Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông - Phần bài tập nâng cao

Nội dung text: Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông - Phần bài tập nâng cao

1. BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG PHẦN BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Cho ABC vuông tại A, đường cao AE. Gọi I là trung điểm AB. Vẽ IH vuông góc với BC taị H. 1 1 1 a) Chứng minh: 4IH 2 AB2 AC 2 b) Chứng minh: AC 2 BH 2 CH 2 Bài 2: Cho hình vuông ABCD. I là một điểm thuộc BC. AI cắt CD tại M. kẻ DH và BK cùng vuông góc với AI a) Chứng minh: AH = BK. b) Chứng minh: DH.AI luôn không đổi khi I di động trên cạnh BC. Bài 3: Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH.Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC. a) Chứng minh: BM 2 3AH 2 CN 2 BC 2 b) Chứng minh: AH3 = BM.CN.BC AB3 BM c) Chứng minh: AC3 CN Bài 4: Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC. a. Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng. b. Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP  NQ, R là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau: 1 1 2 1 1 2 a/ b/ AB AC AD AB AC AE Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau: 2 2 MH BM 2 2 2 BC a/ 2 1 b/ AB AC 2AM BH AB 2 Bài 7: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
2. b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC. Bài 8: Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và 2 0 MON = 60 . Chứng minh rằng: . ≤ 4. Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A BC2 của ABC. Chứng minh rằng: KH.KA . 4 ABC AC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: tg 2 AB BC Bài 11: CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD. Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 là điểm đối xứng của H qua AB, B1 là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC. Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH đồng dạng với nhau và AO vuông góc với BI. Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác, M là trung điểm BC. Cho biết = 90표. Tính BC : AC : AB ? Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh ― ℎ, ― , ℎ là một tam giác vuông. Bài 16: Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: 2 2 2 a) 푆 퐹 + 푆 퐹 + 푆 = 표푠 + 표푠 + 표푠 2 2 2 b) 푆 퐹 = 푠푖푛 ― 표푠 ― 표푠 .
3. 1 Bài 17: Cho ABC vuông tại A có sin = . Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C. 4 표푠 Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có = 15표, BC = 4cm. a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính , AH, AM, HM, HC. 6 2 b) Chứng minh rằng: cos150 . 4 Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A có = 36표, BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC. a) Tính AD, DC. b) Kẻ CK  BD. Giải tam giác BKC. 1 + 5 c) Chứng minh rằng cos 36표 = . 4 Bài 20: Cho tam giác ABC có AB = 1, = 105o, = 60표. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AD (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC. a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH. b) Chứng minh = 퐹 = 45o. c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF. d) Chứng minh ∆ = ∆ 퐹. Từ đó suy ra AD = AF. 1 1 4 e) Chứng minh rằng . AD2 AF2 3 표 Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC có = 30 . Hai đường cao BH và CK. Chứng minh rằng: 푆 퐾 = 3푆 퐾 Bài 22: Cho tam giác ABC có < 90표. Một điểm M di chuyển trên cạnh AB. Gọi N, P là các hình chiếu của M xuống BC và AC. Chứng minh: a. = 푃 + . b. Xác định điểm I ở miền trong tứ giác MNCP để IM = IN = IC = IP. c. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh AB để PN có độ dài nhỏ nhất. Bài 23: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a. ∆ 퐹 ≈ ∆ . b. H là giao điểm các đường phân giác trong tam giác DEF. 푆 c. 표푠2 + 표푠2 + 표푠2 = 1 ― ∆ . 푆∆ 퐹 Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE. Lấy các điểm M, N trên BD, DE sao cho = = 90°. Chứng minh tam giác AMN cân. Bài 25: Cho hình thoi ABCD có = 120°. Tia Ax tạo với cạnh AB một góc = 15° và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.
4. 1 1 1 Chứng minh rằng: . 2 + 2 = 3 2 Bài 26: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3.HD. Bài 27: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. Chứng minh rằng HM = 2. Bài 28: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và thỏa mãn: . = 2 . . Bài 29: Qua điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC kẻ các đường vuông góc DH và DK xuống hai cạnh bên AB, AC. Chứng minh hệ thức: . = . + 퐾 .퐾 . Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến CM. Kẻ đường cao MH của tam giác MBC và đặt trên tia AB đoạn AD = BH. Chứng minh rằng tam giác CDM cân. HẾT - Anh Tuấn – VT – VP -