Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần III

Nội dung text: Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần III

1. Bộ đề thi Hình 9 vào 10 các Tỉnh – TPHCM – Hà Nội. Phần III Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a) Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: ADBE = R 2 . c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – TP HCM) Bài 2 Cho (O; R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Điểm B lấy bất kì trên (O), kẻ BH vuông góc với xy tại H. a) Chứng minh rằng BA là phân giác của OBH b) Chứng minh rằng phân giác ngoài của OBH luôn đi qua một điểm cố định khi B di động trên (O). c) Gọi M là giao điểm của BH với phân giác của góc AOB . Tìm quỹ tích của M khi B di động trên (O). (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – TP HCM) Bài 3 Đường tròn (O) có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C. a) Chứng minh các tam giác AIB và AMC là tam giác cân. b) Khi điểm M di động, chứng minh rằng điểm C di chuyển trên một cung tròn cố định. c) Xác định vị trí của M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – TP HCM) Bài 4 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B (E nằm giữa B và H). a) Chứng minh ABE = EAH và ABH EAH. b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. c) Xác định vị trí điểm H để AB= R 3 . (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – TP HCM) Bài 5
2. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (R > r). Vẽ các đường kính AOB của đường tròn (O) và AO’C của đường tròn (O’). Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC. a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi. b) Gọi I là giao điểm của EC với đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng. c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Nghệ An) Bài 5 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. a. Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA. b. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. c. Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I). d.Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – TP HCM) Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và . a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AC cắt đường tròn tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và thứ tự tại M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất. (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Hà Nội) Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật. 2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. 3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC. (Trích Bộ đề Hình 9 thi vào 10 – Quãng Nam)
3. Bài 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một đường thẳng d quay xung quanh trung điểm H của OB cắt đường tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng trung điểm I của MN chạy trên đường tròn cố định khi đường thẳng d quay quanh H. b) Vẽ AA’ vuông góc với MN, BI cắt AA’ tại D. Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành. c) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN. d) Khi đường thẳng d quay quanh H thì D di động trên đường nào? Tại sao ? (Trích Bộ đề Hình 9 thi vò 10 – Quãng Ngãi) Bài 10 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. 1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn. 2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng. 3/ Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R. (Trích Bộ đề Hình 9 thi vò 10 – Quãng Ngãi) Bài 11: Cho điểm A đường tròn (O) bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn O tại B và C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn O tại B và c cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. Chứng minh rằng: 1) Năm điểm D, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác DIHA là tứ giác nội tiếp. 2) Đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3) Tích HB.HC không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A. (Trích Bộ đề Hình 9 thi vò 10 – Quãng Ngãi) Bài 12 : Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B ≠ O, C). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đ- ường tròn đường kính BC tại I. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. (Trích 95 Bài tập Hình học 9 thi vào 10)
4. Bài 13: Cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC. Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O'). Chứng minh rằng: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đường tròn. e. Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy. (Trích 95 Bài tập Hình học 9 thi vào 10) Bài 14: Cho ABC (AC > AB, góc BAC > 900); I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D, tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E, tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng. b) CHứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được. c) CHứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng qui. d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE. (Trich Bộ đề Tuyển sinh Toán 9 vào 10 – Hà Nội) Bài 15: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. 1. C/m: IA2 = IM. IB . 2. C/m: BAF cân. 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được. (Trích 100 Bài Hình 9 Ôn thi vào 10) Bài 16: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. CMR: MCDN nội tiếp. 2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. CMR: AOIH là hình bình hành. 4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? (Trích 100 Bài Hình 9 Ôn thi vào 10)
5. Bài 17: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F. 1. C/m:C;B;F thẳng hàng. 2. C/m CDEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4. C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE. 5. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’) (Trích 100 Bài Hình 9 Ôn thi vào 10) Bài 18 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. 5. Chứng minh rằng: IA2 = IM. IB . 6. Chứng minh rằng: BAF cân. 7. Chứng ninh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 8. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được. (Trích 100 Bài Hình 9 Ôn thi vào 10) Bài 19 Cho (O; R) và (O’; r) trong đó R > r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. (Trích 100 Bài Hình 9 Ôn thi vào 10) Bài 20 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C trên cung AB (C khác A và B). Gọi E là điểm chính giữa của cung AC, H là giao của AC và BE, D là giao điểm của AE và BC a) Chứng minh tứ giác DEHC nội tiếp b) Chứng minh DH vuông góc với AB c) Chứng minh E là trung điểm của AD d) Giả sử đường tròn đã cho là cố định và điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng điểm D chuyển động trên một cung tròn cố định (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Phú Thọ)
6. Bài 21 : Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Kẻ các đường cao BD và CE của tam giác ABC và gọi H là giao điểm của chúng a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi c) Chứng minh 3 điểm A, H, O thẳng hàng d) Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R để H thuộc đường tròn đã cho. (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Phú Thọ) Bài 22 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, gọi M là điểm đối xứng của O qua A, qua M kẻ một cát tuyến d không đi qua O và cắt đường tròn đã cho tại hai điểm C, D phân biệt (C nằm giữa M và D). Gọi P là giao điểm của các đường thẳng AD và BC, Q là giao điểm của các đường thẳng AC và BD a) Chứng minh rằng PQ vuông góc với AB b) Gọi K giao điểm của các đường thẳng AB và PQ. C/minh tứ giác CKOD nội tiếp c) Chứng minh rằng khi cát tuyến d thay đổi thì điểm K luôn cố định (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Phú Thọ) Bài 23 Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thẳng hàng. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C. Từ điểm chính giữa M của cung nhỏ BC kẻ đường kính MN cắt dây BC tại D. Tia AN cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây BC, MI cắt nhau tại K. a) Chứng minh tứ giác DKIN nội tiếp và AI.AN = AK.AD b) Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua hai điểm B và C thì đường thẳng MI luôn đi qua một điểm cố định c) Xác định đường tròn (O) để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Phú Thọ) Bài 24 Cho đường tròn ( O ; R ) và dây cung BC cố định ( BC < 2R ). Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC là tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh rằng khi điểm A di động thì tiếp tuyến tại E của đường tròn tâm (I) luôn đi qua một điểm cố định. c) Xác định vị trí của điểm A để tam giác AEF có diện tích lớn nhất ? (Trích Bộ đề thi Toán 9 vào 10 – Phú Thọ)
7. Bài 25 Trên đường tròn (O,R) cho trước,vẽ dây cung AB cố định không di qua O. Điểm M bất kỳ trên tia BA sao cho M nằm ngoài đường tròn (O,R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O,R) (C,D là hai tiếp điểm) a\ Chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp. b\ Chứng minh MC2 = MA.MB c\ Gọi H là trung diểm đoạn AB, F là giao điểm của CD và OH. Chứng minh F là điểm cố định khi M thay đổi (36 Bộ đề Trích thi Toán 9 vào 10) Bài 26 Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B). 1. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp. 2.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng. 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm M thay đổi. (36 Bộ đề Trích thi Toán 9 vào 10) Bài 27 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh : BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh EM = EF 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD. (36 Bộ đề Trích thi Toán 9 vào 10) Bài 28 Cho đường tròn (C) tâm O. Từ 1 điểm A ngoài (C) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (C) (B,C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB, (d) cắt đường thẳng AB tại H. cắt (C) tại E, C và cắt đường thẳng OA tại D. 1) Chứng minh rằng CH // OB và tam giác OCD cân . 2) Chứng minh rằng tứ giác OBDC là hình thoi . 3) M là trung điểm của EC, tiếp tuyến của (C) tại E cắt đường thẳng AC tại K. chứng minh O, M, K thẳng hàng . (36 Bộ đề Trích thi Toán 9 vào 10)
8. Bài 29 : Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 900. AB 2 3.Chứng minh AC. BD = . 4 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 6.Chứng minh MN ⊥ AB. 7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10) Bài 30: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. b. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . c. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. d. Chứng minh OAHB là hình thoi. e. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. f. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 - TP HCM) Bài 31 Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và . a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AC cắt đường tròn tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và thứ tự tại M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 - Ninh Bình)
9. Bài 32 Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn. 2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. 3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Bình Định) Bài 33 Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (Ckhác với A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM. a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: CDE= CBA c) Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF. Chứng minh IK//AB. d) Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 - Huế) Bài 34 Cho đường tròn tâm (O), đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE. c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). d) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Quãng Ngãi) Bài 35 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M. a. Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp . b. Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân . c. Tính tích AM.AD theo R . d. Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai phần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O) . (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Kiên Giang)
10. Bài 36 Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O và trung điểm của OA). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. MN cắt AK tại E. 1. Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp. 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM. 3. Cho điểm H cố định, xác định vị trí của K để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MKE nhỏ nhất. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Bắc Giang) Bài 37 Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D . a) Chứng minh OD // BC . b) Chứng minh hệ thức : BD.BE = BC.BF . c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R . (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Bình Dương) Bài 38 Cho tam giác PQR vuông cân tại P. Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R). Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E. Gọi F là giao điểm của PQ và RE. a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đường tròn. b) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF. a) Tính số đo góc QFD. (Trích Bộ đề tho Toán 9 vào 10 – Bắc Giang) Bài 39 Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB. Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N . 1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất (Trích 41 Bộ đề thi Toán 9 vào 10)
11. Bài 40 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O1), (O2) lần lợt tại C, D, gọi I, J là trung điểm của AC và AD . 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông . 2) Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2. Chứng minh O1, O2, M, B nằm trên một đường tròn 3) E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A. Tìm tập hợp điểm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất. Bài 41 Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d ⊥ OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 42 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh MA.MB = MN2. c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Bài 43 Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N. a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ? Bài 44: Cho đường tròn tâm O bán kính R và l trung điểm của một dây AB. Hai dây bất kỳ CD và EF đi qua I với EF > CD; CF và ED cắt AB tại M và N. Vẽ dây FG // AB a) CMR: Tam giác IFG cân. b) CMR: Tứ giác INDG nội tiếp đường tròn. c) CMR: IM = IN d) Tìm tập hợp điểm I khi AB di động sao cho độ dài AB = l không đổi.
12. Bài 45 Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ CH vuông góc AB tại H cắt đường tròn tâm O tại E và cắt OA tại A. a) CMR: CO = CD. b) CMR: Tứ giác OBDC là hình thoi. c) Gọi M là trung điểm CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của OH. d) Tiếp tuyến tại E với đường tròn tâm O cắt AC tại K. Chứng minh rằng: Ba điểm O, M, K thẳng hàng. Mũi “Kim cương”Cà Mau, ngày 09/ 05/2018 Đơn vị: Trường THCS UMinh, huyện TVT, tỉnh Cà Mau. Người soạn: Nguyễn Văn Đại