Bài tập ôn thi vào Lớp 10 môn Toán: Chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Bài tập ôn thi vào Lớp 10 môn Toán: Chứng minh bất đẳng thức

1. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy Ta có a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b2c2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ví dụ 2: 1 1 1 1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 9 (403-1001) a b c 2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z) 3) Cho a > 0, b > 0, c > 0 a b c 3 CMR: b c c a a b 2 1 4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y 5 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a2 b2 c2 1 a3 b 3 c 3 1 Chứng minh rằng b c a c a b 2 Giải: 2 2 2 a b c Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a 2 b2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b2 . c 2 . . = . = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a3 b3 c3 1 1 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng : a2 b2 c2 d 2 a b c b c d d c a 10 Giải: Ta có a2 b2 2ab c2 d 2 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x ) ab x 2
2. 1 Ta có a 2 b2 c 2 2(ab cd ) 2(ab ) 4 (1) ab Mặt khác: a b c b c d d c a =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc Vậy a2 b2 c2 d 2 a b c b c d d c a 10 Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng: (a c)2 (b d)2 a 2 b2 c2 d 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a 2 b2 . c2 d 2 mà a c 2 b d 2 a2 b2 2 ac bd c2 d 2 a2 b2 2 a 2 b2 . c2 d 2 c2 d 2 II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 a 2 b 2 c 2 a b c Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: + + b c a c b a 2 Bài giải: Với a, b, c > 0 ta có: + b c a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 Tương tự ta có: + a c b; và + a b c 4 4 + + + a b c a + b + c 2 + + (đpcm) Vậy + + Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = 1 + 1 .Bài giải: xy22 xy ab 4 11 Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => (a, b > 0) ab ab ab (x y)2 1 Mặt khác: x + y 2 xy => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 4 A = + 1 + 1 4 + = 4 + 4 + 1 = 4 + 2 = 6 2xy 2xy x22 y 2xy (x y)2 1 2. 4 1 Vậy MinA = 6 khi x = y = 2 Bài 3. Cho a , b , c 0: abc 1 1 1 1 1 CMR : a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 2
3. Hướng dẫn Ta có: ababb2 2 2; 2 12 bab 2 2 2 32 abb 1 11 a22 2 b 3 2 ab b 1 Tương tự => 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ab 2 3 bc 2 3 ca 2 3 2 abb 1 bcc 1 caa 1 Mặt khác: 1 1 1 1 ab b 1 ab b1 bc c 1 ca a 1 ab b 1 ab2 c abc ab bca ab b 1 1 1 1 => abc 1 a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 2 Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1. CMR : Bài giải Ta có x3 y 3 1 33 x 3 y 3 3 xy z3 y 3 1 33 z 3 y 3 3 zy x3 z 3 1 33 x 3 z 3 3 xz 33xy zy 3xz 1 1 1 1 3 3 33 3 3 Nên vế trái = xy zy xz xy zy xz xy zy xz Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 a b c b3 c 3 a 3 b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a33 a a 1 3 (1) bb33 b b33 b b 1 3 (2) cc33 c c33 c c 1 3 (3) aa33 a Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
4. a3 b 3 c 3 a b c a b c 2( ) 3 2( ) b3 c 3 a 3 b c a b c a a b c 2( ) 3 b c a a3 b 3 c 3 a b c Vậy: b3 c 3 a 3 b c a Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13) 12 Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: 3 xy HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z) Bài 7: (Hải Dương 12 – 13) 11 Cho 2 số dương a, b thỏa mãn 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab 11 Q . a4 b 2 22 ab 2 b 4 a 2 ba 2 Hướng dẫn Với ab 0; 0 ta có: (a2 b ) 2 0 a 4 2 a 2 b b 2 0 a 4 b 2 2 a 2 b 11 a4 b 2 2 ab 2 2 a 2 b 2 ab 2 (1) a4 b 2 22 ab 2 ab a b 11 1 Tương tự có (2) . Từ (1) và (2) Q b4 a 2 22 a 2 b ab a b ab a b 11 11 Vì 22 a b ab mà a b 21 ab ab Q . ab 2(ab )2 2 1 1 Khi a = b = 1 thì Q . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 2 Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị xy22 nhỏ nhất của biểu thức: M xy Hướng dẫn x2 y 2 x 2 y 2 x y x y3 x Ta có M = () xy xyxyyx44 yx y xy x y x y Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ; ta có 2 . 1, 4yx 44y x y x dấu “=” xảy ra x = 2y xx3 6 3 Vì x ≥ 2y 2. , dấu “=” xảy ra x = 2y yy4 4 2 Từ đó ta có M ≥ 1 + 3 = 5 , dấu “=” xảy ra x = 2y 2 2 Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y Bài 9:
5. Hướng dẫn: Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1;b 4;c 9 bca 1 cab 4 abc 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P abc Hướng dẫn: Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
6. 11 Chứng minh rằng 1 xy xz 1 1 1 1 1 4 4 HD xyxzxyz xyz x 4 x Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0 8a 2 b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = b 2 4a Hướng dẫn a = b = 0,5 Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13) 2xy Cho xy 0, 0 thỏa mãn xy22 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . 1 xy Hướng dẫn: Với xy 0, 0 ta có xy22 1 3 1 2 2 4 xy xy 1 xy 2 2 2 1 xy 3 1 xy 3 2xy 2 4 2 Do đó A 22 . 1 xy 1 xy 3 3 Dấu “=” xảy ra khi xy . xy 0, 0 2 Từ x y x y 2 22 xy 1 2 2 Vậy min A khi xy . 3 2 Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
7. 2 a 1 2b 8 Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : 1 a 1 2b 7 Hướng dẫn: 1 2 8 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 ab 1 2 7 12 1 1 1 Ta có: = 2 (1) (bđt Côsi) ab 1 2 1 a 1 1 1 b (ab 1)( ) 2 2 1 ab 1 17 (ab 1)( ) 2 (bđt Cô si) 2 2 4 28 (2) 1 7 (ab 1)( ) 2 Từ (1) và (2) suy ra: Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + 1 và a + b = 2 a = 3 và b = 5 2 4 4 Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01) Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P ab bc ca biết P ab 2c bc 2a ac 2b Hướng dẫn 2 2 * Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c + ab = (ca+ c )+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 vì a ; b ; c > 0 nên 0 và 0 áp dụng cosi ta có a c b c 1 1 1 1 2. dấu (=) a + c = b + c a = b a c b c (a c)(b c) a c 1 1 1 1 hay ( ) (c a)(c b) 2 c a c b ab ab 1 ab ab (1) dấu bằng a = b 2c ab c a (c b) 2 c a c b bc 1 cb bc Tương tự: (2) dấu bằng b = c bc 2a 2 a b a c ac 1 ca ca (3) dấu bằng a = c 2b ca 2 c b b a cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca 1 ab ab cb cb ac ac : P= ( + + ) ab 2c bc 2a ca 2b 2 c a c b b a c a b a c b ab cb ab ac cb ac P ( ) ( ) ( c a c a b c c b a b a b 1 (a c).b a.(b c) c.(b a) 1 1 = a b c .2 1 2 c a b c a b 2 2
8. ab bc ca 2 P= ≤ 1 dấu bằng a = b = c = ab 2c bc 2a ca 2b 3 Vậy min P = 1 khi a = b = c = Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn ab bc ca nhất của biểu thức: P = . c ab a bc b ca Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0) Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) ab ab ab Do đó a c b c (Cô – si) c ab( b c )( c a ) 2 bc ca bc ca Tương tự: b c c a ; c a a b a bc 2 b ca 2 a c b c a b 3 Vậy P a c b c a b 22 Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2 Bài 17: (Hà Nội 11 – 12) 1 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x2 3x 2011. 4x Hướng dẫn 11 M 4 x22 3 x 2011 4 x 4 x 1 x 2010 44xx 1 (2xx 1)2 ( ) 2010 4x 1 Vì (2x 1)2 0 và x > 0 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 4x 1 11 2x . 2. 1 4x 42x 1  M = (2xx 1)2 ( ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011 4x 1 x 1 2 x 2x 1 0 2 11 2 1 1  M 2011 ; Dấu “=” xảy ra  xx x x = 44x 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 0 1 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 2 Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
9. Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: x y z 1. x 3 xyzy 3 yzxz 3 zxy Hướng dẫn 2 Từ x yz 0 x2 yz2xyz (*) Dấu “=” khi x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz Suy ra 3x yz x(y z) 2xyz x(y z) (Áp dụng (*)) xx x 3xyz x(x y z) (1) x 3x yz x y z y y zz Tương tự ta có: (2), (3) y 3y zx x y z z 3z xy x y z x y z Từ (1), (2), (3) ta có 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 25 Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 a b c Q . 2b 5 2 c 5 2 a 5 Do a, b, c > (*) nên suy ra: 2a 5 0, 2b 5 0 , 2c 5 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: a 2ba 5 2 (1) 25b b 2cb 5 2 (2) 25c c 2ac 5 2 (3) 25a Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15. Dấu “=” xẩy ra abc 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 abc 25