›
›
›

Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 4

pdf 35 trang dichphong 7550
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 4", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_de_toan_9_thi_vao_lop_10_cac_tinh_thanh_pho_ho_chi_minh_h.pdf

Nội dung text: Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 4

  1. “Ngọc” càng mài càng “Sáng”, “Người” càng học càng “Gỏi”. Bộ đề thi Toán 9 vào 10 THPT Chuyên Tỉnh, TP. HCM – Hà Nội. Phần 4 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 1 Bài 1: (2,0 điểm): 1 1 1 1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: + + =1 và a + b + c = 1. abc Chứng minh rằng (abc−1)( − 1)( − 1) = 0 . nn 2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh (3+ 5) +( 3 − 5) là số nguyên dương. Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình ( x+6 − x − 2)( 1 + x2 + 4 x − 12) = 8 . x3+ xy 2 = y 6 + y 4 2) Giải hệ phương trình 431 2yx+ 1 +2 = 3 − 4 x +1 Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A. 1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK. HA HB HC 2) Hãy tính ++. AA1 BB 1 CC 1 3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm 2 AN AB1 thứ hai là E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng = NE EB1 Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x33+ y −31 xy = Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006 hay không ? Tại sao ? 2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+ y 2 + z 2 = 3 xyz . Chứng minh rằng: x2 y 2 z 2 3 ++ . x4+ yz y 4 + xz z 4 + xy 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HCM Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 2 Bài 1: ( 2 điểm ) 1)Giải phương trình : x − x −8 − 3 x +1= 0 x2 + y2 = 5 2)Giải hệ phương trình: 3 3 x + 2y =10x −10y Bài 2: (2,5 điểm) 1) Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = 1. CMR : (n4 −1) 40 p −1= 2x(x + 2) 2) Tìm tất cả số nguyên tố p và số nguyên dương x, y thoả mãn: 2 p −1= 2y( y + 2) 3) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = nx2 y2 z2 Bài 3: (1,5 điểm) 3 Cho 2 số thực dương thoả mãn: (a +b)(b + c)(c + a) =1. CMR : ab + ac +bc 4 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi Q là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F là điểm đối xứng của Q qua AB, AC. 1. CMR: MH.MA = MP.MN 2. CMR : E, F, H thẳng hàng. 3. Gọi J là giao điểm của QE và AB. Gọi I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của Q AB AC trên cung nhỏ BC để + nhỏ nhất. QJ QI Bài 5: (1,0 điểm) 1 CMR tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho 0 a + b 2 + c 3 1000 .Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 3 Câu I: 1) Giải phương trình: 3x +1 + 2 − x = 3 1 1 9 x + y + + = x y 2 2) Giải hệ phương trình: 1 3 1 1 + x + = xy + 4 2 x xy Câu II: 1). Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức ( a+b)(b +c)(c+a) = 8abc. a b c 3 ab bc ac + + = + + + Chứng minh rằng: a + b b + c c + a 4 (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) 2). Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc − (10 d + e) chia hết cho101?. Câu III: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Đường phân giác của góc  BAC cắt ( O) tại điểm D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. 1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng. 2) Chứng minh rằng EF vuông góc với AC. Câu IV: Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc + bcd + cda + dab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 9d3. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 4 Bài 1. (2.0 điểm) x x−3 7 x + 10 x + 7 a) Cho A = − − : . Tìm x sao cho A 2. x−2 x + 2 x + 4 x x − 8 x + 2 x + 4 2 b) Tìm m để phương trình x−(2 m + 4) x + 3 m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn xx21=+23. Bài 2. (2.0 điểm) x − 7 a) Giải phương trình 5xx− 1 − 3 + 13 = . 3 2x22+ xy = y − 3 y + 2 b) Giải hệ phương trình . 22 xy−=3 Bài 3. (3.0 điểm) Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC BC . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh rằng ADCE = CH DE . b) Chứng minh rằng OD. BC là một hằng số. c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định. Bài 4. (1.0 điểm) 11 a) Chứng minh rằng nếu xy 1 thì xy+ + . xy 1 1 1 b) Cho 1 abc , , 2. Chứng minh rằng (abc+ +) + + 10. abc Bài 5. (2.0 điểm) Cho đoạn thẳng BC có M là trung điểm. Gọi H là một điểm của đoạn thẳng BM (H khác các điểm B và M). Trên đường thẳng vuông góc với BC tại H lấy điểm A sao cho BAH= MAC . Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai ở D và cắt đoạn thẳng AC tại E. Gọi P là giao điểm của AM và EB. a/ Đặt AB = r, tính tích DH.AM theo r. b/ Gọi h1, h2, h3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các đường thẳng BC, Ca, AB. hhh 2 Chứng minh rằng 21+3 1 − AB AC BC c/ Gọi Q là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPM. Chứng minh rằng tứ giác BCEQ là tứ giác nội tiếp. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HCM Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 5 Câu 1. (2 điểm) a) Giải phương trình: x2 x− 2 + 5 x = 9 . 1 1 1 b) Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện + + = 0 . Tính giá x y z yz zx xy trị biểu thức: A = + + x2+2 yz y 2 + 2 zx z 2 + 2 xy Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 −5 mx − 4 m = 0 (x là ẩn số). a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. 2 2 m x21++5 mx 12 m Tìm m để biểu thức: A =+22 đạt giá trị nhỏ nhất. x12++5 mx 12 m m Câu 3. (1,5 điểm) Cho ΔABC có BC là cạnh dài nhất. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA. Đường thẳng qua D và song song AB cắt AC tại M. Đường thẳng qua E và song song AC cắt AB tại N. Chứng minh AM = AN. Câu 4. (1,5 điểm) 8x Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng: 3(3x − 2)2 + 7 y Câu 5. (2 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF đến đường tròn (EF không qua O và B, C là các tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. DE, DF cắt AO theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng: a) ΔCEF ∼ ΔDNM. b) OM = ON. Câu 6. (1,5 điểm) Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M= a22 + ab + b (a, b ∈ N* )là 0. a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20. b) Tìm chữ số hàng chục của M. HẾT . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NGÃI Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 6 Bài 1: (1,5 điểm) x22−+ x x x 1) Rút gọn biểu thức Ax= + +2 +1 , với x ≥ 0. x+ x +11 x − x + 2) Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng m−1 x + (2 m + 1) y = 4 m + 5 ( ) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó? Bài 2: (1,5 điểm) 1) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + xy +y2 = 3x + y - 1 Bài 3: (2,5 điểm) 2 1) Tìm các giá trị của m để phương trình x+( m + 2) x − m + 1 = 0có hai nghiệm x1, x2 thỏa 1 1 3 mãn hệ thức −=. xx1210 (x+= 1) x 2 y 2) Giải hệ phương trình . (y+= 1) y 2 x 3) Giải phương trình 3(xx23− 6) = 8( − 1 − 3). Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đó. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC tại điểm M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. 1) Chứng minh rằng: BC = 2R SinBAC 2) Điểm N chuyển động trên cạnh BC (N khác B và C). Gọi E. F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm N lên AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để độ dài đoạn EF ngắn nhất. 3) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a, b, c. 4) Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng MA lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc PHQ. Bài 5: (1,0 điểm) Trong tam giác đều có cạnh bằng 8, đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm 3 trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá . 3 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƯƠNG Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 7 Bài 1: (2 điểm) Tìm các số nguyên a để phương trình x2 + 2ax - 4a + 13 = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm nghiệm nguyên đó. Bài 2 : (2 điểm) (2x+ 3) x − y = 0 Giải hệ phương trình: 2 (4xy+ 3) ( + 1) = 810 Bài 3: (2 điểm) 39−3 Cho biểu thức A= x22 +23 x + + x + x + với x ≥ 442 1. Xác định giá trị nhỏ nhất của A 2. Tìm các giá trị của x, biết 2A = 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC biết góc ABC bằng 450, góc ACB bằng 600 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng R (R >0). Tính diện tích tam giác ABC theo R. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác trong của góc A (D nằm trên cạnh BC); BB’, CC’ cùng vuông góc với AD (B’, C’ nằm trên tia AD). BB''+ CC Chứng minh : AD 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 8 Câu I (2,0 điểm) 1. Cho ab− =29 + 12 5 − 2 5 . Tính giá trị của biểu thức: A= a22( a + 1) − b ( b − 1) − 11 ab + 2015 2. Cho xy, là hai số thực thỏa mãn xy+(1 + x22 )(1 + y ) = 1. Chứng minh rằng x1+ y22 + y 1 + x = 0. Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2x+ 3 + 4 x2 + 9 x + 2 = 2 x + 2 + 4 x + 1 . 22 2x− y + xy − 5 x + y + 2 = y − 2 x + 1 − 3 − 3 x 2) Giải hệ phương trình : 2 x− y −1 = 4 x + y + 5 − x + 2 y − 2 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên xy, thỏa mãn x4+ x 2 − y 2 − y +20 = 0 . 2) Tìm các số nguyên k để k4−8 k 3 + 23 k 2 − 26 k + 10 là số chính phương. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC. 1. Chứng minh A,O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA tia phân giác góc MIN . 2 1 1 2. Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh =+. AK AB AC 3. Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. Câu V (1,0 điểm) Cho ab, là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+ b )3 + 4 ab 12. 11 Chứng minh bất đẳng thức + +2015ab 2016 . 11++ab Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học 2017 – 2018 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 9 2 153x+ ( x1+ ) Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức A =− + 1 (với x > 0; x 1). x −1 xxx−−+ 14 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Đặt B = (xx−+ 1) A. Chứng minh rằng B > 1 với x > 0; x 1. Câu 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx +2m+ 8 ( m là tham số, m R). a) Với m = - 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) . b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2 2 2 2 xy+ y −23 = x + x Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x+ y −4 y − 1 = 0 Câu 4. (1,0 điểm) Cho quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. Câu 5. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên (O), C không trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của (O;R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại P, Q. Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC a) Chứng minh: Tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP. BQ = MN2. b) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ. c) Chứng minh: PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất. Câu 6. (0,5 điểm) 1 1 1 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: ++=3 x2yz 2 2 yz22 22 xy22 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ++zx x(y2+z 2))) y(z 2 + x 2 z(x 2 + y 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN – (Chuyên Toán, Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 10 Bài 1 (2,5 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức sau: A= 4 − 1025 − − 4 + 1025 − . 2/ Giải phương trình: x22+ x − 2x − 19 = 2x+39. Bài 2 (2,0 điểm) 1/ Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 4a− 5b + 9c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. xy+ y2 + x = 7y 2/ Giải hệ phương trình: x (x+= y) 12 y Bài 3 (1,5 điểm) 1/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a+ b + c = 1. Chứng minh rằng: (1a1b1c+)( +)( +) 81a1b1c( −)( −)( − ) . 2/ Phân chia chín số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, mỗi nhóm ba số. Gọi T1 là tích ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích ba số của nhóm thứ hai, T3 là tích ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng TTT1++ 2 3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Bài 4 (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn; AD,BE,CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng BE, CF tương ứng cắt (O) tại các điểm thứ hai là Q, R. 1/ Chứng minh rằng QR song song với EF. EF. R 2/ Chứng minh rằng diện tích tứ giác AEOF bằng . 2 3/ Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất. Bài 5 (1,5 điểm) 1/ Tìm hai số nguyên a,b để a44+ 4b là số nguyên tố. 2/ Hãy chia một tam giác bất kì thành 7 tam giác cân trong đó có 3 tam giác bằng nhau. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƯƠNG Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 11 Bài 1: ( 1 điểm) x− y x24 y Cho Biểu thức A = y2 x 2−+2 xy y 2 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị của A với 2 trường hợp: x =1, y = -1 ; x = -1, y = 1 . Bài 2: ( 1,5 điểm) Chữ số hàng chục của một số có 2 chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1. Nếu đổi chổ 2 5 chữ số cho nhau sẽ được một số bằng số ban đầu. Tìm số có 2 chữ số ban đầu . 6 Bài 3: ( 2 điểm) 1 1) Tìm các số a, b, c thỏa : a+ b −12 + c − =( a + b + c) 2 2) Cho a + 2b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của ab . Bài 4: ( 2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình 1) xx22+ −9 − 29 = 0 2 x+ xy + x + y = 4 2) (x+1)( 1 + xy) = 4 Bài 5: ( 3,5 điểm): 1. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF 1 và AI = EF. 2 2. Cho đường tròn tâm (O) và dây cung AB không qua tâm. C là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AB, đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở D và tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh OI song song với phân giác của góc ADB . Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  12. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH THUẬN Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 12 11x + Bài 1 : (2 điểm ) Cho biểu thức : P = : x2 − x x + x + x x 1/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa 2/ Rút gọn P : 1 3/ Tìm x để P = 3 Bài 2 : (2 điểm) Cho hai hàm số yx=− 2 có đồ thị (P) và y=− x 2 có đồ thị (P) 1/ Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ. 2/ Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (D). Tìm tọa độ các giao điểm 3/ Tính diện tích tam giác OAB ( với O là gốc tọa độ ) Bài 3 : (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : 1/ (x222+ 2x ) − 11x − 22x + 24 = 0 x+ y + xy = 5 2/ 22 x+ y +3( x + y ) = 14 3/ Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x− 2 y + 2 = 2 2 x + 1 − y Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn ( O ; R ) .Từ điểm P bên ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến PA và PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của (O), OP cắt AB tại F và cắt PC tại E 1/ Chứng minh : a/ Tứ giác OFAH nội tiếp. b/ BF.BA = BO.BH c/ E là trung điểm của AH 2/ Khi OP = 3R. Tính AH, AB theo R HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  13. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 13 Câu I. 1) Giải phương trìn: x + 9 + 2012 x + 6 = 2012 + (x + 9)(x + 6) x2 + y2 + 2y = 4 2) Giải hệ phương trình: 2x + y + xy = 4 Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: (x + y +1)(xy + x + y) = 5+ 2(x + y) 2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( x +1)( y +1) 4 x2 y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + y x Câu III. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1) Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng ba điểm N,P,D thẳng hàng 2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M. Chứng minh rằng Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN. Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b 3 c;c b +1;a +b c 2ab + a + b + c(ab −1) Q = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (a +1)(b +1)(c +1) “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  14. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 14 Câu I (2,0 điểm) 15x− 11 3 x − 2 2 x + 3 1. Cho A = − − x+2 x − 3 x − 1 x + 3 Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A 2. Cho phương trình xb2 +ax + = 0 có hai nghiệm nguyên dương biết a,b là hai số dương thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó. Câu II ( 2,0 điểm) 3 1) Giải phương trình: 4x2− 6 x + 1 = − 16 x 4 + 4 x 2 + 1 3 2 1 41xx− + = 2) Giải hệ phương trình: y 22 y+ y − xy = 4 a49 b c Câu III (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng: + + 4 b+ c c + a a + b Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AA’. Gọi AD là đường phân giác trong của góc BAC ()D BC . M, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. 1) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’. 2) Gọi P là giao điểm của AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q và R. Chứng minh rằng Q và R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB, AC. Câu V (3,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4+ y 4 + z 4 = 2012 2) Cho hình vuông 12x12, được chia thành lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh của hình vuông đơn vị này được tô bằng một trong hai màu xanh đỏ. Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ. Hai trong số những đỉnh màu đỏ này nằm ở đỉnh hình vuông lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm trên cạnh cạnh của hình vuông lớn (không trùng với đỉnh của hình vuông lớn ) hình vuông đơn vị được tô màu theo các quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ, cạnh có hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh thì được tô màu vàng. Giả sứ có tất cả 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  15. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 14 Bài 1: (2điểm) a+− b a b a++ b 2ab Cho biểu thức D = + : 1+ với a > 0 , b > 0 , ab 1 11−+ab ab 1− ab a) Rút gọn D. 2 b) Tính giá trị của D với a = 2 − 3 Bài 2: (2điểm) a) Giải phương trình: x− 1 + 4 + x = 3 x+ y + xy = 7 b) Giải hệ phương trình: 22 x+= y 10 Bài 3: (2điểm) 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số yx= 2 và đường 2 thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ). a) Viết phương trình đường thẳng (d). b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 33 c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để x12+= x 32 Bài 4: (3điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E, dây DE không đi qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K. a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: AB2 = AD . AE . 2 1 1 c) Chứng minh: =+ AK AD AE Bài 5: (1điểm) 1 1 1 ab bc ac Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn: + + = 0 . Chứng minh rằng + + = 3 a b c c2 a 2 b 2 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  16. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 15 Câu I (2,0 điểm) x −1 1) Giải phương trình =+x 1. 3 x 3−= 3 3 0 2) Giải hệ phương trình . 3xy+= 2 11 Câu II ( 1,0 điểm) 1 1 a + 1 Rút gọn biểu thức P = + : với a > 0và a 4 . 2 a - a 2 - a a - 2 a Câu III (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Câu IV (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m+1 và parabol (P): y= x2 . 2 1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1 x 2( y 1 + y 2 ) += 48 0 . Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A) . 1) Chứng minh BE2 = AE.DE. 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp . 3) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH. Câu VI ( 1,0 điểm) 11 Cho 2 số dương a, b thỏa mãn +=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab 11 Q =+. a4+ b 2 +22 ab 2 b 4 + a 2 + ba 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  17. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 16 Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình: (x − 2012)3 + (2x − 2013)3 + (4025−3x)3 = 0. Câu 2 (2,0 điểm). Tìm tất cả các bộ hai số chính phương (n; m), mỗi số có đúng 4 chữ số, biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d, ở đây d là một số nguyên dương nào đó cho trước. Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a b c + + a + b + c. b3 c3 a3 Câu 4 (3,0 điểm). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạnh CA và CB tại M và N. 1. Chứng minh rằng các tam giác AMI, AIB và INB đôi một đồng dạng. 2. Chứng minh rằng BC.AI 2 +CA.BI 2 + AB.CI 2 = AB.BC.CA Câu 5 (1,0 điểm). Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n n người ta viết một số +1 hoặc −1. Gọi ak là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k (tính từ trên xuống) và bk là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k (tính từ trái sang). Chứng minh rằng với mọi cách điền số như trên, đều có: a1 + a2 + an + b1 + b2 + + bn 0. —Hết— “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  18. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 17 2 11−−x x x Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức P=( x −1) + x , với xx 0, 1. 1− x 1− x 1) Rút gọn P. 2 2) Tìm số chính phương x sao cho là số nguyên. P Câu II. (2,0 điểm) x y z 1) Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn các điều kiện + + =1 và a b c a b c x2 y 2 z 2 + + = 0 . Chứng minh rằng + + =1. x y z a2 b 2 c 2 2) Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 −(3 + 2 a ) x + 40 − a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó. Câu III. (1,5 điểm) x+= my3 m m 1) Cho hệ phương trình 2 với xy, là ẩn, là tham số. Tìm m để hệ mx− y = m − 2 phương trình có nghiệm duy nhất ( xy; ) thỏa mãn x2 − 2 x− y 0. 2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c+= b abc . Tìm 3 4 5 giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + + . b+ c − a c + a − b a + b − c Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P. 1 1 1 1) Cho biết +=, tính độ dài đoạn BC. OB22 NC 16 BP CP 2) Chứng minh rằng = . AC AB 3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy. Câu V. (1,5 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có các đỉnh A, B, C nằm trong đường tròn và có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. 2) Cho tập A = 1;2;3; ;16. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt ab, mà ab22+ là một số nguyên tố. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  19. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 18 a2 ++ a2 a a Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức A = − +1, với a > 0. a−+ a1 a a. Rút gọn A. b. Tìm giá trị của a để A = 2. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2: (2,0 điểm) Gọi đồ thị hàm số yx= 2 parabol (P), đồ thị hàm số y=( m +4) x − 2 m − 5 đường thẳng (d). a. tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là xx12; . Tìm các giá 33 trị của m sao cho xx12+=0 . Bài 3: (1,5 điểm ) Tìm x, y nguyên sao cho xy+=18 Bài 4: ( 3,5 điểm ) Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và đường tròn (O). a. Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp. b. Chứng minh AC⊥ CH. c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm của AQ. Bài 5: (1,0 điểm) 21 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =+, với 0< x<1 1− xx “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  20. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH THUẬN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 19 Bài 1: (2 điểm) 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2x2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 1 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) đi qua A =− ;5 và có hệ góc k luôn cắt (P) tại 2 hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k. Tìm k để A là trung điểm của đoạn MN. Bài 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x22+ x −1 + x + x + 1 = 0 34 +=4 x+− y x2 y 2. Giải hệ phương trình: 18 + = −1 x+− y x2 y Bài 3: (2 điểm) 11 Cho biểu thức P =− x+1 − 2 x − 3 x + 1 + 3 1) Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa . 2) Rút gọn P. Tìm x để biểu thức P có giá trị bằng 1. Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R). Đường thẳng ( ) không đi qua tâm O và ắct(O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Từ một điểm M tùy ý nằm trên ( ) và ngoài đoạn AB, vẽ các tiếp tuyến MC, MD với đừơng tròn (O; R) (C, D là các tiếp điểm). 1. Chứng minh rằng: OMC= OCD ; MA.MB = MC2. 2. Chứng tỏ rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD luôn nằm trên đừơng tròn (O;R) khi điểm M lưu động trên ( ) ( và M nằm ngoài đoạn AB). 3. Biết AB = R. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng ( ) để OCMD là hình vuông. Khi đó, tính diện tích phần tam giác MCD nằm ngoài hình tròn (O; R). Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  21. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 20 Câu 1 (1,5 điểm). 1. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x2 + 9y2 – 2x + 6y + 2 = 0 1 1+ 5 2. Cho các số thực x thỏa x . Chứng minh : 2x3 – 3x2 – x + 1 < 0 2 2 Câu 2 (1,5 điểm). 1. Cho phương trình xn+2 – 12xn+1 + 29xn = 0, với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng hai số 6 + 7 và 6 - 7 là nghiệm của phương trình đã cho với mọi số nguyên dương. 1 10 10 2. Cho P = 6 + 7 + 6 − 7 . Chứng minh giá trị P là số nguyên. 2 ( ) ( ) Câu 3 (2 điểm). x2 = 2y2 − y + 3x − 5 Giải hệ phương trình: 2 2 y = x + x − 3y − 2 Câu 4 (1 điểm). Cho hai số nguyên dương a và b có ước chung lớn nhất là 1. Biết ab là lập phương của 1 nguyên dương. Chứng minh a là lập phương của 1 nguyên dương. Câu 5 (1 điểm). Cho tập hợp S = { m , 126 ≤ m ≤ 2014, m 6 } 1. Tính số phần tử của tập hợp S. 2. Tính số phần tử của tập hợp là ước của 126126 nhưng không là bội của 13. Câu 6 (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Lấy điểm D thuộc cung AB của đường tròn (O) không chứa C, D không trùng A và B. Vẽ đường thẳng a qua D vuông góc với AD. Biết đường thẳng a cắt đoạn BC tại điểm M (M không trùng B, C). Gọi K là trung điểm DM. Đường trung trực đoạn thẳng DM cắt các cạnh AB, AC, BD, AM lần lượt tại E, F, N, I (N không trùng B, F không trùng C) 1. Chứng minh BCNF là tứ giác nội tiếp. 2. Cho tam giác ABC cân ở A. Chứng minh MF song song AB. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  22. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 21 Câu 1: x+2 x + 4 x + 2 x + 1 1 1 Cho Biểu thức A = +:3 + + x x−8x −1 x − 2 x + 1 1. Rút gọn A 2. Tìm giá trị của x để A > 1. Câu 2: Cho Biểu 1. Giải phương trình: x2 + 2x + 7 = 3 (xx2 ++13)( ) x22+ y =3 − xy 2. Giải hệ phương trình: 44 xy+=2 Câu 3: Cho phương trình (ẩn x): x2 – 3(m+1)x + 5m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: |x1 + x2| = 2|x1-x2|. Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P,Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến các cạnh AB, AC. a. Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp. b. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MH2 = MB.MC. c. Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng. 2 3 4 2014 2015 Câu 5: Chứng minh rằng: 1+ + + + + + 4 2 22 2 3 2 2013 2 2014 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  23. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 22 Bài I(2,0 điểm) 1. Giải phương trình x(5x3+2) - 2( 2x +− 1 1) = 0 x2 (4 y+ 1) − 2 y = − 3 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 x( x−12 y) + 4 y = 9 Bài II(2,5 điểm) 1. Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì 25n + 7n – 4n(3n+5n) chia hết cho 65. 2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x2y + xy – 2x2 – 3x + 4 = 0 2 a1+ a 2 + a 3 + + a 2014 2014 3. Tìm các bộ số tự nhiên (a1;a2; ;a2014) thỏa mãn: 2 2 2 2 3 a1+ a 2 + a 3 + + a 2014 2014 + 1 Bài III(1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q = + + x+ x + yz y + y + zx z + z + xy Bài IV(3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm của BC. M là điểm át kì thuộc đoạn thẳng BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm của MN. 3) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. 4) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 5) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Bài V(1,0 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 3 x n ( 3 hàng; n cột, n là số tự nhiên lớn hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1x1. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Tìm số n bé nhất để với mỗi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật đó cùng màu. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  24. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2012 – 2013 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 23 Câu I: 1). Giải phương trình: 3x +1 + 2 − x = 3 1 1 9 x + y + + = x y 2 2). Giải hệ phương trình: 1 3 1 1 + x + = xy + 4 2 x xy Câu II: 1). Giả sử a, b, c là cas số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức ( a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. a b c 3 ab bc ac + + = + + + Chứng minh rằng: a + b b + c c + a 4 (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) 2). Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc − (10 d + e) chia hết cho101?. Câu III: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Đường phân giác của góc BAC cắt ( O) tại điểm D khác A. Gọi M trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. 1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng. 2) Chứng minh rằng EF vuông góc với AC. Câu IV: Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc + bcd + cda + dab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 9d3. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  25. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2011 – 2012 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 24 2 Bài 1: Gọi xx12; là hai nghiệm của phương trình xx− −10 = . Không giải phương trình, chứng minh rằng P()() x12= P x với P( x )= 3 x − 33 x + 25 Bài 2: a) Giải phương trình 33+ +xx = x+ y = xy + 3 b) Giải hệ phương trình 22 xy+7 + + 7 = 8 x+ y = xy + z Bài 3: a) Tìm các số nguyên x, y, z khác 0 thoã mãn 2 2 2 x+= y z b) Cho a, b, c là 3 số không âm và a + b + c = 1. Tìm GTNN, GTLN của P= a + b + b + c + c + a Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH, trên cạnh BC lấy điểm E, F sao cho CE = CA, BF = BA. Gọi III;;12 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp ABC , ABH, ACH và M là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng: a) Ba điểm AIE; 1; thẳng hàng và IE = IF b) Đường thẳng FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác II12 I Bài 5: Trên bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo bằng quy tắc sau. Nếu cóc hai số x; y phân biệt thì ghi thêm số z = x + y + xy. Hỏi bằng quy tắc đó có thể ghi được các số 2015 và 20152014 hay không? “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  26. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 25 Câu I ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 43−xx = − 1 10x 2 x−+ 3 x 1 2) Rút gọn biểu thức: A= − + ( x 0; x 1) x+3 x − 4 x + 4 1 − x Câu II ( 2,0 điểm) Cho Parabol (P): yx= 2 và đường thẳng (d): y=( m − 1) x + m + 4 (tham số m) 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Câu III ( 2,0 điểm) x+ y =32 m + 1) Cho hệ phương trình: ( tham số m) 3x− 2 y = 11 − m Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn nhất. 2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12 km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô. Câu IV ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành BHCD. 1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC là các tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC 3) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và BAC· không đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi. Câu V ( 1,0 điểm) Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( x++ y)22( x y) S =+ x22+ y xy Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  27. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HUẾ Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 26 Câu I: 1. Chứng minh rằng: giá trị P không phụthuộc vào x: 2x 5 x++ 1 x 10 P = + + x+3 x + 2 x + 4 x + 3 x + 5 x + 6 2. Cho bốn số nguyên thỏa: a + b = c + d và ab + 1 = cd. Chứng minh rằng: c = d Câu II: 1. Giải phương trình: x2 +8 x + 8 = 5 x + 20 xy32+=2 16 2. Giải hệ phương trình: 32 yx+=2 16 Câu III Cho phương trình: x4 – 2(m2 + 2)x2 + 4m2 + 2m + 2 = 0 (1), trong đó m là tham số thực. 1. Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt a, b, c, d. 2. Tìm m biết: a4 + b4 +c4 + d4 = 24 Câu IV: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng đường tròn (S) tâm Avà có bán kính nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BE với đường tròn (S) (E tiếp điểm). Đườngthẳng HE cắt đừng tròn (S) là điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng: 1. Tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC. 2. Đường thẳng CF là tiếp tuyến với (S). Câu V: Có 20 đội bóng thi đấu (kết quả chỉ có thắng hoặc thua) theo thể thức vòng tròn. Chứng minh: có thể sắp xếp tất cả 20 đội bóng theo một thứ tự sao cho đội đứng trước thắng đội đứng kề sau. Câu VI: Chứng minh phương trình x2 – 2y2 + 8z = 3 không có nghiệm nguyên. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  28. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KIÊN GIANG Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 27 Bài 1: (1,5 điểm) 2 2(x+ 1) x − 10 x + 3 Cho biểu thức: M= + +, ( x 0, x 1). x−11 x + x + x3 −1 1/ Rút gọn biểu thức . 2/ Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất. Bài 2: (1,5 điểm) x2 Cho parabol (P) y = ; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 và hai điểm M(0; 2); N(4; 0) 2 1/ Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N. 2/ Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M. Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ A và B biết rằng khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 6 2. Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số. Tìm giá trị của a, b để phương xx−=3 trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 12 . 33 xx12−=9 Bài 4: (2 điểm) 1/ Cho 2 số thực a,b thỏa a + b = 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = a3 + b3. 2/ Cho hai số thực a, b. Chứng minh rằng: 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2. Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC > R, dựng CD vuông góc với AB (D thuộc AB). Gọi E là điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E). Các tiếp tuyến EP, EQ với đường tròn tâm O (P và A nằm cùng phía so với DE) cắt đường thẳng d lần lượt tại N và K; CE cắt đường tròn tâm O ở F. 1) Chứng minh: EF2 = CE.EF. 2) Chứng minh EP = BD. 3) Đặt KN = x, BD = y. Tính diện tích tam giác EKN theo R, x, y. 4) Chứng minh KN = AB. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  29. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH BÌNH Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 28 Câu 1 (2,0 điểm). a − 3 a a − 2 a − 3 9 − a Cho biểu thức A = 1− : + − với a 0;a 4;a 9. a − 9 a + 3 2 − a a + a − 6 1. Rút gọn A. 2. Tìm a để A + A = 0 Câu 2 (2,0 điểm). 1. Giải phương trình: 29 − x + x + 3 = x 2 − 26 x +177 2 2 x − 2y = xy + x + y 2. Giải hệ phương trình: x 2y − y x −1 = 2x − y +1 Câu 3 (2,0 điểm). 1. Cho hai phương trình: x2 + bx + c = 0 (1) và x2 − b2 x + bc = 0 (2) (trong đó x là ẩn, b và c là các tham số). Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , phương trình (2) có hai nghiệm x3 và x4 thỏa mãn điều kiện x3 − x1 = x4 − x2 = 1. Xác định b và c. 2. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 24. Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a. Bốn điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn. b. MI.BE = BI.AE c. Khi điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhât của 5b3 − a 3 5c3 − b3 5a 3 − c3 biểu thức: P = + + ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  30. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGHỆ AN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 29 Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình: x+1 + 2 x x + 3 = 2 x + x2 + 4 x + 3. xy221 += b) Giải hệ phương trình: (yx++ 1)22 ( 1) 2 3xy= x + y + 1. Câu 2 (3,0 điểm). a) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình 92x+ = y2 + y . 2 3 b) Tìm các chữ số a, b sao cho ab=+( a b) . Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số a, b, c không âm. Chứng minh rằng 2 a2+ b 2 + c 2 +33 ( abc) 2( ab + bc + ca) . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng: BH EF a) OB vuông góc với EF và = 2 . BO AC b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có BAC==60o , BC 2 3 cm. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  31. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ THỌ Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 30 Câu 1(2,0 điểm) x + x − 6 x − 7 x +19 x − 5 x Rút gọn biểu thức A = + − ; x 0; x 9 x − 9 x + x −12 x + 4 x Câu 2 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;3) ,parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y= ax + 3 - a a) Chứng minh rằng (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử B,C là giao điểm của (P) và (d).Tìm a biết AB = 2AC Câu 3 (2,0 điểm) x3 y 2 − 2x 2 y − x 2 y 2 + 2xy + 3x − 3 = 0 Cho hệ phương trình 2 2014 y + x = y + 3m a. Giải hệ với m = 1. b. Tìm các giá trị của m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1 ) và (x 2 ; y2 ) thỏa mãn điều kiện (x1+y2 )(x2 + y1 )+ 3 = 0 Câu 4 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm M ( M khác A).Từ M vẽ tiếp tuyến thứ 2 MC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm).Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB),MB cắt (O) tại điểm thứ hai là E và cắt CH tại N .Gọi D là điểm đối xứng của C qua tâm O ,đường thẳng MD cắt AC tại I. a) Chứng minh rằng góc CAE=góc OMB. b) Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng CH. c) Giả sử OM=2R gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCI và tam giác ADI .Chứng minh rằng R1 = 3R2 . Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc 1 2 3 Tìm giá trị lớn nhất : B = + + a 2 +1 b 2 + 4 c 2 + 9 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  32. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN PHÚ THỌ Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 31 x + 5 Câu I. (3,0 điểm ) Giải phương trình x+2 x + 1 + 2 + x − 2 x + 1 + 2 = 2 1 13 xy22+ + = x2 2 Câu II. (3.5 điểm ) Giải hệ phương trình 1 xy+ + = 4 x Câu III.(4,0 điểm ) Cho phương trình x3 – (2m+1)x2 + (2m2 – m +2)x – (2m2 –3m +2) = 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm dương. Câu IV. ( 3.0 điểm ) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẽ các tiếp tuyến MA và MB. Trên cung lớn AB lấy các điểm C và D sao cho AC = CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Qua M kẽ đường thẳng song song với AD cắt Ac tại E. Chứng minh rằng: a. Tam giác MEA cân. b. Đường thẳng MC đi qua trung điểm đoạn thẳng AI. Câu V. ( 4.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH, điểm M di động trên đoạn thẳng AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC và F là hình chiếu của D trên EH. a. Chứng minh các điểm B, M, F thẳng hàng. b. Xác định vị trí điểm M trên AH để diện tích tam giác AFB lớn nhất Câu VI.(2,5 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy+=981 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  33. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NGÃI Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 32 Bài 1: (1,5 điểm) a/ Tính: 2 25 + 3 4 b/ Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; − 2) và điểm B(3; 4) x 2 x + 4 c/ Rút gọn biểu thức A = + : với x 0 và x 4 x + 2 x − 2 x + 2 Bài 2: (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình x4 + 5x2 − 36 = 0 2/ Cho phương trình x2 − (3m + 1)x + 2m2 + m − 1 = 0 (1) với m là tham số. a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). 2 2 Tìm m để biểu thức B = x1 + x2 − 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 3: (2,0 điểm) Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ. Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là 20 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi 7 người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu? Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; P là điểm thuộc cung MB (P khác M và P khác B). Đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D. Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt cắt CD tại I. a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn. b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD. c/ Tìm vị trí của điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác đều. Khi đó hãy tính diện tích của tam giác PIC theo R. Bài 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 − 5x3 + 5x − 2)2014 + 2015. Tính giá trị của 1 2 −1 biểu thức A khi x = . 2 2 +1 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  34. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG TRỊ Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 33 11x − Câu 1: (4 điểm): Cho biểu thức: Px():= x2 + x x( x +1) − x 1. Rút gọn P(x) 2. Tìm x để P(x) nhận giá trị nguyên . Câu 2: (3 điểm): 1. Cho số tự nhiên có dạng 8946bbcc 09 tìm số đó biết bbcc là số chính phương. x22+ y +30 xy = 2. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 x− y = y − x Câu 3: (4 điểm): 1. Giải phương trình 9x2 + 12x – 2 = 38x + a b c 2. Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + 2 b2+ c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 Câu 4: (3 điểm): Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm nguyên a + b + 1 = 2014. Tìm a, b biết chúng là các số nguyên. Câu 5: (6 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại D tiếp xúc AB tại E (D, A nằm hai phía đối với BC). Từ C kẻ tiếp tuyến CF với (O’) (F là tiếp điểm F, D nằm về hai phía vớo BC). DE cắt (O) tại điểm thứ hai N. a) Chứng minh CN là tia phân giác ACB b) I là giao điểm CN và EF. Chứng minh CDFI nội tiếp. c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  35. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 34 Bài 1. (2,0 điểm) 2 3 5 x − 7 2 x + 3 Cho biểu thức A = + − : (x > 0; x 4). x − 2 2 x +1 2x − 3 x − 2 5x −10 x 1, Rút gọn biểu thức A. 2, Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. Bài 2. (2, 5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 ; đường thẳng (d): y = 2(m + 3)x – 2m + 2 (m tham số, m R). 1, Với m = - 5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). 2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương. 3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m Bài 3. (1,5 điểm) 2x 2 + 3xy − 2y2 − 5(2x − y) = 0 Giải hệ phương trình: 2 2 x − 2xy − 3y +15 = 0 Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. 1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT. 2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC 3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm. 4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC. Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.