Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán qua các năm - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định

Nội dung text: Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán qua các năm - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định

1. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2006 – 2007 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 29/6/2006 Câu 1: (1 điểm) 1 1 Rút gọn biểu thức A = 3 - 27 + 2 3 3 3 Câu 2: (2 điểm) ïì 3x - 2y = 6 Cho hệ phương trình: íï îï mx + y = 3 a/ Tìm gái trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. b/ Giải hệ phương trình khi m = 1 Câu 3: (2 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vo 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất l 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Câu 4: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ ID vuông góc với cạnh huyền BC, (D Î BC). Chứng minh AB2 = BD2 – CD2 Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tm O. cc đường cao AD, BK của tam giác gặp nhau tại H. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn (O) a/ Chứng minh EF//AC 1 b/ Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = BH 2 Câu 6: (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức: bc ac ab P = + + a b c
2. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  2 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPTNĂM HỌC 2007 – 2008 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 25/7/2007 Câu 1: (2 điểm) 5 + 5 a/ Rút gọn biểu thức A = 1+ 5 a b 2b b/ Chứng minh đẳng thức: - - = 1 với a ³ 0; a ³ 0 và a ¹ b a - b a + b a- b Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0 Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h. Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn. b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) 2a2 + 3b2 2b2 + 3a2 4 Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: + £ 2a3 + 3b3 2b3 + 3a3 a + b
3. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  3 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 30/6/2008 Câu 1: (2 điểm) a/ So sánh 25- 9 và 25 - 9 1 1 b/ Tính giá trị biểu thức: + 2 + 5 2 - 5 Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2x2 + 3x – 2 = 0 Câu 3: (2 điểm) Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một đại điểm qui định. Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe cịn lại của đội phải chở thêm 1 tấn hàng. Tính số xe của đội lúc đầu Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa cung BC. 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R. 2/ M là điểm di động trên cung nhỏ AC, (M khác A và C). Đường thằng AM cắt đường thằng BC tại điểm D. Chứng minh rằng: a/ Tích AM.AD không đổi. b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1. Hy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|
4. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  4 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2009 – 2010 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 2/7/2009 Câu 1: (2 điểm) Giải các pt sau: a/ 2(x + 1) = 4 – x; b/ x2 – 3x + 2 = 0 Câu 2: (2 điểm) 1/ Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1;-4). 2/ Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m + 2 a/ Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2 b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . 3 Câu 3: (2 điểm) Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút một ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết Hoài Ân cách Quy Nhơn 100km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30km. Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tm O đường kính AB. Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC. 1/ Chứng minh tam giác ABD cân. 2/ Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn tm O tại E. Ko di AE (về phía E) đoạn EF sao cho FE = EA. Chứng minh ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. 3/ Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn tm O. Câu 5: (1 điểm) k k Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = (2 + 1) + (2 - 1) . Chứng minh rằng: Sm+n + Sm-n = Sm . Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n.
5. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  5 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 1/7/2010 Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3(x – 1) = 2 + x b) x2 + 5x – 6 = 0 Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x2 – x + 1 – m ( m là tham số ). Tìm điều kiện của m để phương đã cho có nghiệm. ax 2y 2 b) Xác định các hệ số a, b biết rằng hệ phương trình có nghiệm (2 ; -2 ). bx ay 4 Bài 3: (2,5 điểm) Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BB’ và CC’ (B’ cạnh AC, C’ cạnh AB). Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N (theo thứ tự N, C’, B’, M). a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AM = AN. c) Chứng minh AM2 = AC’.AB Bài 5: (1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 3 b- a
6. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  6 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY :29/06/2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 30/6/2011 Bài 1 (2điểm) 3x y 7 a) Giải hệ phương trình : 2x y 8 b) Cho hm số y = ax + b.Tìm a và b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = -2x +3 và đi qua điểm M( 2;5) Bài 2: (2điểm) Cho phương trình x2 2(m 1)x m 4 0 (m là tham số) a)Giải phương trình khi m = -5 b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 c)Tìm m sao cho phương trình đ cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 3x1x2 0 Bài 3 : (2điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi.Tính diện tích hình chữ nhật Bài 4: (3điểm) Cho đường tròn tâm O, vẽ dây cung BC không đi qua tâm.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M bất kì. Đường thẳng đi qua M cắt đường (O) lần lượt tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm bên trong góc PMC. Trên cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP.Hai dây cung AB,AC cắt NP lần lượt tại D và E. a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Chứng minh : MB.MC = MN.MP c) Bán kính OA cắt NP tại K. Chứng minh: MK 2 MB.MC Bài 5 (1điểm) x2 2x 2011 Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức: A (với x 0 x2
7. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  7 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2012 BÌNH ĐỊNH Khóa ngày 29 tháng 6 năm 2012 Đề chính thức Môn thi : TOÁN Ngày thi : 31 / 6 / 2012 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (3điểm) Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình: 2x – 5 = 0 y x 2 b) Giải hệ phương trình: 5x 3y 10 5 a 3 3 a 1 a 2 2 a 8 c) Rút gọn biểu thức A với a 0;a 4. a 2 a 2 a 4 d) Tính giá trị của biểu thức B 4 2 3 7 4 3 Bài 2: (2điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là y = mx2 và y = ( m + 2 )x + m – 1 ( m là tham số ) , m 0 ). a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). b) Chứng minh rằng với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 3: (2điểm) Qung đường từ Quy Nhơn đến Bồng sơn dài 100 km. Cùng một lúc , một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau , xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 4: (3điểm) Cho đường tròn tm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK . AH = R2 . c) Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Chứng minh NI = KB. HẾT
8. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY 29 - 06 - 2013 Đề chính thức Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa: A x 2013 2014 x b) Rút gọn biểu thức: A 20 2 80 3 45 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M 1; 2 và song song đường thẳng y 3x 5 . Tìm hệ số a, b. Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình x2 4x m 0 (m tham số) (1) a) giải phương trình khi m = 3 1 1 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 x1 x2 Bài 3: (2 điểm) Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, 1 người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ lm được công việc. Hỏi mỗi cơng nhn lm một mình thì trong bao lâu 4 làm xong công việc? Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. a) Cm tứ giác OMNP nội tiếp được trong đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình gì? c) Cm tích CM.CN không đổi. d) Cm khi M di đông trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 5: (1 điểm) Cho ba số thực a, b, c dương. Cmr: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c)
9. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  9
10. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2015-2016 BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY: 18 – 6 – 2015 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Ngày thi: 19/6/2015 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm) 2x y 1 a) Giải hệ phương trình: x y 1 2 1 a a 1 a b) Rút gọn biểu thức P = a . (với a 0; a 1) 1 a 1 a Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 + 2(1 – m)x – 3 + m = 0 , m là tham số. a) Giải phương trình với m = 0 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 3: (2,0 điểm) Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có các chướng ngại vật. Vào lúc 6 giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X nhưng theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá 12 km/h. Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu là 60km. Tính vận tốc của mỗi tàu. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3 a2 3 b2 3 c2 N = 6 b c c a a b
11. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 19 – 06 – 2016 Thời gian làm bài 120 phút (không kể phát đề) Bài 1: (2,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện x 6 a) Tính giá trị biểu thức: A khi x = 4 x 5 5 2x y 5 b) Giải hệ phương trình y 5x 10 c) Giải phương trình: x4 + 5x2 – 36 = 0 Bài 2: (1,0 điểm) Cho phương trình: x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn x1 x2 2 Bài 3: (2,0 điểm) Một phân xưởng cơ khí theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Tìm số sản phẩm theo kế hoạch mà mỗi ngày phân xưởng này phải sản xuất. Bài 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn). Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB (M A và M B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q. a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, Q nằm trên một đường tròn. Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ. b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB cắt NB tại P. Chứng minh A· MQ P· MB c) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng. d) Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất. Bài 5: (1,0 điểm) 3x2 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện y2 z2 yz 1 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z HẾT
12. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  12 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 14/06/2017 Thời gian làm bài: 102 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (1,5 điểm) x 2 4 x Cho A ; B với x 0, x 4 . x 2 x 2 x 4 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 b) Rút gọn biểu thức: T = A – B c) Tìm x để: T là số nguyên. Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx – 6m – 9 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 0 2 2 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu thỏa mãn: x1 + x2 = 13. Bài 3: (2,0 điểm) Một đám đất hình chữ nhật có chu vi là 24m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2m và giảm độ dài cạnh còn lại 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1m2. Tìm độ dài các cạnh lúc ban đầu của đám đất. Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, D, B , F thuộc một đường tròn và bốn điểm M, D, E, C thuộc một đường tròn. b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng. BC CA AB c) . MD ME MF Bài 5: : (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a3 b3 c3 bc ca ab
13. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  13 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2006 – 2007 1 1 Câu 1: A = 3 - 27 + 2 3 = 3 - 3 + 2 3 = 2 3 3 3 m 1 3 Câu 2: a/ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì: ¹ 3 ¹ -2m m ¹ - 3 - 2 2 3 Vậy m ¹ - thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất. 2 ïì 12 ï x = ïì 3x- 2y = 6 ïì 3x- 2y = 6 ïì 5x = 12 ï 5 b/ Với m = 1 ta có hệ phương trình: íï Û íï Û íï Û íï ï x + y = 3 ï 2x + 2y = 6 ï x + y = 3 ï 3 îï îï îï ï y = îï 5 12 3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = ; 5 5 Câu 3: Gọi x (h) l thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể Điều kiện: x > 6. Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể: x + 5 (h) 1 Mỗi giờ vòi 1 chảy được: (bể) x 1 Mỗi giờ vòi 2 chảy được: (bể) x 5 1 Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: (bể) 6 1 1 1 Theo đề bài ta có phương trình: + = x x + 5 6 x2 – 7x – 30 = 0. Giải phương trình ta được x1 = -3 (loại); x2 = 10 (TM) Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 10 + 5 = 15 (giờ). A Câu 4: Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 I = BD + IC – DC – AI = BD – CD + IC – AI 2 2 2 2 Mà IC = IA IC = AI IC – AI = 0 Nên: AB2 = BD2 – CD2 B C D Câu 5: a/ Chứng minh EF//AC A BE là đường kính B·FE = 900 EF^ BF F Mà BF^ AC (gt) K E Nên EF//AC I 1 b/ Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = BH 2 H Ta có H lá trực tâm CH^ AB, mà EA ^ AB (góc EAB vuông, O góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) C CH//AE B D Tương tự: AH//CE AHCE l hình bình hnh. Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà I là trung điểm AC I là trung điểm của HE.
14. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  14 Hay 3 điểm H, I, E thẳng hàng. C2: c/m EC//=AH · · C3: c/m CIE HIA 1 IH = IE và OB = OE OI là đường trung bình tam giác BHE OI = BH 2 Câu 6: (1 điểm) Với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1 P > 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 æbc ac abö b c a c a b 2 2 2 b c a c a b Ta có: P2 = ç + + ÷ = + + + 2(a + b + c ) = + + + 2 èç a b c ø÷ a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 b2 c2 a2 c2 Theo BĐT Cosi cho các số dương: + ³ 2 . = 2c2 a2 b2 a2 b2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 a2 b2 Tương tự: + ³ 2b2 và + ³ 2a2 a2 c2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 + + ³ a2 + b2 + c2 = 1 a2 b2 c2 P2 ³ 1 + 2 = 3 P ³ 3 b2 c2 a2 c2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 a2 b2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 = ; = ; = a2 = b2 = c2 = a2 b2 a2 c2 b2 c2 3 3 a = b = c = 3 Cách 2: bc ac ab Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các số dương ; ; ta có: a b c b c ac ab P = ≥ + + 33 abc a b c Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 (đề bài cho) 33 abc ≥ 3c P ≥ 3c bc ac ab 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = a = b = c = a b c 3 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3. = 3 khi a = b = c = 3 3
15. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  15 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPTNĂM HỌC 2007 – 2008 5 + 5 5(1+ 5) Câu 1: a/ A = = = 5 1+ 5 1+ 5 a b 2b b/ Với a ³ 0; b ³ 0 và a ¹ b, ta có: - - = a - b a + b a- b a( a + b) b( a - b) 2b = - - = 1 a- b a- b a- b Câu 2: Ta có: D = (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 > 0 D = 21 - 3- 21 - 3 + 21 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = = -12; x2 = = 9 2 2 Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2) Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng: x +2 (km/h) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng: x – 2 (km/h) 120 Thời gian ca nô xuôi dòng: (h) x 2 120 Thời gian ca nô ngược dòng: (h) x 2 120 120 Theo đề bài ta có pt: + = 11 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2) x + 2 x - 2 11x2 – 240x – 44 = 0; D = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0 D = 122 2 x1 = - (loại); x2 = 22 (TM) 11 Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn Ta có: ·APM = ·AHM = ·AQM = 900 (Gt) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM A b/ Tứ giác OPHQ l hình gì? O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM OP = OH = OQ · 0 Ta có: PAH = 30 (Vì ABC đều có AH là đường cao) O · 0 POH = 60 Q Tương tự ta cũng có được: Q·OH = 600 D OPH và D OHQ là các tam giác đều bằng nhau. P OP = PH = HQ = OQ Tứ giác OPHQ là hình thoi. B C c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. M H AM 3 Ta có: PQ = OQ3 = OM3 = 2 PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM  BC M trùng H. Cách 2: Ta có: PQ ≤ OP + OQ = OA + OM = AM PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM  BC M trùng H. Câu 5:
16. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  16 2a2 + 3b2 2b2 + 3a2 4 4 2a2 + 3b2 2b2 + 3a2 Ta có: + £ Û - - ³ 0 (1) 2a3 + 3b3 2b3 + 3a3 a + b a + b 2a3 + 3b3 2b3 + 3a3 Với a, b > 0 a + b; 2a3 + 3b3; 2b3 + 3a3 > 0 ( 1) 4(2a3 + 3b3)(2b3 + 3a3) - (2a2 + 3b2)(a + b)(2b3 + 3a3) - (2b2 + 3a2)(a + b)(2a3 + 3b3) ≥ 0 26a3b3 + 12a6 + 12b6 - 13a2b4 - 13a4b2 - 12ab5 - 12a5b ≥ 0 (13a3b3 - 13a2b4) + (13a3b3 - 13a4b2) + (12a6 - 12ab5) + (12b6 - 12a5b) ≥ 0 13a2b2(a-b)(b-a) + 12(a5 – b5)(a- b) ≥ 0 12(a5 – b5)(a- b) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0 12(a – b)2 (a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0 (a-b)2(12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2) ≥ 0 (2) Ta có: (a-b)2 ≥ 0 với mọi a, b. Và 12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2 > 0 với mọi a, b > 0. Vì: Nếu a = b > 0 a2b2 = a4 0 b > 0 a2b2 0 Vậy (1) ≥ 0 với mọi a, b > 0, dấu “=” xảy ra a = b.
17. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  17 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu 1: a/ Ta có 25- 9 = 16 = 4 > 25 - 9 = 5 – 3 = 2 1 1 2 - 5 2 + 5 b/ + = + = - 2 + 5 - 2 - 5 = - 4 2 + 5 2 - 5 - 1 - 1 Câu 2: Ta có: D = (-3)2 – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0 D = 5 - 3- 5 - 3 + 5 1 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = = -2; x2 = = 4 4 2 Câu 3: Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu (x Î N, x > 2); Số xe khi chuyên chở là: x = 2 (xe) 24 Lúc đầu mỗi xe phải chở: (tấn) x 24 Lúc sau mỗi xe phải chở: (tấn) x 2 24 24 Theo đề bài ta có phương trình: - = 1 x2 – 2x – 48 = 0 x - 2 x A Giải pt ta được: x1 = -6 (loại); x2 = 8 (TM) Vậy số xe của đội lúc đầu là 8 xe. M E Câu 4: 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R. B Vì A l điểm chính giữa cung BC AO^ BC O D C 1 1 2 SABC = BC.AO = .2R.R = R 2 2 2/ a/ Chứng minh tích AM.AD không đổi. Xét hai tam giác: D AMC và D ACD có: 1 1 1 A·DC = sđ( A»B- M¼C ) = sđ( A»C- M¼C ) = sđ A¼M = A·CM 2 2 2 Và C·AD : chung D AMC : D ACD (g,g) AC AM = AC2 = AM.AD AD AC Mà AC2 = (R 2 )2 = 2R2 ( Vì OAC vuông cân) AM.AD = 2R2 không đổi b/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Ta có: C·ED = 2C·MD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung); Mà C·MD = M· AC M· CA (t/c góc ngoài của tam giác) sd M¼ C sd M» A C· MD = 450 C·ED = 900 2 D DEC vuông cân tại E E·CD = 450 A·CE = 900 (vì A·CO = 450) CE^ AC Mà AC cố định CE cố định. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
18. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  18 Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1. Hy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1| Ta có: y = -(4x2 – 4x + 4) + 3|2x – 1| = -(4x2 – 4x + 1) + 3|2x – 1| - 3 = -(2x – 1)2 + 3|2x – 1| - 3 9 3 3 3 3 Đặt t = |2x – 1| thì y = - t2 + 3t – 3 = -(t2 – 3t + ) – = -(t – )2 – £ – 4 4 2 4 4 3 3 3 5 Dấu = xảy ra t – = 0 t = |2x – 1| = x = (loại vì không thuộc -1 < x < 1) 2 2 2 4 1 Hay x = - (thoả mn) 4 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của y là – khi x = - 4 4
19. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  19 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2009 – 2010 2 Câu 1: a/ 2(x + 1) = 4 – x 2x + 2 = 4 – x 3x = 2 x = 3 2 c b/ x – 3x + 2 = 0 có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 x1 = 1; x2 = = 2 a Câu 2: 1/. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1;-4) nên ta có hệ pt: 2a b 5 3a 9 a 3 a b 4 a b 4 b 1 2/ Hàm số: y = (2m – 1)x + m + 2 1 a/ Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi 2m – 1 0 Vận tốc của ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân: x + 20 (km/h). Hoài Ân cách Phù Cát: 100 – 30 = 70 (km) 70 Thời gian xe máy đi từ Hoài Ân đến Phù Cát: h x 30 Thời gian ô tô đi từ Quy Nhơn đến Phù Cát: h x 20 5 Đổi 75ph = h 4 30 5 70 Theo đề bài ta có pt: + = x2 – 12x – 1120 = 0 x 20 4 x Giải pt ta được x1 = -28 (loại); x2 = 40 (TM) Vậy vận tốc của xe máy là: 40km/h; vận tốc của ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h) Câu 4: D 1/ Chứng minh tam giác ABD cân. Ta có ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BC  AC Trong ABD có AC vừa là đường trung tuyến (vì CA = CD) vừa l đường cao C(vì BC  AC) nên ABD cân tại B. 2/ Chứng minh ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. Ta có ·AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BE là đường cao của ABF. A B Trong ABF có BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến O nên suy ra ABE cân tại B. BE cũng là đường phân giác của ·ABF 2·ABE ·ABF (1) Tương tự, ABD cân tại B BC cũng là đường phân giác E của ·ABD 2·ABC ·ABD (2) Tứ giác ACEB nội tiếp (O) (vì có bốn đỉnh nằm trên đường tròn) F
20. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  20 Có C· AB = 900 C· BE = 900 2·ABE 2·ABC = 1800 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: ·ABF ·ABD = 1800 Vậy ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. 3/ Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn tm O. Ta đ có hai tam giác ABD v ABF đều cân tại B BD = BA = BF. B là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, D, F và BA là bán kính của đường tròn đó. Mà BO = BA – AO đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn tm O tại A. Câu 5: k k Từ Sk = (2 + 1) + (2 - 1) suy ra: m m Sm = (2 + 1) + (2 - 1) . n n Sn = (2 + 1) + (2 - 1) . m+n m+n Sm+n = (2 + 1) + (2 - 1) . m-n m-n Sm-n = (2 + 1) + (2 - 1) . (với mọi m, n là số nguyên dương và m > n) m m n n Sm.Sn = [(2 + 1) + (2 - 1) ].[ (2 + 1) + (2 - 1) ] = (2 + 1)m+n + (2 + 1)m (2 - 1)n + (2 - 1)m(2 + 1)n + (2 - 1)m+n. = (2 + 1)m+n + (2 - 1)m+n + (2 + 1)n (2 - 1)n [ (2 + 1)m-n(2 - 1)m-n] n = Sm+n + [(2 + 1) (2 - 1)] . Sm-n = Sm+n + Sm-n Vậy Sm+n + Sm-n = Sm . Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n.
21. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  21 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 5 Bài 1: (1,5 điểm) a) 3(x – 1) = 2 + x 3x – 3 = 2 + x 2x = 5 x = 2 b) Ta có a + b + c = 1 + 5 +(-6) = 0 x1 = 1 ; x2 = -6 Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x2 – x + 1 – m ( m là tham số ). Để phương đã cho có nghiệm thì D ³ 0 3 (-1)2 – 4(1 – m) ³ 0 1 – 4 + 4m ³ 0 m ³ 4 2a 2 2 2 a 2 2 b) Hệ phương trình có nghiệm (2, -2 ) nên ta có : 2b 2a 4 b 2 2 Bài 3: (2,5 điểm) Gọi x (xe) là số xe được điều đến chở hàng (x: nguyên, x > 2) Số xe thực chở hàng là x – 2 (xe) 90 90 Khối lượng hàng chở ở mỗi xe lúc đầu: (tấn); thực chở là: (tấn); x x- 2 90 90 Ta có phương trình: - = 0,5 2.90.x – 2.90(x – 2) = x(x – 2) x- 2 x x 2 – 2x – 360 = 0 Giải pt ta được : x1 = 20 (TM); x2 = -18 (loại) Vậy số xe được điều đến chở hàng là 20 xe. A Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp. M · · 0 C’ Ta có BC'C = BB'C = 90 (gt) B’ Hay B’ ; C’ nhìn BC dưới một góc bằng 900 N BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC b) Chứng minh AM = AN. 1 1 B C Ta có: A·C 'M = (sd ¼AM + sd N»B) ; A·CB = (sd »AN + sd N»B) 2 2 1 1 Mà BC’B’C nội tiếp A·C 'M = B·'CB = A·CB (sd ¼AM + sd N»B) = (sd »AN + sd N»B) 2 2 A¼M = A»N AM = AN (đpcm) c) Chứng minh AM2 = AC’.AB Xét D ANC’ và D ABN có: A·NC' = A·BN (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau, A¼M = A»N ) và N·AB : chung AN AC' D ANC’ : D ABN = AN2 = AC’.AB hay AM2 = AC’.AB (vì AN = AM) AB AN Cách 2: chứng minh D AMC’ : D ABM đpcm. Bài 5: (1,0 điểm). Ta có (4a – b)2 ³ 0 16a2 – 8ab + b2 ³ 0 ; Mà phương trình đã cho vô nghiệm nên b2 – 4ac 16a2 – 8ab + b2 ³ 0 Hay 16a2 – 8ab + 4ac > 0 4a – 2b + c > 0 (vì a > 0 4a > 0) a + b + c + 3a – 3b > 0 a+ b + c a + b + c > 3b – 3a = 3(b – a) > 3 (Vì 0 0) b- a
22. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  22 ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2011 KHÓA NGÀY :29/06/2011 Bài 1 (2điểm) a) Giải hệ phương trình: 3x y 7 5x 15 x 3 2x y 8 2x y 8 y 2 b) Vì đồ thị h/s: y = ax + b // đt y = -2x + 3 . Nên: a = -2 và b 3 Vậy h/s cần tìm: y = -2x + b ( Với b 3) Vì đồ thị h/s y = -2x + b qua điểm M( 2; 5). Nên: 5 = -2. 2 + b ==> b = 9 ( 3. Thỏa điều kiện) Bài 2: (2điểm) Phương trình x2 2(m 1)x m 4 0 (m là tham số) (1) a) Với m = -5: Pt (1) viết: x2 2( 5 1)x 5 4 0 x2 8x 9 0 (a = 1; b = -8 ; c = -9 ) Ta có: a – b + c = 1 – (- 8) + (- 9) = 0 ==> Pt có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = - 1; x 2 = 9 b) Pt: x2 2(m 1)x m 4 0 ( 1) ( a = 1 ; b’ = m + 1 ; c = m – 4 ) 2 2 ' 2 2 1 19 1 m 1 m 4 m m 5 m 0 với mọi m (Do m 0 vơi mọi m) 2 4 2 ==> Pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. ' c) Pt (1) có 0 với mọi m ==> Pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m. Theo Viets có: x1 + x2 = - 2(m +1) x1. x2 = m – 4. 2 2 2 2 Ta có: x1 x2 3x1x2 0 x1 x2 x1.x2 0 2 m 1 m 3 0 m 0 2 4m 9m 0 m 4m 9 0 9 m 4 Bài 3 : (2điểm) Gọi x (m) là chiều rộng hcn (x > 0 ) Chiều dài hcn là: x + 6 (m) Bình phương độ dài đường chéo hcn là: x2 + (x + 6)2 (m2). Chu vi hcn là: 2(x + x + 6) = 2( 2x + 6) (m). Ta có Pt: x2 + (x + 6)2 = 10( 2x + 6) x2 – 4x – 12 = 0 ( a = 1; b’ = - 2 ; c = -12 ) ' = (-2)2 -1.(-12) 16 > 0 ; ' 16 4 . Pt có hai nghiệm phân biệt: 2 4 2 4 x 6 ( > 0 Tha ĐK) x 2 ( < 0 Loại) 1 1 2 1 A TL: Chiều rộng hcn: 6 m P Chiều dài hcn : 12m 2 E 1 Diện tích hcn : 6x 12 = 72 (m ) K Bài 4: (3điểm) D N 2 a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp: 1 2 1 Xét đường tròn (O) có: O Sd »AP Sd N»B D¶ (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn) 1 2 1 1 M B C Mà: Sd »AP Sd »AN Do »AP »AN
23. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  23 Sd »AN Sd N»B 1 ==> D¶ Sd ¼ANB ·ACB 1 2 2 ¶ ¶ 0 Vì: D1 D2 180 ( DoM; D ; P thẳng hàng) · ¶ 0 ==> ACB D2 180 Vậy: BDEC nội tiếp. ( Đlí) b) Chứng minh : MB.MC = MN.MP Xét: VABP và VMNC Ta có: ¶ M1 (chung) µ µ » P1 C1 (cùng chắn cung NB ) ==> VABP : VMNC (g-g) MB MP ==> ==> MB.MC = MN.MP. MN MC c) Chứng minh: MK 2 MB.MC : Xét (O) ta có: »AP »AN (gt) µ ¶ ==> O1 O2 (góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau) ==> OA là phân giác N· OP Mặt khác VONP có ON = OP (bán kính (O)) A Nên: VONP cân tại O P ==> OA là trung tuyến VONP . Gọi K là giao điểm của MP và AO E 1 NP NP K ==> NK = KP = a 0 (Đặt a ) D N 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 Ta có MN.MP = ( MK – a )(MK + a ) = MK – a 0) O Mà: MB.MC = MN.MP. (Cmt) 2 ==> MB.MC < MK . 1 1 M B C Bài 5 (1điểm) x2 2x 2011 Ta có: A (với x 0). x2 x2 2x 2011 * Cách khác : Ta có: A (với x 0). x2 2011x2 2x.2011 20112 A 2011x2 x 2011 2 2010x2 A 2011x2 2 x 2011 2010 2010 A 2011x2 2011 2011 2010 A đạt giá trị nhỏ nhất là x 2011 0 x 2011 2011
24. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  24 ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2012 Khóa ngày 29 tháng 6 năm 2012 Bài 1: (3điểm) 5 a) 2x – 5 = 0 x 2 y x 2 3x 3y 6 2x 16 x 8 b) 5x 3y 10 5x 3y 10 y x 2 y 10 (5 a 3)( a 2) (3 a 1)( a 2) (a 2 2 a 8) c) Với a 0;a 4. Ta có A a 4 5a 10 a 3 a 6 3a 6 a a 2 a 2 2 a 8 a 2 8a 16 (a 4)2 4 a a 4 a 4 a 4 d) B 4 2 3 7 4 3 ( 3 1)2 (2 3)2 3 1 2 3 3 Bài 2: (2điểm) a) Với m = –1 , ta có (P): y = –x2 và (d) : y = x – 2 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: –x2 = x – 2 x2 + x – 2 = 0 Ta có : a + b + c = 1 + 1 – 2 = 0 . Nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = – 2 Với x1 = 1 y1 = – 1 , ( 1 ; - 1 ) ; x2 = – 2 y1 = – 4 , ( -2 ; - 4 ) Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là ( 1 ; - 1 ) ; ( -2 ; - 4 ) . b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: mx2 = ( m + 2 )x + m – 1 mx2 – ( m + 2 )x – ( m – 1 ) = 0 (1) 2 2 2 2 m 2 4m m 1 = m + 4m + 4 + 4m – 4m = 5m + 4 > 0 Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Bài 3: (2điểm) 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) , x > 0. Vận tốc của ô tô là x + 20 (km/h). Đến khi gặp nhau ô tô đi được 1,5x (km) 100 1,5x Thời gian xe máy đi đến chỗ gặp nhau : (giờ) x 1,5x Thời gian ô tô đi đến chỗ gặp nhau : (giờ) x 20 100 1,5x 1,5x Theo đề bài toán ta có phương trình: = 3x2 – 70x – 2000 = 0 x x 20 ' 1225 6000 7225 0 ' 85 35 85 35 85 50 Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x 40 (TMĐK) ; x (loại) 1 3 2 3 3 Vậy vận tốc xe máy là 40 km/h ; vận tốc ô tô là 40 + 20 = 60 km/h. Bài 4: (3điểm) M K 1 a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp: 2 Ta có: H· KB 900 (vì nội tiếp chắn nửa đường tròn) H I Ta có: H· CB 900 (vì MN AB) A Do đó: H· KB H· CB 900 900 1800 C O B Tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh AK.AH = R2 . Xét Δ ACH và Δ AKB có: N
25. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  25 A· CH A· KB 900 ; Aµ chung. AC AH ΔACH ~ ΔAKB g.g AH.AK AC.AB AK AB OA R AH.AK .AB .2R R 2 2 2 c) Chứng minh: NI = KB: OC R 1 Trong tam giác vuông OCN, có: cosC· OM : R C· OM 600 (1) ON 2 2 1 1 Ta có A· BM C· OM .600 300 ( góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung AM) 2 2 Trong tam giác BMC vuông tại C có C· BM 300 B· MC 600 Ta có: AB  MN nên MC = NC ( đường kính vuông góc với một dây ) Tam giác BMN có BC là đường cao, là trung tuyến và B· MC 600 , nên là tam giác đều. M· BN 600 và MN = BM. Ta có M· KN B· MC 600 (góc nội tiếp chắn cung MN) Tam giác MKI có KM = KI (gt) và M· KN 600 , nên là tam giác đều. K· MI 600 và MI = MK ¶ · 0 ¶ · 0 ¶ ¶ Lại có : M1 BMI 60 và M2 BMI 60 M1 M2 Xét hai tam giác: Δ MIN và Δ MKB có: ¶ ¶ MI = MK(cmt); M1 M2 (cmt); BM = MN(cmt) Δ MIN = Δ MKB(c.g. c) NI = KB.
26. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  26 ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2013 KHÓA NGÀY 29 - 06 - 2013 SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Bài 1. x 2013 a) 2013 x 2014 x 2014 b) A 2 5 8 5 9 5 5 c) y = ax + b đi qua điểm M 1; 2 và song song với đường thẳng y 3x 5 a b 2 a 3 nên ta co hpt: a 3 b 1 b 5 Bài 2. a) Khi m = 3 ta được PT x2 4x 3 0 x1 1 Mà a b c 1 4 3 0 x2 3 b) Ta có: V 16 4m 0 m 4 x1 x2 4 Mà: x1.x2 m 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 2.x1 .x2 x1 x2 2(x1x2 ) 2x1x2 x1 x2 1 33 m1 2 2 m m 8 0 thoûañk 1 33 m 2 2 Bài 3. Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng xong công việc là x(h), đk 0 < x < 16 Gọi thời gian người thứ hai làm riêng xong công việc là y(h), đk 0 < y < 16 1 Trong 1 giờ người thứ nhất làm được (cv) x 1 Trong 1 giờ người thứ hailàm được (cv) y 1 1 Trong 1 giờ cả hai người làm được (cv) x y 1 1 1 Theo đề ra ta có PT: (1) x y 16 3 Trong 3 giờ người thứ nhất làm được (cv) x 6 Trong 6 giờ người thứ hai làm được (cv) y 3 6 1 Theo đề ra ta có PT: (2) x y 4
27. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  27 1 1 1 x y 16 Từ (1) và (2) ta có HPT: 3 6 1 x y 4 Giải ra ta được x = 24, y = 48 (thỏa đk) Người thứ nhất làm riêng xong công việc trong 24 giờ Người thứ hai làm riêng xong công việc trong 48 giờ ( Có thể lập PT để giải) Bài 4. C A M O B N · · 0 a) Chỉ ra PNO PMO 90 P b)Cm: PM // OC (cùng vuông góc với AB) D CM // PO (M· PO M· NO M· CO N· MP ) c) Cm COM ∽ CND CM.CN CD.CO 2R2 không đổi (vì (O; R) cố định) d)Cm: tứ giác MOPD l hình chữ nhật (MP //=OD (=OC), M· OD 900 Vậy P di chuyển trên đường thẳng cố định vuông góc với CD tại D (Không xét khi M trùng A, B) Bài 5: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c) 2 a2 b2 2 b2 c2 2 c2 a2 2(a b c) Ta có: 2a2 2b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2ab a b 2 2a2 2b2 a b 2 a b (dấu “=” xảy ra khi a = b>0) Tương tự, ta được các bđt cịn lại. Vậy a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c) (dấu “=” xảy ra khi a = b=c>0)
28. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  28 ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2014 KHÓA NGÀY 27 - 06 - 2014
29. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  29
30. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  30 GỢI Ý BÀI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 Bài 1: (2,0 điểm) 2x y 1 x 0 x 0 a) Ta có: x y 1 x y 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0; 1) b) với a 0, a 1) ta có: 2 2 1 a a 1 a (1 a)(1 a a2 ) 1 a P = a . a . = 1 a 1 a 1 a (1 a)(1 a) 2 1 1 a . 1 2 1 a Bài 2: (2,0 điểm) a) Thay m = 0 vào phương trình đã cho ta được: x2 + 2x – 3 = 0 ta có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0, phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3 vậy m = 0 phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3 2 3 7 b) Ta có: ’ = (1 – m)2 – 1(-3 + m) = m2 – 2m + 1 + 3 – m = m2 – 3m + 4 = m > 0 với mọi giá 2 4 trị m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. c) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. Nên phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: x1 + x2 = 0 Hay -2(1 – m) = 0 m = 1 Vậy m = 1 thì phương trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 3: (2,0 điểm) Gọi vận tốc của tàu cá là x (km/h). ĐK: x > 0 Vận tốc của tàu du lịch là x + 12 (km/h) Lúc 8 giờ tàu cá cách tọa độ X một khoảng: (8-6)x = 2x (km) Lúc 8 giờ tàu du lịch cách tọa độ X một khoảng: (7-6)(x+12) = x+12 (km) Vì Tàu cá đi theo hướng từ Nam đến Bắc và Tàu du lịch đi theo hướng từ Đông sang Tây và hai tàu cách nhau 60km nên ta có phương trình: (2x)2 + (x +12)2 = 602 5x2 + 24x – 3456 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 24 (thỏa mãn) và x2 = -28,8 (loại) Vậy vận tốc của Tàu cá là 24 km/h còn vận tốc Tàu du lịch là 36 km/h Bài 4: (3,0 điểm)
31. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  31 Cách 2 : = Bài 5: (1,0 điểm) Cách 1 : Ta có N =3( đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
32. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  32 HƯỚNG DẪN GIẢI. NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 1: (2,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện 4 6 8 a) Khi x = 4 biểu thức đã cho có giá trị là: A 4 4 5 5 2 b) Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất là (-5;-15) c) Đặt t = x2 , pt đã cho trở thành : t2 + 5t -36 = 0 2 Pt có 5 -4.1.(-36) = 169 > 0, pt có hai nghiệm phân biệt: t1=4 (tmđk); t2 = -9(ktmđk) 2 Với t = 4, ta có x = 4 suy ra x1 = 2; x2 = -2 Vậy pt đã cho có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -2 Bài 2: (1,0 điểm) Ta tính được = (m – 1)2 0 với mọi giá trị m Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thì > 0 m 1 0 m 1 Khi đó theo hệ thức vi-ét ta có: 2 x1 + x2 = 3m – 1 và x1.x2 = 2m – m 2 2 vì x1 x2 2 ( x1 x2 ) 2 2 2 x1 2x1x2 x2 4 2 (x1 x2 ) 4x1x2 4 (3m 1)2 4(2m2 m) 4 2 m 1 2 m 3 (khác 1 thỏa mãn) (m 1) 4 m 1 2 m 1 Bài 3: (2,0 điểm) Gọi x(sản phẩm) là số sản phẩm làm trong một ngày của phân xưởng theo kế hoạch, ĐK : x > 0. 1100 Thời gian hoàn thành 1100 sản phẩm theo kế hoạch: (ngày) x Thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được : x + 5 (sản phẩm) 1100 Thời gian hoàn thành 1100 sản phẩm theo thực tế : (ngày) x 5 Vì thời gian thực tế hoàn thành 1100 sản phẩm ít hơn thời gian làm theo kế hoạch là 2 ngày, 1100 1100 Ta có pt: 2 x x 5 Giải pt ta được x1 = 50 (tmđk), x2 = -55 (ktmđk) Vậy số sp làm trong một ngày của phân xưởng theo kế hoạch: 50 sản phẩm Bài 4: (4,0 điểm) a) Ta có: ,suy ra H,Q cùng thuộc một đường tròn đường kính AM hay A,M,H,Q cùng thuộc một đường tròn. Suy ra (cùng chắn cung QH)(1) Lại có: (cùng chắn cung BN của (O)) (2)
33. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  33 Từ (1) và (2) ,suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ. b) Tứ giác AMBN nội tiếp, suy ra 1800 Tứ giác QMBN nội tiếp, suy ra 1800 Vậy: , suy ra A· MQ P· MB c) Ta có:Tứ giác AMHQ nội tiếp, suy ra: (cùng chắn cung QA) Tứ giác HMPB nội tiếp, suy ra: (cùng chắn cung BP) Mà (cmt),nên Suy ra P,H,Q thẳng hàng d) Ta có: Mà: + Hay : = Do AB không đổi nên tích lớn nhất khi MN lớn nhất. MN lớn nhất khi MN là đường kính của (O) ,suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Bài 5: 3x2 y2 z2 yz 1 3x2 2y2 2z2 2yz 2 2 x2 + y2 +z2 +2xy + 2xz +2yz +x2 -2xy + y2 + x2 -2xz + z2 =2 (x +y + z)2 + (x – y)2 + (y – z)2 = 2 (x +y + z)2 Vậy min (x+y+z) là : khi x = y = z = /3, Max(x+y+z) là: khi x = y = z = /3
34. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  34 Gợi ý: NĂM HỌC 2017 – 2018 Bài 1: 9 a) Khi x = 9: ta được A 3 9 2 b)ĐK : x 0 , x 4 x 2 4 x x. x 2 2. x 2 4 x T A B x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4 4 c)T 1 x 2 x 2 x 2 T nguyên khi 4 x 2 = > x = 0. Bài 2: a) Khi m = 0 phương trình trở thành: x2 9 0 x 3 b) Phương trình x2 – 2mx – 6m – 9 = 0 (a = 1, b = – 2m, b’ = – m, c = – 6m – 9) b'2 ac m2 6m 9 (m 3)2 0,m Phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m. Theo hệ thức Viète, ta có: b x x 2m 1 2 a c x .x 6m 9 1 2 a 3 *Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x x 0 6m 9 0 m (*) 1 2 2 *Ta có 2 2 x1 x2 13 2 2 x1 x2 2x1x2 13 (2m) 2( 6m 9) 13 0 5 m (KTM(*)) 2 1 m 2 Bài 3: C2: Gọi x(m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật (ĐK: 0< x < 12) Cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật là: 12 – x (m) Diện tích mảnh đất ban đầu của hình chữ nhật là: x(12 – x) (m2) Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (x + 2)(11 – x) (m2) Theo đề ta có phương trình : (x + 2)(11 – x) – x(12 – x) = 1  - 4x = - 20  x = 5 (TMDK) Vậy các kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7m, 5m.
35. Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tại Bình Định  35 Bài 4: A a) Ta có: MF  AB nên M· FB 900 . MD  BC nên M· DB 900 Tứ giác MDBF có M· FB M· DB 900 900 1800 Do đó tứ giác MDBF nột tiếp.Suy ra 4 điểm M, D, B, F cùng thuộc 1 đường tròn. Ta có : M· DC M· FC 900 Suy ra D, F cùng nhìn MC dưới 1 góc bằng nhau. E Do đó 4 điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn. B D 2 C b) Vì tứ giác MDBF nội tiếp 1 1 ¶ ¶ 1 2 Nên: M1 D1 ( cùng chắn cung BF) F ¶ ¶ M Vì tứ giác MDEC nội tiếp nên M 2 D2 Mặt khác tứ giác MBAC nội tiếp µ µ Nên B1 C ( góc ngoài của tứ giác nội tiếp) ¶ ¶ µ µ Do đó M1 M 2 ( cùng phụ với B1;C ) ¶ ¶ => D1 D2 . Suy ra: D, E, F thẳng hàng. c) Cách khác: Ta có AC AB AE EC AF FC AE EC AF FC ME MF ME MF ME ME MF MF · ¶ · ¶ tan AME tan M2 tan AMF tan M1 AC AB Mà M¶ M¶ nên tan A· ME tan A· MF 1 2 ME MF Mat khac: tứ giác AFME nội tiếp nên A· ME A· FE B· MD A· MF A· EF D· MC Do đó AC AB tan A· ME tan A· MF tan B· MD tan M· DC ME MF BD DC BD DC BC (dpcm) MD MD MD MD Câu 5: a5 b5 c5 a6 b6 c6 (a3 )2 (b3 )2 (b3 )2 bc ca ab abc abc abc abc abc abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : a5 b5 c5 (a3 )2 (b3 )2 (b3 )2 (a3 b3 c3 )2 (a3 b3 c3 )(a3 b3 c3 ) bc ca ab abc abc abc abc abc abc 3abc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số a3, b3, c3 ta được: a3 b3 c3 33 a3b3c3 3abc Do đó a5 b5 c5 (a3 b3 c3 )(a3 b3 c3 ) (a3 b3 c3 )3abc a3 b3 c3 (đpcm) bc ca ab 3abc 3abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c