 4DJE = 4DJC(c.g.c) ⇒ ∠JEC = ∠JCE ⇒ ∠ABE = ∠AEB do đó AB = AE(đpcm). Quay trở lại bài toán, áp dụng bổ đề trên thì: DN = DE = DA = BC chú ý OE = OC, OD = OB nên hiển nhiên ta có: DECB là 1 hình thang cân. Gọi I là trung điểm BD. Vậy IE = IC = IA do đó chú ý I là trung điểm AC nên ◦ ∠AEC = 90 . Nhận xét: Việc nhìn ra các "tâm vị tự quay" là điểm mấu chốt của các dạng toán loại này. Bài toán 7(Thi thử KHTN lần 1,2017): Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Gọi P, Q đối xứng E, F lần lượt qua AB, AC. a) Chứng minh rằng: D, F, P thẳng hàng và D, E, Q thẳng hàng. 8
9. b) Chứng minh rằng: (DP Q) đi qua trung điểm BC. ◦ Lời giải: a) Ta có: ∠PFA = ∠AF E = ∠C. Lại có: ∠AF D = 180 − ∠C do đó ◦ ◦ ∠PFD = 180 − ∠C + ∠C = 180 nên P, F, D thẳng hàng. Tương tự D, E, Q thẳng hàng. b) Ta thấy rằng P, E đối xứng nhau qua AB và Q, F đối xứng nhau qua AC nên PF = FE = EQ nên chú ý rằng: M là tâm (BC) thì MF = ME. Lại có: ∠PFM = ◦ ◦ 180 − ∠DF M = 180 − ∠DEM = ∠QEM do đó 4PFM = 4QEM(c.g.c) hay là M ∈ (P DQ)(đpcm). Cuối cùng xin đề nghị một số bài toán luyện tập: Bài toán 8(Thi vào chuyên KHTN vòng 1,2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. Phân giác góc ∠BAC cắt (O) tại A, D. Gọi M là trung điểm AD. Lấy E đối xứng D qua O. Gọi (ABM) ∩ AC = A, F . a) Chứng minh rằng: 4BDM ∼ 4BCF . b) Chứng minh rằng: EF ⊥ AC. Bài toán 9(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giác ABC, E, F bất kì trên AC, AB. MF NE Lấy lần lượt các điểm M, N trên cạnh AB, AC sao cho = = k , đường MB NC thẳng qua M, N vuông góc với AB, AC cắt nhau tại K. Một cát tuyến qua A cắt 9
10. HP (AEF ), (ABC) tại P, Q, hạ KH vuông góc xuống PQ thì = k. HQ Bài toán 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho AB < AC. Goi E là trung điểm cung lớn BC của (O). Gọi AD là đường phân giác trong ∠BAC. Gọi DE ∩ (O) = E, M. Gọi K, I, L là hình chiếu của M lên AB, BC, CA. Chứng minh rằng: I là trung điểm KL. 10