Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 - Phần 1

Nội dung text: Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 - Phần 1

1. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Bài 1: Đức Trí quận 1 (2017) Từ diểm M nằm ngoài đường tròn (O) (OM>2R),vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm OM và AB .Lấy C thuộc đoạn HB .Đường thẳng MC cắt (O) tại D và E (D nằm giữa M và C) a) Chứng minh : AD.BE= AE.BD b) Chứng minh OHDE là tứ giác nội tiếp .Chứng minh CD.ME= CE.MD c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD .Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Vẽ đường kính BF của đường tròn (O) .Đường thẳng MO cắt FD và FE lần lượt tại I và N.Chứng minh O là trung điểm IN Bài 2: Quốc tế Á Châu Quận 1(2017) Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm ) và vẽ cát tuyến ADE của (O) ( D nằm giữa A và E) sao cho O nằm bên trong góc EAC a) Chứng minh : OA vuông góc BC tại H và AB.AC =AD.AE b) Chứng minh OHDE là tứ giác nội tiếp c) Gọi K là giao điểm DE và BC .Chứng minh AD.KE = AE.KD d) Gọi M là điểm đối xứng của B qua E .AM cắt BC tại N Chứng minh : ND// BM Bài 3 : Huỳnh Khương Ninh quận 1( 2017) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B; C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE sao cho BD < CD; AD < AE. Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh : 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm M của đường tròn này và chứng minh AB.AC = AD.AE b) Trong (O); kẻ dây BF // DE, FC cắt AE tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của DE. GE ID c) Gọi G là giao điểm của BC và ED. Chứng minh : . GA AD d) Kéo dài IH cắt đường tròn (O) tại K sao cho H nằm giữa I và K. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA. Chứng minh OS  IK 1 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
2. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Bài 4: Trần Văn Ơn quận 1 Cho ∆ABC nhọn (AB < AC).Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB,AC lần lượt tại E,D.BD cắt CE tại H.Các tiếp tuyến tại B,D của (O) cắt nhau tại K;AK cắt BC tại M;MH cắt BK tại N.Vẽ tiếp tuyến AS đến đường tròn (O) (S thuộc cung nhỏ CD).DK cắt AH tại I.Chứng minh rằng: a)I là trung điểm của AH và IE là tiếp tuyến của (O) b)Gọi T(T khác A)là giao điểm của đường tròn ( O' )ngoại tiếp ∆ABC và AK.Vẽ đường kính AF của ( ) .Chứng minh 5 điểm B,T,K,D,O cùng thuộc 1đường tròn. c)Chứng minh : ̂ ̂ d)Chứng minh M,H,S thẳng hàng. Bài 5: Thi Hk 2 quận Thủ Đức Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R), qua M vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB và cát tuyến MCD đến đường tròn (O) ( A,B,C,D thuộc đường tròn (O) , tia MC nằm giữa 2 tia MO và MA .H là giao điểm MO và AB a) Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp b) Gọi K là trung điểm CD . Chứng minh 5 điểm M,A,O,K,B thuộc 1 đường tròn và KM là tia phân giác góc ̂ c) Đường thẳng OK cắt AB tại N .Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O) d) Vẽ đường kính BE của đường tròn (O) .Từ C kẻ đường thẳng song song với OM , đường thẳng này cắt BE và ED lần lượt tại I và P . Chứng minh I là trung điểm CP Bài 6: Quận 11 hk 2 ( 2017) Cho tam giác ABC nhọn và cân tại C .Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F . Gọi H là giao điểm BF và CE .AH cắt BC tại D a) Chứng minh : BEFC nội tiếp và AD vuông góc BC b) Chứng minh ; BEHD là tứ giác nội tiếp và DA là tia phân giác góc ̂ c) Gọi AI là tiếp tuyến của đường tròn (O) với I là tiếp điểm . Tia AI gần AC hơn AB . Chứng minh ̂ ̂ d) Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M .Gọi K là giao điểm của BM và (O) . Chứng minh KC đi qua trung điểm đoạn HF Bài 7: Đồng Khởi quận 1 ( 2017) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC giao nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp và AH vuông góc với BC 2 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
3. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Vẽ dây MN vuông góc với BC tại K ( M thuộc cung nhỏ BC ). Đường thẳng đi qua K và song song với AN cắt MH ở I . Gọi giao điểm của IK với AC , AB theo thứ tự là S và F . Chứng minh MS vuông góc với AC và MF vuông góc với AB c) Gọi Q là điểm đối xứng với M qua AB , G là điểm đối xứng với M qua AC . Chứng minh 3 điểm Q, H,G thẳng hàng d) Chứng minh I là trung điểm của MH Bài 8: Phan Sào Nam quận 3( 2017) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại I , AI và OI lần lượt cắt BC tại K và M a) Chứng minh ; BFEC nội tiếp và H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF b) Chứng minh : ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF c) Gọi N là giao điểm AM và EF .Chứng minh : NK // OI d) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc FD , đường thẳng này cắt EF tại S . Gọi P,L lần lượt là trung điểm BH và FS , Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF .Chứng minh: P,Q,L thẳng hàng Bài 9: Đoàn Thị Điểm quận 3( 2017) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R) có đường cao AD( D thuộc BC) .Tia AD cắt (O) tại điểm M( M khác A) .Vẽ ME vuông góc AC tại E .Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I a) Chứng minh : tứ giác MDEC nt và MI vuông góc AB b) Chứng minh : AB.AI = AE.AC c) Gọi H là điểm đối xứng của M qua BC , tia BH cắt AC tại S .Lấy điểm T thuộc AB sao cho ST// EI Chứng minh C,H,T thẳng hàng d) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) cắt BC tại F .AH cắt TS tại I .Chứng minh: IF // HK Bài 10: Lê Quý Đôn quận 3( 2017) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) với AB < AC , đường cao AD của tam giác ABC cắt (O) tại I a) Vẽ đường kính AK của (O) .Chứng minh AB.AC = AD.AK và BCKI là hình thang cân b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên AK .Chứng minh ABDE nội tiếp và DE// CK c) Gọi M là trung điểm BC .Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF d) Gọi H là trực tâm tam giác ABC và N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC sao cho AH =R .Chứng minh 5 điểm B,H,O,C,N cùng thuộc 1 đường tròn Bài 11: Lương Thế Vinh quận 3 Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O), ta vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) .Gọi H là giao điểm AB và OM a) Chứng minh : 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn .Xác định tâm của đường tròn này b) Gọi E là trung điểm của MB .Đường thẳng EA cắt (O) tại C.Đường thẳng MC cắt (O) tại D.Chứng minh OHCD là tứ giác nội tiếp 3 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
4. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) Chứng minh điểm D thuộc đường tròn (B,BA) d) Vẽ tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt MA và MB lần lượt tại F và K, AB cắt OF và OK lần lượt tại P và Q , FQ cắt PK tại I .Chứng minh : O, I,C thẳng hàng Bài 12: Collette quận 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .vẽ đường cao AH ( H thuộc BC) .Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC a) Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE .Chứng minh ; OA vuông góc DE và tứ giác OAKI là hình bình hành c) Đường tròn (K) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là F Chứng minh ; I,H,F thẳng hàng d) Chứng minh : AF,DE, BC đồng quy Bài 13 : Lê Lợi quận 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R ) có đường cao AH ( H thuộc BC ),vẽ HD vuông góc AB tại D và HE vuông góc AC tại E , đường kính AK của đường tròn (O) cắt DE tại I a) Chứng minh tứ giác ADHE và BDCE là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ; AH vuông góc DE và AI.AK = AD.AB c) Đường tròn tâm A bán kính AH cắt đường tròn (O) tại M và N .Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK d) Chứng minh I là trung điểm DE Câu 14: tham khảo Lê Anh Xuân ( quận Tân Phú) Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn (O,R) (AB>AC) , hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H , CF cắt (O) tại P ,BE cắt (O) tại Q a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp và EF//PQ b) Gọi D là giao điểm AB và PQ .chứng minh ; AP2=AD.AB c) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC , gọi I là giao điểm MP và AB , K là giao điểm MQ và AC .Chứng minh 3 điểm I,H,K thẳng hàng d) Giả sử rằng EF=R . tính số đo góc ̂ Câu 15: Tham Khảo Lê Anh Xuân ( quận Tân Phú ) Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O) và cát tuyến MCD đến (O) (C nằm giữa M và D , tia MC nằm giữa MO và MA) a) Chứng minh : Tứ giác OIAB nội tiếp b) Chứng minh ; IA là tia phân giác góc ̂ c) Kẻ dây BE của (O) , BE //CD .Chứng minh : 3 điểm A,I,E thẳng hàng d) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OM , đường thẳng này cắt MA,DA lần lượt tại L và K .Chứng minh LC=LK Câu 16: Tham khảo Lê Anh Xuân quận Tân Phú Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ hai tiếp tuyến SA và SB (A và B là hai tiếp điểm ) và cát tuyến SEF đến đường tròn (O) ( tia SE nằm giữa SA và SO và E nằm giữa S và F), gọi I là trung điểm EF a) Chứng minh: 5 điểm O,I,A,B,S cùng thuộc 1 đường tròn 4 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
5. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Chứng minh : IS là tia phân giác góc ̂ c) AI cắt (O) tại N .Chứng minh FN=BE d) Đường thẳng qua I và song song FA cắt AB tại D .Chứng minh DE vuông góc OA và 3 điểm F,D,K thẳng hàng ( K là trung điểm SA) Câu 17: THCS Văn Lang quận 1 Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) .Vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm ), vẽ cát tuyến MDE của đường tròn (O) ( D nằm giữa M và E , tia MD nằm giữa 2 tia MB và MO) a) Chứng minh : M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn và tìm tâm của đường tròn này b) Gọi H là giao điểm AB và OM .Chứng minh : tam giác MDH đồng dạng MOE và OEDH là tứ giác nội tiếp c) Tia MO cắt (O) tại N và P ( N nằm giữa M và P) .Chứng minh : MN.PH = MP.NH d) Vẽ các đường kính BK và DQ của (O) , MP cắt EK tại G , tia QK cắt tia BA tại C . Gọi F là trung điểm BC .Chứng minh : GF //MB Câu 18 : Đề tham khảo phòng giáo dục Phú Nhuận Cho AH là đường cao tam giác ABC nhọn (AB< AC) nội tiếp (0, R ), H thuộc BC.Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E a.Chứng minh các tứ giác ADHE nội tiếp, BCED nội tiếp b. Đường kính AK của đường tròn tâm O cắt BC tại I. Chứng minh IB. IC OI22 R c. Vẽ dây AF của đường tròn O song song với BC. Tia FH cắt đường tròn O tại M, tia MI cắt O tại N (M khác F, N khác M).Tiếp tuyến tại K của (O) cắt tia BC tại P.Chứng minh A, N, P thẳng hàng d. Chứng minh = Câu 19: THCS Chánh Hưng quận 8 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O,R) đường kính AS .Vẽ AK vuông góc BC tại K . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của K lên AB và AC a) Chứng minh : AMKN là tứ giác nội tiếp .Xác định tâm của đường tròn này b) Vẽ bán kính OD vuông góc BC .Chứng minh : AD là tia phân giác góc ̂ c) Qua A vẽ đường thẳng d song song SD , đường thẳng OM cắt AD,AK , và d theo thứ tự ở E,I,F .Chứng minh : EI.FO=EO.FI d) Chứng minh : Câu 20:Thi học kì 2 quận Bình Tân 2014-2015 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao là BD và CE a) Chứng minh : BEDC nội tiếp và tam giác ABC đồng dạng tam giác ADE 5 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
6. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M , OM cắt BC tại H .Chứng minh ; AB.BH=AD.BM c) Chứng minh : tam giác ADH đồng dạng tam giác ABM d) AM cắt DE tại I .Chứng minh I là trung điểm DE Bài Giải: Hướng dẫn giải 1 số câu hình học ôn thi tuyển sinh 10 Đức Trí quận 1: Câu c: Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( đpcm) 6 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
7. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Câu d : gọi Q là trung điểm DE khi đó ta có 5 điểm A,M, B,Q,O cùng thuộc 1 đường tròn Và khi đó FON Do đó Quốc tế Á CHÂU QUẬN 1 c) Cminh : AD.KE = AE.KD Vì tứ giác OHDE nt nên dễ dàng có góc ̂ ̂ ̂ = ̂ ( cùng phụ 2 góc bằng nhau) Vậy nên HK và HA lần lượt là 2 phân giác trong và ngoài của tam giác EHD Do đó d) Chứng minh ND//BM ( M là điểm đối xứng của B qua E và AM cắt BC tại N ) Ta kẻ DN’ // BE (N’ thuộc BC ), cho AN’ cắt BE tại M’ . Ta đi chứng minh BE=EM’ để M’ trùng M 7 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
8. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Thật vậy có = Huỳnh Khương Ninh quận 1: b) chứng minh: I là trung diểm DE Ta chứng minh AIOC là tgnt để suy ra ̂ 8 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
9. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Thật vậy có DE//BF nên ̂ ̂ ̂ ̂ ( góc nt = nưả góc ở tâm )= ̂ ( tính chất tiếp tuyến ) Vậy AIOC nt ( 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh) suy ra ̂ nên OI vuông DE vậy I là trung điểm DE ta có đpcm c) CM : có GE.AD=(AE-AG).AD=AE.AD -AG.AD và ID.AG= AG( AI-AD)=AG.AI-AG.AD Mặt khác lại có AD.AE=AH.AO =AB2 và AH.AO= AG.AI ( 2 tam giác AHG đồng dạng AIO), vậy nên AG.AI=AE.AD từ đó có GE.AD = ID.AG ta suy ra đpcm d) CM : OS vuông góc IK có ̂ =90- ̂ đồng dạng OKH( c.g.c) nên ̂ ̂ do đó ̂ ̂ =90 vậy nên IK vuông góc SO ( đpcm ) Trần Văn Ơn quận 1: 9 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
10. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Ta có ̂ ̂ ( ATBC nt ) và ̂ = ̂ ̂ ̂ ( vì HDCQ nt ) vậy nên ̂ ̂ OK suy ra 5 điểm K,T,D,O,B cùng thuộc đường tròn đường kính OK c) Chứng minh: ̂ ̂ thật vậy vì OT vuông góc TA( ̂ mà AT vuông TF( AF là đường kính ) nên T,O,F thẳng hàng, mặt khác dễ có BHCF là hbh nên H,O,F thẳng hàng ( O là trung điểm HF) vậy từ đó T,H,O,F thẳng hàng từ đó có AT.AM =AH.AQ ( tam giác đồng dạng ATH đồng dạng AQM) và AH.AO = AE.AB ( AEH đồng dạng AQB) vậy nên AT.AM =AE.AB nên TEBM nt ( tính chất phương tích đảo ) suy ra đpcm d) ta có AQOS nội tiếp nên ̂ ̂ mặt khác SA2=AD.AC = AH.AQ Từ đó tam giác ASH đồng dạng AQS nên có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ =90 nên OA vuông góc SH 10 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
11. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Mặt khác dễ có H là trực tâm tam giác MAO nên MH vuông góc AO vậy M,H,S thẳng hàng ( đpcm ) Thi học kỳ 2 Thủ Đức 2017 c) Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O) Ta có OK.ON= OH.OM ( tam giác OHN đồng dạng OKM( g.g) Mặt khác OH.OM = OA2=R2=OD2 vậy nên OK.ON =OD2 do đó tam giác OKD đồng dạng ODN ( c.g.c) Mà ̂ ̂ suy ra đpcm d) Chứng minh I là trung điểm CP để ý K là trung điểm CD nên ta sẽ cminh IK//DE ( để áp dụng tính chất đường trung bình ) Vì IC// OM nên góc ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ = ̂ ̂ ̂ IK//DE suy ra IK//PD suy ra đpcm Quận 11 -2017 11 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
12. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Câu c Ta có AI2=AF.AC ( tính chất phương tích )và AF.AC = AH.AD Từ đó AI2=AH.AD nên tam giác AIH đồng dạng ADI (c.g.c) nên góc ̂ ̂ (đpcm ) Câu d: Vì tam giác ABC cân tại C (AC =BC ) nên góc ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Do đó tam giác EAF cân tại E và EM vuông góc FA nên M là trung điểm AF Gọi L là giao điểm KC và HF thì ta có H là trực tâm tam giác ABC nên FA.FC =FH.FB Và L là trực tâm tam giác MBC nên FL.FB=FM.FC từ đó có FH=2 FL hay L là trung điểm FH ( đpcm ) Đồng Khởi quận 1: 12 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
13. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Ta chứng minh MKFB là tứ giác nội tiếp Vì FK// AN nên ̂ ̂ ̂ + ̂ Vậy nên ̂ ̂ ̂ Tương tự ta có ̂ ̂ ( cặp góc đồng vị bằng nhau do AN//SK) mà ANCM nt nên ̂ ̂ Do đó ̂ ̂ nên KCSM là tứ giác nt suy ra ̂ suy ra MS vuông góc AC c) Chứng minh ; Q,H,G thẳng hàng Đây là bài toán đường thẳng Steiner Ta chứng minh AHBQ là tứ giác nt Vì M và Q đối xứng nhau qua trục AB nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ suy ra AHBQ là tứ giác nội tiếp ̂ ̂ ̂ Tương tự ta cũng chứng minh được AHCG nt ̂ ̂ ̂ Mà ABMC nt ̂ ̂ ̂ ̂ 13 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
14. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 d) Chứng minh I là trung điểm MH Do FS là đường trung bình tam giác MQG nên FS//QG nên FI//QH Mà F là trung điểm MQ nên I là trung diểm MH ( tính chất đường trung bình ) ( đpcm ) Phan Sào Nam quận 3( 2017-2018) Câu c: chứng minh NK // OI Ta sẽ chứng minh hay là cm = Vì = ( 1) Mặt khác lại có ̂ ̂ ̂ ̂ Và ̂ =180- ̂ ( tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ) ̂ ̂ (2) Từ (1) và (2) ta có ̂ ̂ và (3) Vậy nên (g.g) (4) 14 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
15. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Từ (3) và (4) Câu d: Theo bài toán đường tròn Euler ta dễ dàng có được EFDM nt nên Q là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F,E,M,D nên Q cách đều F và D (1) Mặt khác vì P là trung điểm BH nên PD=PF =BH/2 suy ra P cách đều F và D (2) Tương tự cũng có L cách đều F và D ( vì L là trung điểm FS)(3) Từ (1),(2),(3) suy ra Q,P,L thẳng hàng ( cùng nằm trên trung trực của đoạn FD)( đpcm) Đoàn Thị Điểm Quận 3: 15 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
16. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) Vì H đối xứng với M qua trục BC nên có ̂ ̂ ̂ nên từ đó ̂ do vậy H là trực tâm tam giác ABC nên CH vuông góc AB ta sẽ đi cminh CT vuông góc AB để suy ra C,H,T thẳng hàng Thật vậy vì ST// EI nên ̂ ̂ ̂ ( vì BDMI nt ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ d) gọi P là giao điểm AK và EF ta dễ dàng chứng minh được AK vuông góc TS ( vì ̂ ̂ ̂ ) Khi đó AP.AK =AT.AB =AH.AD( thông qua các tam giác đồng dạng ) ( 1) Mặt khác tương tự AQ.AD =AP`AF Từ (1) và (2) ta có Lương Thế Vinh quận 3 16 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
17. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) Ta có EB2=EC.EA ( xem lại tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ), mặt khác EB=EM ( M trung điểm BE) EM2=EA.EC suy ra ̂ ̂ mà ̂ ̂ ̂ ̂ AD//BM Mặt khác BM vuông góc OB suy ra OB vuông DA ( để ý OA=OD=R) thế nên OB là đường trung trực của DA BD=BA d) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có OF là tia phân giác góc ̂ ̂ Suy ra ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ) ̂ ̂ Từ ̂ ̂ ̂ (1) Tương tự ̂ ̂ ̂ Từ (1) và (2) thì I là trực tâm tam giác FOK mà OC là đường cao của tam giác này nên O,I,C thẳng hàng ( đpcm ) Colette quận 3: 17 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
18. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) thì Ax// DE ̂ ̂ = ̂ vậy nên DE vuông góc OA Do AK vuông góc BC và OI vuông BC ( OI là đường trung trực của BC) nên AK// OI (1) Tương tự thì IK vuông góc DE( IK là đường trung trực của DE ) và OA vuông DE( đã cm) nên IK//OA (2) (1) và (2) suy ra OAKI là hình bình hành ( đpcm ) c) Do OAKI là hình bình hành ta gọi T là giao điểm OK và AI thế thì T là trung điểm OK và cũng là trung điểm AI Ta sẽ cminh rằng tam giác AFI vuông tại F ( hay TF= ) Do OK là đường trung trực của AF nên TF=TA = nê từ đó AFI vuông tại F hay FA vuông góc FI (3) Mặt khác FH vuông góc AF( AH là đường kính đường tròn tâm K) (4) Từ (3) và (4) suy ra F,H,I thẳng hàng d) Gọi S là giao điểm AF và BC. Ta cm S,D,E thẳng hàng Vì AH2=AF.AS=AD.AB ̂ ̂ ̂ Mặt khác ̂ ̂ =180 ( AFDE nt) ̂ ̂ Lê Lợi quận 3: 18 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
19. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 b) Vì AK vuông góc DE ( kết quả quen thuộc ) ( xem lại bài Colette quận 3) Từ đó c) Có AM2=AH2=AD.AB= AI,AK = ̂ = ̂ Từ đó có AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK ( định lý đảo về nhận biết tiếp tuyến ) d ) Ta nhận thấy 4 điểm M,N,D,E thẳng hàng .ta sẽ cminh điều này Vì AN2=AE.AC( = AH2) nên ̂ ̂ chú ý DEBC là tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ àng (1) Mặt khác OA vuông góc MN( vì OA là trung trực của MN) và OA vuông góc DE (2) (1) và (2) thì D,M,E,N thẳng hàng nên AK là trung trực của MN nên I là trung diểm MN ( đpcm) bài 14: Lê Anh Xuân Tân Phú 19 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
20. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) H và Q đối xứng nhau qua AC ( tự cminh ) Để cminh I,H,K thẳng hàng ( chú ý B,H,Q thẳng hàng ) nên ta đi cminh ̂ ̂ Vì H,P đối xứng nhau qua trục AB nên ta có ̂ = ̂ ( ̂ ) Mặt khác vì tg MQPN nt ̂ ̂ nên ̂ ̂ do đó I,H,K thẳng hàng d) Vì F là trung điểm PH và E là trung điểm HQ nên EF= ( tính chất đường trung bình tam giác HPQ) Do EF=R nên PQ =2R ( PQ là đường kính của (O) và để ý AP=AQ=AH) nên tam giác APQ vuông cân ( vuông cân tại A) ̂ = ̂ =45 độ do đó ̂ Bài 15: Lê Anh Xuân Tân Phú 20 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
21. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) ta sẽ chứng minh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Thật vậy vì OI vuông góc DC mà DC // EB nên OI vuông góc BE( để ý OB=OE) thế nên OI là đường trung trực của BE nên ̂ ̂ ̂ Và ̂ = ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ e) Nhận xét rằng I là trung điểm DC nên ta đi cm IL// DA ( để áp dụng tính chất đường trung bình suy ra L là trung điểm của KC) Vì LC vuông OM nên LC // AB ( AB vuông OM )từ đó ̂ ̂ ̂ ̂ ( 2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau do A,B,I,M,O cùng thuộc 1 đường tròn ) Từ đó ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ . Nên ta có L là trung điểm KC ( đpcm) Bài 16: Lê Anh Xuân Quận Tân Phú 21 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
22. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) ta sẽ cminh rằng ̂ ̂ để suy ra FE//NB( nên FNBE là hình thang cân do đó FN=BE) Thật vậy vì A,I,O,B,S cùng thuộc 1 đường tròn nên ̂ ̂ ̂ mà ̂ = ̂ ( quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm ) nên ̂ ̂ từ đó có FE//BN suy ra đpcm d) +) ta nhận thấy DE //SA ta sẽ đi cminh điều này Do ID //FA nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ = ̂ từ đó ̂ ̂ ̂ ̂ nên DE// SA vậy nên DE vuông góc OA ( vì OA vuông góc SA) +) gọi Q là giao điểm DE và FA , để ý rằng ID//FA nên D là trung điểm EQ Gọi K’ là giao điểm FD và SA.Chứng minh K’ là trung điểm SA( nên K’ Thật vậy vì DE//SA nên theo Talet ta có kết hợp với DE=QE nên K’S=K’A nên K’ là trung điểm SA ( K’ trùng K) , vậy nên 3 điểm F,D, K thẳng hàng Bài 17: THCS Văn lang quận 1 22 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
23. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Câu c) Chứng minh bằng định lý tỷ số phân giác trong và ngoài NA là đường phân giác trong tam giác HAM( do ̂ ̂ ̂ và AP là tia phân giác ngoài tam giác (AP vuông AN) từ đó có Câu d: ta sẽ đi cm GF //MB( hay cm GF vuông góc OB) Để ý OG vuông góc BF nên ta sẽ cm OF vuông góc BG ( để O là trực tâm tam giác BGF) Nhận thấy OF // KC ( tính chất đường trung bình ) mặt khác KC vuông góc BQ( vì BK là đường kính của đường tròn (O)), gọi thêm J là trung điểm DE Ta sẽ cm 3 điểm B,G,Q thẳng hàng ( hay là BG// DK) Gọi L là giao điểm DK và MO , ta đi cm OG=OL. Khi đó 5 điểm B,J,O,A,M cùng thuộc 1 đường tròn Thật vậy tam giác KOL đồng dạng EJB( g.g) nên , tương tự ta có KOG Mà DJ=EJ nên từ đó có OL=OG khi đó BGKL là hình bình hành nên BG//KD vậy B,G,Q thẳng hàng OF vuông BG nên O là trực tâm tam giác BFG do đó GF vuông góc OB nên GF//MB ( đpcm) Câu 18: Quận Phú Nhuận 23 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
24. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Câu c) Giả sử rằng AN cắt BC tại P’ ( ta sẽ cm P’ trùng P hay là cm KP’ là tiếp tuyến của (O) tại K) Thật vậy gọi Q là giao điểm FK với BC thì AFQH là hình chữ nhật từ đó có ̂ = ̂ ̂ ̂ , từ đó tứ giác AIQN nội tiếp và khi đó ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ suy ra KP’ vuông OK nên KP’ là tiếp tuyến . vậy P’ trùng P từ đó A,N,P thẳng hàng Câu d Vẽ IL vuông góc AB và IP vuông góc AC Khi dó các tứ giác ALHI nội tiếp và AHIP là các tứ giác nội tiếp 24 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
25. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Nên theo tính chất phương tích ( có thể dùng tam giác đồng dạng ) thì BH.BI=BL.AB và CH.CI=CP.CA Mặt khác lại để ý IL//BK ( cùng vuông AB) và IP //CK ( cùng vuông AC) nên theo định lý Talet = ( đpcm) Câu 19: THCS Chánh Hưng Câu c: Vì AD vuông DS( AS là đường kính ) mà DS// AF nên AF vuông AE Mặt khác AE là phân giác trong tam giác OAI nên AF là phân giác ngoài của tam giác FAI Từ đó nên FI.OE=FO.IE( đpcm) Câu d 25 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
26. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 Vẽ tia Bx nằm giữa 2 tia BA và BC sao cho ̂ ̂ Khi đó BQ Và để ý rằng ̂ ̂ AC .SB=BC.SQ Vậy AB.SC+AC.SB=BC( AQ+QS)=BC.SA= 2R.BC từ đó có đpcm Câu 20: Quận Bình Tân 2014-2015 26 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612
27. Các bài hình chọn lọc ôn thi tuyển sinh 10 phần 1 2017 c) Vì tam giác ADB đồng dạng BHM (g.g) nên Mặt khác ̂ ̂ Mà ̂ ̂ ̂ ( do tam giác DHC cân ở H) Vậy ̂ ̂ d) Vì ADH đồng dạng ABM nên ̂ ̂ ̂ ̂ nên tam giác AEI đồng dạng ACH (g.g), và tương tự cũng cm được tam giác ADI đồng dạng ABH (g.g) nên Lưu ý: câu hỏi d này có thể yêu cầu khác: ví dụ cm IH vuông DE hoặc cm IH //OA( vì OA vuông DE) 27 Thầy Trường ( GV chuyên ôn luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM) SĐT: 01655261612