Các bài toán khó Đại số 9 chọn lọc từ các đề thi

Nội dung text: Các bài toán khó Đại số 9 chọn lọc từ các đề thi

1. CÁC BÀI TOÁN KHÓ CHỌN LỌC TỪ CÁC ĐỀ THI Bµi 1. T×m x ®Ó y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt tho¶ m·n: x 2 + 2y2 + 2xy - 8x – 6y = 0. Bài 1. Điều kiện tồn tại x khi PT: x2 + 2(y – 4)x + 2y2 - 6y = 0 có nghiệm => (y – 4)2 – 2y2 + 6y 0 y2 + 2y – 17 0 (y+1)2 17 . Từ dó +> dấu bằng xẩy ra tìm y thay vào phương trình tìm x Bài 2: ( 0,5 điểm) x 3 x 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của : y= ;(x 1) x 4 x 1 2 Bài 2: ( 0,5 điểm) 2 x 3 x 1 1 x 1 3 x 1 2 ( x 1 1)( x 1 2) y x 4 x 1 2 2 ( x 1 1)( x 1 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của : y= x 1 4 x 1 3 x 1 2 1 1 x 1 3 x 1 3 0.25 1 1 x 1 0x 1 x 1 3 3 x 1 3 3 0.25 1 2 2 y 1 y khi x=1 3 3 min 3 Bµi 3 (0,75 ®iÓm): 3xy Cho x ≥ xy +1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P x2 y2 Bµi 3: Tõ gi¶ thiÕt suy ra x 0 1. NÕu y = 0 th× P = 0 2. NÕu y 0 th× P 0 NÕu x, y tr¸i dÊu th× P 0 nªn x 0, y > 0. Tõ x ≥ xy +1 suy ra 1 y 2 x x x 4 y 1 3t §Æt t = 0 < t P = 2 x 4 1+ t 2 12 3t 12 3 17t 4t 4 3(4 t)(4t 1) 1 XÐt P = 0 (V× 0 < t ) 17 t2 1 17 17 t2 1 17 t2 1 4 12 Do ®ã: P . 17 12 12 KÕt hîp l¹i ta ®­îc P VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 17 17 0,25 ®
2. 1 1 §¹t ®­îc khi chØ khi t = x;y 2; . 4 2 Bài 4 (1 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1. 2x2 2y2 12xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x y Bài 4 (1 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1. 2x2 2y2 12xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x y 2 2x2 2y2 3.4xy 2x2 2y2 3 2 (x y) 2xy 3 2.(x y)2 4xy 3 Ta có A = x y x y x y x y 2 2.(x y)2 1 3 2.(x y)2 1 3 2.(x y)2 2 2. (x y) 1 2(x y)2 2 x y x y x y x y x y 2 1 2(x y) = 2 (x y) x y x y 1 Xét (x y) x y 1 Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và ( ) ta có: x y 1 1 (x+y) + ( ) ≥ 2 x y .( ) = 2 x y x y 1 Do đó: A = 2≥ 4( x y) x y 1 Vậy Min A = 4  (x+y) = ( ) x y  (x+y)2 =1  x + y = ±1 1 Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = - 2 1 x = y = 2
3. Bài 5:(1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 3 b a Bài 5:(1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 3 b a Ta có (b-c)2 ≥ 0 b2 ≥ 2bc - c2 Vì pt ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên có ∆ = b2 - 4ac 0 ;b>0 nên c>0) b2 2b-c a+b+c > 3b - 3a > 3 (Đpcm) b a Bài 6: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình a 4 b4 x 2 2 a 6 ab5 x a8 a 2b6 0 luôn luôn có nghiệm với mọi a, b. Bài6 Cần chứng minh p/t ( a4 –b4 ) x2 -2(a6 –ab5 )x +a6 –a2 b6 = 0 luôn có nghiệm với (1đ) mọi a ,b . a b 4 4 2 2 2 2 Ta có a –b = (a ) – (b ) = 0  a b khi a = b thì p/t cho có dạng 0x = 0 => p/t cho có vô số nghiệm số với mọi x R (1) Khi a= -b ta có p/t : 4a6 x = 0  x = 0 khi a 0 (2) Khi a = 0 thì p/t có dạng 0x = 0  x R. (3) 0,25 Từ (1) ,(2) và (3) => P/ T cho luôn có nghiệm với a =b hay a = -b (*) 0,25 Khi a b thì p/t cho có = a6b4 (b-a)2 0 Vậy khi a b p/t cho luôn có nghiệm ( ) 0,5 Từ (*) và ( ) => p/t cho luôn có nghieemk với mọi a, b . Bài 7. (1,0 điểm) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 (x y 4 y x 4) xy Bài 7: §k x 4; y 4 PT 4x y 4 4y x 4 xy xy 0 y(x 4 4 x 4 4) x(y 4 4 y 4 4) 0 y( x 4 2) 2 x( y 4 2) 2 0 ( V× x > 0 vµ y >0 ) x 4 2 0 x=8 y 4 2 0 y=8 VËy cã duy nhÊt cÆp sè (x;y) = (8;8) tho¶ m·n ycbt
4. Bài 8 Bài 9 ( 1,0 điểm) Cho x,y l à c ác s ố d ư ơng tho ả m ãn : x + y = 4 33 T ìm gi á tr ị nh ỏ nh ất c ủa : P x2 y2 Từ x+y=4 xy
5. (x y)2 33 33 Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy 4 Do đó 4 xy 4 Mặt khác: x2+y2=(x y)2 -2xy=16-2xy 16 2.4 =8( do xy 4) 33 65 65 Vậy P 8 Do đó : MinP= , đạt được khi x=y=2. 4 4 4 Bài 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Có a2 a2 (b c)2 (a b c)(a b c) (1) , b2 b2 (c a)2 (b c a)(b c a) (2) c2 c2 (a b)2 (c a b)(c a b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra a b c Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : abc (a b c)(b c a)(c a b) (*) 0,25 Từ a b c 2 nên (*) abc (2 2a)(2 2b)(2 2c) 8 8(a b c) 8(ab bc ca) 9abc 0 8 9abc 8(ab bc ca) 0 9abc 8(ab bc ca) 8 (*) 0,25 Ta có 3 3 3 3 a b c (a b c) 3(a b c)(ab bc ca) 3abc 8 6(ab bc ca) 3abc 0,25 3 3 3 Từ đó 4(a b c ) 15abc 27abc 24(ab bc ca) 32 39abc 8(ab bc ca) 32 ( ) Áp dụng (*) vào ( ) cho ta 4(a3 b3 c3 ) 15abc 3.( 8) 32 8 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 2 Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a b c 3 0,25 Bài 11: ( 1,0 điểm) : Cho các số dương x và y thay đổi thoả mãn điều kiện : x – y 1 4 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = . x y Bài 11 : Vì x , y là các số dương thoả mãn x – y 1 nên ta có : 4 1 4 1 P = P .1 ( x – y ) x y x y x 4y P 4 - + 1 y x x 4y P 5 - y x x 4y x 4y x 4y Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có : 2. 4 y x y x y x Dấu ‘‘=’’ xảy ra x = 2y
6. => P 5 – 4 => P 1 Dấu ‘‘=’’ xảy ra x = 2y Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 2y. Bài 12 . (1,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc : P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36. Chøng minh P lu«n d­¬ng víi mäi x;y thuéc R . P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36. 0,25 = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 =x(x – 2). y y 6 12 3 y y 6 12 0,25 Bài 12 = y2 6y 12 x2 2x 3 0,25 1 ®iÓm Mµ y2 6y 12 y 3 2 3 0 x2 2x 3 x 1 2 2 0 0,25 VËy P > 0 víi mäi x;y thuéc R Bài 13. (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : 3 (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 4 Bài 13. (0,5 điểm) Cách 1. Không giảm tổng quát, có thể giả sử c = min(a ; b ; c). Từ giả thiết a + b + c = 3 3c a + b + c c 1. Do đó 0 c 1. Đặt a = 1 + x, b = 1 + y thì c = 1 – x – y. Do 0 c 1 nên 0 x + y 1. Ta có : (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 = x3 + y3 + (-x – y)3 = -3xy(x + y). (x y)2 (x y)3 1 Mặt khác (x – y)2 0 x, y xy xy(x + y) (vì 0 x + y 1) 4 4 4 3 1 3 -3xy(x + y) . Dấu bằng xảy ra x = y = (khi đó a = b = , c = 0) 4 2 2 3 Vậy (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 . 4 2 3 3 2 2 3 3 Cách 2. Ta có: (a 1) a 3a 3a 1 a(a 3a 3) 1 a a a 1 2 4 2 3 3 3 (a 1) a 1 (1) (do a 0 và a 0 ) 4 2 3 Tương tự: (b 1)3 b 1 (2) 4
7. 3 (c 1)3 c 1 (3) 4 Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được : 3 3 3 (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 (a b c) 3 3 3 4 4 4 3 Vậy (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 . 4 2 3 a a 0 3 2 a 0 a 3 2 a 0, b c 2 2 3 3 b b 0 b 0 b 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 b 0, a c 2 2 3 3 c 0 c c c 0 3 2 c 0, a b 2 2 a b c 3 a b c 3 Bài 14: (1.00 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1. Tính: 1 1 1 A a ab 1 b bc 1 c ca 1 Bài 14: 1®iÓm Víi a.b.c=1 ta cã: 1 1 1 1 a 1 A a ab 1 b bc 1 c ac 1 a ab 1 ab abc a c ac abc 1 1 1 c ca 1 a ab 1 ab 1 a c(1 a ab) c(a ab 1) c(a ab 1) c(1 a ab) c ca 1 c ca abc c(1 a ab) c(a ab 1) 1 c(a ab 1) c(a ab 1) c(a ab 1) c(a ab 1) Bài 15: (1, 0 ®iÓm) b2 1 Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 + = 4 4 a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009. b2 1 Bài 15: Tõ 2a2 + + = 4 (ab)2 = - 8a4 + 16a2 – 4 = 4 – 8(a4 – 2a2 +1) ≤ 4 4 a2  -2 ≤ ab ≤ 2  2007 ≤ S ≤ 2011  MinS = 2007 ab = -2 vµ a2 = 1 a = ± 1 , b =  2 Bài 16: (1đ) 1 1 1 Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: b c 2
8. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) 1 1 1 Bài 16: (1đ) => 2(b+c)=bc(1) b c 2 2 2 2 2 x +bx+c=0 (1) Có 1=b -4c; x +cx+b=0 (2) ;Có 2=c -4b 2 2 2 2 2 2 2 2 Cộng 1+ 2= b -4c+ c -4b = b + c -4(b+c)= b + c -2.2(b+c)= b + c -2bc=(b-c) 0. (thay2(b+c)=bc ) Vậy trong 1; 2có một biểu thức dương hay ít nhất 1 trong hai phương trình x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) phải có nghiệm: Bài 17:(0,5 ®iÓm) T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 Ta cã: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 4x2+ 4xy +4y2 - 4x2y2 = 0 4x2+ 8xy +4y2 - (4x2y2 + 4xy +1) - 1 = 0 (2x + 2y)2 - (2xy + 1)2 = 1 (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = 1 2x 2y - 2xy -1 1 2x 2y 2xy 1 -1 => 2x 2y 2xy 1 -1 2x 2y 2xy 1 1 Gi¶i hÖ PT ta ®­îc (x; y) = (0; 0) hoÆc x = - y Thay x = - y vµo (1) ta t×m ®­îc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1) VËy c¸c cÆp sè x; y nguyªn tho¶ m·n (1) lµ:(0; 0); (1; -1); (-1; 1) Bài 18:(0,5 ®iÓm) 16 Cho c¸c sè d­¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 0 x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x+y)(x+z) 16 Bài 18. C¸ch 1: V× xyz - 0 => xyz(x+y+z) = 16 x y z P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz ¸p dông B§T C«sy cho hai sè thùc d­¬ng lµ x(x+y+z) vµ yz ta cã P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 2 xyz(x y z) 2. 16 8 ; dÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi x(x+y+z) = yz .VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 8 16 16 C¸ch 2: V× xyz 0 x y z x y z xyz 16 16 P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = x  yz yz xyz yz 16 ¸p dông B§T C«sy cho hai sè thùc d­¬ng lµ vµ yz ta cã yz 16 16 16 P = yz 2  yz 2. 16 8 ; dÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi yz yz yz yz VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 8
9. Bài 19(1,0 điểm) 2 2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2(m 1)x 2m 9m 7 0 (m là tham số). 7(x x ) Chứng minh rằng : 1 2 x x 18 2 1 2 Bài 19PT : x2 2(m 1)x 2m2 9m 7 0 (1) + / m2 2m 1 2m2 9m 7 m2 7m 6 / 2 2 + PT (1) có hai nghiệm x1 , x2 0 m 7m 6 0 m 7m 6 0 (m + 1)(m + 6) 0 ; Lập bảng xét dấu 6 m 1 (*) x x 2(m 1) +Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét: 1 2 2 x1x2 2m 9m 7 7(x x ) 14(m 1) 1 2 x x (2m2 9m 7) 7m 7 2m2 9m 7 2m2 16m 14 2 1 2 2 2(m2 8m 16) 14 32 18 2(m + 4)2 + Với 6 m 1 thì 18 2(m 4)2 0 . Suy ra 18 2(m + 4)2 18 2(m + 4)2 Vì 2(m 4)2 0 18 2(m + 4)2 18 . Dấu “=” xảy ra khi m 4 0 m 4 (tmđk (*)) 7(x x ) Vậy : 1 2 x x 18 (đpcm) 2 1 2 Bài 20: (1,0 điểm) 1 1 Cho x, y >0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 y2 xy Bài 20: V i a 0,b 0 ; Ta có : a 2 b2 2 a 2b2 2ab (Bdt Cô si) a 2 b2 2ab 4ab (a b)2 4ab (a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4 4 (*) ab ab a b ab ab a b a b a b Áp dụng BÐT (*) v i a = x2 y2 ; b = 2xy ; ta có: 1 1 4 4 (1) x2 y2 2xy x2 y2 2xy (x y)2 1 1 1 4 Mặt khác : (x y)2 4xy (2) 4xy (x y)2 xy (x y)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 2 2 2 2 2 . x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy
10. 4 1 4 4 1 6 2 . 2 2 . 1 2 6 (x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y) 1 [Vì x, y >0 và x y 1 0 (x y)2 1 ]; minA = 6 khi x = y = d 2 Bài 21: (1,5®iÓm) Gi¶ sö x vµ y lµ 2 sè tho¶ m·n x > y vµ xy=1. x 2 y 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . . x y Bài 21: Cho hai sè d­¬ng x; y tho¶ m·n: x + y 1 1 501 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = x2 y2 xy Bài 22: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 1 1 1 A = + + + + 3 5 5 7 7 9 97 99 B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  35 99sè3 Bài 22: 1 1 1 1 1) A = + + + + 3 5 5 7 7 9 97 99 1 1 = (5 3 + 7 5 + 9 7 + + 99 97 ) = (99 3 ) 2 2 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  35 = 99sè3 =33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) 1 = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) 3 1 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + 3 10101 102 B = +165 27 Bài 23: Cho x 1, y 1 Chøng minh. 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 xy Bài 23: ChuyÓn vÕ quy ®ång ta ®­îc. x y x y x y b®t 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 1 xy x y 2 xy 1 0 ®óng v× xy 1
11. Bài 24: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 vµ x + y + z = -1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña: xy zx xyz B = z y x 1 1 1 2 Bài 24: BiÕn ®æi B = xyz = xyz. 2 2 2 2 x y z xyz Bµi 25 : Cho c¸c sè d­¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 x3 + y4. Chøng minh: x3 + y3 x2 + y2 x + y 2 Bµi 25 (1®): Ta cã (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 x2 + y3 do ®ã x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0 (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y3 -1) 0 x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 0 (x + y) + (x2 + y3) 2 + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x + y 2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 x2 + y2 x + y 2 Bài 26: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh 2 2 3x +10 xy + 8y =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3 Bài 26 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 3
12. mµ 96 = 25. 3 cã c¸c íc lµ: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 ®îc biÓu diÔn thµnh tÝch 2 thõa sè kh«ng nhá h¬n 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tæng 4x + 6y lµ sè ch¼n do ®ã x 2y 6 HÖ PT nµy v« nghiÖm 3x 4y 24 x 2y 6 x 4 HoÆc 3x 4y 16 y 1 x 2y 8 HoÆc HÖ PT v« nghiÖm 3x 4y 12 VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) b. ta cã /A/ = /-A/ AA Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ / x 2005 2008 x / / 3/ 3 (1) mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3) / x 2006 / 0 x 2006 (3) s¶y ra khi vµ chØ khi / y 2007 / 0 y 2007 1 Bài 27: a. Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n 1 + + 1 = 4 x y z 1 1 1 Chøng ming r»ng: + + 1 2x y z x 2y z x y 2z x 2 2x 2006 b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (víi x 0 ) x 2 Bài 27 Trưíc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô a 2 b 2 a b 2 a. Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã (*) x y x y (a2y + b2x)(x + y) a b 2 xy a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy a2y2 + b2x2 2abxy a2y2 – 2abxy + b2x2 0 (ay - bx)2 0 ( ) bÊt ®¼ng thøc ( ) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0 a b DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay x y
13. ¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2x y z 2x y z x y x z x y x z 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 1 1 x y x z 16 x y z 1 1 1 2 1 T¬ng tù x 2y z 16 x y z 1 1 1 1 2 x y 2z 16 x y z Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2x y z x 2y z x y 2z 16 x y z 16 x y z 16 x y z 1 4 4 4 4 1 1 1 1 .4 1 16 x y z 16 x y z 4 1 1 1 V× 4 x y z x2 2x 2006 B x 0 x2 2 x 2x 2006 2006x 2 2.2006x 2006 2 Ta cã:B B x 2 2006x x 2006 2 2005x 2 x 2006 2 2005 2005 B x 2 2006x 2 2006 V× (x - 2006)2 0 víi mäi x x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0 2 x 2006 2005 2005 0 B B khix 2006 2006x2 2006 2006 Bài 28: (1®) 1 1 1 ac bc ac Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: 0 ; H·y tÝnh P = a b c 2 2 2 c a b
14. Bài 28 §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz -( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 x3 + y3 + z3 = 3xyz 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3 nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3 a b c Bài 29: Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 1 2 a b b c c a a a a c Bài 29:Ta cã: < < (1) a b c b a a b c b b b a < < (2) a b c b c a b c c c c b < < (3) a b c c a a b c Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : a b c 1 < + + < 2 a b b c c a Bài 30: Các số a, b,c  1;4 thoả mãn điều kiện a 2b 3c 4 chứng minh bất đẳng thức: a 2 2b2 3c2 36 Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 30: Do -1 a,b,c 4 Nên a +1 0 a – 4 0 Suy ra : ( a+1)( a - 4) 0 a2 3.a +4 Tương tự ta có : b2 3b +4 2.b2 6 b + 8 3.c2 9c +12 Suy ra: a2+2.b2+3.c2 3.a +4+6 b + 8+9c +12 a2+2.b2+3.c2 36 ( vì a +2b+3c 4 ) MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay : Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì a2 + 1 = (a + b)(a + c). Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a + c). Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên.
15. Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức : Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có a2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + 1 = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = 2. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức. Bài 5: (2,0 điểm) a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : . Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức đúng. b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a + b - c = a + b - c . Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số a , b, c khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức: = ( 1) đúng. Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b ⇔ 2.5.c(a – b) = b(a – c) . Suy ra: 5 là ước số của b(a – c). Do 5 nguyên tố và 1 ≤ a, b, c ≤ 9; a ≠ c nên: 1) hoặc b = 5 2) hoặc a - c = 5 3) hoặc c - a = 5 + Với b = 5: 2c(a -5) = a - c ⇔ c = c = ⇔ 2c =1+ .
16. Suy ra: 2a -9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c) Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1) + Với a = c + 5: 2c(c + 5 - b) = b ⇔ b = . Viết lại: 2b = 2c + 9 - Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0). Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4). + Với c = a + 5: 2(a + 5)(a - b) = -b ⇔ b = . Viết lại : 2b = 2a +19 + . Suy ra: b > 9, không xét . + Vậy: Các bộ số thỏa bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4). Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại, suy ra tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60o . Ví dụ: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o. Do đó A = 60o. Từ a + b- c = a + b - c (*), suy ra tam giác đã cho là tam giác cân. Thật vậy, bình phương các vế của (*): a + b- c = a + b + c + 2 ab - 2 cb - 2 ac ⇒ c c - a + b a - c = 0 ⇒ a - c b - c = 0 Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c. Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc bằng 60o nên là tam giác đều. 0,25
17. Nguyễn Tấn Cường 17 THCS Nhơn Thọ