Bài tập trắc nghiệm Đại số Lớp 10 (Vận dụng cao) - Vecto. Tích vô hướng - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

118 trang binhdn2 09/01/2023 4621

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Đại số Lớp 10 (Vận dụng cao) - Vecto. Tích vô hướng - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_trac_nghiem_dai_so_lop_10_van_dung_cao_vecto_tich_vo.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Đại số Lớp 10 (Vận dụng cao) - Vecto. Tích vô hướng - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

(Họ và tên tác giả : Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Chọn B A H B C M Ta có   1     MA.MH BA CA BH CH . 4 1     BA.BH CA.CH (do BA  CH,CA  BH 4 1     BA.BH CA.CH (định lý chiếu vectơ) 4 1 BC 2 4 Suy ra   1 MA.MH MA2 4a2 .4a2 MA2 4a2 AM a 3 . 4 Câu 5. Cho hai điểm A và B cố định. Tìm giá trị k 0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 MB2 k là một đường tròn. 2 2 2 2 A. k AB2 . B. k AB2 . C. k AB 2 . D. k AB2 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D   Gọi E là điểm thỏa mãn: EA 2EB 0 ta có   EA 2EB 0 ta có:   2   2 MA2 MB2 k ME EA ME EB k 3ME 2 k EA2 2EB2 * 2 1 2 Mà EA 2EB 0 EA AB ; EB AB nên * 3ME 2 k AB2 3 3 3 2 1 2 2 ME k AB 3 3 2 Nếu k AB2 : Quỹ tích điểm M là rỗng. 3
2 Nếu k AB2 : Quỹ tích điểm M là điểm E . 3 2 2 1 2 2 Nếu k AB : Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E bán kính R k AB . 3 3 3 PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm Email: Phamthanhliem1@gmail.com Câu 6. Cho tam giác vuông ABC tại A . Tìm tập hợp M sao cho MB2 MC 2 MA2 . A.Đường thẳng.B.Đường tròn.C.Đoạn thẳng.D.Một điểm. Lời giải Chọn D MB2 MC 2 MA2 MB2 MC 2 MA2 0 . Gọi E là điểm được xác định bởi     EB EC EA 0. ( E là điểm thứ tư của hình bình hành ABEC ).   2   2   2 Ta có: MB2 MC 2 MA2 ME EB ME EC ME EA ME 2 EB2 EC 2 EA2   2     ME 2 EB2 EC 2 EB EC ME 2 2EB.EC ME 2 2AB.AC ME 2 . Vậy ME 2 0 . Nên tập hợp điểm M là điểm E . ( Cách chứng minh trên phục vụ cho cả tam giác ABC là tam giác thường và khi đó các tập hợp điểm là khác nhau ) Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn Câu 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB 5cm . Gọi (S) là tập hợp các điểm M trong mặt     phẳng thỏa mãn hệ thức: MA.MB MA.MC 25 . Gọi I là trung điểm của BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. (S) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AI . B. (S) là đoạn thẳng AI . 5 10 C. (S) là đường tròn cố định bán kính R . 4 5 2 D. (S) là đường tròn tâm I bán kính R 4 Lời giải (Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Chọn C C I D A B     5 2 1 1 Từ giả thiết: MA.MB MA.MC MA2 MB2 AB2 MA2 MC 2 AC 2 25 2 2 2
2MA2 MB2 MC 2 50 50 2MA2 MB2 MC 2 100        Gọi D là điểm thỏa mãn 2DA DB DC 0 2DA 2DI 0 DA DI 0 D là trung điểm của đoạn thẳng AI Ta có 2MA2 MB2 MC 2 4MD2 2DA2 DB2 DC 2 2 2 1 1 5 2 2 2 5 2 5 2 125 Và DA AI BC , DB DC IB ID . 2 4 4 2 4 8 Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 125 2 75 2MA MB MC 4MD 2DA DB DC 4MD 2. 2. 4MD 4 8 2 75 125 Ta có kết quả: 4MD2 100 MD2 2 8 5 10 Như vậy (S) là đường tròn tâm D bán kính R . 4 Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường tròn C có bán kính là: 2 a a a 3 a A. . B. . C. .D. . 3 4 2 6 Lời giải Chọn D Gọi M lần lượt là trung điểm của BC .    Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4IA IB IC 0    Khi đó, ta có: 4IA IB IC 0      1  4IA 2IM 0 3IA AM 0 AI AM . 3 a 3 a 21 Suy ra : IA ; IB IC IM 2 BM 2 . 6 6 5a2 Ta lại có: 4MA2 MB2 MC 2 2 2  2  2  2 5a 4MA MB MC 2   2   2   2 5a2 4 MI IA MI IB MI IC 2     5a2 6MI 2 2MI 4IA IB IC 4IA2 IB2 IC 2 2 a MI . 6 a Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R . 6
      Câu 9. Cho ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3MB 2MC 2MA MB MC . A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn. B. Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng. C. Tập hợp các điểm M là tập rỗng. D. Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A. Lời giải Chọn A A A N C    Gọi I là điểm thỏa mãn IA 3IB 2IC 0 .             MA 3MB 2MC 2MA MB MC 2MI IA 3IB 2IC BA CA 1 .   Gọi N là trung điểm BC . Ta được: 1 2 MI 2 AN IM AN . I , A, N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính AN . Câu 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường tròn C có bán kính là: 2 a a a 3 a A. . B. . C. .D. . 3 4 2 6 Lời giải Chọn D Gọi M lần lượt là trung điểm của BC .    Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4IA IB IC 0    Khi đó, ta có: 4IA IB IC 0      1  4IA 2IM 0 3IA AM 0 AI AM . 3 a 3 a 21 Suy ra : IA ; IB IC IM 2 BM 2 . 6 6 5a2 Ta lại có: 4MA2 MB2 MC 2 2 2  2  2  2 5a 4MA MB MC 2   2   2   2 5a2 4 MI IA MI IB MI IC 2     5a2 6MI 2 2MI 4IA IB IC 4IA2 IB2 IC 2 2
a MI . 6 a Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R . 6 Họ và tên tác giả : Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga Email: linhnga.tvb@gmail.com Câu 11. Cho VABC đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm M sao cho       a2 MA.MB MB.MC MC.MA là: 6 a A. Đường tròn có bán kính R . 3 a B. Đường tròn có bán kính R . 2 a 2 C. Đường tròn có bán kính R . 3 a 3 D. Đường tròn có bán kính R . 9 Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm VABC . Suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp VABC và G cố định.     Ta có MA MB MC 3MG    2  2 MA MB MC 9 MG       MA2 MB2 MC 2 2 MA.MB MB.MC MC.MA 9MG2  2  2  2 Mà MA2 MB2 MC 2 MA MB MC   2   2   2 MG GA MG GB MG GC     3MG2 GA2 GB2 GC 2 2.MG. GA GB GC  3MG2 GA2 GB2 GC 2 2.MG.0 3MG2 3GA2 2 2 2 a 3 3MG 3 . 3 2 3MG2 a2       Ta có 3MG2 a2 2 MA.MB MB.MC MC.MA 9MG2       a2 MA.MB MB.MC MC.MA 3MG2 2 a2 a2 3MG2 6 2 2a2 MG2 9
a 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R . 3 Họ và tên tác giả : Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An Email: antq4949@gmail.com   Câu 12. Cho ABC tìm tập hợp điểm M : MB.MC AM 2 Lời giải       Gọi I là trung điểm của BC , ta có: MB.MC AM 2 MI IB . MI IC MA2        BC 2 MI 2 IC.IB MI IC IB MA2 MI 2 MA2 IC.IB 4     BC 2    BC 2 MI MA MI MA AI MI MA (*) 4 4    Gọi O là trung điểm của AI , suy ra: MI MA 2MO   BC 2   BC 2   BC 2 Suy ra: * 2AI.MO 4OI.MO OI.OM 4 4 16 BC 2   BC 2 Trên tia đối của tia OI lấy điểm H sao cho OI.OH hay OI.OH , suy ra 16 16 điểm H xác định duy nhất. Dựng đường thẳng đi qua H và vuông góc với OI , khi đó với mọi điểm M nằm trên ta có:            BC 2 OI.OM OI. OH HM OI.OH OI.HM OI.OH . 16 Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Email: Bichhai1975@gmail.com Câu 13. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuur uuur uuur 2MA+ 3MB + 4MC = MB- MA là đường tròn cố định có bán kính bằng: 1 3 1 A. 1. B. . C. . D. . 3 2 2 Lời giải Họ tên: Lê Thị Bích Hải. Tên face: Bich Hai Le Chọn B Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.          Ta có 2MA 3MB 4MC 2 MI IA 3 MI IB 4 MI IC .         Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB 4IC 0 3 IA IB IC IC IA 0.     Mà G là trọng tâm của tam giác ABC IA IB IC 3IG.         Khi đó 9 IG IC IA 0 9 IG AI IC 0 9 IG CA .           Do đó 2MA 3MB 4MC MB MA 9MI 2IA 3IB 4IC AB 9MI AB.
Vì I là điểm cố định thỏa mãn nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán AB 1 kính r . 9 3 thongqna@gmail.com Câu 14. Cho tam giác ABC có là trọng tâm G . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn     2    2   2 MA MB MC BC MA MC 3MG CB AC . A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường trung trực đoạn thẳng AB . C. Đường tròn đường kính AC . D. Đường trung trực đoạn thẳng AC . Lời giải (Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A         Ta có MA MB MC BC MA CB BC MA . Gọi điểm I là trung điểm cạnh AC .          Ta có MA MC 3MG 2MI 3MG 2 MB BI 3 MB BG   2   MB 2BI 3. BI MB . 3     2    2   2 Do đó MA MB MC BC MA MC 3MG CB AC  2  2 MA MB AB2 MA2 MB2 AB2 . Từ đó suy ra tam giác MAB vuông tại M hay tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB .   Câu 15. Cho đoạn thẳng AB 5 . Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 MB2 3MA.MB là một đường tròn có bán kính R . Tìm giá trị của R . 5 5 3 3 A. R . B. R . C. R . D. R . 2 2 2 2 Lời giải (Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A       Ta có MA2 MB2 3MA.MB MA2 MB2 2MA.MB MA.MB   2     MA MB MA.MB AB2 MA.MB . Gọi điểm I là trung điểm cạnh AB .           Ta có AB2 MA.MB AB2 MI IA . MI IB AB2 MI IA . MI IA 5 AB2 MI 2 IB2 MI 2 AB2 IB2 MI 2 AB2 4 5 5 5 MI AB . 5 . 2 2 2   Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 MB2 3MA.MB là đường tròn tâm I có bán kính 5 R . 2
Họ và tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ Email: huyenvanqt050185@gmail.com    Câu 16. Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 5? A. 1. B. 2 . C. vô số. D. Không có điểm nào. Lời giải. Chọn C     Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA MB MC 3MG .     5 Thay vào ta được : MA MB MC 5 3MG 5 MG , hay tập hợp các điểm M là 3 5 đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng . 3 Vấn đề 4. TỈ LỆ Họ và Tên: Trần Quốc Đại Email: quocdai1987@gmail.com Facebook: Câu 1. Cho ABC có AB 3 ; AC 4 . Phân giác trong AD của góc B· AC cắt trung tuyến BM tại I . AD Tính . AI AD 3 AD 10 AD 29 AD 7 A. . B. . C. . D. AI 2 AI 7 AI 20 AI 5 Lời giải Chọn B     * Phân tích AD, AI theo các vectơ AB, AC . IB AB 3      Ta có: 2IB 3IM 0 2AB 3AM 5AI 1 . IM AM 2 DB AB 3   4DB 3DC 0 DC AC 4    4AB 3AC 7AD 2 .       Lấy 2 2. 1 suy ra: 3AC 6AM 7AD 10AI 7AD 10AI 0 7AD 10AI AD 10 . AI 7
Câu 2. [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho ABC gọi điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD 2BC , E là trung điểm của AD . Một đường thẳng bất kì qua E và cắt các AB AC cạnh AB; AC lần lượt tại M , N . Tình tỉ số 2 AM AN AB AC AB AC A. 2 6 . B. 2 5 . AM AN AM AN AB AC 28 AB AC 29 C. 2 . D. 2 AM AN 5 AM AN 5 Lời giải Chọn A   Do M nằm trên cạnh AB nên ta có AB k.AM (k 1)   Do N nằm trên cạnh AC nên ta có AC l AN l 1          Ta có DB 2DC AB AD 2 AC AD AB 2AC 3AD         Suy ra k.AM 2l.AN 6.AE k AE ME 2l AE EN 6AE    Suy ra k 2l 6 AE k EM 2lEN   Do hai vecto AE và MN không cùng phương nên suy ra AB AC k 2l 6 0 k 2l 6 2 6 AM AN Họ và tên tác giả : Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức Email: hoctoancunganhduc@gmail.com Câu 3. Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD 2DB . Trên cạnh AC lấy điểm BN E sao cho CE 3EA . Gọi M là trung điểm của DE . Tia AM cắt BC tại N . Tỉ số có CN giá trị là: 1 3 1 2 A. .B. . C. . D. . 4 8 2 7 Lời giải Chọn B
   AB xAC 1  x  Giả sử N chia BC theo tỉ số x . Ta có: AN AB AC (1). 1 x 1 x x 1  1   1 2  1  1  1  Lại có: AM AD AE AB AC AB AC (2). 2 2 3 4 3 8   3 8x 3 Vì AM và AN là 2 vectơ cùng phương nên x . 1 x x 1 8  3  NB 3 Do đó NB NC . 8 NC 8 Câu 4. (Bài toán tổng quát của bài toán 1). Cho tam giác ABC . Gọi I là điểm chia BC theo tỉ số k . AB AC Trên các tia AB và AC lấy các điểm M , N . AI cắt MN tại P . Đặt b , c . Tỷ số AM AN AI có giá trị bằng AP b kc b kc c kb c kb A. .B. . C. . D. . 1 k 1 k 1 k 1 k Lời giải Chọn B      AM xAN 1 AB x AC Giả sử P chia MN theo tỉ số x. Ta có AP . . . 1 x 1 x b x 1 c     AB k AC AB k  Lại có: AI AC (1). 1 k 1 k k 1   1 k x k 1 1 x c Vì AP và AI đồng phương nên x k . b 1 x kc x 1 b kc b
 1  k  Do đó AP AB AC (2). b kc b kc AI b kc Từ (1) và (2) , ta có . AP 1 k Câu 5. (Hệ quả hay dùng của bài toán 2). Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC. Trên các AB AC AI tia AB và AC lấy các điểm M , N . AI cắt MN tại P . Đặt b , c . Tỷ số có AM AN AP giá trị bằng b c b2 c2 2bc A. bc .B. . C. . D. . 2 2 b c Lời giải Chọn B I là trung điểm của BC nên I chia BC theo tỷ số k 1. Áp dụng kết quả ở bài 2, ta có: AI b 1 c b c . AP 1 1 2 Tên: Nam PhươngTên FB: Nam Phương Email:nguyentrietphuong@gmail.com  2   1  Câu 6. Cho tam giác ABC . Gọi D, E lần lượt là các các điểm thỏa mãn BD BC, AE AC . Điểm 3 4 AD K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . AK AD 1 AD AD 2 AD 3 A. . B. 3 . C. . D. . AK 3 AK AK 3 AK 2 Lời giải Chọn B  1   1  3  Vì AE AC nên BE BC BA 4 4 4      AK xAD BK xBD (1 x)BA  2x   Giả sử  2  BK BC (1 x)BA BD BC 3 3 m 2x 8 0 m   4 3 9 Do B, K, E thẳng hàng ta có: mBK BE 3m 1 1 x 0 x 4 3
AD Vậy 3 AK Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân     Câu 7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OC 3OA, OD 4OB . Qua CN trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N . Tính tỉ số . ND 3 1 2 1 A. .B. . C. . D. . 4 4 3 3 Lời giải Chọn A D A M o B N C     Ta có OC 3OA, OD 4OB CN       Đặt k, k 0 , ta có CN k ND CO ON k NO OD ND  1  k   3  4k  ON CO OD ON OA OB 1 k k 1 1 k k 1      k   Vì OM , ON cùng phương nên có số thực k sao cho ON kOM ON OA OB 2 3 6 8k k 3 Suy ra 4 k . k 1 k k k 1 4 k 1 (Email): hatoanlgm@gmail.com    Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23IA 8IB 2018IC 0 . Đường thẳng AI cắt đường JB thẳng BC tại J . Giá trị của tỉ số là: JC 23 2018 2018 8 A. B. C. D. 8 23 8 23 Lời giải Chọn C (Họ và tên tác giả : Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà)    1  k  Giả sử JB k JC k 1 AJ AB AC . 1 k 1 k Từ giả thiết suy ra:
      8  2018  23AI 8 AB AI 2018 AC AI 0 AI AB AC . 2049 2049   Do A, I, J thẳng hàng nên AI, AJ cùng phương 1 k 2018 1 k 1 k k . 8 2018 8 2049 2049 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu 9. Cho tam giác ABC . Điểm K chia trung tuyến AD theo tỷ số 3:1 kể từ đỉnh. S Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số k ABF , giá trị của k bằng? SBCF 5 3 3 3 A. k B. k C. k D. k 8 8 5 2 Lời giải Đáp án D A F K B D C  1   Do D là trung điểm của BC thiết: AD (AB AC) 1 2 Gọi F là giao điểm của BK và AC.   Mà A; F;C thẳng hàng : AF mAC 2 B; K; F thẳng hàng :    AK nAF 1 n AB 3 KD 1  3  A; K; D thẳng hàng và AK AD 4 KA 3 4    Từ 2 ; 3 suy ra : AK n.m.AC 1 n AB 5  3  3  Từ 1 ; 4 suy ra : AK AC AB 6 8 8 3 5 m.n n   8 8 Do hai véctơ AB; AC không cùng phương nên từ 5 ; 6 ta có: 3 3 1 n m 8 5  3  FA 3 Do đó: AF AC 5 FC 2 S FA 3 Vậy k ABF SBCF FC 2 (Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)
Họ và tên: Tăng Lâm Tường Vinh Email: tanglamtuongvinh@gmail.com Facebook: tanglamtuong.vinh uuur uuur Câu 10. Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC . Lấy các điểm M ,N thỏa mãn AM 3 AB , 4 uuur uuur uur uuur uur uuur AN 1 AC . Gọi I là giao điểm của MN và AK . Đặt MI xMN , AI y AK . Hỏi x 3 y A. 3 .B. 4 . C. 1.D. 5 . 2 3 3 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur uuur Ta có MN AN AM 1 AC 3 AB 3 4 uur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur 1 3 x 3x x 3 3x MI xMN AI AM x AC AB AI AC AB AM AC AB 3 4 3 4 3 4 uur uuur uuur uuur uuur uuur AC AB y y AI y AK y AB AC 2 2 2 y 3 3x x 9 uuur uuur 4 2 13 x 3 Mà AC, AB là 2 vector không cùng phương nên ta có y 6 y 2 x y 3 2 13 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com AD 3 Câu 11. Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho ; DB 2 BE 1 BF 4 KD . Đường thẳng AE chia đoạn DF theo tỷ số k . Giá trị của k bằng? EC 3 ; FC 1 KF 3 11 3 11 A. k B. k C. k D. k 11 3 14 14 Lời giải Đáp án A AD 3  3  BE 1  3  1  Theo giả thiết: AD AB 1 AE AB AC 2 DB 2 5 EC 3 4 4
BF 4  1  4  AF AB AC 3 FC 1 5 5   Mà A; K; E thẳng hàng : AK mAE 4 D; K; F thẳng hàng :    AK nAF 1 n AD 5  3  1  Từ 2 ; 4 suy ra : AK mAB mAC 6 4 4  1  4  3  Từ 1 ; 3 ; 5 suy ra : AK n AB AC 1 n AB 5 5 5  3 2n  4n  AK AB AC 7 5 5 5 3m 3 2n   4 5 5 Do hai véctơ AB; AC không cùng phương nên từ 6 ; 7 ta có: m 4n 4 5 1 2n 4n 3 n 5 15 5 14  3  11  KD 3 Vậy AK AB AC k 14 14 KF 11 (Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Họ và tên: Hoàng Ngọc Lâm Email: hoangngoclammath1112@gmail.com Facebook: Hoàng Ngọc Lâm Câu 12. Cho tam giác ABC . Kéo dài AB một đoạn BE AB , gọi F là trung điểm của AC . Vẽ hình KB bình hành EAFG . Đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ số ? KC 1 3 1 2 A. .B. .C. .D. . 4 8 5 7 Lời giải Chọn A A E F B D C
   Để xác định giao điểm K của AG và BC , ta tính AG theo AB và AC .     1  Ta có: AG AE AF 2AB AC . 2  1  AG cắt BC tại điểm K mà 2KB KC 0 . 2 KB 1 Suy ra . KC 4 Câu 13. Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến AD BM tại I . Tính tỉ số . AI 13 11 10 10 A. . B. . C. . D. . 8 6 7 5 Lời giải (Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn C IB AB 3   Theo tính chất đường phân giác ta có 2IB 3IM 0 IM AM 2 DB AB 3   Và 4DB 3DC 0 DC AC 4         2IB 3IM 0 2AB 3AM 5AI 4AB 6AM 10AI Vậy ta có         4DB 3DC 0 4AB 3AC 7AD 4AB 3AC 7AD       AD 10 Suy ra 3AC 6AM 7AD 10AI 7AD 10AI 0 . AI 7 Hoặc ta có thể giải như sau: BD AB 3 3 3 7 3  3  Ta có BD DC BC BD BD BC BD BC DC AC 4 4 4 4 4 7
    3   3   4  3  Ta lại có AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC . 7 7 7 7 BI AB 3  3    Theo tính chất phân giác, ta lại có BI IM 2BI 3IM IM AM 2 2         3  2 BA AI 3 IA AM 5AI 2AB 3AM 2AB AC 2  2  3  7 4  3  7  AI AB AC AB AC AD 5 10 10 7 7 10 AD 10 Vậy . AI 7 Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Nhờ thầy cô góp ý! Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , O là điểm bất kì trên đoạn AC , đường thẳng BO cắt cạnh CD tại AF E và đường thẳng AD tại F sao cho EF 2BO . Tỷ số bằng AD 1 5 5 A. .B. .C. 2 1 2 .D. . 2 2 Lời giải Chọn C A B O D C E F     Đặt: AF xAD x 1 và AO y AC 0 y 1 . DE DF DE DF x 1  x 1  Theo định lý talet:   DE AB . CE BC DC AF x x          x 1  Ta có: BO BA y AC y 1 AB y AD ; EF DF DE x 1 AD AB . x x 1 2y x 1 2   Theo đề bài: EF 2BO  1 x  2 . 2 y 1 y x 2 Họ và Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh Email : manhluonghl4@gmail.com Câu 15. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 ; gọi A2,B2,C2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1 . Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1B1C1 , A2B2C2 . GG Tính tỉ số 1 ta được kết quả : GG2
1 1 A. B. C. 3 D. 2 3 2 Lời giải Chọn C uuuur uuur uuur uuuur Vì G, G1 là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 suy ra 3GG1 = GA1 + GB1 + GC1 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = GA + GB + GC + AA1 + BB1 + CC1 Û 3GG1 = AA1 + BB1 + CC1 uuuur uuur uuur uuuur Tương tự G, G2 là trọng tâm tam giác ABC, A2B2C2 suy ra 3GG2 = GA2 + GB2 + GC2 uuuur uuur uuuur uuuur Û 3GG2 = AA2 + BB2 + CC2 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur Mặt khác AA2 + BB2 + CC2 = (AA1 + BB1 + CC1 )+ (A1A2 + B1B2 + C1C2 ) Mà A2,B2,C2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1 uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra 3(A1A2 + B1B2 + C1C2 )= A1B + A1C + B1C + B1A + C1A + C1B uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur = A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA + C1C + CA + C1C + CB uuur uuur uuur = - 2(AA1 + BB1 + CC1 ) uuur uuuur uuuur - 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó AA + BB + CC = AA + BB + CC + AA + BB + CC 2 2 2 3 ( 1 1 1 ) 1 1 1 uuur uuur uuur uuuur uuuur 1 1 GG1 = (AA1 + BB1 + CC1 ). Vậy GG2 = GG1 Þ = 3. 3 3 GG2 VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX Email: phunghang10ph5s@gmail.com Câu 1. Cho DABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp DABC . Đặt P = MA2 - MB2 - MC 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Khi đó, giá trị biểu thức T = 4a + b là: A.3 .B. 6 .C. 9 .D. 12. Lời giải Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn B. Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp DABC . Ta có:
P = MA2 - MB2 - MC 2 uuur uur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 = (MO + OA) - (MO + OB) - (MO + OC) uuur uur uuur uuur = - MO2 + 2.MO.(OA- OB- OC)+ OA2 - OB2 - OC 2 uuur uur uuur uuur uur = - 2R2 + 2.MO.(OA- OA')= - 2R2 + 2MO.2OA uuur uur uuur uur = - 2R2 - 4.OM.OA = - 2R2 - 4R2.cos(OM ;OA) uuur uur 2 Pmin = - 6R khi và chỉ khi cos(OM ;OA)= 1Û M trùng A uuur uur 2 Pmax = 2R khi và chỉ khi cos(OM ;OA)= - 1Û M trùng A' là điểm đối xứng của A qua O Þ T = 4a + b = 4.2R2 + (- 6R2 )= 2R2 DABC đều cạnh bằng 3 Þ R = 3 Þ T = 2R2 = 6 . Họ và tên tác giả : Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth Email: vanngodhqn@gmail.com Câu 2. Cho ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: x2 y2 z2 k 2 , k R . Giá trị lớn nhất của P xy cosC yz cos A zx cosB là: k k 2 k k 2 A. .B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn B.     Đặt 3 vectơ BX , CY , AZ tương ứng là x , y , z như hình vẽ.  2   Ta có: x y z 0 x2 y2 z2 2x y 2yz 2xz 0 k 2 2xy cos 1800 C 2yz cos 1800 A 2xz cos 1800 B 0 k 2 k 2 2xy cosC 2yz cosA 2zxcosB 0 xycosC yzcosA zxcosB 2 k 2 Vậy Max P 2 Câu 3. Cho hai điểm A, B (I;6) và M (I;3) , thỏa mãn : ·AIB 60 . Khi A, B, M thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB ? A. 9 .B. 3 2 6 .C. 3 13 .D. 6 3 . Lời giải        | v |  | u |  Bổ đề : Cho hai véc tơ u và v khác véc tơ 0 , ta luôn có : | u v | |  .u  .v | | u | | v | Chứng minh : Bình phương vô hướng vế phải ta được :   2  2  2   | v |  | u |  | v |  | u |  | v |  | u |   2  2     2 |  .u  .v |  .u  .v 2.  .u .  .v v u 2.u v u v | u | | v | | u | | v | | u | | v |
  | v |  | u |    Từ đó suy ra : |  .u  .v | | u v | (đpcm). | u | | v | Áp dụng vào bài toán cân bằng hệ số : Chúng ta có thể ghi nhớ công thức để áp dụng nhanh vào các bài toán cân bằng hệ số đối với đường tròn và mặt cầu như sau :     Ta có : P MA 2MB | IA IM | 2| IB IM | và IA IB 6, IM 3   IA  IM   1   1  Trong đó : | IA IM | | .IM .IA | | 2IM IA | 2 | IM IA | IM IA 2 4  1     1     1  Suy ra : P 2| IM IA | 2| IB IM | 2 | IM IA IB IM | | 2IB IA | 4 4 2 Có :   2   1 2 1 2 2 1 2 1 1 | 2IB IA | 4IB IA 2IA.IB.cos60 4.6 .6 2.6.6. 117 | 2IB IA | 3 13 2 4 4 2 2 Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin 3 13 chọn đáp án C. Câu 4. Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn      với mọi điểm M: MA MB MC 3MD kMK. Giá trị của k là A. k = 3B. k = 4 C. k = 5D. k = 6 Lời giải Chọn D      Vì MA MB MC 3MD kMK thỏa mãn với mọi M. Do đó, đẳng thức cũng đúng với M  K      Tức là: KA KB KC 3KD k KK 0     Gọi G là trọng tâm ABC KA KB KC 3KG   3KG 3KD 0 K là trung điểm GD. Mặt khác:     MA MB MC  3MD       (MK KA) (MK KB) (MK KC) 3(MK KD)      (KA KB KC 3KD) 6MK  6MK k 6 Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị nhỏ nhất của cos bằng 4 5 4 3 A. B. C. D. 5 4 3 4 Lời giải Chọn A 1   1     (BA BC). (CA CB) BD.CK 2 2 Ta có: cos BD.CK BD.CK
              2 BA.CA BA.CB BC.CA BC.CB) BA.CA BC(CA BA) BC ) 4.BD.CK 4.BD.CK  2 2BC BC 2   (Vì tam giác ABC vuông tại A nên BA.CA 0) 4.BD.CK 2.BD.CK Mặt khác, Cauchy 2 2 2 2 2 2 2 2 AB BC AC AC BC AB 2.BD.CK BD CK 2 4 2 4 AB2 AC 2 BC 2 5BC 2 BC 2 BC 2 4 4 4 BC 2 4 Suy ra, cos 5BC 2 5 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BD = CK hay ABC vuông cân tại A Câu 6. Cho hai điểm cố định G và G' là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A'B'C '. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P AA' BB' CC ' bằng 1 A. GG' B.3GG' C. 2GG' D. GG' 3 Lời giải Chọn B    Do G và G' là trọng tâm ABC, A'B'C ' nên GA GB GC 0 và    G' A' G'B' G'C ' 0. Ta có:             AA' BB' CC' (AG GG' G'A') (BG GG' G'B') (CG GG' G'C')        3GG' (GA GB GC) (G' A' G'B' G'C ')  3GG'       Mặt khác, P AA' BB' CC ' AA' BB' CC ' AA' BB' CC '  3 GG' 3GG'    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AA', BB', CC ' cùng hướng Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com Mail: nguyennga82nvc@gmail.com FB: Nguyễn Nga Nvc · · 0 Câu 7. Cho hình thang A1B1C1D1 có A1B1 //C1D1, A1B1 = 3a,C1D1 = 2a, D1A1B1 = C1B1A1 = 60 . Với uuuur uuuur uuuur mỗi điểm G1 di động trên cạnh A1B1 ta xác định điểm F1 sao cho G1F1 = G1C1 + G1D1 . Tìm độ uuuur dài nhỏ nhất của G1F1 .
3a 3 3a A. 2a .B. a 3 .C. .D. . 2 2 Lời giải Chọn B Z F1 J1 E1 C1 D1 I1 A1 B1 G1H1 Gọi Z = A1B1 ÇC1D1 , từ giả thiết suy ra tam giác ZA1B1 đều cạnh 3a . Gọi H1,I1 lần lượt là 1 a 3 trung điểm của A B ,C D , suy ra H ,I cố định và H I = ZH = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 Từ giả thiết ta có tứ giác G1D1F1C1 là hình bình hành, nên G1F1 = 2G1I1 ³ 2H1I1 = a 3 . uuuur Vậy độ dài nhỏ nhất của G1F1 bằng a 3 . Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II Gmail: nguyencongkm2@gmail.com Câu 8. Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2 ; CA = b; AB = c và điểm M di động Biểu thức F= 8MA2 b2MB2 c2MC2 đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4B. 12C. 16D. 24 Lời giải    Xét điểm I thỏa mãn: 8IA b2 IB c2 IC 0 (1) ( Dựng đường cao AH, dựng I sao cho A là trung điểm IH ; I thỏa (1)) Bình phương hai vế của (1) chú ý rằng   2IA.IB IA2 IB2 AB2 ;   2IB.IC IB2 IC2 BC2   2IC.IA IC2 IA2 AC2 rồi biến đổi ta được kết quả 8.IA2 b2.IB2 c2.IC2 3b2c2 .
 2  2  2 F 8MA2 b2MB2 c2MC2 8MA b2 MB c2 MC       8(MI IA)2 b2 (MI IB)2 c2 (MI IC)2 4MI2 8.IA2 b2IB2 c2IC2 4MI2 3b2c2 2 2 2 2 2 b c 3b c 3 12 2 Họ và tên tác giả : Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên Email: tieplen@gmail.com Câu 9. Cho ABC đều có cạnh bằng 2a. Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC , điểm M di    động trên d . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA 2MB MC . a 3 a 3 A. 2a 3 . B. a 3 . C. . D. . 4 2 Lời giải M A I K B C Chọn B.        Xét điểm I sao cho: IA 2IB IC 0 IA 2 IA AB IC 0       2IA 2AB AC 0 2IA AB CB 0    BA BC  IA BK (với K là trung điểm AC ). 2 I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK .          Ta có: MA 2MB MC MI IA 2 MI IB MI IC      2MI IA 2IB IC 2MI 2MI . M d Min đạt được khi LM  d . Khi đó: M· AI M· AB I·AB 60 ·ABK 60 30 30 2IM 2IAsin 30 2.BK sin 30 2sin 30 (2a)2 a2 a 3 . Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Thành Email: phamkhacthanhkt@gmail.com Câu 10. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt a BC, b CA, c AB . Tìm MA MB MC giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . a b c 3 3 A. 3 3 .B. 3 . C. . D. . 3 2 Lời giải
Chọn B. Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a 4ma 2 b c a 2 b c a 4ma 3a 4 3ama ama 2 3 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó:   MA MA.GA MA.GA 3 3    3 3   MG GA .GA MG.GA GA2 a a.GA 2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 . 3 2 3 Từ đó suy ra: MA MB MC 3 3     MG. GA GB GC GA2 GB2 GC 2 a b c b2 c2 a2    1 Lại có GA GB GC 0 và GA2 GB2 GC 2 a2 b2 c2 3 MA MB MC 3 3 1 2 2 2 Do đó 2 2 2 0 a b c 3 . Đẳng thức xảy ra khi tam a b c b c a 3 giác ABC đều đồng thời M trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mail: thuytrangmn@gmail.com Chủ đề: Vectơ. Câu 11. Cho tam giác ABC có trung tuyến AA'  CC' A' BC,C' AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của cos B. 4 2 1 A. . B. . C. 1. D. 5 5 2 Lời giải: Chọn.A. A G C’ C A’ B   Đặt BC a , BA c ta có:  1  1 AA' a c và CC' c a 2 2 1 1 Do AA'  CC' nên a c c a 0 2 2 2 2 2 2 4 ac a 2 c 2 a c a . c 5 5 5 + Nếu ac 0 thì cosB 1 a.c 4 + Nếu ac 0 thì cosB . Dấu đẳng thức xảy ra khi a c a . c 5 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của cosB là , đạt dược khi tam giác ABC cân tại B. 5
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Email: hongle.ad@gmail.com Câu 12. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto    aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Lời giải Chọn B. A I B D C Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC DB AB c c   Theo tính chất phân giác trong: DB .DC , mà hai vecto DC , DB ngược DC AC b b  c        hướng nên ta có DB DC bDB cDC 0 b IB ID c IC ID 0 b    hay bIB cIC b c ID 0 (*) DB c DB c ac Mặt khác DB DC b BC b c b c IA BA c b c b c aIA b c ID ID BD ac a     Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID    Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0    Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I Họ và tên: Ngô Gia Khánh Địa chỉ mail: ngkhanh4283@gmail.com Câu 13. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,M là điểm di động trên đường thẳng AC . uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC + 3 MA - MB + MC là: 2a 3 5a 3 A. MinT = . B. MinT = 2a 3. C. MinT = a 3. D. MinT = . 3 2
Lời giải uuur uuur uuur uuur +, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có: MA + MB + MC = MG. +, Dựng hình bình hành ABCD , ta được: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA = CD Þ MA - MB + MC = BA + MC = CD + MC = MD uuur uuur uuur uuur uuur uuur +, Khi đó T = MA + MB + MC + 3 MA + MB - MC = 3(MG + MD)³ 3GD ( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC) Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GD và đường thẳng AC hay M là trung điểm của AC 4 4 a 3 2a 3 + Nhận xét GD = BM = = . 3 3 2 3 Vậy MinT = 2a 3. . Email: vntip3@gmail.com Câu 14. Cho ABC và A' B 'C 'có các trọng tâm G và G ' cố định và GG ' a . Khi đó giá trị nhỏ nhất của T AA ' BB ' CC ' là: A. T a . B. T 2a .C. T 3a . D. T 4a . Lời giải Chọn C. Ta có:    T AA ' BB ' CC '          AG GG ' G'A ' BG GG ' G'B' CG GG ' G'C'  3GG ' Vậy T AA ' BB ' CC '        AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' 3 GG ' 3GG ' 3a    Giâ trị nhỏ nhất của T là 3a khi AA ', BB ',CC ' cùng phương. (Họ và tên tác giả : Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan) Mail: thongbui1987@gmail.com Câu 15. Cho tam giác ABC với các cạnh AB x, AC y ; x y 0 . Gọi AD là đường phân giác    trong của góc A . Biết biểu thị vectơ AD mAB nAC . Tính S m n . A. S 2 . B. S 0 . C. S 1. D. S 2 . Lời giải Chọn C. A x y B C D
Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có  DB AB x DB x x  điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số k DC AC y DC y y  x  AB AC  y y  x  y x Nên ta có: AD AB AC m n 1. x 1 x y x y x y y Câu 16. Cho ABC có AB 3 ; AC 4 . Phân giác trong AD của góc B· AC cắt trung tuyến BM tại I . AD a a Biết , với a,b ¥ và tối giãn. Tính S a 2b . AI b b A. S 10 . B. S 14 . C. S 24 . D. S 27 . Lời giải: Chọn C. A M I C B D IB AB 3      Ta có: 2IB 3IM 0 2AB 3AM 5AI 1 . IM AM 2 DB AB 3      4DB 3DC 0 4AB 3AC 7AD 2 . DC AC 4       2AB 3AM 5AI 4AB 6AM 10AI Từ 1 và 2 ta có hệ       4AB 3AC 7AD 4AB 3AC 7AD       AD 10 6AM 3AC 10AI 7AD 7AD 10AI 7AD 10AI AI 7 a 10,b 7 S 10 2.7 24 Họ và tên tác giả : Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi Email: lehongphivts@gmail.com Câu 17. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB 8 , AD a , BC b . Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD . Biết ·AEB 90, giá trị lớn nhất của T ab là A. 4 .B. 16. C. 8 . D. 64 . Lời giải B b C Chọn B. Vì E là một điểm thuộc cạnh CD nên tồn tại k 0;1 sao cho   k EC 1 k ED 0 . 8 E       Khi đó, k BC 1 k BD BE và k AC 1 k AD AE . A a D
Suy ra           BE.AE k 2 BC.AC k 1 k BC.AD k 1 k BD.AC 1 k 2 BD.AD           k 2 BC AB BC k 1 k ab k 1 k BA AD AB BC 1 k 2 BA AD AD k 2b2 k 1 k ab k 1 k 82 ab 1 k 2 a2 2 kb 1 k a 64k 1 k .   k 1 k Do ·AEB 90 BE.AE 0 kb 1 k a 8 k 1 k b a 8 . 1 k k k 1 k Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 8 b a 2 ab ab 16 . 1 k k Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a b 4 và k 0,5 . Vậy maxT 16. Câu 18. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB , AB h , AD a , BC b . Cho k   là số thực dương thuộc 0;1 và điểm E thỏa mãn k EC 1 k ED 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc ·AEB 90? A. 1 k b ka h k 1 k . B. kb 1 k a hk 1 k . C. kb 1 k a h k 1 k . D. 1 k b ka hk 1 k . Lời giải B b C Chọn C.   Từ k EC 1 k ED 0 suy ra       h E k BC 1 k BD BE và k AC 1 k AD AE . Khi đó,           A a D BE.AE k 2 BC.AC k 1 k BC.AD k 1 k BD.AC 1 k 2 BD.AD           k 2 BC AB BC k 1 k ab k 1 k BA AD AB BC 1 k 2 BA AD AD k 2b2 k 1 k ab k 1 k h2 ab 1 k 2 a2 2 kb 1 k a k 1 k h2.   Do ·AEB 90 nên BE.AE 0 kb 1 k a h k 1 k . Vậy hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc ·AEB 90là kb 1 k a h k 1 k . Câu 19. Cho tam giác có trọng tâm G , qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB , AC lần lượt tại AM AN M , N . Đặt x , y , gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của AB AC T x y . Tính m M . 10 17 11 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 Lời giải (Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn) Chọn B
A N d M G C D B      1  1  Ta có AM xAB , AN y AC , AG AB AC . 3 3      MN AN AM xAB y AC .  1  1  MG x AB AC . 3 3 1 1 1 x kx 1 k x 1 k   3 3 3x Do M , N , G thẳng hàng nên MG kMN 1 1 1 ky ky k 3 3 3y 1 1 3 . x y x y . 3x 1 1 Do M , N lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC nên x, y 1. 2 1 1 2 4 4 3 xy T x y 3xy x y xy 9 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y . 3 4 giá trị nhỏ nhất m . 3 1 2x2 Ta có x ;1 2x 1 x 1 0 2x2 3x 1 0 2x2 3x 1 1 2 3x 1 3x2 3 . 3x 1 2 1 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 x 1 3x2 3 Ta có T x y 3xy 3x 1 2 3 giá trị lớn nhất là M . 2
4 3 17 Vậy m M . 3 2 6 Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Email: thutoan83@gmail.com Facebook: Nguyễn Thị Thu  1  Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3     Điểm M di động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 5 6 A. . B. . C. . D. . 5 4 6 5 Lời giải Chọn B.      Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA GC MA AE ME ME FE .   Do đó MA GC nhỏ nhất khi M  F. Gọi P là trung điểm của AC; Q, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, E trên BC. BQ BP 3  4  Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên hay BF BQ . BF BE 4 3  1  Có PQ là đường trung bình của AHC nên Q là trung điểm của HC hay HQ HC . 2    1  1  5  5 3  5  BQ BH HQ HC HC HC . BC BC . 3 2 6 6 4 8  4  5  5 Do đó BF BQ BC . Vậy x . 3 6 6 gmail: hoangthuyvinhuni@gmail.com Câu 21. Cho tam giác ABC đều cạnh 2 3 , d là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc 600 C .    Tìm giá trị nhỏ nhất của A MA MB 3MC ? 3 12 4 A. B. C. D. 2 5 5 5 Lời giải
K A E I B C M d Gọi E là trung điểm AB.      Gọi I là điểm thỏa mãn: IA IB 3IC 0 2IE 3IC 0 3 I nằm giữa đoạn EC và EI EC 5          Ta có: MA MB 3MC 2MI IA IB 3MI 3IC 5MI  Vậy A 5MI min M là hình chiếu của I trên đường thẳng d. Đường thẳng d qua B và tạo với AB 1 góc 600 nên d song song AC và cắt EC tại K. KEB CEA g.c.g nên E là trung điêm KC 3 3 3 9 EC a 2 3. 3 EI .3 2 2 5 5 9 24 KI 3 5 5 EB KB EB.KI 12 EKB  MKI MI MI KI KB 5 (Tác giả: Hoàng Thị Thúy- Facebook: Cỏ ba lá ) Câu 22. Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên O . Gọi s , i    lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC . Tính s i . 4 3 5 3 A. s i 3 .B. s i .C. s i .D. s i 2 3 . 3 3 Lời giải Dựng hình bình hành DBCA. Ta có           MA MB MC MD DA MD DB MD DC MD MD. Gọi E là giao điểm khác C của DC với (O) . Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có MD DO OM DO OE DE và MD DO OM DO OC DC
Dấu bằng xảy ra lần lượt khi M trùng E và M trùng C . 3 1 4 3 Vậy s i DE DC DC CE DC 2DC 2OC 2 2 . 2 3 3 buiduynam1993@gmail.com Câu 23. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a . Trên đường chéo AC , CE lấy hai điểm M , N sao cho AM CN k 0 k 1 . Độ dài BM 2 BN 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi k bằng bao nhiêu ? AC CE 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 4 Lời giải (Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam ) Chọn B.    AM     Ta có BM BA AM mà k AM k AC k BC BA . AC        Vậy BM BA k BC BA BM k BC 1 k BA .    CN       Lại có BN BC CN mà k CN kCE k CF FE k 2BA BC . CE    Vậy BN k 1 BC 2k BA .   2   2 2 2 Khi đó BM BN k BC 1 k BA k 1 BC 2k BA     k 2 BC 2 1 k 2 BA2 2k 1 k BC.BA k 1 2 BC 2 4k 2 BA2 4k k 1 BC.BA .   BC 2 BA2 AC 2 a2 Mà BC 2 BA2 a2 và BC.BA . 2 2 Vậy BM 2 BN 2 a2 6k 2 3k 2 0 k 1 . min BM 2 BN 2 a2 min 6k 2 3k 2 . 0 k 1 2 1 13 Xét f k 6k 3k 2 0 k 1 , ta có min f k f . 0 k 1 4 8 13a2 1 Vậy min BM 2 BN 2 khi k . 8 4 Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD có AD a , AB b . O và I lần lượt là trung điểm DB và DO . N      là điểm thỏa mãn 2NA 2NC AB AD 2AD và NB lớn nhất. Tính NB .
2a 3 a2 b2 a a2 b2 2a 3 a2 b2 2a a2 b2 A. B. C. D. . 2 2 4 4 Lời giải          2NA 2NC AB AD 4NO BD 4NO 4OI 4NI AD a Suy ra NI 2 2 a Để NB lớn nhất thì N là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính với BD ( N và B khác 2 phía so với I ). a 3 2a 3 a2 b2 Do đó NB NI IB a2 b2 2 4 4 Họ tên tác giả : Đoàn Phú Như Tên fb : Như Đoàn Email : doanphunhu@gmail.com Câu 25. Cho tam giác ABC, AB 3(cm), BC 4(cm),CA 5(cm). Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MB2 MC 2 MA2 là 5 97 5 97 5 97 A. 0 .B. 5 .C. 5 .D. 5 . 2 2 4 Lời giải : B D M A C O Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O là trung điểm AC    Gọi D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì DB DC DA 0  2  2  2   2   2   2 Ta có P MB2 MC 2 MA2 MB MC MA MD DB MD DC MD DA
    P MD2 DB2 DC 2 DA2 2MD DB DC DA MD2 DB2 DC 2 DA2 MD2 18 Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi DM nhỏ nhất. Vì M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên DM nhỏ nhất khi và chỉ khi O,M,D theo thứ tự thẳng hàng.        2   1 2 1 1 2 2 Ta có OD OC CD AC AB OD AC AB AC AB AC.AB 2 2 4 25 3 97 97 5 OD2 9 5.3. MD OD OM 4 5 4 2 2 2 97 5 5 97 Vậy . MinP 18 5 2 2 2 Chọn đáp án B Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com  1  Câu 26. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3     Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . . B. . . C. . . D. . 5 6 5 4 Lời giải (Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn B. A E P G B H M Q F C      Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME .    Kẻ EF  BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF .   Do đó MA GC nhỏ nhất khi M  F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . 3 Khi đó P là trung điểm GE nên BP BE . 4 BQ BP 3  4  Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên hay BF BQ . BF BE 4 3  1  Mặt khác, BH HC . 3  1  PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ HC . 2
   1  1  5  5 3  5  Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC. 3 2 6 6 4 8  4  5  Do đó BF BQ BC . 3 6   Câu 27. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho 3BC 2DE và đồng thời thỏa mãn CA CE . Giá trị nhỏ nhất của góc ·ABC nằm trong khoảng nào dưới đây ? A. (95 ;100 ) .B. (100 ;106 ) .C. (106 ;115 ) . D. (115 ;120 ) . Lời giải: A B D C E    Gọi ·ABC . Ta có: AC AB BC AC 2 AB2 BC 2 2AB.BC.cos (1)     3  9 Lại có: CE CD DE 2AB BC CE 2 AC 2 4AB2 BC 2 6AB.BC.cos 2 4 (2) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được : 2 5 2 3AB 5BC 3AB 5BC 15 0 3AB BC 8AB.BC.cos cos 2. . 4 8BC 32AB 8BC 32AB 8 Suy ra: 118,96 GTNN của nằm trong khoảng (115 ;120 ) chọn đáp án D.     Câu 28. Cho hình thang ABCD có 2AB DC , AC 8, BD 6 , góc tạo bởi hai véc tơ AC và BD bằng 120 . Khi đó giá trị của (AD BC) bằng: 13 2 5 14 4 7 15 2 10 A. .B. .C. . D. 6 4 3 . 2 3 4 Lời giải: A B D C             Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2AC BD (2AB CD) 3BC 3BC Bình phương vô hướng hai vế ta được:
14 9BC 2 4AC 2 BD2 4AC.BD.cos120 4.82 62 4.8.6.cos120 BC 3 Tương tự ta có:             Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: AC 2BD (2BA BC) 3AD 3AD Bình phương vô hướng hai vế ta được: 4 7 9AD2 AC 2 4BD2 4AC.BD.cos120 82 4.62 4.8.6.cos120 AD 3 14 4 7 Suy ra: (AD BC) chọn đáp án B. 3   Câu 29. Cho hình thang ABCD có 2AB DC , AC 9, BD 6 . Giá trị của biểu thức (BC 2 AD2 ) bằng: 80 A. 15.B. .C. 12. D. 14. 3 Lời giải: A B D C             Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2AC BD (2AB CD) 3BC 3BC Bình phương vô hướng hai vế ta được:   9BC 2 4AC 2 BD2 4AC.BD (1) Tương tự ta có:             Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: AC 2BD (2BA BC) 3AD 3AD Bình phương vô hướng hai vế ta được:   9AD2 AC 2 4BD2 4AC.BD (2) AC 2 BD2 92 62 Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế, ta được : BC 2 AD2 15 Chọn đáp án 3 3 A. 14 4 7 Suy ra: (AD BC) chọn đáp án B. 3 Câu 30. Cho tam giác ABC có B· AC 60 và AB, AC đã biết. Biểu thức P k.MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất bằng (AB AC) với mọi giá trị thực k k0 . Giá trị của k0 nằm trong khoảng nào dưới đây ? 3 3 A. (0;1) .B. ( ;2) .C. (1; ) . D. (2;3) . 2 2 Lời giải:        v     Ta có: | u |.| v | u .v | u | u .  và: u .v | u |.| v | . Áp dụng vào bài này, ta có : | v|
     AB  AC   AB   AC P k.MA MB MC k.MA MB. MC. k.MA (MA AB). (MA AC). AB AC AB AC      AB AC AB AC P k.MA AB AC MA( ) k.MA AB AC MA.| | AB AC AB AC   AB AC P MA k | | AB AC . Giả thiết cho biết: AB AC   AB AC P MA k | | AB AC AB AC AB AC     AB AC AB AC Suy ra: k | | 0 k | | AB AC AB AC Sử dụng bình phương vô hướng để tính:    2  2   AB AC AB AC AB AC | |2 2 . 1 1 2.cos60 3 AB AC AB AC AB AC   AB AC Suy ra: k | | 3 k . Vậy ta chọn đáp án B. AB AC 0 Email: hongle.ad@gmail.com Câu 31. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto    aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC. C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC. D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Lời giải Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Chọn B. A I B D C Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
DB AB c c   Theo tính chất phân giác trong: DB .DC , mà hai vecto DC , DB ngược DC AC b b  c        hướng nên ta có DB DC bDB cDC 0 b IB ID c IC ID 0 b    hay bIB cIC b c ID 0 (*) DB c DB c ac Mặt khác DB DC b BC b c b c IA BA c b c b c aIA b c ID ID BD ac a     Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID    Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0    Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I Email: nguyentuyetle77@gmail.com Câu 32. Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2MA2 3MB2 4MC 2 là: 26a2 26a2 A. 14a2 B. 14a2 C. D. 3 3 Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le       Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có: P 2(MG GA)2 3(MG GB)2 4(MG GC)     = MG2 2MG(2GA 3GB 4GC)       MG2 2MG(2GA 2GB 2GC GB 6GC)    MG2 2MG(CB 5GC) GC 2      MG2 2MG(CB 5GC) (CB 5GC)2 42GC 2     a2 (Vì (CB 5GC)2 CB2 10CB.GC 25GC 2 43. 43GC 2 ) 3    p (MG CB 5GC)2 42GC 2 42GC 2 14a2 .    Dấu “=”xẩy ra MG 5GC CB .    Vậy min P 14a2 khi M là điểm thỏa mãn MG 5GC CB Họ và tên tác giả : Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm Email: dvtam0189@gmail.com Câu 33. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của cos A . 1 2 3 4 A. . B. . C. .D. . 2 3 4 5 Lời giải Chọn D
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Ta có:       BM AM AB; CN AN AC.   Theo giả thiết BM  CN nên ta có BM CN 0 hay             AM AB  AN AC 0 AB  AC AM  AN AM  AC AN  AB.  1   1  Mà AM AC và AN AB nên suy ra 2 2   1   1   2 AB  AC AB  AC AB 2 AC 2 AB  AC AB 2 AC 2 . 4 2 5 Áp dụng định nghĩa tích vô hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có     AB  AC 2 AB 2 AC 2 2 2 AB 2.AC 2 4 cos A cos AB;AC . . AB.AC 5 AB.AC 5 AB.AC 5 4 Dấu " " xảy ra khi AB AC hay tam giác ABC cân tại A. Vậy min cos A . 5 Họ và tên : Cấn Việt Hưng Email: thuyhung8587@gmail.com FB: Viet Hung     Câu 34. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Lời giải: M A B H O N Chọn A.
   Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN .       Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên ·AMB 90o . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . AB a MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO . 2 2 Họ và tên tác giả : Phương Xuân Trịnh Tên FB: : Phương Xuân Trịnh Email: phuongtrinhlt1@gmail.com Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi là góc giữa hai trung tuyến BD và CK . Giá trị nhỏ nhất của cos là:. 1 4 2 3 A. .B. . C. . D. . 2 5 3 4 Lời giải Chọn B. A D K C B Ta có:           BD .CK AD AB AK AC AD .AC AK .AB (do AB  AC ) 1 1 AB2 AC 2 BC 2 . 2 2 Mặt khác: 2BA2 2BC 2 AC 2 2CA2 2CB2 AB2 2BD.CK BD2 CK 2 4 AB2 AC 2 4BC 2 5BC 2 . 4 4 Do đó:   BD .CK BC 2 4BC 2 4 cos . BD.CK 2BD.CK 5BC 2 5 4 cos BD CK ABC vuông cân tại A . 5 4 Vậy min cos . 5 vanphu.mc@gmail.com
 1  Câu 36. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho CH HB . Điểm M di 3     động trên BC sao cho CM x.CB . Tìm x sao cho độ dài vecto MA GB đạt giá trị nhỏ nhất. 8 5 6 5 A. .B. .C. .D. . 5 6 5 8 Lời giải Chọn B.      Dựng hình bình hành AGBE. Ta có MA GB MA AE ME      MA GB ME ME EF MA GB EF M  F . min 3 Gọi P là trung điểm của AB . Khi đó P cũng là trung điểm của GE và CP CE 4 Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P trên BC. CQ CP 3  4  Ta có CPQ và CEF đồng dạng nên CF CQ . CF CE 4 3  1   1  Mặt khác PQ là đường trung bình của AHB nên HQ HB . Theo giả thiết CH HB 2 3    1  1  5  Suy ra CQ CH HQ HB HB HB 3 2 6  3   5  5 3  5   4  4 5  5  Từ giả thiết HB CB . Do đó CQ HB . CB CB CF CQ . CB CB 4 6 6 4 8 3 3 8 6 ( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu) Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai Email: maimai1.hn@gmail.com     Câu 37. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Lời giải Chọn A
M A B H O    Gọi O là trung điểm của AB . Khi đó MA MB 2MO .       1 Ta có MA MB MA MB 2 MO BA hay MO AB Suy ra MAB vuông tại M 2 nên ·AMB 90o . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . AB a MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO . 2 2 Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo Email: nghianguyennhan78@gmail.com Câu 38. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4, BC 5 và CA 6 .  Khi đó DE bằng: 5  3  3  5  9  3  3  9  A. CA CB . B. CA CB . C. CA CB . D. CA CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 Lời giải Chọn A. CD AC 6 CD 6 AD là phân giác trong của tam giác ABC nên DB AB 4 CD DB 6 4 CD 6  3  CD CB . CB 10 5 CE 5  5  Tương tự: CE CA. CA 9 9    5  3  Vậy DE CE CD CA CB . 9 5     Câu 39.: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Lời giải Chọn A.
   Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN .       Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên ·AMB 90o . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . AB a MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO . 2 2 Họ và tên tác giả : Hoàng Tiến Đông Tên FB: tiendongpt Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn   Câu 40. Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là S điểm I , O lần lượt thỏa mãn IB IC 0 ;   OA OI 0 . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua O , đường thẳng này đi qua M , N lần lượt trên các cạnh AB, AC . Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc đoạn: S S S S 3S S S 3S A. ; . B. ; . C. ; . D. ; 4 3 3 2 8 2 4 8 Lời giải Chọn A A M M' O N' N B I C Từ O kẻ M N //BC , suy ra: O là trung điểm M N . NN MA OM NN MM 1 Ta có: . . 1 x, 0 x . NA MM ON NA MA 2 1 NN xNA AN AN xNA NA AN . 1 x 1 MM xMA M A MA xMA MA M A . 1 x S AM AN AM.AN 1 Ta có: AMN . . 2 SABC AB AC 4.AM .AN 4 1 x 2 1 S S Xét hàm số: f x 4 1 x trên 0; . suy ra: 3 f x 4 SAMN . 2 4 3
Đỗ Công Dũng Email: congdung812@gmail.com Câu 41. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 2 . Tìm giá trị lớn nhất của BC 2 AB2 AC 2 . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Lời giải Chọn D A O C I B M Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Dựng hình bình hành ABMC      Ta có OA OM MA OA2 OM 2 MA2 2OM MA 1   Tương tự ta có : OB2 OM 2 MB2 2OM MB 2   OC 2 OM 2 MC 2 2OM MC 3 Lấy 2 3 – 1 từng vế ta có:     R2 OM 2 MB2 MC 2 MA2 2OM MB MC MA ( do tứ giác ABMC là hình bình    hành nên MB MC MA ) Khi đó R2 OM 2 MB2 MC 2 MA2 OM 2 MB2 MC 2 4MI 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC OM MB MC 4 2 4 OM 2 MB2 MC 2 2 AB2 AC 2 BC 2 mà MB AC , MC AB nên R2 OM 2 AB2 AC 2 BC 2 BC 2 AB2 AC 2 R2 OM 2 R2 4 Vậy giá trị lớn nhất của BC 2 AB2 AC 2 là 4 . Đẳng thức xảy ra M  O AB AC R BC 2 3R2 . Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC có B· AC 1200 . Hay là tam giác ABC cân tại A và có B· AC 1200 . Họ và tên tác giả : Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang Email: quangmath@gmail.com Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB. Tính giá trị nhỏ nhất của    biểu thức MA 2MB MC theo a. a 3 a 3 a 3 2a 3 A. .B. . C. . D. . 4 2 8 3 Lời giải Chọn B.          Ta có MA 2MB MC MA MC 2MB 2MN 2MB 4 MI 4MI,
trong đó N, I lần lượt là trung điểm của AC, BN. Do đó I cố định . A M N H I B C Kẽ IH vuông góc với AB. Ta có MI HI. a 3 a 3 Tính được BN IH BI.sin 300 . 2 8 Email: themhaitotoanyp1@gmail.com Câu 43. Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh A, C) Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử DN mDA nDC . Tìm giá trị lớn nhất của m + n 4 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 2 Lời giải AM BQ BP Đặt k k và 1 k , k 0;1 AC BC AB Có DN DA AN DA xAQ DA x AB BQ DA xDC kxDA 1 kx DA xDC , (1) Mặt khác DN DC CN DC yCP DC y CB BP DC yDA y k 1 DC yDA 1 yk y DC , (2) k x y 1 kx k 2 k 1 Từ (1) và (2), ta có 1 ky y x 1 k y k 2 k 1 1 k k Do đó DN DA DC k 2 k 1 k 2 k 1
1 1 4 m n 2 2 ,k 0;1 k k 1 1 3 3 k 2 4 4 1 max m n , đạt được khi k = hay M là trung điểm AC. 3 2 (Fb: Lưu Thêm) Họ và tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan Email: lelanqx2@gmail.com  1  Câu 44. : Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC . 3     Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4 Lời giải Chọn B.      Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME .    Kẻ EF  BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF .   Do đó MA GC nhỏ nhất khi M  F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . 3 Khi đó P là trung điểm GE nên BP BE . 4 BQ BP 3  4  Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên hay BF BQ . BF BE 4 3  1  Mặt khác, BH HC . 3  1  PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ HC . 2    1  1  5  5 3  5  Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC. 3 2 6 6 4 8  4  5  Do đó BF BQ BC . 3 6 Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng Câu 45. Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm N,n thuộc đường tròn (O). Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 . Khi đó giá trị của N n bằng A. 12R 2 .B. 4R 9R 2 a2 b2 c2 .
C. 2R 9R 2 a2 b2 c2 .D. 8R 9R 2 a2 b2 c2 . Lời giải Chọn B. Ta có:   2   2   2 P MO OA MO OB MO OC         6R 2 2MO. OA OB OC 6R 2 2 MO . OA OB OC .cos    6R 2 2R. OA OB OC .cos Vậy :       ` 6R 2 2R. OA OB OC P 6R 2 2R. OA OB OC    N n 4R. OA OB OC    2       Mà : OA OB OC 3R 2 2 OAOB OBOC OAOC   OA2 OB2 (OA OB)2 3R 2 2. 9R 2 a2 b2 c2  2 N n 4R. 9R 2 a2 b2 c2 Họ và tên tác giả : Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen Email: giaohh2@gmail.com Câu 46. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O ,bán kính R , M là một điểm bất kì trên đường tròn. Giá trị lớn nhất của biểu thức S MA2 2MB2 3MC 2 là A. R2 21 . B. R2 21 .C. 2R2 21. D. 2R2 21 . Lời giải Chọn C.  2  2  2   2   2   2 Ta có S MA 2MB 3MC MO OA 2 MO OB 3 MO OC         S 2MO OA 2OB 3OC 2 MO OA 2OB 3OC .cos   S 2R CA 2CB .cos    Trong đó MO,CA 2CB Do tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R nên có cạnh là R 3   2  2    2   CA 2CB CA 4CA.CB 4CB 15R2 4.CA.CB.cos600 21R2 CA 2CB R 21 S 2R2 21.cos S 2R2 21    Dấu bằng xảy ra khi cos 1 MO,CA 2CB cùng chiều. Vậy MaxS 2R2 21 Email: anhtu82t@gmail.com Câu 47. Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 cos 2A 2cos 2B 2 3 cos 2C
A. P 4 .B. P 3 1 . C. P 2 3 3 .D. P 5 . min min 2 min min Lời giải Họ và tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú Chọn A Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    Ta có: (2OA 3OB OC)2 0       4OA2 3OB2 OC 2 4OA.OC 4 3OA.OB 2 3OB.OC 0 8R2 4OA.OC.cos 2B 4 3OA.OB.cos 2C 2 3OB.OC.cos 2A 0 8R2 4R2 cos 2B 4 3R2 cos 2C 2 3R2 cos 2A 0 3 cos 2A 2cos 2B 2 3 cos 2C 4 . Dấu bằng xẫy ra khi µA 450 , Bµ 600 ,Cµ 750 . Vậy Pmin 4 . VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Email: ngvnho93@gmail.com       Câu 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính AB.BC BC.CA CA.AB 3a 2 3a 2 a2 3 a2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Họ và tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho Chọn A Cách 1   2   Nhận xét: Với mọi điểm M bất kỳ, ta luôn có AB2 AM MB AM 2 MB2 2AM.MB   1 AM.MB AB2 AM 2 MB2 2   2 1 2 2 2 a AB.BC AC AB BC 2 2   2       2 1 2 2 2 a 3a Do đó BC.CA BA BC CA AB.BC BC.CA CA.AB . 2 2 2   2 1 2 2 2 a CA.AB CB CA AB 2 2 Cách 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh  AB, AC,  B C. Do tam giác ABC đều nên BM , CP, AN lần lượt là các hình chiếu của BC, CA, AB lên các cạnh BA, CB, AB. Áp dụng công thức chiếu, ta có
2       a a A AB.BC AB.BM AB.MB AB.MB a. 2 2       a a2 BC.CA BC.CP BC.PC BC.PC a. M N 2 2       a a2 CA.AB CA.AN CA.NA CA.NA a. 2 2 B C P       3a2 Cộng vế theo vế ta được AB.BC BC.CA CA.AB . 2       Cách 3. Vì tam giác ABC đều nên AB, BC BC,CA CA, AB 1200 .     1 a2 AB.BC AB.BC.cos AB, BC a.a. 2 2     1 a2 Do đó BC.CA BC.CA.cos BC,CA a.a. 2 2     1 a2 CA.AB CA.AB.cos CA, AB a.a. 2 2       3a2 AB.BC BC.CA CA.AB 2 Câu 2. Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Khẳng định nào sau đây đúng?   1   2   A. AM.AN AN.MB AM.NC 2 3       B. AM.AN AN.MB AM.NC   2     C. AM.AN (AN.MB AM.NC) 3   3     D. AM.AN (AN.MB AM.NC) 2 Lời giải Chọn B A N G M P D B C Q BM CN Trước hết ta chứng minh 1(1) AM AN
BM PG BP//MN AM AG Thật vậy, kẻ CQ//MN CN QG AN AG PG QG Do đó (1) 1 PG QG AG (GD PD) (GD DQ) AG AG AG 2GD AG ( luôn đúng) BM CN Vậy ta có 1 AM AN BM.AN CN.AM AM.AN       AN.MB AM.NC AM.AN cos A cos A cos A       AM.AN AN.MB AM.NC ( Do cos A 0 ) Câu 3. Cho các véc tơ a,b , c thỏa mãn a a , b b , c c và a b 3c 0 . Tính A a.b b.c c.a . 3c2 a2 b2 3a2 c2 b2 A. . B. . 2 2 3b2 a2 c2 3c2 a2 b2 C. . D. . 2 2 Lời giải Tác giả : Quang Phi Chọn A 2 2 Ta có a b 3c 0 a b 3c a b 9c 2 2 2 2 2 2 9c a b a b 2.a.b 9c a.b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 9c Tương tự ta có b 3c a b 3c a b 9c 6.b.c a b.c . 6 2 2 2 2 2 2 2 2 b a 9c Và ta lại có a 3c b a 3c b a 9c 6.a.c b a.c . 6 9c2 a2 b2 a2 b2 9c2 b2 a2 9c2 3c2 a2 b2 Suy ra A . 2 6 6 2 Họ và tên: Đoàn Thị Hường Email: ngochuongdoan.6@gmail.com Fb: Đoàn Thị Hường Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a , M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Biết   rằng AM.BC a2 . Độ dài cạnh AC là: a 33 a 3 A. AC B. AC a 3 C. AC D. AC a 5 3 3 Lời giải  1  Từ giả thiết M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC nên ta có BM BC 3
Đặt AB = x ; AC = y ta có x2 y2 4a2 (1) (Tam giác ABC vuông tại A)     1   1   2  1  Mặt khác từ AM AB BM AB BC AB (AC AB) AB AC 3 3 3 3   2  1    Nên có AM.BC a2 ( AB AC)(AC AB) a2 3 3 1  2 2  2   AC AB a2 ( Do AB.AC 0 ) 3 3 1 2 y2 x2 a2 (2) 3 3 a 33 Từ (1) và (2) ta có y Chọn đáp án A 3 Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên Mail: huunguyen1979@gmail.com Câu 5. Cho tam giác ABC có B· AC 900 , AB 1, AC 2 .Dựng điểm M sao cho AM  BC , AM 3.    Đặt AM x.AB y.AC .Tính T x2 y2 ? 153 151 157 159 A. T . B. T . C. T . D. x . 20 20 20 20 Lời giải Chọn A    Từ AM x.AB y.AC AM 2 x2 AB2 y2 AC 2 9 x2 4y2             Và AM.BC x.AB.BC y.AC.BC 0 x.AB(AC AB) y.AC(AC AB) 9 x 4y 2 2 2 144 x 4y 9 x 2 2 153 Ta có hệ: 20 . Suy ra T x y . x 4y 0 20 x 4y Email: truongthanhha9083@gmail.com     Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn MB.MC MA.BC MA2 là A. Đường thẳng AC. B. Đường thẳng AB. C. Đường thẳng BC. D. Đường trung trực cạnh BC. Lời giải Họ và tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B Yêu cầu bài toán trở thành       (MA AB).(MA AC) MA.BC MA2        MA2 MA(AB AC) AB.AC MA.BC MA2       MA(AB AC) MA(AB AC) (*) Gọi E là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ABEC. Hệ thức (*) trở thành
    MA.AE MA.BC    MA(AE BC) 0    MA(AE AC) 0   MA.CE 0 MA  AC Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB. Câu 7. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , a 0 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC , CA , AB sao cho BM a , CN 2a , AP x 0 x 3a . Tìm x để AM  PN . 3a 4a A. x .B. x . 5 5 a 2a C. x .D. x 5 5 Lời giải Họ và tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B     1  Ta có AM AB BM AB BC 3   1   2  1  AM AB AC AB AB AC . 3 3 3    1  x  Ta có PN AN AP AC AB . 3 3a   2  1  1  x  Để AM  PN thì AM.PN 0 AB AC AC AB 0 3 3 3 3a 2   2x  2 1  2 x   AB.AC AB AC AB.AC 0 . 9 9a 9 9a 2 2x 2 1 2 x AB.AC.cos60 3a 3a AB.AC.cos60 0 9 9a 9 9a 2 1 2x 1 x 1 3a 3a  9a2 9a2 3a 3a  0 . 9 2 9a 9 9a 2 5 4a 4a 2a2 ax 0 x . Vậy x thì AM  PN . 2 5 5 Nguyenducloi qv2@gmail.com Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm AB và I là điểm di động trên đường   AC thẳng MC . Khi 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số . AI
AC AC AC AC 3 A. 1.B. 2 . C. 2 . D. . AI AI AI AI 2 (Họ và tên tác giả : Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi) Lời giải Chọn B Gọi N là trung điểm BC .         Có 2IM AC IA IB IC IA IB IC 2IN.   Do đó 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của N trên MC . Dựng hình vuông ABCD . Gọi P là trung điểm CD và H là giao điểm của AP với DN . Dễ dàng chứng minh được DN  CM I DN . Lại có tứ giác AMCP là hình bình hành, suy ra AP / /CM . Do đó AP  DI và H là trung điểm DI. Suy ra tam giác AID cân tại A. AC AC Vậy 2. AI AD Email: buivuongphung@gmail.com  1  Câu 9. Cho ABC có trọng tâm G , H là chân đường cao kẻ từ A sao cho BH HC . Điểm M di 3     động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC nhỏ nhất. 6 5 4 5 A. B. C. D. 5 4 5 6 Lời giải Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền Chọn D
A G B H I M C Gọi I là trung điểm cạnh BC .        2  MA GC MC CG GA GC MC IA 3   2   BC BM IH HA 3   2 1  2  BC xBC . CB HA 3 4 3 5  2  x BC HA 6 3 2   2 5 2 4 2 4 2 Suy ra MA GC x BC HA HA 6 9 9 5 Dấu “=” xảy ra khi x . 6 Email: nguyenthitrangtnh@gmail.com Câu 10. Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn O;R . Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng 2 2 2 OM tính giá trị biểu thức AC AB 2BC theo R. A.8R2.B.10R 2.C.12R 2.D.14R 2. Lời giải Họ và tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:       OA OB OC  OB OC OG , OM . Khi đó 3 2        OG  OM OG.OM 0 OA OB OC OB OC 0       OA.OB OA.OC 2OB.OC 2R2 0 1 1 2R2 AB2 2R2 AC 2 2R2 BC 2 2R2 0 2 2 2 2 2 a b a b (chú ý a.b ) 2 AB2 AC 2 2BC 2 12R2 Email: phamhongquangltv@gmail.com   Câu 11. Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, Mµ = 600 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
2 2 1 1 A. k= .B. k= . C. k= . D. k= . 3 5 3 2 Lời giải Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Chọn B      Ta có: NE NM ME kMP MN  1   MF (MP MN) 2     NE  MF (MP MN).( kMP MN )=0       2 MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 2 . k    .    2 64 16 5 MP.(MP MN) MN.MP MP (Email): Khueninhbinh2004@gmail.com    Câu 12. Đẳng thức MA.AD MB.BC đúng với mọi điểm M. Khi đó tứ giác ABCD là hình gì. A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi.D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Lời giải (Họ và tên tác giả : Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham) Chọn B     Đẳng thức MA.AD MB.BC đúng với mọi điểm M   AB.BC 0 AB  BC Cho M trùng với A, B ta được   BA.AD 0 AB  AD Cho M trùng với C ta được           CA.AD CB.BC CB BA .AD CA AB .BC         CB.AD CA.BC (vì BA.AD AB.BC 0 )          CB.AD CA.CB 0 CB. AD CA 0 CB.CD 0 CB  CD Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Email: dacgiap@gmail.com
Câu 13. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi M , N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và AC sao cho  1    BM MC , CN k AN và AM  DN . Khi đó k thuộc khoảng nào dưới đây? 3 A. 3;5 .B. 5; 3 .C. 4; 2 .D. 2;4 . Lời giải Họ và tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap Chọn B A D N B M C     1  Ta có: AM AB BM AB BC ; 4   Từ CN k AN và N nằm giữa hai điểm A,C nên suy ra k 0 và  1  1   AN AC AB AD 1 k 1 k     1   DN DA AN DA AB AD 1 k    1   1   AM  DN AM.DN 0 AB BC DA AB AD 0 4 1 k   1  2   1   1     AB.DA AB AB.AD BC.DA BC.AB BC.AD 0 1 k 4 4 1 k 5a2 a2 0 k 4 . 4 1 k 4 Email: nnqman235@gmail.com Câu 14. Cho hai vector a,b thỏa mãn đồng thời các điều kiện a 2b 7, a b 2 , vector (3a b) vuông góc với (a b) . Tính cosin của góc tạo bởi hai vector a và b . 1 2 1 2 A. .B. . C. . D. . 3 4 3 4 Lời giải Họ và tên tác giả : Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman Chọn B 2 2 2 a 2b 7 a 4b 4a.b 7 a 1 2 2 2 Ta có a b 2 a b 2a.b 4 b 2 . 2 2 1 (3a b).(a b) 0 3a b 2a.b 0 a.b 2
a.b 2 Suy ra cos(a;b) . a . b 4 Câu 15. Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC a;CA b; AB c . Tìm OA2 OB2 OC 2 giá trị biểu thức: K b.c c.a a.b 1 1 1 A. K B. K C. K 1 D. K 2 3 4 Lời giải Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác OA,OB,OC ta luôn có:    a.OA b.OB c.OC 0 . Từ đó    2 a.OA b.OB c.OC 0       a2OA2 b2OB2 c2OC 2 2.a.bOA.OB 2b.c.OB.OC 2.c.a.OC.OA 0      2   Vì OA OB BA OA OB c2 2.OA.OB OA2 OB2 c2 Tương tự ta có: a2OA2 b2OB2 c2OC 2 ab OA2 OB2 c2 bc OB2 OC 2 a2 ca OC 2 OA2 b2 0 a b c aOA2 bOB2 cOC 2 abc a b c OA2 OB2 OC 2 1 bc ac ab Chọn đáp án C. K 1 Họ và tên: Lê Thái Bình Email: lebinhle80@gmail.com Facebook: Lê Thái Bình CM CN 1 Câu 16. Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho .Gọi CB CD 3   E là điểm thỏa mãn AE kAN. Khi BE  AM . Tính giá trị biểu thức T k 2 k 1. 13 7 8 5 A. B. C. D. 16 9 9 16 Lời giải.
  Đặt AB a; AD b . Ta có         BE BA AE BA kAN BA k AD DN 2 2k 3 a k b a a kb 3 3    2 và AM AB BM a b. 3   2k 3 2 3 Khi đó BE  AM BE.AM 0 k 0 k . 3 3 4 AC Câu 17. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM . Gọi N là trung 4 điểm CD. Tam giác BMN là A.Tam giác đều. B. Tam giác cân. C.Tam giác Vuông.D.Tam giác vuông cân Lời giải Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa Chọn D   Đặt AD a, AB b .  1 Khi đó: MB a 3b 4  1  1    b AM AC (a b); AN AD DN a 4 4 2  1  1 MN AC (3a b) 4 4   1 Ta có: MB.MN ( a 3b)(3a b) 16 1 2 2 ( 3a 3b 8a.b) 0 MB  MN 1 16  2 1 1 2 2 5 2 MB ( a 3b)2 (a 9b 6a.b) a 16 16 8
 2 1 1 2 2 5 2 MN (3a b)2 (9a b 6a.b) a 16 16 8 Suy ra MB MN 2 Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M (Email): luongthanh80tm@gmail.com Câu 18. Cho tam giác ABC . Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Đặt BC = a , CA = b , AB = c . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. 2a2 = b2 + c2 . B. 2b2 = a2 + c2 . C. 2c2 = a2 + b2 . D. b2 = 2a2 + 2c2 . Lời giải Chọn A A P N O H B M C D Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành.    Nên HB HC HD    Ta có O là trung điểm của đoạn AD nên HA HD 2HO     Suy ra HA HB HC 2HO           Ta có: OB OC 2OM AH ; tương tự OA OC BH;OA OB CH     OA OB OC OH Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA và AB .   OH  AM OH.AM 0      (OA OB OC).(AB AC) 0      (3OA AB AC).(AB AC) 0      3OA.(AB AC) (AB AC)2 0      2    2 3OA.AB 3OA.AC AB 2AB.AC AC 0   3AB.AP 3AC.AN AB2 2AB.AC AC 2 0 3c2 3b2   c2 2AB.AC b2 0 2 2
 2     Lại có: a2 BC (AC AB)2 b2 c2 2AB.AC   2AB.AC b2 c2 a2 Suy ra: 2a2 b2 c2 . (Sưu tầm, Họ và tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7) Câu 19. Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Khẳng định nào sau đây đúng?   1   2   A. AM.AN AN.MB AM.NC 2 3       B. AM.AN AN.MB AM.NC   2     C. AM.AN (AN.MB AM.NC) 3   3     D. AM.AN (AN.MB AM.NC) 2 Lời giải Chọn B A N G M P D B C Q BM CN Trước hết ta chứng minh 1(1) AM AN BM PG BP//MN AM AG Thật vậy, kẻ CQ//MN CN QG AN AG PG QG Do đó (1) 1 PG QG AG (GD PD) (GD DQ) AG AG AG 2GD AG ( luôn đúng) BM CN Vậy ta có 1 AM AN BM.AN CN.AM AM.AN       AN.MB AM.NC AM.AN cos A cos A cos A       AM.AN AN.MB AM.NC ( Do cos A 0 ) Họ và tên:Phan Thông
Email:quocthong1182@gmail.com Facebook:Quocthongphan Câu 20. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4 .Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là   điểm trên cạnh AD sao cho AN k AD ,CM vuông góc với BN .Khi đó k thuộc vào khoảng nào sau đây 1 1 1 1 1 1 1 A. 0; B . ; C. ; D. ; 16 16 20 20 9 9 6   Giải: Đặt AB a , AD b     1  1 Ta có CM CB BM AD AB b a 2 2      BN BA AN AB k AD a kb   1 1 1 Theo giả thiết ta có CM.BN 0 b a . a kb 0 16k .4 0 k 2 2 8 Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Email: phamhongquangltv@gmail.com   Câu 21. Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, Mµ = 600 Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP .Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP. 2 2 1 1 A. k= .B. k= . C. k= . D. k= . 3 5 3 2 Lời giải Chọn B      Ta có: NE NM ME kMP MN  1   MF (MP MN) 2     NE  MF (MP MN).( kMP MN )=0       2 MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 2 . k    .    2 64 16 5 MP.(MP MN) MN.MP MP Câu 22. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường  2 phân giác trong góc A . Tính AD
 2 4c  2 4bc A. AD p p a . B. AD p a . b c 2 b c 2  2 4bc  2 4bc C. AD p p a . D. AD p p a b c 2 b c 2 Lời giải (Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn D  1   Vì M là trung điểm của BC nên AM AB AC 2  2 1   2 1  2    2 Suy ra AM AB AC AB 2ABAC AC 4 4   1 Ta lại có AB.AC c2 b2 a2 nên 2  2 b2 c2 a2 2 1 2 1 2 2 2 2 AM c 2. c b a b 4 2 4 BD AB c Theo tính chất đường phân giác thì DC AC b  BD  b  Suy ra BD DC DC (*) DC c       Mặt khác BD AD AB và DC AC AD thay vào (*) ta được   b      AD AB AC AD b c AD bAB cAC c  2  2    2 b c 2 AD bAB 2bcABAC cAC 2  2 1 b c AD b2c2 2bc. c2 b2 a2 c2b2 2  2 bc AD b c a b c a b c 2  2 4bc Hay AD p p a b c 2 Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài ở mức độ VD, nhờ thầy cô góp ý! Câu 23. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và B·AC = 600. Các điểm M, N được xác định bởi uuur uuur uuur uur MC = - 2MB và NB = - 2NA. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. 6c2 - 4b2 - 5bc = 0 .B. 4c2 - 5b2 - 6bc = 0 . C. 6c2 - 5b2 - 4bc = 0 .D. 4c2 - 6b2 - 5bc = 0 . Lời giải Chọn D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: MC = - 2MB Û AC - AM = - 2(AB- AM ) Û 3AM = 2AB + AC . uuur uur uur Tương tự ta cũng có: 3CN = 2CA+ CB .
Vậy: uuur uuur AM ^ CN Û AM ×CN = 0 uuur uuur uur uur Û (2AB + AC)(2CA+ CB) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur (2AB + AC)(AB- 3AC) = 0 Û 2AB2 - 3AC 2 - 5AB.AC = 0 . 5bc 2c2 - 3b2 - = 0 Û 4c2 - 6b2 - 5bc = 0 . 2 Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com Câu 24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn     OM 2OA OB 2OC . Biết rằng OM vuông góc với BI và AC 2 3BC.BA . Tính góc ·ABC . A. 30 . B. 45 C. 60 . D. 120 . Lời giải Chọn C A M H I B O K C        Ta có OM  BI 2OM.BI=0 2OA OB 2OC BA BC 0          2 5OB 2BA 2BC 0 5OB.BA+5OB.BC 2 BA BC 0 Gọi H,K tương ứng là trung điểm của đoạn AB, BC       2 Khi đó 5OB.BA+5OB.BC 2 BA BC 0         2 5 OH HB .BA 5 OK KB .BC 2 BA BC 0 5 5   BC 2 BC 2 2BA2 2BC 2 2.2BA.BC 0 2 2 1 1 3 BA2 BC 2 AB2 BC 2 AC 2 0 AC 2 AB2 BC 2 . 2 2 4 4 2 2 2 2 2 AC AC BA BC AC Do đó cos ·ABC 3 . Suy ra ·ABC 60 . 2 2BA.BC AC 2 3 Họ và tên tác giả : Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe Email: kienyenthe@gmail.com Câu 25. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để AM  BD là A. a2 h2 ab 0.B. h2 a2 ab 0 C. h2 b2 ab 0 . D. b2 h2 ab 0 .
Lời giải Chọn B Ta có   AM  BD 2AM.BD 0    AB AC BD 0      AB AD DC AD AB 0   AB2 AD2 DC.AB 0 h2 a2 ab 0 Họ và tên: Vũ Huỳnh Đức Email: vutoanpvd@gmail.com Facebook: vuhuynhduc2017 uuuur uuur uuur uuur Câu 26. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn BM 1 BC , AN 1 AB . 3 3 Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính diện tích của tam giác IBC theo a? a2 a2 a2 a2 A. S 3 .B. S 7 .C. S 2 7 .D. S 2 3 . IBC 7 IBC 7 IBC 7 IBC 7 Lời giải Chọn A uur uuur uuur uur uuur uuur gI CN x ,y ¡ : BI x BN y BC , x+y=1 BI 2x BN 3y BC , x+y=1 3 uur uuur uuur và do I AM nên từ BI 2x BA 3y BC ta cũng có 2x 3y 1. 3 3 A N I B M C
x+y=1 uur uuur uuur g x= 6 , y= 1 BI 4 BA 1 BC - 2x 3y 1 7 7 7 7 3 uuur uuur uuur Từ giả thiết ta có CN= 2CA 1CB 3 3 uuur uur uuur uuur uuur uuur 2 1 4 1 g CN.BI CA CB . BA BC 3 3 7 7 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 8 BA .CA 4 BA .CB 2 BC .CA 1 BC .CB 0 21 21 21 21 BIC vuông tại I. uur uuur uuur uuur uuur 2 4 1 2 4 1 21 2 gBI BA BC BI BA BC a 7 7 7 7 49 gIC 2 BC 2 BI 2 a2 21a2 28 a2 IC 2 7 a 49 49 7 a2 Vậy S 1 BI .IC 3 . IBC 2 7 Họ và tên tác giả : Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com    2  Câu 27. Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn BM k BC , CN CA, 3  4  AP AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 15 1 1 3 A. k B. k C. D. k 3 2 4 Lời giải Chọn A          BM k BC AM AB k(AC AB) AM (1 k)AB k AC    4  1  +) PN AN AP AB AC . 15 3   Để AM vuông góc với PN thì AM.PN 0   4  1  (1 k)AB k AC AB AC 0 15 3
4(1 k) k 1 k 4k   AB2 AC 2 ( )AB AC 0 15 3 3 15 4(1 k) k 1 k 4k ( )cos600 0 15 3 3 15 1 k 3 Email: duyhung2501@gmail.com Câu 28. : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC a;CA b; AB c . Tìm OA2 OB2 OC 2 giá trị biểu thức: K b.c c.a a.b 1 1 1 A. K B. K C. K 1 D. K 2 3 4 Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất đường phân giác vào các phân giác OA,OB,OC ta luôn có:    a.OA b.OB c.OC 0 . Từ đó    2 a.OA b.OB c.OC 0       a2OA2 b2OB2 c2OC 2 2.a.bOA.OB 2b.c.OB.OC 2.c.a.OC.OA 0      2   Vì OA OB BA OA OB c2 2.OA.OB OA2 OB2 c2 Tương tự ta có: a2OA2 b2OB2 c2OC 2 ab OA2 OB2 c2 bc OB2 OC 2 a2 ca OC 2 OA2 b2 0 a b c aOA2 bOB2 cOC 2 abc a b c OA2 OB2 OC 2 1 bc ac ab Chọn đáp án C. K 1 Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng. FB: Hùng Tăng Họ và tên: Nguyễn Thị Huệ FB: Nguyễn Thị Huệ Gmail: nguyenthihue1611@gmail.com 1 Câu 29. Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện a b 1, a 2b 15. Đặt u a b và 2 v 2ka b, k ¡ . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u,v 600. 3 5 3 5 17 17 A. k 4 . B. k 4 . C. k 5 . D. k 5 . 2 2 2 2 Lời giải. Chọn A 2 1 Từ giả thiết a 2b 15 a 2b 15 a.b . 2 9 2 2 u.v a b 2ka b 3k , u u 6, v v 4k 2 2k 4 2
9 3k 1 3 5 u,v 600 2 k 4 . 6. 4k 2 2k 4 2 2 Họ và tên tác giả : Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê Email: Lenguyet150682@gmail.com     AD Câu 30. Cho tứ giác ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn 2MB MA 0;2NC ND 0 và x. Tính BC cosD· BC theo x để MN  BD. cos·ADB x x x A. .B. . C. . D. x 3 . 2 2 3 Lời giải   MN  BD MN.BD 0;   Phân tích: Ta thấy     nên cần phân tích MN theo AD và D· BC BD; BC ; ·ADC AD; BD  BC . Giải. Ta có biểu diễn    2   2    2  1  MN MA AN BA AN BN NA AN BN AN 3 3 3 3 2   1   2  1  BC CN AD DN BC AD 3 3 3 3  2  1  Vậy MN BC AD . Do đó 3 3    MN  BD 2BC AD .BD 0 2BC.cosD· BC AD.cos·ADB 0 . cosD· BC AD x Suy ra . Đáp án B. cos·ADB 2BC 2 Họ và tên tác giả : Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran Email: tranthanhha484@gmail.com Câu 31. Cho tam giác ABC có AB 6; BC 7;CA 5. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho   a AM 2MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC (k ¡ ). Biết k b
a ( là phân số tối giản, a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳng CM vuông góc với đường b thẳng BN. Tính giá trị biểu thức T 2018a 2019b 5. A. T 2017. B. T 2020. C. T 2030. D. T 2030. Lời giải Chọn B    2   CM AM AC AB AC . 3      BN AN AB k AC AB .   2     2k   2  2  2   Suy ra: CM BN (AB AC)(k AC AB) ABAC AB k AC ABAC 3 3 3   2  2   AB2 AC2 BC2 AB AC CB AB.AC 6 2 6 BN  CM k 7 Theo giả thiết, ta có : a 6; b 7 T 2018.6 2019.7 5 2020. Họ và tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất Email: nhatks@gmail.com Câu 32. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và B· AC 600. Các điểm M, N được xác định bởi     MC 2MB và NB 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. A. 6c2 5b2 4bc 0 B. c2 6b2 5bc 0 C. 4c2 6b2 5bc 0 D. 4c2 6b2 5bc 0 Lời giải Chọn C          Ta có: MC 2MB AC AM 2(AB AM ) 3AM 2AB AC    Tương tự ta cũng có: 3CN 2CA CB       Vậy: AM  CN AM CN 0 (2AB AC)(2CA CB) 0       (2AB AC)(AB 3AC) 0 2AB2 3AC 2 5AB.AC 0 5bc 2c2 3b2 0 4c2 6b2 5bc 0 2 Câu 33. Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AD uuur uuur sao cho AD = kAN . Tìm k để CM  BN. A. k=7,9B. k=8C. k=8,1D. k=7.8 Lời giải Chọn B uuur uuur uuur uuur 1 uuur giải: Ta có CM = CB + BM = - AD - AB 2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur BN = BA + AN = - AB + AD k uuur uuur Để CMBN thì CM .BN = 0 uuur uuur æ uuur uuuröæ uuur uuurö ç 1 ÷ç 1 ÷ CM .BN = ç- AD - AB÷ç- AB + AD÷ èç 2 ø÷èç k ø÷ uuur uuur 1 uuur 2 1 uuur 2 1 uuur uuur Mà = AD.AB - AD + AB - AB.AD k 2 2k uuur uuur 1 2 1 2 1 2 1 = - AD + AB = - (2a) + a2 k 2 k 2 uuur uuur 1 2 1 Þ CM .BN = 0 Û - (2a) + a2 = 0 k 2 4 1 Û - + = 0 Û k = 8 k 2 Vậy k = 8 thì CM ^ BN Họ và tên tác giả : Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com Câu 34. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AD . Biểu thức nào sau đây là đúng. A. AB.AH AD.AF AC 2 .B. AB.AE AD.AF AC 2 . C. AB.AE AD.AH AC 2 . D. AB.AE AD.AF AC.AH . Lời giải Chọn B Vì E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên F AB, AD nên ta có:     AB.AE AC.AB C     D AD.AF AC.AD H         2 Suy ra: AB.AE AD.AF AC AB AD AC (*) Do AC là đường chéo lớn nên ·ABC 900 và B nằm   giữa hai điểm A, E . Suy ra AB.AE AB.AE A B E Tương tự ta có: D nằm giữa hai điểm A, F . Suy ra   AD.AF AD.AF Vậy đẳng thức (*) trở thành: AB.AE AD.AF AC 2 . Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 35. Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AD h , cạnh đáy AB a,CD b . Tìm hệ thức giữa a,b,h để BD vuông góc trung tuyến AM của tam giác ABC . A. h2 a a b . B. h2 a b a . C. h h b a a b h . D. 2h2 a a b Lời giải Chọn A
A a B h M C D b  1   Thay AM . AB AC , ta có: 2            AM  BD AM.BD 0 AB AC .BD 0 AB.BD AC.BD 0 (1)       2 mà AB.BD AB. AD AB AB a2        2   và AC.BD AD DC AD AB AD DC.AB h2 ab nên: 1 h2 a a b . Họ và tên tác giả : Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam Email: quangnam68@gmail.com Câu 36. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R) , M là điểm chính giữa cung BC ( cung BC không chứa điểm A) . Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau : A. MA MB.sin C MC.sin B B. MA MB.cosC MC.cos B C. MA MB.sin B MC.sin C D. MA MB.cos B MC.cosC Lời giải Chọn C      MA  MA Ta có 2MO.MA MA2 2MO. MA 2sin A.MO. sin A.MA (1) MA MA    MB  MC Tương tự 2sin B.MO. sin B.MB (2) , 2sin C.MO. sin C.MC (3) MB MC Từ (1), (2) và (3) : sinA.MA sin B.MB sin C.MC     MA MB MC 2MO( sin A. sin B. sin C. ) MA MB MC  2MO.0 0 A O B C M    MA MB MC Ta sẽ chứng minh sin A. sin B. sin C. 0 (*) MA MB MC
1  1  1  Thật vậy , (*) MB.MC.sin A.MA MA.MC.sinB.MB MB.MA.sinC.MC 0 2 2 2    Sa MA Sb MB Sc MC 0 ( đúng) ( với Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MAC, MAB) Vậy MA.sin A MB.sin B MC.sin C 0 MA.sin A MB.sin B MC.sin C (*) Theo bài ra: sin A sin 900 1 thay vào (*) : MA MB.sin B MC.sin C Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương Email: lieuluong.290983@gmail.com Câu 37. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường  2 phân giác trong góc Aµ . Tính AD  2 4c  2 4bc A. AD p p a B. AD p a 2 2 b c b c  2 4bc  2 4bc C. AD p p a D. AD p p a 2 2 b c b c Lời giải Chọn D  1   * Vì M là trung điểm của BC nên AM AB AC A 2 Suy ra  2 1   2 1  2    2 AM AB AC AB 2ABAC AC 4 4 C B D M   1  2  2   2 Ta có AB.AC AB AC AB AC 2 Hình 2 1 1 AB2 AC2 CB2 c2 b2 a2 nên . 2 2 3  2 b2 c2 a2 2 1 2 1 2 2 2 2 AM c 2. c b a b 4 2 4 BD AB c * Theo tính chất đường phân giác thì DC AC b  BD  c  Suy ra BD DC DC (*) DC b       Mặt khác BD AD AB và DC AC AD thay vào (*) ta được
  c      AD AB AC AD b c AD bAB cAC b 2  2  2    2 b c AD bAB 2bcABAC cAC  2 2 1 b c AD b2c2 2bc. c2 b2 a2 c2b2 2  2 bc AD b c a b c a 2 b c  2 4bc Hay AD p p a 2 b c Họ và tên tác giả : Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung Email: trungthuong2009@gmail.com Câu 38. Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với nhau một góc 300 như hình vẽ dưới đây. Trên các đường thẳng Ox và Oy người ta để hai vật nặng cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng một thanh cứng AB 1m sao cho mỗi vật đều có thể chuyển động được trên hai đường ray. Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại O . Người tham dự cuộc thi sẽ đứng tại vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động trên Oy . Người thắng cuộc sẽ là người kéo được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc O . Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được. A O B A. 1m .B. 2m . C. 3m . D. 2m . Lời giải Chọn B + Đặt OB x;OA y(x, y 0) . Khi đó theo định lý cosin ta có: AB2 x2 y2 2xy cos300 x2 y2 3xy Do đó ta có hệ thức: x2 y2 3xy 1 Xét phương trình bậc hai: y2 3xy x2 1 0 Phương trình có nghiệm y khi 3x2 4(x2 1) 0 0 x 2 Vậy học vị trí xa nhất mà học sinh có thể đạt được cách O một khoảng là 2m Câu 39. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b . Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong CM 3 AL và . Tính cos A. AL 2
2 5 1 3 1 A. cos A B. cos A C. cos A D. cos A 2 4 2 2 Lời giải Chọn D  b  c  Ta có: AL AB AC b c b c      CA CB AB 2AC CM 2 2   Theo giả thiết: AL  CM AL.CM 0     bAB cAC AB 2AC 0 bc2 bc2 cos A 2cb2 cos A 2cb2 0 c 2b 1 cos A 0 c 2b (do cos A 1) b2 a2 c2 a2 b2 Khi đó: CM 2 2 4 2 1   2 1   2 AL2 AB AC AB2 AC 2 2AB.AC 9b2 a2 9 9 9 CM 3 CM 2 9 a2 b2 3 . a2 3b2 AL 2 AL2 4 9b2 a2 4 b2 c2 a2 5b2 a2 1 cos A 2bc 4b2 2 doantv.toan@gmail.com Câu 40. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 1;CD 3 . Điểm M thuộc cạnh AD và N là trung điểm BC m BN sao cho MN  BD . Phân số tối giản có m n bằng bao nhiêu n NC A. 29.B. 18.C.16. D. 27. Lời giải (Họ và tên tác giả : Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn) Chọn B    Ta có BD (BA BC)
m BN BN m  m   BN BC k BC n NC BC m n m n     1   MN MA AB BN k BC AB 2   1 11 11 BD.MN 0 nên 1 9 k 0 k m 11,n 7 2 18 11 7 Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa Email: phamquynhanhbaby56@gmail.com Câu 41. Cho tam giác ABC có AB = c ; BC = a , CA = b . Gọi M là trung điểm của AB và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Biết rằng trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AD . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? A. b 2c .B. c 2b . C. a b c . D. c a b . Lời giải Chọn B DB AB c Ta có D là chân đường phân giác trong góc A nên = = DC AC b    c    và DB , DC ngược hướng suy ra DB = - DC Û b.DB + c.DC = 0 b  b  c  Ta có: AD AB AC . b c b c      CA CB AB 2AC Vì CM là trung tuyến nên CM . 2 2   Theo giả thiết: AL  CM AL.CM 0     bAB cAC AB 2AC 0 bc2 bc2 cos A 2cb2 cos A 2cb2 0 c 2b 1 cos A 0 c 2b (do cos A 1) Vậy c = 2b . Câu 42. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ B»C . Khi đó A. MA MB MC B. MA MB MC C. MA MB MC D. MA 2MB MC Lời giải Chọn A     R2 OA2 (OM MA)2 R2 MA2 2OM.OA  Ta có    MA MA2 2.OM.MA 0 MA 2.OM. 0 MA Tương tự   MB MB 2.OM. 0 MB   MC MC 2.OM. 0 MC
    MA MB MC Suy ra MA MB MC 2OM ( ) 0 MA MB MC    MA MB MC Vì ; ; là các véc tơ đơn vị và đôi một tạo với nhau một góc 1200 nên MA MB MC    MA MB MC 0 , do đó MA MB MC 0 MA MB MC