Bài tập ôn tập Đại số Lớp 9

Nội dung text: Bài tập ôn tập Đại số Lớp 9

1. a a 1 a a 1 Bài 1. Rút gọn biểu thức S a a a a) Tìm ĐKXĐ của S. b) Rút gọn S. 1 1 1 2 Bài 2. Cho biểu thức: P 1 . , x 0; x 1 . Rút gọn biểu thức x x 1 x 1 x 1 P và tìm các giá trị của x để P 1 . 4 y 8y y 1 2 Bài 3. Cho biểu thức A : , với y 0, y 4, y 9 . 2 y 4 y y 2 y y 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm y để A 2 . Giải 4 y 8y y 1 2 1. Rút gọn biểu thức A : 2 y 4 y y 2 y y 4 y. 2 y 8y y 1 2 y 2 8 y 4y. 8y y 1 2 y 4 A= : = : 2 y 2 y y. y 2 2 y 2 y y. y 2 8 y. 4y y 3 4 y 2 y y. y 2 4y A= : = . = 2 y 2 y y. y 2 2 y 2 y 3 y 3 y 4y 2) Thay A 2vào ta có =-2 4y=- 6 + 2y 4y + 2y - 6 = 0 3 y Đặt t = y 0 nên t2 = y 4t2 + 2t - 6 = 0 2t2 + t - 3 = 0 có dạng a+ b + c = 0 nên phương trình có 1 nghiệm t1= 1( Thỏa mãn) áp dụng hệ thức vi ét ta có t2 =-3 0 và x ≠ 1). x2 x x x x x 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị của x sao cho 3P = 1+ x. Giải
2. 1 x 1 1 x 1 P : : x2 x x x x x x ( x)3 1 x x x 1 1) 1 x x x 1 1  x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 Bài 7. Rút gọn biểu thức: P = với x, y > 0. y 1 y 1 y 1 y 1 Giải Đặt a = x + 1 > 0, b = y 1 > 0, b2 = y 1 , thay vào biểu thức và thực hiện phép tính rút gọn ta 2(a 1) 2 x được kết quả P = ( a – 1 = x và b2 – 1 = y ). b2 1 y x x 2 x 1 x Bài 8. Rút gọn biểu thức: P : với x 0;x 1;x 4 . x x 2 x 2 x 2 x Giải x x 2 x 1 x A ( ) : x x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 1 x A ( ) : x 1 x 2 x x 2 2 x x x 2 x 1 x A ( ) : x 1 x 2 x x 2 2 x 2 A x 1 Bài 9. Rút gọn B = ( ( x > 0 ; x ≠ 1) Bài 10. Thu gọn các biểu thức sau : x x 1 x 10 A = ( x 0, x ≠ 4) x 2 x 2 x 4 B = (13 4 3)(7 4 3) 8 20 2 43 24 3 Giải x x 1 x 10 A ( x 0, x ≠ 4) x 2 x 2 x 4 x( x 2) ( x 1)( x 2) x 10 A x 4 x 2 x x 3 x 2 x 10 2x 8 2(x 4) A 2 x 4 x 4 (x 4)
3. B (13 4 3)(7 4 3) 8 20 2 43 24 3 2 B 91 52 3 28 3 48 8 20 2 4 3 3 B 43 24 3 8 20 8 6 3 43 24 3 8 28 6 3 2 B 43 24 3 8 3 3 1 43 24 3 24 3 8 35 1 4 Bài 11. Cho biểu thức P x 2 x 4 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. 1 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x . 4 1 1 x 1 Bài 12. Cho biểu thức: P : với x > 0, x 1. x x x 1 x 2 x 1 1.Rút gọn biểu thức P. 2.Tìm x để P = -1. Bài 13. a. Tính : 12 75 48 5 2 6 b. Tính giá trị biểu thức A 2 3 Giải 2 5 2 6 2 3 2 3 3 2 b. A 1 2 3 2 3 2 3 2 3 Bài 14. Thu gọn các biểu thức sau: 5 5 5 3 5 A 5 2 5 1 3 5 x 1 2 6 B : 1 (x>0) x 3 x x 3 x x 3 x Giải 5 5 5 3 5 A 5 2 5 1 3 5 (5 5)( 5 2) 5( 5 1) 3 5(3 5) ( 5 2)( 5 2) ( 5 1)( 5 1) (3 5)(3 5) 5 5 9 5 15 5 5 9 5 15 3 5 5 3 5 5 4 4 4 3 5 5 5 2 5 5 x 1 2 6 B : 1 (x>0) x 3 x x 3 x x 3 x
4. x 1 x 2 6 : x 3 x 3 x x( x 3) x 1 ( x 2)( x 3) 6 : x 3 x( x 3) x ( x 1). 1 x x x 1 Bài 15. 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0 và x 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 a)Chứng minh rằng P x b)Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5 x 2 2x 2 Bài 16. Rút gọn biểu thức P , với x > 0, x 2 2 x x 2 x 2 1 8 10 Bài 17. 1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 2 1 2 5 a a a 1 2) Rút gọn biểu thức B = : với a > 0, a 4. a 2 a a 2 a 4 a 4 Giải 1 8 10 2 1 2(2 5) 1) A 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 5 a a a 1 2) B = : với a > 0, a 4. a 2 a a 2 a 4 a 4 a a a 1 a a ( a 2)2 = :  a 2 a a 2 a 4 a 4 a 2 a 2 a 1 a a ( a 2)2 a(1 a ) ( a 2)2 =   a( a 2) a 2 a 1 a 2 a 1 Bài 18. a/ Tính: 2 25 3 4 x 2 x 4 c/ Rút gọn biểu thức A = : với x 0 và x 4 x 2 x 2 x 2 10 x 2 x 3 x 1 Bài 19. Rút gọn biểu thức: A ( x 0; x 1) x 3 x 4 x 4 1 x Giải Rút gọn biểu thức:
5. 10 x 2 x 3 x 1 A ( x 0; x 1) x 3 x 4 x 4 1 x 10 x 2 x 3 x 1 A x 4 x 1 x 4 x 1 10 x 2 x 3 x 1 x 1 x 4 x 4 x 1 10 x 2x 5 x 3 x 5 x 4 3x 10 x 7 = x 4 x 1 x 4 x 1 x 1 7 3 x 7 3 x = = ( vì x 0; x 1 ) x 4 x 1 x 4 x 3 y 3 x y Bài 20. Cho biểu thức: P = . , x y x 2 xy y 2 x 2 y 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi: x = 7 4 3 và y = 4 2 3 Giải a) Rút gọn biểu thức P. x 3 y 3 x y P = . , với x y x 2 xy y 2 x 2 y 2 (x y)(x 2 xy y 2 ) x y x y = . = x 2 xy y 2 (x y)(x y) x y b) P = x y x y x = 7 4 3 = 2 -3 và y = 4 2 3 = 3 - 1 2 - 3 3 1 1 3 2 3 Vậy: P = (2 3) ( 3 1) 3 2 3 3 1 x 1 Bài 21. Cho biểu thức A : x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 0 . Bài 22. Cho biểu thức M = + − a.Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M. b.Tìm các giá trị của x để M > 1 Bài 23. 1 1 a. Tính giá trị của biểu thức A = 6 2 6 2
6. b. Rút gọn biểu thức B =x 1 2 x 2 1 x 2 với 2 x 3 Giải 1 1 6 2 6 2 2 6 6 a) A = 6 2 6 2 6 2 6 2 6 4 2 b) B =x 1 2 x 2 1 x 2 (với )2 x 3 2 B x 2 1 1 x 2 x 2 1 1 x 2 B x 2 1 1 x 2 2 (Vì 2<x<3 x - 2 -1<0) x 2 x 2 x Bài 24. Cho biểu thức A = : với x 0; x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A (2 ) x 1 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. (đ/a 3;2) Bài 25. 1) Tính 3 16 5 36 x 1 x 1 2) Chứng minh rằng với x 0 và x 1 thì x 1 x x x 2 1 1 Bài 26. Cho biểu thức P = : x 4 x 2 x 2 a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. b) Tim x để P = 3 . 2 x 2 x 3 x 1 1 Bài 27. Rút gọn biểu thức A= + với x 0 x x +1 x- x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 Bài 28. Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x x 1 x 1 a.Rút gọn biểu thức P b.Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Giải a.
7. x 2 x 1 x 1 P x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 2 x 1 x x 1 x x ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x( x 1) x ( x 1)(x x 1) x x 1 Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1, thì P = x x x 1 b.Đặt t x,ðk t 0 t Ta có P Pt 2 (P 1)t P 0 t 2 t 1 1 Đk có nghiệm (P 1)2 4P2 0 1 P 3 1 Do x 0 : x 1 nên0 P P nguyên P 0 tại x=0 3 3 2 5 6 Bài 29. Rút gọn các biểu thức: M = 6 2 6 2 2 2 2 2 2 P = 1 1 2 1 2 1 x 3 x 3 A . với x 0 ; x 9 x 3 x 3 x 9 2 2 B 21 2 3 3 5 6 2 3 3 5 15 15 a a a a Q 1 1 với a 0;a 1 a 1 a 1 1 N= 1 x x ; với x ≥ 0. x 1 3 1 C . x 2 với x 0 và x 4 . x x 2 x 1 1 1 a + 1 H = + : với a > 0 và a 4 . 2 a - a 2 - a a - 2 a
8. 1 2 a- 3 a + 2 A = ( - ).( + 1) với a>0,a¹ 4 a - 2 a- 2 a a - 2 A 2 5 3 45 500 8 2 12 B 8 3 1 Bài 30. Thu gọn các biểu thức sau: 1 2 x 1 A với x > 0; x 1 x x x 1 x x B (2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3 Giải 1 2 x 1 x x x x 2 x A x x x 1 x x x2 x x 1 2 x 2 x 2 x 1 2 x(x 1) 2 1 với x > 0; x 1 x(x 1) x 1 x 1 x x(x 1) x B (2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3 1 1 (2 3) 52 30 3 (2 3) 52 30 3 2 2 1 1 (2 3) (3 3 5)2 (2 3) (3 3 5)2 2 2 1 1 (2 3)(3 3 5) (2 3)(3 3 5) 2 2 2 Bài 31. Cho biểu thức: a a a a A = : với a và b là các số dương khác nhau. a b b a a b a b 2 ab a b 2 ab a) Rút gọn biểu thức A – . b a b) Tính giá trị của A khi a = 7 4 3 và b = 7 4 3 . Giải Ta có :
9. a a a a A : a b b a a b a b 2 ab a a a a A : 2 a b ( b a)( b a) a b a b a( b a) a a( a b) a A : 2 ( b a)( b a) a b 2 ab a b A . ( b a)( b a) ab a b A b a a b 2 ab A b a a b ( a b)2 a) Ta có : b a b a ( a b)2 ( a b)2 0 b a a b 2 ab Vậy A = 0 b a b) Ta có : a 7 4 3 b 7 4 3 a 4 4 3 3 b 4 4 3 3 2 2 a 2 3 b 2 3 a 2 3 b 2 3 a b Thay a 2 3; b 2 3 vào biểu thức A ta được : b a 2 3 2 3 A 2 3 2 3 4 A 2 3 2 3 A 3 2 3 Vậy với a = 7 - 4 3 ; b = 7 + 43 thì A = . 3 x 4 Bài 31. 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2
10. 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. Giải 36 4 10 5 1) Với x = 36, ta có : A = 36 2 8 4 2) Với x , x 16 ta có : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 ( 1) . 1 . 3) Ta có: B A . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18  1 1 a 2 1 Bài 38. Cho biẻu thức : A = + - 2 2 a 2 2 a 1 a 2 1- Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2- Tìm giá trị của a ; biết A 0 , a 1) a 1 a 1 2a a 2 1. Chứng minh rằng : P a 1 2. Tìm giá trị của a để P = a Giải 2 1. Chứng minh rằng : P a 1 a 1 a 1 1 P 4 a a 1 a 1 2a a 2 2 a 1 a 1 4 a a 1 a 1 1 P . a 1 a 1 2a a a 2 a 1 a 2 a 1 4a a 4 a 1 P . a 1 a 1 2a a 4a a 1 2 P . (ĐPCM) a 1 2a a a 1 2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a
11. 2 a a2 a 2 0 => a 1 . Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm a1 = -1 0 và x 4, ta có: 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 A = . = . = = x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x x 2 2 2 1 b, A = > x > 4. x 2 x 2 2 7 2 14 c, B = . = là một số nguyên x 2 là ước của 14 hay x 2 = 3 x 2 3( x 2) 1, x 2 = 7, x 2 = 14. (Giải các pt trên và tìm x) 1 1 1 2 Bài 41. Cho biểu thức Q = : với x > 0 và x 1. x 1 x x x 1 x 1 a) Rút gọn Q. b) Tính giá trị của Q với x = 7 – 43 . 2a 2 4 1 1 Bài 42. Cho biểu thức: P = 1 a3 1 a 1 a a) Tìm điều kiện của a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P. Giải
12. a) Tìm điều kiện của a để P xác định: P xác định khi a 0 và a 1 b) Rút gọn biểu thức P. 2 2 2 2a 2 4 1 1 2a 4 1 a a a 1 1 a a a 1 P = = 1 a3 1 a 1 a 1 a a 2 a 1 2a 2 4 a 2 a 1 a 2 a a a a a 1 a 2 a a a a = 1 a a 2 a 1 2 2a 2 = = 1 a a 2 a 1 a 2 a 1 2 Vậy với a 0 và a 1 thì P = a 2 a 1 x 2 x 2 Q x x x 0, x 1 Bài 43. Cho biểu thức , với x 2 x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức Q b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. Giải x 2 x 2 x 2 x 2 a. Q x x x x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 1 x 1 1 1 1 x x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 2 x 2x x . x . x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x Vậy Q x 1 b. Q nhận giá trị nguyên 2x 2x 2 2 2 Q 2 x 1 x 1 x 1 2 Q ¢ khi ¢ khi 2 chia hết cho x 1 x 1 x 0 x 1 1 x 2 x 2 đối chiếu điều kiện thì x 1 2 x 1 x 3 x 3 2 3 6 8 4 Bài 44. 1) Đơn giản biểu thức: A 2 3 4 1 1 P a ( );(a 1) 2) Cho biểu thức: a a 1 a a 1
13. Rút gọn P và chứng tỏ P 0 Giải 2 3 2 6 8 2 ( 2 3 4)(1 2) 1) A 1 2 2 3 4 2 3 4 a a 1 a a 1 P a ( );a 1 a a 1 2) a 2 a 1 a 1 2 a 1 1;vi : a 1 P ( a 1 1)2 0;a 1 4a a a 1 Bài 44. Cho biểu thức: P . với a >0 và a 1 . 2 a 1 a a a a) Rút gọn biểu thức P. b) Với những giá trị nào của a thì P = 3. Giải 4a a a 1 4a 1 a 1 P . . a) Với 0 a 1 thì ta có: 2 2 a 1 a a a a 1 a 4a 1 a 2 4a 1 b) Với 0 a 1 thì P = 3 3 3a 2 4a 1 3a 2 4a 1 0 a 2 1 a = 1 (loại) hoặc a (thỏa mãn đk). 3 1 Bài 45. 1) Tính: A 9 4 5. 5 2 2(x 4) x 8 2) Cho biểu thức: B với x ≥ 0, x ≠ 16. x 3 x 4 x 1 x 4 a. Rút gọn B. b. Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. Giải a. Với x ≥ 0, x ≠ 16, thì: 2(x 4) x 8 2x 8 x( x 4) 8( x 1) B ( x 1)( x 4) x 1 x 4 ( x 1)( x 4) 2x 8 x 4 x 8 x 8 3x 12 x ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) 3 x( x 4) 3 x ( x 1)( x 4) x 1 3 x Vậy B với x ≥ 0, x ≠ 16. x 1 b. (0,5 đ)
14. Dễ thấy B ≥ 0 (vì x 0) . 3 3 Lại có: B 3 3 (vì 0 x 0, x 16) . x 1 x 1 Suy ra: 0 ≤ B < 3 B {0; 1; 2} (vì B Z). - Với B = 0 x = 0; 3 x 1 - Với B = 1 1 3 x x 1 x . x 1 4 3 x - Với B = 2 2 3 x 2( x 1) x 4. x 1 1 Vậy để B Z thì x {0; ; 4}. 4 Bài 46. 1) Rút gọn biểu thức A = 112 - 45 - 63 + 2 20 x x x x 1 1 2) Cho biểu thức B = , với 0 ≤ x ≠ 1 1 x 1 x a) Rút gọn B 1 b) Tính giá trị biểu thức B khi x = 1 2 Giải A = 112 - 45 - 63 + 2 20 4 7 - 3 5 - 3 7 + 4 5 7 + 5 a) Với 0 ≤ x ≠ 1 ta có: x x x x x( x 1) x( x 1) 1 1 1 1 (1 + x)(1 - x) 1 x B = 1 x 1 x 1 x x 1 1 2 1 b) Ta có: x = 2 1 B = 1 - 2 1 2 - 2 1 2 2 1