›
›
›

Bộ 15 đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9

pdf 103 trang hoaithuong97 8721
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 15 đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_15_de_kiem_tra_giua_ki_1_toan_9.pdf

Nội dung text: Bộ 15 đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9

  1. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 11 x 1 11: 5 x 1 5 x 1 25 x 24 (thỏa mãn). Vậy S 24 . b) x 1 3 x (điều kiện: x 3 ) 2 x 1 3 x x 1 9 6 x x2 x2 6 x 9 x 1 0 x2 7 x 10 0 x2 2 x 5 x 10 0 x2 2 x 5 x 10 0 x x 2 5 x 2 0 x 5 x 2 0 x 5 0 x 2 0 x 5( KTM ) x 2( TM ) Vậy S 2 . Bài 3. Cho hai biểu thức x 3 3x 6 2 1 A và B : với x 0 ; x 9 x x 1 x 9 x 3 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 b) Rút gọn B c) Cho PAB . . Chứng minh PP với x 0 ; x 9 Lời giải a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 x 3 Thay x 4 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta cĩ x x 1 4 3 2 3 1 A 4 4 1 5 2 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 3
  2. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 Vậy A khi x 4 3 b) Rút gọn B 3x 6 2 1 với ; B : x 0 x 9 x 9 x 3 x 3 3x 62 x 3 1 B : x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x 6 2 x 6 1 x x B : . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 c) Cho PAB . . Chứng minh PP với x 0 ; x 9 x 3 x x PAB x x 1 x 3 x x 1 Ta cĩ x 0 ; x 9 thì 2 1 1 3 1 3 3 x 0; x x 1 x 2. x x 0 2 4 4 2 4 4 x P 0 với x 0 ; x 9 nên PP . x x 1 Bài 4. (Kết quả làm trịn đến số thập phân thứ hai và số đo gĩc làm trịn đến độ) 1) Một máy bay bay với vận tốc 5m/s lên cao theo phương tạo với đường băng một gĩc 40. Hỏi sau 6 phút máy bay ở độ cao bao nhiêu so với đường băng. 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A , kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Biết BH 3,6 cm ; CH 6,4 cm . a) Hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB và tính số đo gĩc HCA. b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC . Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB . c) Tính diện tích tứ giác BMNC . Lời giải 1) Một máy bay bay với vận tốc 5m/s lên cao theo phương tạo với đường băng một gĩc 40. Hỏi sau 6 phút máy bay ở độ cao bao nhiêu so với đường băng. Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 4
  3. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy B 40° A H Đổi 6 phút 360 giây. Gọi độ dài quãng đường máy bay bay được sau 6 phút là AB . Khi đĩ, độ cao của máy bay so với đường băng là BH . Theo đề bài, ta cĩ: AB 5.360 1800 m Vì ABH vuơng tại H nên ta cĩ: BH AB.sin A (HTL trong tam giác vuơng) BH 1800.sin 40  BH 1157,02 m . Vậy sau 6 phút độ cao của máy bay so với đường băng là 1157,02 m . 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A , kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Biết BH 3,6 cm ; CH 6,4 cm . B H M A N C a) Hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB và tính số đo gĩc HCA. Ta cĩ: BC BH CH 3,6 6,4 10 cm . +) Xét ABC vuơng tại A , đường cao AH (gt) cĩ: AH2 BH. CH (HTL trong tam giác vuơng) AH 2 3,6.6,4 AH 2 23,04 AH 4,8 cm . Ta lại cĩ: AB2 BH. BC (HTL trong tam giác vuơng) AB2 3,6.10 AB2 36 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 5
  4. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy AB 6 cm . +) Xét ABC vuơng tại A (gt), ta cĩ: AB 6 sinBCA 0,6 BCA 37  hay HCA 37  BC 10 b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC . Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB . +) Vì M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC (gt) HM  AB; HN  AC . Vì AH BC (gt) AHB AHC 90  . +) Xét AHB vuơng tại H , đường cao HM (gt) cĩ: AH2 AM. AB (HTL trong tam giác vuơng) (1). +) Xét AHC vuơng tại H , đường cao HN (gt) cĩ: AH2 AN. AC (HTL trong tam giác vuơng) (2). AM AN Từ (1)) và (2) AM AB AN AC (t/c TLT). AC AB +) Xét AMN và ACB cĩ: AM AN  cmt AC AB  AMN∽ ACB c g c  A: chung  c) Tính diện tích tứ giác BMNC . +) Vì AH2 AM. AB (cmt) 4,82 AM .6 23,04 AM .6 AM 3,84 cm . +) Xét ABC vuơng tại A (gt), ta cĩ: BC2 AB 2 AC 2 (đ/lí Pytago) 102 6 2 AC 2 100 36 AC 2 AC 2 64 AC 8 cm . AM AN 3,84AN 6.3,84 +) Vì (cmt) AN AN 2,88 cm . AC AB 8 6 8 1 1 1 1 +) SSS AB AC AM AN .6.8 .3,84.2,88 24 11,06 BMNC ABC AMN 2 2 2 2 12,94 cm2 . Bài 5. Giải phương trình 3 x 2 x 1 3 Lời giải Cách 1 : Điều kiện x 1. Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 6
  5. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3 x 2 a x 2 a3 Đặt 2 x 1 b x 1 b Suy ra a3 b 2 3 (1). Theo đề bài a b 3 b 3 a thay vào (1) ta được a3 3 a 2 3 3 2 a 9 6 a a 3 3 2 a a 6 a 6 0 a2 a 1 6 a 1 0 a 1 a2 6 0 a 1 2 . a 6 không thoả mãn Ta cĩ 3 x 2 1 x 2 1 x 3 (thoả mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 . Cách 2. 3 x 2 x 1 3 (ĐK: x 1) 3 x 2 1 x 1 2 0 2 3x 2 1 3 x 2 3 x 2 1 x 1 2 x 1 2 0 2 3 x 2 3 x 2 1 x 1 2 x 2 1 x 1 4 0 2 3 x 2 3 x 2 1 x 1 2 x 3 x 3 0 2 3 x 2 3 x 2 1 x 1 2 1 1 x 3  0 3 2 3 x 1 2 x 2 x 2 1 2 1 Vì 3 x 2 3 x 2 1 0 0 2 3 x 2 3 x 2 1 1 x 1 0 x 1 2 0 0 x 1 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 7
  6. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 1 0 2 3 x 2 3 x 2 1 x 1 2 x 3 0 x 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 8
  7. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 2 TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I TỐN 9 NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN Bài 1. Thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức sau: A 8 2 18 3 50 1 5 5 B 125 10 20 5 1 C 7 4 3 2 3 2 1 2 D 1 2 .cos 20  tan 40  .tan 50  cot 20 x 1 3 4 x 4 x 4 Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức A và B với 2x 1 1 2 x 4x 1 x 0 x 4 a) Tính giá trị của B biết x 28 16 3 2 3 . b) Rút gọn biểu thức A . 2 c) Đặt PAB . . Tìm x để P . 3 Bài 3. (2 điểm) Giải các phương trình sau: 1 a) x 5 4 x 20 3 0 . 2 b) 2x 1 2 x 1 0 Bài 4. (3,5 điểm) 1) Một con thuyền đi từ bến song A tới bến song B với vận tốc trung bình là 4 km/h trong 10 phút. Biết đường đi của con thuyền là AB , tạo với bờ sơng một gĩc bằng 60 . Tính chiều rộng AH của khúc sơng. 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết AB 3 cm, BC 5 cm a) Hãy giải tam giác ABC (gĩc làm trịn đến độ). b) Kẻ BD là phân giác của gĩc B . Hãy tính độ dài các cạnh AD, DE . 3 S c) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE AB, DE cắt BC tại F . Tính tỉ số BEF . 4 SBEDC Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 9
  8. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Bài 5. Cho các số x, y thỏa mãn 0 x , y 2 và x4 y2 y 4 x 2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x6 y 6  HẾT  HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức sau: A 8 2 18 3 50 1 5 5 B 125 10 20 5 1 C 7 4 3 2 3 2 1 2 D 1 2 .cos 20  tan 40  .tan 50  cot 20 Lời giải A 8 2 18 3 50 2 2 6 2 15 2 11 2 1 5 5 B 125 10 5 5 5 1 5 5 5 1 20 5 1 2 C 743232 23 23232 3 2 1 2 2 2 D 12 .cos 20  tan 40  .tan 50  cos 20  sin 20  tan 40  .cot 40  0 cot 20 x 1 3 4 x 4 x 4 Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức A và B với 2x 1 1 2 x 4x 1 x 1 0 x 4 a) Tính giá trị của B biết x 28 16 3 2 3 . b) Rút gọn biểu thức A . 2 c) Đặt PAB . . Tìm x để P . 3 Lời giải 1 a) Với 0 x ta cĩ 4 2 x 28 16 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4 4 4 2 Thay x 4 (TMĐKXĐ) vào biểu thức B ta được B 1 4 2 Vậy B 1 khi x 28 16 3 2 3 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 10
  9. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 b) Với 0 x ta cĩ: 4 x 1 3 4 x 4 x 1 3 4 x 4 A 2x 1 1 2 x4x 1 2 x 1 2 x 1 4 x 1 x 1 2 x 1 3 2 x 1 4 x 4 2x 3 x 1 6 x 3 4 x 4 A 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2x xx 2 x 1 x A 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2x 1 x 1 Vậy A với 0 x . 2x 1 4 x x 4 1 c) Ta cĩ A , B với 0 x . 2x 1 x 4 x x 4 x 4 Ta cĩ PAB 2x 1 x 2 x 1 2 4 Để P 0 P (1) 3 9 x 4 + Xét P 0 0 x 4 0 do 2 x 1 0 x 16 (2) 2x 1 4 x 4 4 9 x 4 4 2 x 1 + Xét P 0 x 40 0 9 2x 1 9 2x 1 9 0 x 1600 (3) Từ (1), (2) ,(3) và đkxđ suy ra 16 x 1600 Bài 3 (2 điểm) Giải các phương trình sau: 1 a) x 5 4 x 20 3 0 . 2 b) 2x 1 2 x 1 0 Lời giải 1 a) x 5 4 x 20 3 0 , ĐK: x 5 2 1 3 x 5 2 x 5 3 x 5 3 x 5 2 x 9 (tmđk) 2 2 Vậy phương trình trên cĩ tập nghiệm là S 9 b) 2x 1 2 x 1 0 , ĐK: x 0 1 2x 1 2 x 1 , ĐK: x 4 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 11
  10. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 2x 1 4 x 4 x 1 2x 4 x 0 2x x 2 0 x 0 x 0(ko tm) x 4(tm) x 2 0 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S 4 Bài 4 (3,5 điểm) 1) Một con thuyền đi từ bến sơng A tới bến sơng B với vận tốc trung bình là 4 km/h trong 10 phút. Biết đường đi của con thuyền là AB , tạo với bờ sơng một gĩc bằng 60 . Tính chiều rộng AH của khúc sơng. 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết AB 3 cm, BC 5 cm a) Hãy giải tam giác ABC (gĩc làm trịn đến độ). b) Kẻ BD là phân giác của gĩc B . Hãy tính độ dài các cạnh AD, DE . 3 S c) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE AB, DE cắt BC tại F . Tính tỉ số BEF . 4 SBEDC Lời giải 1 1) Đổi 10 phút giờ. 6 1 2 Quãng đường AB là : 4. (km) 6 3 2 3 Chiều rộng AH là : .sin 60 (km) 3 3 2) a) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuơng ABC ta cĩ AC BC2 AB 2 5 2 3 2 4 (cm) Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 12
  11. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuơng ABC ta cĩ AC 4 sinBBC     53 90 53 37 BC 5 AD AB 3 AD 3 b) BD là phân giác của gĩc B (t/c) , mà AC 4 cm DC BC 5 AC 8 AD 1,5 cm DC 2,5 cm. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuơng ABD ta cĩ 3 5 BD AD2 AB 2 3 2 1,5 2 (cm) 2 CI DI DC2,5 5 CI 5 5 c) Kẻ DI// AB I BC IC IB (1) CB AB AC4 8 BI 3 3 8 1 1 8 2 Ta cĩ AB DI , mà BE AB BE . DI DI 5 4 4 5 5 BF BE2 BI 3 5 Ta cĩ DI// BE FI BI (2) FI DI5 FI 5 3 Từ (1) và (2) IC FI 1 Ta cĩ SS (chung đường cao, cạnh đáy FI IC ) SS DFI DIC DFI2 DFC Xét FBE và FID cĩ: FBE FID , FEB FDI (các gĩc đồng vị) BE 2 S 4 FBE đồng dạng với FID theo tỉ số k BEF DI 5 SIDF 25 4 4 1 2 2 SSSS . . Mà SSS SS BEF25 IDF 25 2 DFC 25 DFC BEF BEDC CDF BEF23 BEDC Câu 5. Cho các số x, y thỏa mãn 0 x ; y 2 và x4 y2 y 4 x 2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x6 y 6 Lời giải x4 y2 y 4 x 2 4 2 x4 y2 y 4 x 2 16 2x2 y 2 4 x 2 y 2 2 xy 4 x 2 4 y 2 16 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2 xy 4 x 4 y x y 4 x y 16 0 x2 y 2 2 xy 4 x 2 4 y 2 4 x 2 4 y 2 0 2 xy 4 x2 4 y 2 0 xy 4 x2 4 y 2 x2 y 2 4 x 2 4 y 2 x2 y 2 4 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 13
  12. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3 3 2 Pxyx 662 y 2 xyxy 2222 3 xy 22 4 16 3 xy 22 64 12 xy 22 2 x2 y 2 Mặt khác x2 y 2 4 (bất đẳng thức cơ-si với hai số x2, y 2 0 ) 4 Do đĩ P 64 12.4 16 Vậy minP 16 , dấu "" xảy ra khi x y 2  HẾT  Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 14
  13. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 3 ĐỀ THI GIỮA KÌ I – MƠN TỐN 9 TRƯỜNG LIÊN CẤP TIỂU HỌC VÀ THCS NGƠI SAO NĂM HỌC 2020 – 2021 1 1 x 1 x 2 Câu 1. Cho biểu thức P : x 2 x x 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức P . 16 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x . 9 1 c) Tìm x để P 2 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  x x 1 P Câu 2. (2,5 điểm). Cho đường thẳng d : y m 3 x 1. a) Tìm m sao cho: Hàm số y m 3 x 1.nghịch biến trên R và vẽ đồ thị của hàm số khi m 0 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị của hàm số y m 3 x 1. luơn đi qua một điểm cố định. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc đến tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất. Câu 3. (3,5 điểm). Cho MNP nhọn, đường cao ND; PE cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng: 4 điểm NEDP,,, cùng nằm trên cùng một đường trịn và 4 điểm MDHE,,, cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh HD HN HE HP c) Gọi O là tâm đường trịn đi qua 4 điểm MDHE,,, . Chứng minh IE là tiếp tuyến của O biết I là tâm đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, d) Cho bán kinh đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, bằng R. Chứng minh tanNMP 2 biết MH R Câu 4. Cho a,, b c là các số thực khơng âm thoả mãn a b c 1. Chứng minh rằng : M 3 a 1 3 b 1 3 c 1 4 HẾT Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 15
  14. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 x 1 x 2 Bài 1. Cho biểu thức P : x 2 x x 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức P . 16 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x . 9 1 c) Tìm x để P 2 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  x x 1 P Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 4 x x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2 P :  x x 2 x 2 x 1 x x 2 x 1 x 4 2 x 1 P 3 x 4 2 1 16 2 x 1 3 1 b) Thay x (TMĐKXĐ) vào P ta cĩ: P . 4 9 3 x 3 6 3 16 1 Vậy khi x thì P 9 6 1 2(x 1) 1 4( x 1) 3 x c) Ta cĩ: P 23x 2 6 x 6 x Do x 0 x 0 nên ta cĩ: 4(x 1) 3 x x 4 x 16 0 x 16 Kết hợp ĐKXĐ x 0; x 1; x 4 ta cĩ: . x 1, x 4 2 2.3x x 3 x Q x d) Ta cĩ: Q  x với x 1 P 2(x 1) x 13 x 1 2 x 1 t 0 t 0 Đặt t x 1 x t 1 . Vì x 1; x 4 t 0; t 1 t 1 Q( t 1)2 t 2 2 t 1 1 Suy ra: t 2 . 3 t t t Áp dụng BĐT Cosi cho t 0 ta cĩ: 1 1 1 Q t 2 t  t 2 2 2 4 Q 12 t t t 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 16
  15. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 Dấu “=” xảy ra khi t t 1 khơng thoả mãn điều kiện. t Vậy biểu thức Q khơng tồn tại giá trị nhỏ nhất. Bài 2. (2,5 điểm). Cho đường thẳng d : y m 3 x 1. c) Tìm m sao cho: Hàm số y m 3 x 1.nghịch biến trên R và vẽ đồ thị của hàm số khi m 0 d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị của hàm số y m 3 x 1. luơn đi qua một điểm cố định. e) Tìm m để khoảng cách từ gốc đến tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất. Lời giải y a) Để hàm số y m 3 x 1.nghịch biến trên R y=-3x+1 m 3 0 m 3 Với m 0 y 3 x 1 1 A x 0 y 1 A 0;1 Oy 1 1 B x y 0 x B ;0 Oy 3 3 O 1 Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là đồ thị của hàm số y 3 x 1 b) Gọi M x0; y 0 là điểm cố định mà đồ thị của hàm số y m 3 x 1.luơn đi qua y0 m 3 x 0 1  m y0 mx 0 3 x 0 1  m y0 3 x 0 1 mx 0  m x0 0 x 0 0 y0 3 x 0 1 0 y 0 1 Vậy M 0;1 là điểm cố định mà đồ thị của hàm số y m 3 x 1.luơn đi qua c) Hàm số d : y m 3 x 1 y x 0 y 1 M 0;1 Oy OM 1 1 1 1 y 0 x C ;0 Ox OC= y=(m-3)x+1 3 m 3 m 3 m 1 Kẻ OH d H Xét OMC vuơng tại O; OH MC M x 1 1 1 (hệ thức lượng trong tam giác O 1 C OH2 OM 2 OC 2 vuơng) Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 17
  16. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 2 1 3 m 1  m OH 2 OH2 1 OH 1 Dấu « = » xảy ra m 3 0 m 3 Bài 3. (3,5 điểm). Cho MNP nhọn, đường cao ND; PE cắt nhau tại H e) Chứng minh rằng: 4 điểm NEDP,,, cùng nằm trên cùng một đường trịn và 4 điểm MDHE,,, cùng nằm trên một đường trịn. f) Chứng minh HD HN HE HP g) Gọi O là tâm đường trịn đi qua 4 điểm MDHE,,, . Chứng minh IE là tiếp tuyến của O biết I là tâm đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, h) Cho bán kinh đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, bằng R. Chứng minh M tanNMP 2 biết MH R Lời giải D a) Ta cĩ ND MP NDP NDM 90  O PE MN NEP PEM 90  E Ta cĩ: NEP NDP 90  suy ra 4 điểm NEDP,,, cùng H nằm trên cùng một đường trịn đường kính NP Ta cĩ : MEH MDH 90  suy ra 4 điểm MDHE,,, N cùng nằm trên một đường trịn đường kính K I P MH. b) Xét NEH và PDH cĩ: EHN DHP   NEH” PDH g. g NEH HDP 90  HN HE HN HD HE HP HP HD c) Xét MNP cĩ đường cao ND; PE cắt nhau tại H MH là đường cao Kẻ MH NP K MK  NP Ta cĩ O là tâm đường trịn đi qua 4 điểm MDHE,,, OE OM OME cân tại O OME OEM (1) Ta cĩ I là tâm đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, IE IP IPE cân tại I IPE IEP (2) Ta lại cĩ : OME IPE ( cùng phụ với MNP ) (3) Từ (1); (2); (3) OEM IEP Mà OME OEH MEH 90  IEP OEH 90 hay OEI 90  OE  EI Mà OE là bán kính đường trịn tâm O EI là tiếp tuyến của đường trịn tâm O d) Ta cĩ I là tâm đường trịn đi qua 4 điểm NEDP,,, I là trung điểm của NP NP 2 IP 2 R Xét MHE và PEN cĩ : Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 18
  17. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HME EPN   MEH” PEN g. g MEH PEN 90  PE NP2 R 2 EM MH R PE Xét MEP vuơng tại E tan NMP 2 EM Bài 4. Cho a,, b c là các số thực khơng âm thoả mãn a b c 1. Chứng minh rằng” M 3 a 1 3 b 1 3 c 1 4 Lời giải a, b , c 0 Ta cĩ: 0 a , b , c 1 a (1 a ) 0 a a2 . Tương tự ta cĩ: b b2 a b c 1 ; c c2 . Suy ra: 31a a 21 a a2 2131(1) a a a 2 31 a a 1. Tương tự ta chứng minh được: 3b 1 b 1 và 3c 1 c 1 Cộng các vế với nhau ta cĩ: M 3 a 1 3 b 1 3 c 1 a 1 b 1 c 1 4 Dấu “=” xảy ra khi a 1; b 0; c 0 và các hốn vị khác của nĩ. Vậy M 4 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 19
  18. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 4 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I LỚP 9 AMSTERDAM NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 3 x 2 x 1 5 x 2 Bài 1. Cho hai biểu thức: A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 2 x 4 x 1) Chứng minh rằng: B x 2 2) Tìm tất cả các giá trị của x để B 0. 3) Tìm các số thực x sao cho AB. nhận giá trị là số nguyên. Bài 2. Giải phương trình sau: x2 2 x 1 2 x 4 0 Bài 3. 1) Chiều dài của cái bập bênh là 5,2m, khi một đầu của cái bập bênh chạm đất thì cái bập bênh tạo với mặt đất một gĩc 230 ( xem hình vẽ). Hỏi đầu cịn lại của cái bập bênh cách mặt đất bao nhiêu mét? ( biết mặt đất phẳng, kết quả làm trịn sau dấu phẩy 2 chữ số) 5,2m 230 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A AB AC , đường cao AH . BH a) Cho AB 5 cm , AC 12 cm . Hãy tính tỷ số . CH b) Kẻ HE, HF lần lượt vuơng gĩc với AB, AC tại EF, . Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường trịn cĩ đường kính HC . c) Gọi O là trung điểm của HC và d là tiếp tuyến tại C của đường trịn đường kính HC . Đường thẳng đi qua H , vuơng gĩc với AO và cắt d tại D . Chứng minh rằng hai tam giác HAC và COD đồng dạng. Bài 4. Cho x , y là các số thực khơng âm thỏa x y 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 2 y Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 20
  19. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI 3 x 2 x 1 5 x 2 Bài 1. Cho hai biểu thức: A và B với x 0 và x 4 . x 2 x 2 x 4 x 1) Chứng minh rằng: B x 2 2) Tìm tất cả các giá trị của x để B 0. 3) Tìm các số thực x sao cho AB. nhận giá trị là số nguyên. Lời giải 1) Với x 0 và x 4 ta cĩ x 1 5 x 2 B x 2 x 4 x 1 x 2 5 x 2 B x 2 x 2 x 3 x 2 5 x 2 B x 2 x 2 x 2 x B x 2 x 2 x x 2 B x 2 x 2 x B x 2 2) Với x 0 và x 4 ta cĩ B 0 x 0 x 2 x 2 0 (vì x 0 ) x 2 0 x 4 3 x 2 x3 x 3) Với x 0 và x 4 ta cĩ AB . x 2x 2 x 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 21
  20. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3 x Xét x 0 0 thỏa. x 2 2 3 9 23 3 23 2 x 2. x 2 x 3x 2 x 3 x 4 4 16 16 4 8 Xét 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3 x 2 . x 2 3 x Để AB. nhận giá trị nguyên thì x 2 3 x 1 x 3 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 x 2 hoặc x 1 x 4 (tm) hoặc x 1(tm) Vậy: x 0;1;4 Bài 2. Giải phương trình sau: x2 2 x 1 2 x 4 0 Lời giải x2 2 x 1 2 x 4 0 x2 2 x 1 2 x 4 x2 2 x 1 2 x 4 2x 4 0 x2 4 x 3 0 x 2 x 1 loại x 3 nhận x 2 Vậy x 3 Bài 3. 1) Chiều dài của cái bập bênh là 5,2m, khi một đầu của cái bập bênh chạm đất thì cái bập bênh tạo với mặt đất một gĩc 230 ( xem hình vẽ). Hỏi đầu cịn lại của cái bập bênh cách mặt đất bao nhiêu mét? ( biết mặt đất phẳng, kết quả làm trịn sau dấu phẩy 2 chữ số) Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 22
  21. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 5,2m 230 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A AB AC , đường cao AH . BH a) Cho AB 5 cm , AC 12 cm . Hãy tính tỷ số . CH b) Kẻ HE, HF lần lượt vuơng gĩc với AB, AC tại EF, . Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường trịn cĩ đường kính HC . c) Gọi O là trung điểm của HC và d là tiếp tuyến tại C của đường trịn đường kính HC . Đường thẳng đi qua H , vuơng gĩc với AO và cắt d tại D . Chứng minh rằng hai tam giác HAC và COD đồng dạng. Lời giải 1) D 230 C B BC là chiều dài của bập bênh BD là đầu cịn lại của bập bênh với mặt đất Gĩc DCB bằng 23 Xét tam giác vuơng DCB tại B cĩ DB CD.sin 23  . Nên DB 2,03 m Vậy đầu cịn lại của bập bênh cách mặt đất khoảng 2,03 m. 2) Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 23
  22. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy B H E O M N A F C D a) BC 13 cm 25 BH cm 13 144 CH cm 13 BH 25 Tỷ số CH 144 b) Gọi EF AH M Vì AEHF là hình chữ nhật Nên MH MF ME MA MHF cân tại M MHF MFH Gọi O là trung điểm của HC mà tam giác HFC vuơng tại F 1 FO HC HO OC 2 OHF cân tại O OHF OFH OFH MFH 90  MF  FO HC Cĩ FO HO OC suy ra HFCO,,; 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 24
  23. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Vậy EF là tiếp tuyến của đường trịn cĩ đường kính HC . c) Gọi HD AO N HAN NHO Cùng phụ AHN AHO đồng dạng HCD (g-g) AH HO mà HO OC HC CD AH OC HC CD AH HC và AHC HCD OC CD Suy ra hai tam giác HAC và COD đồng dạng. Bài 4. Cho x , y là các số thực khơng âm thỏa x y 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 2 y Lời giải 2 2 Ta cĩ: P2 x 2 y 1. x 2. y 1 2 2 . x y 5.2020 P 5.2020 10 101 . 1 2 Dấu “=” xảy ra khi: y 2. x y 4. x . x y Mà x y 2020 x 404, y 1616 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 25
  24. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 5 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I LỚP 9 TRƯỜNG THCS & THP NGUYỄN TẤT THÀNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. Số 121 cĩ căn bậc hai số học là: A. 121. B. 121 . C. 11 . D. 11. Câu 2. Giá trị của biểu thức cos210 cos 2 30  cos 2 60  cos 2 80  bằng: A. 1. B.2 . C. 3 . D. 0 . 2 2 Câu 3. Giá trị của biểu thức bằng: 3 2 2 3 2 2 A. 8 2 . B. 8 2 . C. 12 . D. 12 . Câu 4. Tất cả các nghiệp của phương trình x 2 7 là : A. x 7 . B. x 7 . C. x 1. D. x 7 . x 1 Câu 5. Rút gọn biểu thức A được kết quả: x 3 x 2 3 x x 1 3 3 x A. . B. . C. . D. . x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 Câu 6. Tìm x để biểu thức P cĩ nghĩa: x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. x 0 . Câu 7. Biểu thức 3 5 2 3 5 2 bằng: A. 22 . B. 43 . C. 4 5 . D. 13 . x 2 Câu 8. Điều kiện xác định của biểu thức M bằng: x 2 A. x 0 . B. x 0; x 4 . C. x 4 . D. x 4 . Câu 9. Ở hình bên ta cĩ : A. x 9,;, 6 y 5 4 . B. x 5; y 10 . C. x 10; y 5 . D. x 5,;, 4 y 9 6 . Câu 10. Trong hình bên độ dài OB bằng: Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 26
  25. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy A. 2 3 . B. 2 6 . C. 3 2 . D. 6 . Câu 11. Nếu 16x 9 x 3 thì x bằng: 9 A. 3 . B. . C. 3 . D. 9. 5 Câu 12. Cho DEF;,,, D 90  DE 6 cm DF 8 cm FE bằng: A. 14cm . B. 100cm . C. 10cm . D. 24cm . II. TỰ LUẬN Câu 1. (2,0 điểm) 1) Tính các giá trị của biểu thức sau: 1 7 a) ; b) A 4 . 28 2 175 . 7 2 9 5 21 B 10 2 21. 1 2 3 4 1 9 2) Tìm x , biết: 3 4x 2 5 x 2 9 x 7 . 2 2 2x x 3 x 3 2 x 2 Câu 2. (2,0 điểm) Cho P : 1 x 3 x 3x 9 x 3 1) Rút gọn P . 1 2) Tìm x để P . 2 3) Tìm x để P nguyên. Câu 3. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC cĩ AB a, A 1050 , B 60 0 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE a . Vẽ ED song song với AB ( D thuộc AC) . Đường thẳng qua A vuơng gĩc với AC cắt BC tại F . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC . 1) Chứng minh tam giác ABE đều. Tính AH theo a . 2) Chứng minh EAD EAF 450 . Từ đĩ chứng minh AED = AEF . 1 1 4 3) Chứng minh rằng . AD2 AC 23 a 2 x x 2 Câu 4. (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 27
  26. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. Số 121 cĩ căn bậc hai số học là: A. 121. B. 121 . C. 11 . D. 11. Lời giải Chọn D Câu 2. Giá trị của biểu thức cos210 cos 2 30  cos 2 60  cos 2 80  bằng: A. 1. B.2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B cos210 cos 2 30  cos 2 60  cos 2 80  cos210  cos 2 30  sin 2 30  sin 2 10  cos210  sin 2 10  cos 2 30  sin 2 30  1 1 2 2 2 Câu 3. Giá trị của biểu thức bằng: 3 2 2 3 2 2 A. 8 2 . B. 8 2 . C. 12 . D. 12 . Lời giải Chọn C 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 12 3 2 2 3 2 2 9 8 9 8 Câu 4. Tất cả các nghiệp của phương trình x 2 7 là : A. x 7 . B. x 7 . C. x 1. D. x 7 . Lời giải Chọn A x2 7 x 7 x 7 x 1 Câu 5. Rút gọn biểu thức A được kết quả: x 3 x 2 3 x x 1 3 3 x A. . B. . C. . D. . x 2 x 2 x 2 x 2 Lời giải Chọn B x 1 x 1 x 1 x 1 A x 3 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 Câu 6. Tìm x để biểu thức P cĩ nghĩa: x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. x 0 . Lời giải Chọn A Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 28
  27. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x 1 P cĩ nghĩa x 1 0 x 1 . x 1 Câu 7. Biểu thức 3 5 2 3 5 2 bằng: A. 22 . B. 43 . C. 4 5 . D. 13 . Lời giải Chọn B 3 5 2 3 5 2 9. 5 2 43 x 2 Câu 8. Điều kiện xác định của biểu thức M bằng: x 2 A. x 0 . B. x 0; x 4 . C. x 4 . D. x 4 . Lời giải Chọn B Câu 9. Ở hình bên ta cĩ : A. x 9,;, 6 y 5 4 . B. x 5; y 10 . C. x 10; y 5 . D. x 5,;, 4 y 9 6 . Lời giải Chọn D Áp dụng hệ thức lương ta cĩ 92 x.,,, 15 x 5 4 y 15 5 4 9 6 . Câu 10. Trong hình bên độ dài OB bằng: A. 2 3 . B. 2 6 . C. 3 2 . D. 6 . Lời giải Chọn A Câu 11. Nếu 16x 9 x 3 thì x bằng: 9 A. 3 . B. . C. 3 . D. 9. 5 Lời giải Chọn D Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 29
  28. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 16x 9 x 3 4 x 3 x 3 x 3 x 9 Câu 12. Cho DEF;,,, D 90  DE 6 cm DF 8 cm FE bằng: A. 14cm . B. 100cm . C. 10cm . D. 24cm . Lời giải Chọn C II. TỰ LUẬN Câu 1. (2 điểm) 1) Tính các giá trị của biểu thức sau: 1 7 a) ; b) A 4 . 28 2 175 . 7 2 9 5 21 B 10 2 21. 1 2 3 4 1 9 2) Tìm x , biết: 3 4x 2 5 x 2 9 x 7 . 2 2 Lời giải 1) Tính các giá trị của biểu thức sau: 1 7 1 2 a) A 4 . 28 2 175 . 7 4 .2 7 7 5 7 . 7 2 9 2 3 10 10 12 70 82 4 . 7. 7 4 .7 . 3 3 3 3 3 5 21 b) B 10 2 21. 1 2 3 4 2 2 5 21 7 3 . 1 2 3 8 2 10 2 21 7 3 . 1 2 3 8 2 7 3 7 3 . 1 2 3 8 7 3 7 3 . 1 2 3 2 2 7 3 7 3 7 3 2 3 2 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 30
  29. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 7 3 4 7 3 2 3 7 3 2 3 2 7 3 2 3 2 2 2 2 7 . 1 9 2) Tìm x , biết: 3 4x 2 5 x 2 9 x 7 . 2 2 1 9 1 3 4x 2 5 x 2 9 x 7 ĐK: x . 2 2 2 1 1 1 3 4 x 5 x 2 9 x 7 2 2 2 1 1 1 6x 5 x 6 x 7 2 2 2 1 7x 7 2 1 x 1 2 1 x 1 2 1 x (TM). 2 1 Vậy x . 2 2x x 3 x 3 2 x 2 Câu 2. (2 điểm) Cho P : 1 x 3 x 3x 9 x 3 1) Rút gọn P . 1 2) Tìm x để P . 2 3) Tìm x để P nguyên. Lời giải 1) Rút gọn P . 2x x 3 x 3 2 x 2 P : 1 x 3 x 3x 9 x 3 Điều kiện: x 0; x 9 2x x 3 x x 3 3 x 3 2x 2 x 3 P : x 3 x 3 x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 31
  30. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 2x 6 x x 3 x 3 x 3 x 1 P : x 3 x 3 x 3 3x 3 x 3 P . x 3 x 3 x 1 3 x 1 x 3 P . x 3 x 3 x 1 3 P . x 3 1 2) Tìm x để P . 2 1 P 2 3 1 x 3 2 3 1 0 x 3 2 6 x 3 0 2 x 3 x 3 0 2 x 3 Vì x 0 x 0 x 3 3 x 3 0 Nên x 3 0 x 3 x 9 . Kết hợp điều kiện: x 0; x 9 1 Vậy để P thì 0 x 9 . 2 3) Tìm x để P nguyên. 3 P x 3 3 Vì x 3 0 0 P 0 . x 3 3 Lại cĩ x 3 3 1 P 1 x 3 Suy ra 1 P 0 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 32
  31. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3 Mà P nguyên nên P 1 1 x 3 3 x 0 x 0 (TM). x 3 Vậy x 0 là giá trị cần tìm. Câu 3 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC cĩ AB a, A 1050 , B 60 0 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE a . Vẽ ED song song với AB ( D thuộc AC) . Đường thẳng qua A vuơng gĩc với AC cắt BC tại F . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC . 1) Chứng minh tam giác ABE đều. Tính AH theo a . 2) Chứng minh EAD EAF 450 . Từ đĩ chứng minh AED = AEF . 1 1 4 3) Chứng minh rằng . AD2 AC 23 a 2 Lời giải A D C B F H E 1) Vì AB BE a nên tam giác ABE cân tại B Mặt khác ABE 600 (giả thiết) Suy ra tam giác ABE đều Vì H là hình chiếu của A trên cạnh BC nên AH là đường cao của tam giác ABE đều. Suy ra H là trung điểm của BE . BE a Suy ra BH 2 2 Xét tam giác ABH vuơng tại H cĩ: AB2 AH 2 BH 2 2 2 2 a a AH 2 3a AH 2 2) Xét tam giác ABC cĩ ABC   1800 (tổng ba gĩc trong tam giác) 1050 60 0 C 180 0 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 33
  32. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy C 150 Xét tam giác AEC cĩ AEB ACE EAC (tính chất gĩc ngồi) 600 15 0 EAC EAC 450 Hay EAD 450 Ta cĩ CAF CAE EAF 900 45 0 EAF EAF 450 Vậy EAD EAF 450 Vì ED song song với AB Nên DEC ABC 600 (hai gĩc đồng vị) Xét AED và AEF cĩ: EAD EAF 450 Cạnh AE chung DEC ABC 600 Vậy AED = AEF 3) Vì AED = AEF nên AD AF . Tam giác AFC vuơng tại A , cĩ AH FC 1 1 1 Do đĩ AH2 AF 2 AC 2 3a Mà AD AF , AH 2 1 1 1 1 1 4 Do đĩ 2 2 2 . Hay 2 2 2 3a AD AC AD AC3 a 2 x x 2 Câu 4. (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 3 Lời giải Điều kiến: x 0 x x 233 x x 635 x x 2 x 635 x x 2 A x 3 3 x 3 3 x 3 3 x 3 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 34
  33. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3x 5 x Vì x 0 nên 3x 5 x 0 và 3 x 3 0. Do đĩ 0. 3 x 3 3x 5 x 2 2 Suy ra A 3 x 3 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là , xảy ra khi x 0 . 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 35
  34. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 6 PHỊNG GD&DT ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS TÂY HỒ Năm học 2020 – 2021 Mơn kiểm tra: TỐN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. a) Tính giá trị của biểu thức M 5 200 3 450 2 50 : 10 b) So sánh 9 17. 9 17 và 3 17 2 x x 1 2 x 1 Bài 2. Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 0,25 . x 2 b) Chứng minh rằng: B . x 1 A 3 c) Tìm giá trị của x để . B 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 18x 9 8 x 4 2 x 1 12 b) 4x 1 x 3 0 Bài 4. Cho ABC vuơng tại A , đường cao AH . a) Cho AB 24cm, AC 18cm . Tính HB,, HC B (Làm trịn đến độ). b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Chứng minh AM. AB AC2 HC 2 . 2 2 c) Chứng minh: SBCSAMN sin .sin . ABC . Bài 5. a) Giải bài tốn sau: Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một gĩc 21 . Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 12 km/h thì sau bao lâu ( tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 300 mét( cách mặt nước biển 300m)? ( Kết quả làm trịn đến phút). 20202 2020 b) Chứng minh rằng: P 1 20202 cĩ giá trị là số tự nhiên. 20212 2021 Hết Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 36
  35. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. a) Tính giá trị của biểu thức M 5 200 3 450 2 50 : 10 b) So sánh 9 17. 9 17 và 3 17 Lời giải a) M 5 200 3 450 2 50 : 10 M 5 100.2 3 225.2 2 25.2 : 10 M 50 2 45 2 10 2 : 10 M 15 2 : 10 3 5 b) Ta cĩ 9 17. 9 17 9 17 . 9 17 81 17 64 và 3 17 9.17 153 Do 64 153 nên 9 17. 9 17 3 17 2 x x 1 2 x 1 Bài 2. Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 0,25 . x 2 b) Chứng minh rằng: B . x 1 A 3 c) Tìm giá trị của x để . B 2 Lời giải a) Tính giá trị của A khi x 0,25 . Ta thấy x 0,25 thỏa mãn điều kiện xác định x 0 . Thay x 0,25 vào biểu thức A ta được: 2 0,25 2 0,5 A 5 0, 25 0,5 x 2 b) Chứng minh B . x 1 x 1 2 x 1 B x x x x 1 x 1 2x 1 x 1 2 x 1 x. x 1 x . x 1 x . x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 37
  36. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x. x 2 x 2 x. x 1 x 1 A 3 c) Tìm giá trị của x để . B 2 A2 x x 2 2 x x 1 x 1 :. B x x 1 x x 2 x A 3 x 1 3 x 1 3 2 x suy ra 0 0 B 2 x2 x 2 2 x 2 x 0 (vì 2x 0,  x 0 ) 2 x 0 x 4 . A 3 Vậy 0 x 4 thì B 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 18x 9 8 x 4 2 x 1 12 b) 4x 1 x 3 0 Lời giải a) 18x 9 8 x 4 2 x 1 12 1 Điều kiện xác định: x 2 18x 9 8 x 4 2 x 1 12 3 2x 1 2 2 x 1 2 x 1 12 4 2x 1 12 2 x 1 3 2 x 1 9 x 5 t/m Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 5 . b) 4x 1 x 3 0 1 4x 1 0 x 1 Điều kiện: 4 x x 3 0 4 x 3 4x 1 x 3 0 4 x 1 x 3 2 4x 1 x 3 x (tm) 3 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm là x . 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 38
  37. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Bài 4. Cho ABC vuơng tại A , đường cao AH . a) Cho AB 24cm, AC 18cm . Tính HB,, HC B ( Làm trịn đến độ). b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Chứng minh AM. AB AC2 HC 2 . 2 2 c) Chứng minh: SBCSAMN sin .sin . ABC . Lời giải B M H A N C a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ABC cĩ đường cao AH ta cĩ: BC2 AB 2 AC 2 24 2 18 2 30cm AB224 2 HB. BC AB2 HB 19,2cm BC 30 HC BC HB 30 19,2 4,8cm AC 18 sinBB  37  BC 30 b) Xét tam giác vuơng AHB cĩ HM là đường cao: AM. AB AH 2 Xét tam giác vuơng AHC cĩ: AC2 HC 2 AH 2 AM. AB AC2 HC 2 AH 2 1 c) S AM AN AMN 2 Xét tam giác vuơng AHC cĩ HN là đường cao: AN. AC AH 2 AH2 AH 2 AB. AC AM . AB AN . AC 1 1 sin2B .sin 2 C . S . . . . . AM . AN ( ABC AB2 AC 2 2AB AC 2 2 ĐPCM) Bài 5. a) Giải bài tốn sau: Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 39
  38. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một gĩc 21 . Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 12 km/h thì sau bao lâu ( tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 300 mét( cách mặt nước biển 300m)? ( Kết quả làm trịn đến phút). 20202 2020 b) Chứng minh rằng: P 1 20202 cĩ giá trị là số tự nhiên. 20212 2021 Lời giải A C B 10 a) 12 km/h= m/s 3 Gọi các vị trí của tàu là ABC,, như trên hình BC Ta cĩ: Tam giác ABC vuơng tại A : sin A AB BC AB sin A BC 10 300 10 Thời gian tàu đi được là : : 251,14 s 4( phút) sinA 3 sin 21 3 20202 2020 2021 2 2020 2 .2021 2 2020 2 2020 b) P 1 20202 202122021 2021 2 2021 2020 1 2 20202 2020 1 2 2020 2 2020 P 2021 20202 2.2020 1 2020 2 2020 2 2020 2 2.2020 1 2020 P 2021 20204 2.2020 3 3.2020 2 2.2020 1 2020 P 2021 2 2 2 2020 2020 1 2020 20202 2020 1 2020 2020 1 P 2021 2021 2021 2021 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 40
  39. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 7 PHỊNG GD&DT ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS TƠ HỒNG Năm học 2020 – 2021 Mơn kiểm tra: TỐN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. Thực hiện phép tính a) 8 3 32 72 1 5 5 b) 45 15 5 5 11 c) 7 4 3 24 2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 a) 4x 1 3 b) 4x 8 36 x 72 16 x 2 c) 2 x2 4 x 4 1 3 x x x 3 2 7 x 13 Bài 3. Cho biểu thức A và B với x 0; x 9 x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x . 4 x 2 b) Chứng minh rằng: B . x 1 A c) Cho P . Tìm tất cả các số tự nhiên x để P 1. B Bài 4. 1) Tính chiều cao của ngọn hải đăng? Biết rằng tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất 1 gĩc 35 và bĩng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài . 2) Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB 4cm ; BC 3cm . Kẻ BH AC tại H , tia BH cắt đường thẳng AD tại E . a) Tính AC , BH và BAC b) Từ E kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng BC tại F . Chứng minh BH BE AH AC c) Chứng minh BHF∽ BCE và tính SBHF . Bài 5. Cho ba số khơng âm x, y , z thỏa mãn điều kiện x y z 6 . Chứng minh rằng: x y y z z x 6 . Hết Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 41
  40. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Thực hiện phép tính a) 8 3 32 72 1 5 5 b) 45 15 5 5 11 c) 7 4 3 24 2 3 Lời giải a) 8 3 32 72 2 2 3.4 2 6 2 4 2 1 5 5 5 5 1 5 b) 45 15 3 5 15. 3 5 3 5 1 5 1 5 5 5 5 5 11 11 2 3 c) 7 4 3 24 4 4 3 3 24 2 3 2 3 2 3 11 2 3 2 2 3 24 22 11 3 2 3 24 12 3 4 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 a) 4x 1 3 b) 4x 8 36 x 72 16 x 2 c) 2 x2 4 x 4 1 3 x Lời giải 1 a) 4x 1 3 ( ĐK: x ) 4 4x 1 9 4x 8 x 2 tm Vậy phương trình trên cĩ tập nghiệm là S 2 . 1 b) 4 x 8 36 x 72 16 x 2 (ĐK: x 2 ) 2 1 .2x 2 6 x 2 16 x 2 2 x 2 6 x 2 x 2 16 8x 2 16 x 2 2 x 2 4 x 2 tm Vậy phương trình trên cĩ tập nghiệm là S 2 . c) x2 4 x 4 1 3 x x 2 2 3 x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 42
  41. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 x 2 3 x 1 (ĐK: x ) 3 x 2 3 x 1 neu x 2 2 x 3 x 1 neu x 2 1 x l 2 3 x tm 4 3  Vậy phương trình trên cĩ tập nghiệm là S . 4  x x 3 2 7 x 13 Bài 3. Cho biểu thức A và B với x 0; x 9 x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x . 4 x 2 b) Chứng minh rằng: B . x 1 A c) Cho P . Tìm tất cả các số tự nhiên x để P 1. B Lời giải 1 a) Thay x tm vào A ta được: 4 1 4 1 1 1 3 1 A : 1 : 1 2 2 2 2 3 1 4 1 1 Vậy tại x thì A . 4 3 x 3 2 7 x 13 b) B x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 2 7 x 13 B x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 3 2 x 1 7x 13 B x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 9 2 x 2 7 x 13 B x 1 x 3 x 2 x 3 B x 1 x 3 x 2 B với x 0; x 9 x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 43
  42. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy A c) P B x x 2 P : x 1 x 1 x P x 2 x Để P 1 thì 1 x 2 x 1 0 x 2 x x 2 0 x 2 2 0 (Tử và mẫu khác dấu) x 2 x 2 0 x 4 Kết hợp ĐK x 0, x 9 0 x 4 Vậy để P 1 thì 0 x 4 Bài 4. 1) Tính chiều cao của ngọn hải đăng? Biết rằng tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất 1 gĩc 35 và bĩng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài . 2) Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB 4cm ; BC 3cm . Kẻ BH AC tại H , tia BH cắt đường thẳng AD tại E . a) Tính AC , BH và BAC b) Từ E kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng BC tại F . Chứng minh BH BE AH AC c) Chứng minh BHF∽ BCE và tính SBHF . Lời giải 1) Ta thấy rằng tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất 1 gĩc 35 và bĩng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài 20m tạo thành tam giác vuơng ONP như hình vẽ. Chiều cao của ngọn hải đăng là NP 20.tan 35  14 m 2) Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 44
  43. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy a) +) Áp dụng định lý pitago cho tam giác ABC vuơng tại B ta cĩ AC2 AB 2 BC 2 AC 5cm . +) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuơng tại B đường cao BH ta cĩ: AB. BC 4.3 AC. BH AB . BC BH 2,4cm AC 5 BC 3 +) Trong ABC: sin BAC BAC 37  AC 5 a) Trong ABE:. AB2 BH BE (1) Trong ABC: AB2 AH . AC (2) Từ 1 ; 2 ta cĩ BH BE AH AC . b) Ta cĩ : BHC BFE 90  ; B chung nên HBC∽ FBE g-g BC BH BC BE BE BF BH BF BC BE Xét BHF va BCE cĩ và HBC chung nên BHF∽ BCE (g-g) BH BF Ta cĩ tứ giác DCFE là hình chữ nhật BC BH HC 1,8 9 Ta cĩ HBC∽ FBE g-g BE BF EF 4 20 20 16 7 Suy ra BE cm; BF cm; CF cm 3 3 3 1 1 1 16 1 7 2 SSSBCE BEF CFE BF FE CF FE . .4 . .4 6 cm 2 2 2 3 2 3 2 2 SBCE BC 6 3 25 Vì BHF∽ BCE nên SBHF BH S BHF 2,4 16 2 SBHF 3,84 cm Bài 5. Cho ba số khơng âm x, y , z thỏa mãn điều kiện x y z 6 . Chứng minh rằng: x y y z z x 6 . Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau luơn đúng: Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 45
  44. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy a b c 2 3 a2 b 2 c 2 Thật vậy: a b c 2 3 a2 b 2 c 2 0 abc2 2 2 2 ab 2 acbca 2 3 2 3 b 2 3 c 2 0 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 ac 2 bc 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 (luơn đúng với mọi a,b,c) Dấu '' '' xảy ra khi a b c . Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 2 xy yz xz 3 xyyzxz 2 x y y z x z 3 2 x 2 y 2 z 2 x y y z x z 3.2 x y z 2 x y y z x z 36 x y y z x z 6(ĐPCM) Dấu '' '' xảy ra khi x y z 2 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 46
  45. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 8 PHỊNG GD&DT ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS VÀ THPT Năm học 2020 – 2021 LƯƠNG THẾ VINH Mơn kiểm tra: TỐN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. Tính: a) 14 6 5 21 4 5 3 5 2 3 2 3 15 2 3 b) 2. 2 3 2 5 2 Bài 2. Cho biểu thức: 2x x 3 x 9 1 4 A : (với x 0 , x 9 ). x 3 x 3 x 9 x x x 3 a) Rút gọn A . 1 b) Tìm x để A . 3 1 c) Tìm các giá trị của x để A . 2 d) Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 3. Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB . Gọi I là điểm bất kì trên nửa đường trịn ( I khác A , B ); kẻ IH vuơng gĩc AB H AB ; Vẽ đường trịn tâm I bán kính IH . a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của I; IH b) Chứng minh: IH2 AH. HB c) Kẻ các tiếp tuyến AM , BN với đường trịn tâm I ( M , N là các tiếp điểm khác H ). Chứng minh: ba điểm M , I , N thẳng hàng và MN là tiếp tuyến của O . d) Tìm vị trí của điểm I trên nửa đường trịn tâm O để tứ giác AMNB cĩ diện tích lớn nhất. 4x 2 Bài 4. Cho 0 x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 x x Hết Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 47
  46. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Tính a) 14 6 5 21 4 5 3 5 2 3 2 3 15 2 3 b) 2. 2 3 2 5 2 Lời giải a) 14 6 5 21 4 5 3 5 9 2.3. 5 5 20 2.2 5.1 1 3 5 2 2 3 5 2 5 1 3 5 3 5 2 5 1 3 5 3 5 2 5 1 3 5 4 2 3 2 3 15 2 3 b) 2. 2 3 2 5 2 2 2 3 3. 2 5 4 2 3 2 2. 2 22 3 2 5 2 7 4 3 3 3 1 6 2 3 1 Bài 2. Cho biểu thức 2x x 3 x 9 1 4 A : (với x 0 , x 9 ). x 3 x 3 x 9 x x x 3 a) Rút gọn A . 1 b) Tìm x để A . 3 1 c) Tìm các giá trị của x để A . 2 d) Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải a) Với x 0 , x 9 , ta cĩ: 2x x 3 x 9 1 4 A : x 3 x 3 x 9 x x x 3 2x x 3 x x 3 3x 9 x 3 4 A : x 3 x 3 x 3 x 3x 9 x x 3 x x 3 2x 6 x x 3 x 3 x 9 x 1 A : x 3 x 3 x x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 48
  47. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3x 9 x x 3 A . x 3 x 3 x 1 3 x A x 1 3 x Vậy với x 0 , x 9 thì A . x 1 1 3x 1 b) Để A thì 3 x 1 3 9x x 1 8x 1 1 x 8 1 x (thỏa mãn điều kiện xác định) 64 1 1 Vậy với x thì A . 64 3 1 3x 1 c) Để A thì 2 x 1 2 3x 1 x 1 2 3x 1 0 x 1 2 6x x 1 0 2 x 1 5x 1 0 2 x 1 5x 1 và 2 x 1 cùng dấu 1 1 Mà 2x 1 0 với mọi x 0 , x 9 nên 5x 1 0 x x 5 25 1 1 Kết hợp điều kiện suy ra x , x 9 thì A . 25 2 3x 0 d) Với x 0 , x 9 , ta cĩ: x 1 0 3 x A 0 1 x 1 3x 3 x 3 3 3 Mặt khác A 3 x 1 x 1 x 1 3 3 Vì 0 nên 3 3 2 x 1 x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 49
  48. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Từ 1 và 2 suy ra 3 A 0 Vì A nên A 2; 1 3 x +) Với A 2 thì 2 3x 2 x 2 x 2 x 4 (thoả mãn điều x 1 kiện). 3x 1 1 +) Với A 1 thì 1 3x x 1 2 x 1 x x (thoả x 1 2 4 mãn điều kiện). 1  Vậy với x 4;  thì A nhận giá trị nguyên. 4  Bài 3. Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB . Gọi I là điểm bất kì trên nửa đường trịn ( I khác A , B ); kẻ IH vuơng gĩc AB H AB ; Vẽ đường trịn tâm I bán kính IH . a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của I; IH b) Chứng minh: IH2 AH. HB c) Kẻ các tiếp tuyến AM , BN với đường trịn tâm I ( M , N là các tiếp điểm khác H ). Chứng minh: ba điểm M , I , N thẳng hàng và MN là tiếp tuyến của O . d) Tìm vị trí của điểm I trên nửa đường trịn tâm O để tứ giác AMNB cĩ diện tích lớn nhất. Lời giải a) Ta cĩ AB IH tại H . Mà H I; IH . Suy ra AB là tiếp tuyến của I; IH . b) Ta cĩ: I thuộc đường trịn đường kính AB nên AIB 90  . Xét AIB cĩ AIB 90  , IH AB . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ta cĩ: IH2 AH. HB . Vậy IH2 AH. HB . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 50
  49. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy c) Ta cĩ AM , AH là tiếp tuyến của I; IH . Suy ra AM AH và IA là phân giác của MIA MIA AIH . Ta cĩ BN , BH là tiếp tuyến của I; IH . Suy ra BN BH và IB là phân giác của NBH NIB BIH . Ta cĩ MIN MIH HIN 2 AIH 2 BIH 2 AIH BIH 2 AIB 2.90  180  . Suy ra M , I , N thẳng hàng. Ta cĩ AM MN , BN MN AM// BN . Xét tứ giác AMNB cĩ AM// BN và AMI 90  nên tứ giác AMNB là hình thang vuơng. Trong hình thang vuơng AMNB cĩ I là trung điểm MN (do IM IN ) O là trung điểm AB (do OA OB ) Do đĩ OI là đường trung bình của hình thang vuơng AMNB . Suy ra OI// AM . Mà AM MN OI  MN . Mặt khác IO MN là tiếp tuyến của O . 1 d) Tứ giác AMNB là hình thang vuơng nên S AM BN . MN . AMNB 2 Mà AM AH , BN BH AM BN AH BH AB . Và MN MI IN 2 IH . 1 Do đĩ S AB.2 IH AB . IH AMNB 2 Mà AB khơng đổi nên SAMNB đạt giá trị lớn nhất khi IH lớn nhất. Ta cĩ IH IO Do đĩ IH IO hay HO . max Khi đĩ I là điểm chính giữa AB . Vậy khi I là điểm chính giữa AB thì diện tích AMNB lớn nhất. 4x 2 Bài 4. Cho 0 x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 x x Lời giải 4x 2 A 1 1 2 x x 4x 2 x 4 x 2 x A 1 2 . 2 x x 2 x x A 1 4 A 5 4x 2 x Dấu bằng xảy ra khi 2 x x 4x2 x 2 2 3x2 4 x 4 0 x 2 3 x 2 0 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 51
  50. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x 2 loại 2 x thoả mãn 3 2 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A 5 khi x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 52
  51. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 9 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I THCS AN KHÁNH MƠN TỐN 9 Năm học 2020 – 2021 Thời gian: 90 phút A. Trắc nghiệm (3,0 điểm) Câu 1. Biểu thức x 2 xác định với giá trị nào của x : A. x 2. B. x 2 . C. x 2 . D. x 2. 2 Câu 2. Kết quả của biểu thức 2 3 là A. 2 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 2 3 . Câu 3. Biểu thức 3 27 cĩ giá trị là A. 9. B. 9. C. 3 . D. 3. Câu 4. Biểu thức 68 : 17 cĩ giá trị là A. 2 . B. 2. C. 16 . D. 16. Câu 5. Biểu thức 27. 3 cĩ giá trị là A. 9. B. 9. C. 81. D. 81. Câu 6. Giá trị của x để 2x 1 3 là A. x 2 . B. x 4 . C. x 13. D. x 11. Câu 7. Nếu 9x 4 x 3 thì cĩ giá trị x là 9 A. x 3. B. x . C. x 9 . D. x 4 . 5 Câu 8. Căn bậc hai số học của 9 là: A. 3. B. 3. C. 9. D. 81. Câu 9. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AH BC thì hệ thức nào sau đây sai 1 1 1 A. AB2 BH. BC . B. AB AC AH BC . C. . D. AH AB AC AH2 BH. CH . Câu 10. Tam giác ABC vuơng tại A thì sin B bằng tỉ số nào sau đây: AC AB AC AB A. . B. . C. . D. . BC BC AB AC Câu 11. Tam giác ABC vuơng tại A thì hệ thức nào sau đây sai A. AB AC.tan B . B. AB BC.cos B . C. AB BC.sin C . D. AB AC.tan C . Câu 12. Tam giác ABC vuơng tại A . Kẻ đường cao AH . Biết BH 3 cm , CH 12 cm thì độ dài AH là A. 9. B. 6 . C. 15 . D. 36. B. Tự luận (7,0 điểm) Bài 1: Rút gọn biểu thức: Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 53
  52. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 4 4 a) 7 2 4 200 3 450 : 50 b) 3 1 3 1 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm x , biết: 2 3 a) 3x 2 8 b) 9x 27 2 x 3 4 x 12 2 2 x2 x 1 2 x x 3 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức: A với x 0; x 9 x 3 x 3 x 9 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 2 Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuơng ở A , đường cao AH , C 30 , BC 10 cm a) Tính AB, AC , AH . b) Gọi MN, lần lượt là chân đường vuơng gĩc kẻ từ H xuống AB , AC . Tính MN . 1 1 1 9 Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b , c 0 chứng minh: a b c a b c Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 54
  53. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Biểu thức x 2 xác định với giá trị nào của x : A. x 2. B. x 2 . C. x 2 . D. x 2. Lời giải Chọn B 2 Câu 2. Kết quả của biểu thức 2 3 là A. 2 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 2 3 . Lời giải Chọn C 2 2 3 2 3 3 2 Câu 3. Biểu thức 3 27 cĩ giá trị là A. 9. B. 9. C. 3 . D. 3. Lời giải Chọn C Câu 4. Biểu thức 68 : 17 cĩ giá trị là A. 2 . B. 2. C. 16 . D. 16. Lời giải Chọn A 68 : 17 68:17 4 2 Câu 5. Biểu thức 27. 3 cĩ giá trị là A. 9. B. 9. C. 81. D. 81. Lời giải Chọn A 27. 3 81 9 Câu 6. Giá trị của x để 2x 1 3 là A. x 2 . B. x 4 . C. x 13. D. x 11. Lời giải Chọn B 1 2x 1 3 x 2 x 1 9 x 4 (Nhận) 2 Câu 7. Nếu 9x 4 x 3 thì cĩ giá trị x là 9 A. x 3. B. x . C. x 9 . D. x 4 . 5 Lời giải Chọn C 9x 4 x 3 3 x 2 x 3 x 3 x 9 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 55
  54. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Câu 8. Căn bậc hai số học của 9 là: A. 3. B. 3. C. 9. D. 81. Lời giải Chọn B Câu 9. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AH BC thì hệ thức nào sau đây sai? 1 1 1 A. AB2 BH. BC . B. AB AC AH BC . C. . D. AH AB AC AH2 BH. CH . Lời giải Chọn C 1 1 1 C sai vì AH2 AB 2 AC 2 Câu 10. Tam giác ABC vuơng tại A thì sin B bằng tỉ số nào sau đây: AC AB AC AB A. . B. . C. . D. . BC BC AB AC Lời giải Chọn A Câu 11. Tam giác ABC vuơng tại A thì hệ thức nào sau đây sai A. AB AC.tan B . B. AB BC.cos B . C. AB BC.sin C . D. AB AC.tan C . Lời giải Chọn A Câu 12. Tam giác ABC vuơng tại A . Kẻ đường cao AH . Biết BH 3 cm , CH 12 cm thì độ dài AH .à ?"A. 9. B. 6 . C. 15 . D. 36. Lời giải Chọn B AH2 BH. CH AH 2 12.3 36 AH 6 B. Tự luận (7 điểm) Bài 1: Rút gọn biểu thức: 4 4 a) 7 2 4 200 3 450 : 50 b) 3 1 3 1 Lời giải 2 a) 7 2 4 200 3 450 : 50 7 2 40 2 45 2 : 50 2 2 : 5 2 5 4 44 3 1 4 3 1 8 3 b) 4 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm x , biết: Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 56
  55. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 2 3 a) 3x 2 8 b) 9x 27 2 x 3 4 x 12 2 2 Lời giải a) 3x 2 2 8 3x 2 8 3x 2 8 3x 2 8 x 2 10 x 3 10  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 2;  . 3  3 b) 9x 27 2 x 3 4 x 12 2 (ĐK: x 3) 2 3x 3 2 x 3 3 x 3 2 4x 3 2 1 x 3 2 2 1 x 3 2 1 x 3 4 13 x 4 13  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  . 4  x2 x 1 2 x x 3 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức: A với x 0; x 9 x 3 x 3 x 9 1 b) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 2 Lời giải x x 3 2 x 1 x 3 2 x x 3 A x 3 x 3 x 3 x 2 x 6 x x 3 2 x x 3 A x 3 x 3 x 3 x A x 3 x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 57
  56. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x x 3 A x 3 x 3 x A x 3 1 c) Để A 2 x 1 x 3 2 2x x 3 3x 3 x 1 x 1(TMĐK) 1 Vậy với x 1thì A . 2 Bài 4. ( 2,5 điểm) Cho ABC vuơng ở A , đường cao AH , C 30 , BC 10 cm a) Tính AB, AC , AH . b) Gọi MN, lần lượt là chân đường vuơng gĩc kẻ từ H xuống AB , AC . Tính MN . Lời giải A N M C B H a) ABC vuơng ở A , đường cao AH , C 30 , BC 10 cm (giả thiết) +) Cĩ AB BC.sin C (Hệ thức giữa cạnh và gĩc trong tam giác vuơng) AB 10.sin30  1 AB 10. 2 AB 5 cm +) Cĩ AC BC.cos C (Hệ thức giữa cạnh và gĩc trong tam giác vuơng) AC 10.cos30  Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 58
  57. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 3 AC 10. 2 AC 5 3 cm 1 1 1 1 1 1 +) Cĩ ( Do áp dụng hệ thức trong tam giác vuơng) AH2 AB 2 AC 2 h2 b 2 c 2 2 2 AB2. AC 2 5 . 5 3 5 3 AH cm AB2 AC 2 52 5 3 2 2 b) ABC vuơng ở A , đường cao AH . Cĩ MN, lần lượt là chân đường vuơng gĩc kẻ từ H xuống AB , AC (giả thiết) nên AMHN là hình chữ nhật (vì là tứ giác cĩ ba gĩc vuơng). MN AH (tính chất về hai đường chéo của hình chữ nhật) 5 3 5 3 Mà AH MN AH cm 2 2 1 1 1 9 Bài 5. (0,5 điểm) Cho a, b , c 0 chứng minh: . a b c a b c Lời giải 1 1 1 Cĩ a, b , c 0 , , 0 a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta cĩ: a b c 33 abc 1 1 1 1 33 a b c abc 1 1 1 1 a b c . 93 abc . a b c abc 1 1 1 a b c . 9 a b c 1 1 1 9 (đpcm). a b c a b c Dấu "" xảy ra khi a b c . Ngơ Nguyễn Thanh Duy Trang 59
  58. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 10 TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9 Câu 1. Thực hiện phép tính. 2 a) A 3 125 2 5 . 20 5 b) B 2 7 11 4 7 . 5 2 cot 32 c) C sin2 25  sin 2 65  tan 35  cot 55  . tan 58 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 9x 27 x 3 6 b) x2 2 x 1 x 1 0 x 2 2x 5 x 2 x 1 Câu 3. Cho biểu thức A và B với x 0, x 4 . x x 1 x 2 x 2 x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 2) Rút gọn biểu thức B . 1 3) Tìm các giá trị của x để B . 2 6A 4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . B Câu 4. (3,5 điểm) 1. Một con thuyền đi qua một khúc sơng theo hướng từ B đến C (như hình vẽ) với vận tốc 3,5 km/h trong 12 phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sơng một gĩc 25 . Hãy tính chiều rộng của khúc sơng? (Kết quả tính theo đơn vị km, làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) 2. Cho tam giác ABC nhọn cĩ đường cao AH . Gọi E là hình chiếu của H trên AB . a. Biết AE 3,6 cm; BE 6, 4 cm. Tính AH , EH và gĩc B (Số đo gĩc làm trịn đến độ) b. Kẻ HF vuơng gĩc với AC tại F . Chứng minh AB AE AC AF . c. Đường thẳng qua A và vuơng gĩc với EF cắt BC tại D ; EF cắt AH tại O . S Chứng minh rằng S AOE . ADC sin2BC .sin 2 Câu 5. Giải phương trình 2 2x 1 8 3 x 3 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 0
  59. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Thực hiện phép tính. 2 a) A 3 125 2 5 . 20 5 b) B 2 7 11 4 7 . 5 2 cot 32 c) C sin2 25  sin 2 65  tan 35  cot 55  . tan 58 Lời giải 2 a) A 3 125 2 5 3 25.5 2 5 15 5 2 5 16 5 2 20 5 b) B 2 7 11 4 7 5 2 2 2 5 5 2 7 22 2.2 7 7 5 2 2 5 5 2 2 7 2 7 5 2 2 7 2 7 5 7 2 7 2 5 3 5 cot 32 c) C sin2 25  sin 2 65  tan 35  cot 55  . tan 58 tan 58 C sin2 25  cos 2 25  ( tan 35  tan 35  ) tan 58 1 0 1 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 9x 27 x 3 6 b) x2 2 x 1 x 1 0 Lời giải a) 9x 27 x 3 6 ( Điều kiện x 3 ) 9 x 3 x 3 6 3x 3 x 3 6 2x 3 6 x 3 3 x 3 9 x 12 TM Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 1
  60. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Vậy x 12 b) x2 2 x 1 x 1 0 ( Điều kiện x 1 ) x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 1 0 x 1 0 x 1 1 0 x 1 0 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 TM x 0 TM Vậy x 1;0 x 2 2x 5 x 2 x 1 Câu 3. Cho biểu thức A và B với x 0, x 4 . x x 1 x 2 x 2 x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9. 2) Rút gọn biểu thức B . 1 3) Tìm các giá trị của x để B . 2 6A 4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . B Lời giải 1) Cĩ x 9 (thỏa mãn điều kiện) 9 2 3 2 1 A . 9 9 1 9 3 1 13 1 Vậy khi x 9 thì A 13 2x 5 x 2 x 1 2) B x 2 x 2 x x 2x . x 5 x 2 x 1 x 2 B x x 2 x x 2 x x 2 2x 5 x 2 x x 2 B x x 2 x x 2 x x 2 2x 5 x 2 x x 2 B x x 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 2
  61. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x 4 x 4 B x x 2 2 x 2 x 2 B x x 2 x x 2 Vậy B x 1 3) B 2 x 2 1 x 2 x 2 1 0 x 2 2x 4 x 0 x 3x 4 0 2 x 3x 4 0 4 x 3 16 x 9 1 16 Kết hợp điều kiện để B thì 0 x 2 9 6A 4) M với x 0, x 4 B 6 x 2 x 2 M : x x 1 x 6 x 2 x M . x x 1 x 2 6 x M . x x 1 1 x M. 6 x x 1 6x x 1 1 x 1 M x x 6 1 2x . 1 (Áp dụng bất đẳng thức Cơ si với 2 số dương) M x 6 1 2x . 1 M x 6 3 M M 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 3
  62. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x x 1 (thỏa mãn) x Vậy giá trị lớn nhất của M 2 khi x 1. Câu 4. 1. Một con thuyền đi qua một khúc sơng theo hướng từ B đến C (như hình vẽ) với vận tốc 3,5 km/h trong 12 phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sơng một gĩc 25 . Hãy tính chiều rộng của khúc sơng? (Kết quả tính theo đơn vị km, làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải Đổi 12 phút 0,2 giờ. Ta cĩ BC 3,5.0,2 0,7 (km) ABC vuơng tại A cĩ AC BC.sin B 0,7.sin25  0,3km. Vậy chiều rộng của khúc sơng là 0,3km. 2. Cho tam giác ABC nhọn cĩ đường cao AH . Gọi E là hình chiếu của H trên AB . a. Biết AE 3,6 cm; BE 6, 4 cm. Tính AH , EH và gĩc B (Số đo gĩc làm trịn đến độ) b. Kẻ HF vuơng gĩc với AC tại F . Chứng minh AB AE AC AF . c. Đường thẳng qua A và vuơng gĩc với EF cắt BC tại D ; EF cắt AH tại O . S Chứng minh rằng S AOE . ADC sin2BC .sin 2 Lời giải a. Ta cĩ AB AE EB 3,6 6, 4 10 cm. ABH vuơng tại H , đường cao EH cĩ AH2 AE. AB 3,6.10 (hệ thức lượng) AH 6 cm. EH2 AE. BE 3,6.6,4 (hệ thức lượng) EH 4,8 cm. AH 6 sin B AB 10 B 64  . b. Kẻ HF vuơng gĩc với AC tại F . Chứng minh AB AE AC AF . AHC vuơng tại H , đường cao FH cĩ AH2 AF. AC (hệ thức lượng) Mà AH2 AE. AB (cmt) Do đĩ AE AB AF AC . c. Đường thẳng qua A và vuơng gĩc với EF cắt BC tại D ; EF cắt AH tại O . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 4
  63. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy S Chứng minh rằng S AOE . ADC sin2BC .sin 2 AE AF Từ AE AB AF AC (cmt) . AC AC Xét AEF và ACB cĩ AE AF (cmt) AC AC Chung BAC AEF∽ ACB (g – c – g) AEF ACB (2 gĩc tương ứng). Ta cĩ AOE OAK 90  (gĩc ngồi của OAK ) ADC OAK 90  (gĩc ngồi của AHD ) AOE ADC . Xét AOE và ADC cĩ AEF ACB (cmt) AOE ADC (cmt) AOE∽ ADC (g – g) 2 SAOE AE AE AF AE AF . (Do ). SADC AC AC AB AC AC AE AB AF AC . AB2 AC 2 AH2 AH 2 . (Do AE AB AF AC AH 2 ). AB2 AC 2 sin2BC .sin 2 S S AOE (đpcm). ADC sin2BC .sin 2 Câu 5. Giải phương trình 2 2x 1 8 3 x 3 . Lời giải 1 Điều kiện xác định : x 2 2 2x 1 8 3 x 3 2 2x 1 3 3 x 3 2 0 2 2x 10 x 5 2 0 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 5
  64. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 4 1 x 5 0 2 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 x 5 0 4 1 2 0 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 +) Với x 5 0 x 5 tm 4 1 +) Với 2 0 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 Ta cĩ: 1 2x 1 3 0  x 2 2 1 3x 3 2 3 x 3 4 0  x 2 4 1 1 Do đĩ: 2 0 x 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 2 4 1 Suy ra 2 0 (vơ nghiệm) 2x 1 3 3x 3 2 3 x 3 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 5 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 6
  65. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 11 PHỊNG GD VÀ ĐT QUẬN HAI BÀI TRƯNG – TRƯỜNG THCS LÊ NGỌC HÂN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9 x 1 x 3 1 2 Câu 6. (2,5 điểm) Cho hai biểu thức: A và B với x 0; x 9 x 3 x 9 x 3 3 x a) Tính giá trị của biểu thức A với x 0, 25 b) Rút gọn biểu thức B B c) Cho P . Chứng minh rằng P 1 với mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện. A Câu 7. (2 điểm) Tìm x, biết: x 3 a) 25x 75 15. 2 4 x 3 25 b) x2 2 x 1 2 x 3 Câu 8. Một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu để nĩ tạo với phương nằm ngang của mặt đất một gĩc an tồn 650 (làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) Câu 9. Cho đường trịn OR; , đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax , lấy điểm C trên tia Ax AC R . Từ C kẻ tiếp tuyến CD với O ( D là tiếp điểm) . a) Chứng minh bốn điểm ACDO,,, cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh OC// BD . c) Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt tia BD tại M . Chứng minh OCMB là hình bình hành. d) Gọi K là giao điểm của CD và OM ; E là giao điểm của CM và OD ; I là giao điểm của AM và OC . Chứng minh EKI,, thẳng hàng Câu 10. Cho x,, y z là các số thực khơng âm thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2 x2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1  HẾT  Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 7
  66. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 3 1 2 Câu 11. Cho hai biểu thức: A và B với x 0; x 9 x 3 x 9 x 3 3 x a) Tính giá trị của biểu thức A với x 0, 25 b) Rút gọn biểu thức B B c) Cho P . Chứng minh rằng P 1 với mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện A Lời giải a) Thay x 0, 25 (tmđk) vào biểu thức A, ta cĩ: 0,25 1 0,5 1 1,5 3 A 0, 25 3 0,5 3 2,5 5 3 Vậy giá trị của A tại x 0, 25 5 x 3 1 2 b) B x 9 x 3 3 x x 3 x 3 2 x 3 B x 3 x 3 x 3 x B x 3 x 3 x B x 3 B c) P A x x 1 P : x 3 x 3 x P x 1 x x x 1 1 Xét hiệu P 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vì x 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1 x 1 0 0 x 1 PP 1 0 1 với mọi x thỏa mãn điều kiện Câu 12. (2 điểm) Tìm x, biết: x 3 a) 25x 75 15. 2 4 x 3 25 b) x2 2 x 1 2 x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 8
  67. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Lời giải x 3 a) 257515.x 24 x 3 ÐK: x 3 25 5x 3 3 x 3 4 x 3 2 4x 3 2 1 x 3 2 1 11 x 3 x ( tm ) 4 4 3 b) x2 2 x 1 2 x 3 ÐK : x 2 x 1 2 x 3 TH1: x 1 x 1 2 x 3 x 4 x 4( KTM ) 3 TH2: x 1 2 x 1 2 x 3 3x 2 2 x () TM 3 2 Vậy x . 3 Câu 13. (1,5 điểm) Một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu để nĩ tạo với phương nằm ngang của mặt đất một gĩc an tồn 650 (làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải Gọi khoảng cách chân thang cách chân tường một khoảng là x (m) ; (x > 0) x Ta cĩ: cos 650 x cos65 0 .3,5 1,479 m . 3,5 Vậy khoảng cách cần tìm là 1,479m 3,5m 65° x Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 9
  68. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Câu 14. Cho đường trịn OR; , đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy điểm C trên tia Ax AC R . Từ C kẻ tiếp tuyến CD với O (D là tiếp điểm) . a) Chứng minh bốn điểm ACDO,,, cùng thuộc một đường trịn. b) Chứng minh OC// BD . c) Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt tia BD tại M. Chứng minh OCMB là hình bình hành. d) Gọi K là giao điểm của CD và OM; E là giao điểm của CM và OD; I là giao điểm của AM và OC. Chứng minh EKI,, thẳng hàng Lời giải x C M E K N I D B A O a) Xét (O) cĩ: CA AB (CA là tiếp tuyến), CD OD (CD là tiếp tuyến) Suy ra CAO vuơng tại A, CDO vuơng tại D Gọi N là trung điểm OC CO CAO vuơng tại A cĩ AN là đường trung tuyến nên AN NC NO 2 CO CDO vuơng tại D cĩ DN là đường trung tuyến nên DN NC NO 2 CO Suy ra AN DN NC NO 2 Vậy ACDO,,, cùng thuộc đường trịn N, NA CÁCH 2: * Xét (O) cĩ: CA AB (CA là tiếp tuyến), CD OD (CD là tiếp tuyến) Suy ra CAO vuơng tại A, CDO vuơng tại D  ACDO,,, cùng thuộc đường trịn đường kính CO (sự xác định đường trịn b) ADB nội tiếp đường trịn (O) cĩ AB là đường kính nên ADB vuơng tại D, hay BD AD (1) Ta cĩ CA CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên C thuộc đường trung trực đoạn thẳng AD (2) OA OD R nên O thuộc đường trung trực đoạn thẳng AD (3) Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 10
  69. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Từ (2) và (3) suy ra CO là đường trung trực của AD hay CO AD (4) Từ (1) và (4) suy ra OC// BD c) ACO CAO 90  và OMB MOB 90  cĩ OA OB R ; COA MBO (đồng vị và OC// BD ) Vậy ACO OMB (cgv-gnk) Suy ra CO MB (hai cạnh tương ứng) Tứ giác OCMB cĩ CO MB và OC// MB nên là hình bình hành. d) Ta cĩ CM// OB (do OCMB là hình bình hành) nên EMD DBO (hai gĩc so le trong) mà DBO BDO MDE Vậy EMD MDE nên EMD cân tại E. Do đĩ EM ED Mặt khác: CM OD BO Suy ra: EC EO suy ra ECO cân tại E AOMC là hình chữ nhật CAO AOM OMC 90  I là giao điểm của CO và AM nên I là trung điểm CO. ECO cân tại E cĩ EI là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đĩ: EI CO (5) ECO cĩ K CD  OM mà CD và OM là các đường cao của tam giác nên K là trực tâm của tam giác. Suy ra EK CO (6) Từ (5) và (6) suy ra EKI,, thẳng hàng. Câu 15. Cho x,, y z là các số thực khơng âm thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 2 2 thức: P 2 x x 1 2 y y 1 2 z z 1 Lời giải Vì x,, y z là các số thực khơng âm thỏa mãn x y z 1 0 x , y , z 1 x x 1 0 x1 2 x x 1 x 1 2 2 x2 x 1 x 1 2 2x2 x 1 x 1 Tương tự 2y2 y 1 y 1 và 2z2 z 1 z 1 2x2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 x 1 y 1 z 1 P 4 Dấu "" xảy ra x y 0, z 1 hoặc x z 0, y 1 hoặc z y 0, x 1  HẾT  Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 11
  70. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 12 PHỊNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS NAM TRUNG YÊN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I – NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN Câu 16. Thực hiện phép tính: 1 1 2 5 3 3 1) 5 4 3 25 64 2) 8 2 3 2 3) 3 2 2 2 3 x 5 x 2 x 1 x 4 x 9 A B Câu 17. Cho biểu thức 3 x và x 3 x 3 x 9 với x 0, x 9 . a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 . x b) Chứng minh rằng B x 3 B 1 c) Tìm x để . A 2 Câu 18. Giải phương trình: 1 4x 4 a) 9x 9 2 x 1 8 11 b) 2x 5 x 3 0 3 25 Câu 19. 1) Ngọn hải đăng Tiên Nữ cao 22,1m được xây dựng vào năm 2000 tại đảo Tiên Nữ thuộc quần đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hịa. Ngồi nhiệm vụ đảm bảo an tồn hàng hải trong khu vực quần đảo, ngọn hải đăng này cịn là cộc mốc chủ quyền của tổ quốc trên Biển Đơng. Một con tàu nhìn thấy ngọn hải đăng Tiên Nữ theo một gĩc là 10 15'. Hỏi con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu mét? (Làm trong kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 2) Cho ABC vuơng tại A , đường cao AH a) Khi AH 12 cm , AB 15 cm . Tính chu vi ABC và số đo BAH (làm trịn đến phút) b) Gọi DE, lần lượt là các hình chiếu của H trên cạnh AB,. AC Chứng minh rằng: HB HC AE AC AD AB c) Chứng minh BC AB.cos B AC .cos C Câu 20. Chứng minh rằng 1 1 1 1 4040 1.2020 2.2019 3.2018 2020.1 2021  HẾT  Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 12
  71. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 21. Thực hiện phép tính: 1 1 2 5 3 3 1) 5 4 3 25 64 2) 8 2 3 2 3) 3 2 2 2 3 Lời giải 1) 5 4 3 25 64 5.2 3.5 8 17 1 1 2) 8 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 3 3 3) 3 2 2 3 5 3 7 2 3 3 x 5 x 2 x 1 x 4 x 9 Câu 22. Cho biểu thức A và B với x 0, x 9 . 3 x x 3 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 . x b) Chứng minh rằng B x 3 B 1 c) Tìm x để . A 2 Lời giải x 5 a) Với x 0, x 9 ta cĩ: A 3 x Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 16 5 4 5 A 9 3 16 3 4 Vậy với x 16 thì A 9. x 2 x 1 x 4 x 9 b) B x 3 x 3 x 9 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 9 x x 6 x 2 x 3 x 4 x 9 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 x . x 3 B x3 x x c) Ta cĩ . A x 3 x 5 x 5 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 13
  72. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy B 1 x1 x 1 Để thì A 2 x 52 x 5 2 2x x 5 x 5 0 0 x 5 x 25 2 x 5 2 x 5 B 1 Kết hợp điều kiện xác định suy ra 0 x 25, x 9 thì . A 2 Câu 23. Giải phương trình: 1 4x 4 a) 9x 9 2 x 1 8 11 b) 2x 5 x 3 0. 3 25 Lời giải a) Điều kiện: x 1 1 4x 4 9x 9 2 x 1 8 11 3 25 1 2 .3.x 1 2 x 1 8. . x 1 11 3 5 11 .x 1 11 5 x 1 5 x 1 25 x 26 (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 26 . b) Điều kiện: x 0 2x 5 x 3 0 2x 2 x 3 x 3 0 2x x 1 3 x 1 0 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 0 1 (thỏa mãn điều kiện) 2x 1 0 x 4 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1; . 4  Câu 24. 1) Ngọn hải đăng Tiên Nữ cao 22,1m được xây dựng vào năm 2000 tại đảo Tiên Nữ thuộc quần đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hịa. Ngồi nhiệm vụ đảm bảo an tồn hàng hải trong khu vực quần đảo, ngọn hải đăng này cịn là cộc mốc chủ quyền của tổ quốc trên Biển Đơng. Một con tàu nhìn thấy ngọn hải đăng Tiên Nữ theo một gĩc là 10 15'. Hỏi con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu mét? (Làm trong kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 2) Cho ABC vuơng tại A , đường cao AH a) Khi AH 12 cm , AB 15 cm . Tính chu vi ABC và số đo BAH (làm trịn đến phút) b) Gọi DE, lần lượt là các hình chiếu của H trên cạnh AB,. AC Chứng minh rằng: Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 14
  73. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HB HC AE AC AD AB c) Chứng minh BC AB.cos B AC .cos C Lời giải AB 1) Xét tam giác ABC vuơng tại A cĩ tan BCA AC 22,1 AC 1012,9m tan1o 15' Vậy khoảng cách từ con tàu đến ngọn hải đăng là 1012,9m 2 a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ABC cĩ C 1 1 1 H AB2 AC 2 AH 2 E 1 1 1 152AC 2 12 2 12cm 1 1 1 AC 212 2 15 2 B 15cm D A 1 81 AC 212 2 .15 2 1 9 AC 180 AC 20 cm Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ABC cĩ AH BC AB AC 12.BC 15.20 15.20 BC 25 cm 12 Chu vi tam giác ABC là 15 20 25 60cm AH 12 4 Xét tam giác vuơng ABC cĩ cosHAB HAB 36,870 AB 15 5 b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ABC cĩ AH2 HB. HC (1) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng AHC cĩ AH2 AE. AC (2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng AHB cĩ AH2 AD. AB (3) Từ (1),(2),(3) suy ra HB HC AE AC AD AB c) Ta cĩ BC AB.cos B AC .cos C AB AC AB AC BC BC Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 15
  74. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy AB2 AC 2 AB 2 AC 2 BC BC BC BC2 AB 2 AC 2 (luơn đúng) Câu 25. Áp dụng bất đẳng thức Cosi, Ta cĩ: 1 2020 2 2019 2020 1 1.2020 ; 2.2019 ; ; 2020.1 (Dấu bằng khơng xảy ra do hai số 2 2 2 khác nhau) 1 2 1 2 1 2 ; ; ; 1.20202021 2.2019 2021 2020.1 2021 1 1 1 1 4040 1.2020 2.2019 3.2018 2020.1 2021 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 16
  75. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 13 PHỊNG GD&DT NAM TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH 1 Năm học 2020 – 2021 Mơn kiểm tra: TỐN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. 1) Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 5 5 5 5 a) A 5 20 45 b) B 5 6 5 2 5 1 5 2) Giải phương trình: a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 b) x x 1 3 x 2 2 x x x Bài 2. Cho hai biểu thức: A và với B : x 0; x 9 1 x x x 6 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 36 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Với x , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . . Bài 3. Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng 75inch ( đường chéo ti vi dài 75inch ) cĩ gĩc tạo bởi chiều rộng và đường chéo là 53 08' 1) Hỏi chiếc tivi ấy cĩ chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm? Biết 1inch 2,54cm (Kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai). 2) Người ta cần bao nhiêu cm inox để làm viền bao xung quanh chiếc ti vi đĩ? Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết BC 8cm, BH 2cm . 1) Tính độ dài các đoạn thẳng AB,, AC AH . 2) Trên cạnh AC lấy điểm KKAKC , , gọi D là hình chiếu của A trên BK . Chứng minh rằng: BD BK BH BC . 1 3) Chứng minh rằng: S S.cos2 ABD . BHD4 BKC Bài 5. Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết a b c 0, b c a 0, c a b 0. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: abcbcacababc Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 17
  76. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. 1) Rút gọn các biểu thức sau 1 1 5 5 5 5 a) A 5 20 45 b) B 5 6 5 2 5 1 5 2) Giải phương trình a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 b) x x 1 3 Lời giải 1) Rút gọn các biểu thức sau 1 1 1 a) A 5 20 45 5 .2 5 3 5 5 5 2 2 5 5 5 5 5 5 1 5 5 1 b) B 5 6 5 6 5 1 5 5 1 5 5 1 5 5 6 5 6 5 6 5 36 31 2) Giải phương trình a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 Điều kiện xác định: x 5 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 2x 5 3 x 5 4 x 5 15 x 5 15 x 5 225 x 220 t/m Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 220 . b) x x 1 3 Điều kiện: x 1 x x 1 3 x 1 x 3 x 1 ( x 3)2 x 1 x 2 6 x 9 x 3 x 3 2 x 2 x 7 x 10 0 x 5 x 5 x 3 x 3 Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 5. x 2 2 x x x Bài 2. Cho hai biểu thức: A và với B : x 0; x 9 1 x x x 6 x 3 x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 18
  77. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 36 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Với x , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . . Lời giải a) Thay x 36 tm vào A ta được 36 2 6 2 8 A 1 36 1 6 7 8 Vậy tại x 36 thì A 7 b) 2 x x x B : x x 6 x 3 x 3 2x x x 3 B . x 3 x 2 x 3 x 2x x x 2 x 3 B . x 3 x 2 x 2x x 2 x x 3 B . x 3 x 2 x x 4 x x 3 B . x 3 x 2 x x x 4 x 3 B . x 3 x 2 x x 4 B x 2 c) PAB . x 2 x 4 P . x 1 x 2 x 4 P x 1 3 P 1 x 1 Ta cĩ: x 0 x 1 1 3 3 x 1 3 1 4 x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 19
  78. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy P đạt giá trị lớn nhất bằng 4. Dấu “=” xảy ra khi x 0 Bài 3. Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng 75inch ( đường chéo ti vi dài 75inch ) cĩ gĩc tạo bởi chiều rộng và đường chéo là 53 08' 1) Hỏi chiếc tivi ấy cĩ chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm? Biết 1inch 2,54cm (Kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai). 2) Người ta cần bao nhiêu cm inox để làm viền bao xung quanh chiếc ti vi đĩ? Lời giải A B 53°08' D C a) Giả sử chiếc tivi cĩ dạng hình chữ nhật ABCD , đường chéo của chiếc tivi là 75 inch 75.2,54cm 190,5cm Xét ABC: A 90  ; AB BD.sin ADB 0 / AB 190,5.sin53 ,08 152,4 cm 0 / AD BD.cos ADB AD 190,5.cos53 08 114,29cm b) Số inox phải sử dụng để làm viền bao xung quanh chiếc tivi là: 152,4 114,29 .2 533,38cm Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết BC 8cm, BH 2cm . 1) Tính độ dài các đoạn thẳng AB,, AC AH . 2) Trên cạnh AC lấy điểm KKAKC , , gọi D là hình chiếu của A trên BK . Chứng minh rằng: BD BK BH BC . 1 3) Chứng minh rằng: S S.cos2 ABD . BHD4 BKC Lời giải B H D I C A K 1)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH : AB2 BH. BC 2.8 16 AB 16 4cm CH BC BH 8 2 6cm Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 20
  79. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy AC2 CH. CB 6.8 48 AC 48 4 3 cm AH2 CH. BH 2.6 12 AH 12 2 3 cm . 2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH : AB2 BH. BC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABK vuơng tại A , đường cao AD : BD. BK AB2 BH BC BD BK AB2 . 3) Kẻ KI BC I BC BKC: BI  BC 1 1 KI SBHD BHBD. .sin DBH . BHBD . . 1 2 2 BK 2 2 2 1 BD KI BD BC BH 1BD 1 BC S.cos ABD KI BC . KI BD KI BD BKC 2 AB 2.BHAB2 2 BH 2 BK ( Áp dụng câu b) BH2 1 1 BC 1 4.BH Lại cĩ: BC 4. BH . KI . BD . . KI BD . BC8 4 2 BK 2 BK 1 1 BH S.cos2 ABD . KI . BD . 2 4BKC 2 BK 1 Từ 1 , 2 suy ra S S.cos2 ABD (đpcm). BHD4 BKC Cách 2 Từ BD () BK BH BC BHD∽ BKC c g c 2 2 2 S BHD BD BD AB 1 2 2 2. 2 .cos ABD S BKC BC AB BC 4 Bài 5. Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết a b c 0, b c a 0, c a b 0. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: abcbcacababc Lời giải 1 1 4 Áp dụng bổ đề: Với x, y là các số dương, ta cĩ . x y x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y . 1 1 4 2 Khi đĩ, abcbcaabcbcab 1 1 4 2 bcacabbcacabc 1 1 4 2 abccababccaba Cộng vế với vế, ta được Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 21
  80. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 1 1 1 1 1 2 2 abcbcacab abc 1 1 1 1 1 1 Hay abcbcacababc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abcbcacab abc . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 22
  81. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 14 PHỊNG GD&DT NAM TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH 1 Năm học 2020 – 2021 Mơn kiểm tra: TỐN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. 1) Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 5 5 5 5 a) A 5 20 45 b) B 5 6 5 2 5 1 5 2) Giải phương trình: a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 b) x x 1 3 x 2 2 x x x Bài 2. Cho hai biểu thức: A và với B : x 0; x 9 1 x x x 6 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 36 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Với x , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . . Bài 3. Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng 75inch ( đường chéo ti vi dài 75inch ) cĩ gĩc tạo bởi chiều rộng và đường chéo là 53 08' 1) Hỏi chiếc tivi ấy cĩ chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm? Biết 1inch 2,54cm (Kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai). 2) Người ta cần bao nhiêu cm inox để làm viền bao xung quanh chiếc ti vi đĩ? Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết BC 8cm, BH 2cm . 1) Tính độ dài các đoạn thẳng AB,, AC AH . 2) Trên cạnh AC lấy điểm KKAKC , , gọi D là hình chiếu của A trên BK . Chứng minh rằng: BD BK BH BC . 1 3) Chứng minh rằng: S S.cos2 ABD . BHD4 BKC Bài 5. Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết a b c 0, b c a 0, c a b 0. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: abcbcacababc Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 23
  82. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. 1) Rút gọn các biểu thức sau 1 1 5 5 5 5 a) A 5 20 45 b) B 5 6 5 2 5 1 5 2) Giải phương trình a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 b) x x 1 3 Lời giải 1) Rút gọn các biểu thức sau 1 1 1 a) A 5 20 45 5 .2 5 3 5 5 5 2 2 5 5 5 5 5 5 1 5 5 1 b) B 5 6 5 6 5 1 5 5 1 5 5 1 5 5 6 5 6 5 6 5 36 31 2) Giải phương trình a) 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 Điều kiện xác định: x 5 4x 20 3 x 5 16 x 80 15 2x 5 3 x 5 4 x 5 15 x 5 15 x 5 225 x 220 t/m Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 220 . b) x x 1 3 Điều kiện: x 1 x x 1 3 x 1 x 3 x 1 ( x 3)2 x 1 x 2 6 x 9 x 3 x 3 2 x 2 x 7 x 10 0 x 5 x 5 x 3 x 3 Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 5. x 2 2 x x x Bài 2. Cho hai biểu thức: A và với B : x 0; x 9 1 x x x 6 x 3 x 3 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 24
  83. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 36 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Với x , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . . Lời giải a) Thay x 36 tm vào A ta được 36 2 6 2 8 A 1 36 1 6 7 8 Vậy tại x 36 thì A 7 b) 2 x x x B : x x 6 x 3 x 3 2x x x 3 B . x 3 x 2 x 3 x 2x x x 2 x 3 B . x 3 x 2 x 2x x 2 x x 3 B . x 3 x 2 x x 4 x x 3 B . x 3 x 2 x x x 4 x 3 B . x 3 x 2 x x 4 B x 2 c) PAB . x 2 x 4 P . x 1 x 2 x 4 P x 1 3 P 1 x 1 Ta cĩ: x 0 x 1 1 3 3 x 1 3 1 4 x 1 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 25
  84. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy P đạt giá trị lớn nhất bằng 4. Dấu “=” xảy ra khi x 0 Bài 3. Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng 75inch ( đường chéo ti vi dài 75inch ) cĩ gĩc tạo bởi chiều rộng và đường chéo là 53 08' 1) Hỏi chiếc tivi ấy cĩ chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm? Biết 1inch 2,54cm (Kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai). 2) Người ta cần bao nhiêu cm inox để làm viền bao xung quanh chiếc ti vi đĩ? Lời giải A B 53°08' D C a) Giả sử chiếc tivi cĩ dạng hình chữ nhật ABCD , đường chéo của chiếc tivi là 75 inch 75.2,54cm 190,5cm Xét ABC: A 90  ; AB BD.sin ADB 0 / AB 190,5.sin53 ,08 152,4 cm 0 / AD BD.cos ADB AD 190,5.cos53 08 114,29cm b) Số inox phải sử dụng để làm viền bao xung quanh chiếc tivi là: 152,4 114,29 .2 533,38cm Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết BC 8cm, BH 2cm . 1) Tính độ dài các đoạn thẳng AB,, AC AH . 2) Trên cạnh AC lấy điểm KKAKC , , gọi D là hình chiếu của A trên BK . Chứng minh rằng: BD BK BH BC . 1 3) Chứng minh rằng: S S.cos2 ABD . BHD4 BKC Lời giải B H D I C A K 1)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH : AB2 BH. BC 2.8 16 AB 16 4cm CH BC BH 8 2 6cm Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 26
  85. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy AC2 CH. CB 6.8 48 AC 48 4 3 cm AH2 CH. BH 2.6 12 AH 12 2 3 cm . 2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH : AB2 BH. BC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABK vuơng tại A , đường cao AD : BD. BK AB2 BH BC BD BK AB2 . 3) Kẻ KI BC I BC BKC: BI  BC 1 1 KI SBHD BHBD. .sin DBH . BHBD . . 1 2 2 BK 2 2 2 1 BD KI BD BC BH 1BD 1 BC S.cos ABD KI BC . KI BD KI BD BKC 2 AB 2.BHAB2 2 BH 2 BK ( Áp dụng câu b) BH2 1 1 BC 1 4.BH Lại cĩ: BC 4. BH . KI . BD . . KI BD . BC8 4 2 BK 2 BK 1 1 BH S.cos2 ABD . KI . BD . 2 4BKC 2 BK 1 Từ 1 , 2 suy ra S S.cos2 ABD (đpcm). BHD4 BKC Cách 2 Từ BD () BK BH BC BHD∽ BKC c g c 2 2 2 S BHD BD BD AB 1 2 2 2. 2 .cos ABD S BKC BC AB BC 4 Bài 5. Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết a b c 0, b c a 0, c a b 0. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: abcbcacababc Lời giải 1 1 4 Áp dụng bổ đề: Với x, y là các số dương, ta cĩ . x y x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y . 1 1 4 2 Khi đĩ, abcbcaabcbcab 1 1 4 2 bcacabbcacabc 1 1 4 2 abccababccaba Cộng vế với vế, ta được Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 27
  86. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 1 1 1 1 1 2 2 abcbcacab abc 1 1 1 1 1 1 Hay abcbcacababc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abcbcacab abc . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 28
  87. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 14 TRƯỜNG THCS TỨ HIỆP ĐỀ THI GIỮA KÌ I – MƠN TỐN 9 Năm học: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : 1) 27 2 3 2 48 3 75 2 1 2) 5 2 20 2 10 5 6 2 1 3) : 2 1 3 1 5 2 Bài 2. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1) x 1 2 1 1 2) 16x 32 9x 18 25x 50 6 2 3 3) 3 x 2x 3 x 1 2x x 3 x 3 Bài 3. Cho hai biểu thức Q và P với x 0; x 9 x 3 x 3 x 3 9 x 1. Tính giá trị của Q tại x 16 3x 3 2. Chứng minh rằng P x 9 P 3. Tìm x là số nguyên để M nguyên. Q 4x 7 4. Cho A x. M . Tìm GTNN của A x 3 Bài 4. Tháp Pisa ở Ý là một trong những địa điểm du lịch rất nổi tiếng. Năm 2019 tịa tháp trịn 864 tuổi và người ta đo được độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là 3 58' . Khi thả một quả cầu bằng đá rơi theo phương thẳng đứng từ đỉnh tháp (bỏ qua lực cản của khơng khí, giĩ), người ta đo được điểm rơi đến chân tháp 3,92 m . Tính khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất? (làm trịn đến số thập phân thứ 2). Bài 5. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết AB 3 cm , AC 4 cm . 1) Tính BC , AH , CH , BH . 2) Gọi M là trung điểm của BC . Kẻ BE AM tại E . BE cắt AH tại D , BE cắt AC tại F . Chứng minh: BE BF BH BC . AB2 BH 3) Chứng minh: và D là trung điểm của BF . AC2 CH Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 29
  88. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Bài 6. Giải phương trình: 3 x x 7 x 2 7 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : 1) 27 2 3 2 48 3 75 2 1 2) 5 2 20 2 10 5 6 2 1 3) : 2 1 3 1 5 2 Lời giải 1) 27 2 3 2 48 3 75 3 3 2 3 12 3 15 3 2 3 2 1 2) 5 2 20 2 1 5 2 . 2 5 2 5 2 5 2 10 5 6 2 1 3) : 2 1 3 1 5 2 5 2 1 2 3 1 5 2 : 2 1 3 1 3 3 5 2 . 3 5 2 Bài 2. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1) x 1 2 1 1 2) 16x 32 9x 18 25x 50 6 2 3 3) 3 x 2x 3 Lời giải 1) x 1 2 ĐKXD: x 1 0 x 1 x 1 2 x 1 4 x 5 (tmđk) Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là:S 5. Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 30
  89. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 1 2) 16x 32 9x 18 25x 50 6 2 3 ĐKXĐ: x 2 1 1 16x 32 9x 18 25x 50 6 2 3 1 1 .4. x 2 .3. x 2 5 x 2 6 2 3 2 x 2 x 2 5 x 2 6 6 x 2 6 x 2 1 x 2 1 x 3 (tmđk) Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là:S 3. 3) 3 x 2x 3 2x 3 0 2 3 x 2x 3 3 x 2 2 3 x 4x 12x 9 3 x 2 2 4x 11x 6 0 3 x 2 x 2(t / m) 3 x (l) 4 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là:S 2. x 1 2x x 3 x 3 Bài 3. Cho hai biểu thức Q và P với x 0; x 9 x 3 x 3 x 3 9 x 1. Tính giá trị của Q tại x 16 3x 3 2. Chứng minh rằng P x 9 P 3. Tìm x là số nguyên để M nguyên. Q 4x 7 4. Cho A x. M . Tìm GTNN của A x 3 Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 9 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 31
  90. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 16 1 1. Thay x 16 vào biểu thức Q ta được: Q 5 16 3 2x x 3 x 3 2. P x 3 x 3 9 x 2x x 3 x x 3 3 x 3 P x 9 2x 6 x x 3 x 3 x 3 P x 9 3x 3 P x 9 3. Ta cĩ: P3 x 1 x 1 M : Q x 9 x 3 3 x 1 x 3 3 . x 3 x 3 x 1 x 3 Để M nguyên thì 3 x 3 x 3 Ư 3 Ư 3 3; 1;1;3 và x 3 3 x 3 3 x 0 t / m 4x 7 3 4x 7 4. A x. M x. x 3 x 3 x 3 7x 7 7 x 63 70 x 3 x 3 70 7x 3 x 3 70 7x 3 42 14 10 42 x 3 Dấu "" xảy ra khi x 19 6 10 Giá trị nhỏ nhất của A 14 10 42 khi x 19 6 10 Bài 4. Tháp Pisa ở Ý là một trong những địa điểm du lịch rất nổi tiếng. Năm 2019 tịa tháp trịn 864 tuổi và người ta đo được độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là 3 58' . Khi thả một quả cầu bằng đá rơi theo phương thẳng đứng từ đỉnh tháp (bỏ qua lực cản của khơng khí, giĩ), người ta đo được điểm rơi đến chân tháp 3,92 m . Tính khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất? (làm trịn đến số thập phân thứ 2). Lời giải B Giả sử khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất là AB, Khoảng cách từ điểm rơi đến chân tháp là AC = 3,92 3058' Khi đĩ ABC vuơng tại A nên AB AC.cot ABC 3,92.cot3  58' 55,82 m Vậy: Khoảng cách từ đỉnh tháp đến mặt đất là: 55,82 m 3,92 C A Bài 5. Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH . Biết AB 3 cm , AC 4 cm . 1) Tính BC , AH , CH , BH . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 32
  91. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 2) Gọi M là trung điểm của BC . Kẻ BE AM tại E . BE cắt AH tại D , BE cắt AC tại F . Chứng minh: BE BF BH BC . AB2 BH 3) Chứng minh: và D là trung điểm của BF . AC2 CH Lời giải 1) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuơng tại A ta cĩ: BC2 AB 2 AC 2 3 2 4 2 9 16 25 BC 25 5 cm . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A đường cao AH ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 1 25 AH2 AB 2 AC 23 2 4 2 9 16 144 144 144 12 AH2 AH 2, 4 cm . 25 25 5 AC 24 2 16 Lại cĩ AC2 CH. BC CH 3, 2 cm BC 5 5 Nên BH BC CH 5 3,2 1,8 cm . 2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABF vuơng tại A đường cao AE ta cĩ: BE. BF AB2 1 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A đường cao AH ta cĩ: Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 33
  92. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy BH. BC AB2 2 . Từ 1 và 2 ta cĩ BE BF BH BC (đpcm). 3) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuơng tại A đường cao AH ta cĩ: AB2 BH. BC 2 cmt và AC2 CH. BC 3 . AB2 BH. BC BH Chia 2 cho 3 vế theo vế ta cĩ: (đpcm). AC2 CH. BC CH Áp dụng định lý về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC vuơng tại A đường trung tuyến AM ta cĩ: MA MB MC . Suy ra BMA cân tại M ABM BAM (2 gĩc đáy). Lại cĩ BAM DFA (cùng phụ EAF ) và ABM DAF (cùng phụ BAD ). Từ đĩ suy ra DAF DFA (tính chất bắc cầu). Suy ra ADF cân tại D DA DF (2 cạnh bên). Chứng minh tương tự ta cũng cĩ DA DB . Do đĩ DA DB DF nên D là trung điểm của BF . Bài 6. Giải phương trình: 3 x x 7 x 2 7 Lời giải Cách 1: ĐKXĐ: x 2 3 x x 7 x 2 7 6 x 2x 2 7 x 2 14 x2 27x2 7x6x90 2 2 x 2 7 x 3 0 x 2 7 0 x 9 (tmđk) x 3 0 Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 9. Cách 2: ĐKXĐ: x 2 3 x x 7 x 2 7 x 9 x 5 3 x 7 x 2 0 2 2 x 9 6 x x 5 2 7 x 2 0 2 2 Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 34
  93. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 2 x2 18x 81 x 3 0 x 5 2 7 x 2 2 2 x 3 x 3 1 0 x 5 2 7 x 2 x 3 0 x 9 (tmđk) Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 9. Cách 3: ĐKXĐ: x 2 3 x x 7 x 2 7 x 7 x 2 7 3 x 0 7 7 x 2 9 3 x x 9 0 49 7x 14 81 9x x 9 0 7 7 x 2 9 3 x 7 9 x 9 9 x 9 x 0 7 7 x 2 9 3 x 7 3 9 x 1 0 3 x 7 7 x 2 9 x 0 x 9 (tmđk) Vậy phương trình cĩ nghiệm là x 9. Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 35
  94. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy ĐỀ 15 UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS THANH LIỆT MƠN TỐN 9 Năm học 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. (2 điểm). Tính giá trị các biểu thức: 3 3 2 2 a) A 3 8 2 18 20 b) B 3 1 1 2 Bài 2. (1,5 điểm). Giải các phương trình: a) 2x 1 4 b) 4x2 4 x 1 3 1 x 2 x 1 x 4 x 9 x 5 Bài 3. (2 điểm) Cho các biểu thức: P ; Q với x 3 x 3 9 x 3 x x 0; x 9 a) Tính giá trị của Q biết x 1 . x b) Chứng minh rằng : P . x 3 1 c) Đặt MPQ : . Tìm giá trị của x để M . 2 Bài 4. (1 điểm) Một cây tre bị gẫy ngang thân, ngọn tre vừa chạm đất và tạo với mặt đất một gĩc, biết khoảng cách từ vị trí ngọn tre chạm đất tới gốc cây là 4,5m . Tính chiều cao ban đầu của cây tre ? ( làm trịn đến cm ). Bài 5. (3 điểm) Cho ABC vuơng tại A AB AC . Đường cao AH H BC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . a) Giả sử HB 3,6 cm ; HC 6,4 cm . Tính độ dài HA, AC và BC,  . b) Chứng minh: AM AB AN AC và HB HC AM MB AN NC . c) Qua A kẻ đường thẳng vuơng gĩc với MN cắt BC tại K . Chứng minh rằng: K là trung điểm của đoạn thẳng BC . 4 1 5 Bài 6. (0,5 điểm). Giải phương trình sau: x x 2 x x x x Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 36
  95. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 37
  96. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (2 điểm). Tính giá trị các biểu thức: 3 3 2 2 a) A 3 8 2 18 20 b) B 3 1 1 2 Lời giải a) A 3 8 2 18 20 6 2 6 2 2 5 2 5 ; 3 3 2 2 3 3 1 2 2 1 b) B 3 2 3 1 1 2 3 1 2 1 Bài 2. (1,5 điểm). Giải các phương trình: a) 2x 1 4 b) 4x2 4 x 1 3 1 Lời giải 1 a) 2x 1 4 ĐK: x 2 2x 1 16 2x 17 17 x (TM) 2 17  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là: S  . 2  b) 4x2 4 x 1 3 1 2x 1 2 3 1 2x 1 3 1 2x 1 3 1 2x 1 3 1 2x 3 2x 3 2 3 x 2 3 2 x 2 3 2 3  Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là: S ;  . 2 2  x 2 x 1 x 4 x 9 x 5 Bài 3. Cho các biểu thức: P ; Q với x 0; x 9 . x 3 x 3 9 x 3 x a) Tính giá trị của Q biết x 1 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 38
  97. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy x b) Chứng minh rằng : P . x 3 1 c) Đặt MPQ : . Tìm giá trị của x để M . 2 Lời giải 1 5 6 a) Thay x 1(tmđk) vào biểu thức Q , ta cĩ : Q 3 3 1 2 Vậy x 1thì Q 3 . x 2 x 1 x 4 x 9 b) P x 3 x 3 9 x x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 9 x 3 x 3 x x 6 x 2 x 3 x 4 x 9 x 3 x 3 x 3 xx x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x x 5 x c) MPQ :: . x 3 3 x x 5 1 M 12 1 1 1 2 +) MMMM 0 . 2 4 2 2 1 M 2 1 x 1 x 1 TH1 : M loại vì 0 mà 0 2 x 5 2 x 5 2 1 x1 x 1 TH2 : M 0 2 x 52 x 5 2 x 5 0 x 5 0 x 25 2 x 5 1 Kết hợp ĐKXĐ : x 0; x 9 x 25 thì M . 2 Bài 4. (1 điểm) Một cây tre bị gẫy ngang thân, ngọn tre vừa chạm đất và tạo với mặt đất một gĩc, biết khoảng cách từ vị trí ngọn tre chạm đất tới gốc cây là 4,5m . Tính chiều cao ban đầu của cây tre ? ( làm trịn đến cm ). Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 39
  98. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy Lời giải Giả sử cây tre bị gãy tại điểm B. Trong ABC vuơng tại A, ta cĩ: AC AC 4,5 cosC BC 5,2 m . BCcos C cos30o Trong ABC vuơng tại A, ta cĩ: AB tanC AC AB AC.tan C 4,5.tan30o 2,6 m . Chiều cao ban đầu của cây là : 2,6 5,2 7,8 m . Bài 5. (3 điểm) Cho ABC vuơng tại A AB AC . Đường cao AH H BC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . a) Giả sử HB 3,6 cm ; HC 6,4 cm . Tính độ dài HA, AC và BC,  . b) Chứng minh: AM AB AN AC và HB HC AM MB AN NC . c) Qua A kẻ đường thẳng vuơng gĩc với MN cắt BC tại K . Chứng minh rằng: K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Lời giải A N M B C H K a) Xét ABC vuơng tại A, AH BC . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng ta cĩ: Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 40
  99. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy +) AH2 HB. HC Thay số: AH 2 3,6 6,4 AH 2 4,8 2 AH 4,8 cm +) AC2 HC. BC Thay số: AC 2 6,4 6,4 3,6 64 8 2 AC 8 cm AC 8 8 4 +) sin B BC 3,6 6,4 10 5 B 530 Vì ABC vuơng tại A (theo giả thiết) Nên BC  900 C 370 Vậy AH 4,8 cm ; AC 8 cm ; B 530 ; C 370 b) Xét AHB vuơng tại H cĩ HM AB (gt) AM. AB AH 2 (hệ thức lượng) Xét AHC vuơng tại H cĩ HN AC (gt) AN. AC AH 2 (hệ thức lượng) Do đĩ: AM AB AN AC ( AH 2 ) Xét AHB vuơng tại H cĩ HM AB (gt). AM. MB MH 2 (hệ thức lượng) Xét AHC vuơng tại H cĩ: HN AC (gt). AN. NC HN 2 (hệ thức lượng). Xét ABC vuơng tại A cĩ AH BC (gt). HB. HC AH 2 (hệ thức lượng). Xét tứ giác AMHN cĩ AMH ANH MAN 900 AMHN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) AH MN (tính chất hình chữ nhật) AH2 MN 2 Ta cĩ MHN vuơng tại H (do AMHN là hình chữ nhật) MN2 HM 2 HN 2 (định lý py – ta – go) AH2 HM 2 HN 2 ( do MH2 AH 2 ) HB HC AM MB AN NC Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 41
  100. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy c) Vì AM AB AN AC (cmt) AM AN AC AB Xét AMN và ACB cĩ: AM AN Chung gĩc BAC ; (cmt) AC AB AMN ACB (c – g – c) ANM ABC (2 gĩc tương ứng) Do AK MN nên KAC ANM 900 Do ABC vuơng tại A nên C ABC 900 KAC C KAC cân tại K KA KC (1) Lại cĩ: ANM KAB (cùng phụ với KAC ) Mà: ANM ABC (cmt) KAB ABC KAB cân tại K KA KB (2) Từ (1) và (2) KB KC Mà K BC nên K là trung điểm của BC . Bài 6. (0,5 điểm). Giải phương trình sau: 4 1 5 x x 2 x (1) x x x Lời giải 4 1 5 x x 2 x x x x 1 1 1 5 5 1 x x 2 x 2 x x x4 x x 4 2 2 1 1 5 1 x 2 x x2 x 2 2 2 1 1 5 1 x 2 x 0 x2 x 2 1 1 5 1 1 1 5 1 x 2 x x 2 x 0 x2 x 2 x 2 x 2 1 5 1 5 x 2 x 1 x 2 x 0 x x x x Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 42
  101. Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy 1 5 Vì x 2 x 1 0 x x 1 5 Nên x 2 x 0 x x 1 5 x 2 x x x 1 5 x 2 x x x 4 x 0 x x2 4 0 x2 4 x 2 Thử lại TH1: x 2 4 1 3 Ta cĩ: VT 2 2 2 2 2 5 3 VP 2 2.2 2 2 2 VT VP TH1: x 2 1 1 3 Ta cĩ x 2 0 (loại) x 2 2 Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là: S 2 . Ngơ Nguyễn Thanh Duy – Nguyễn Hữu Phước Trang 43