Bài tập môn Hình học Lớp 10 - Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 10 - Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác (Có đáp án)

1. Bài 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC •Chương 2. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định lí cô – sin Định lí 1. Trong tam giác ABC với BC a, AC b và AB c . Ta có a2 b2 c2 2bc.cos A , b2 c2 a2 2ca.cos B c2 a2 b2 2ab.cosC Ta có thể suy ra hệ quả sau Hệ quả 1. b2 c2 a2 cos A , 2bc c2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2. Định lí Sin Định lí 2. Trong tam giác ABC với BC a, AC b, AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có a b c 2R sin A sin B sin C 3. Công thức đường trung tuyến Định lí 3. Cho tam giác ABC với ma ,mb ,mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B,C . Ta có 2 b2 c2 a2 m2 . a 4 2 a2 c2 b2 m2 . b 4 2 a2 b2 a2 m2 . c 4 4. Công thức diện tích tam giác Định lí 4. Với tam giác ABC ta kí hiệu ha ,hb ,hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC,CA, AB ; R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ; a b c p là nửa chu vi tam giác ; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có 2 1 1 1 S ah bh ch 2 a 2 b 2 c Trang 1
2. 1 1 1 bcsin A casin B absin C 2 2 2 abc pr p p a p b p c 4R Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1. TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG * Sử dụng định lí cô-sin và định lí sin * Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác. Bài tập tự luận Câu 1. Cho tam giác ABC , biết a) a 12,b 13,c 15. Tính độ lớn góc A . b) AB 5, AC 8, µA 60o . Tính cạnh BC Lời giải. b2 c2 a2 132 152 122 25 a) Ta có cos A . Suy ra µA 50o 2bc 2.13.15 39 b) Ta có BC 2 AC 2 AB2 2AC.AB.cos A 82 52 2.8.5.cos60o 49 . Vậy BC 7 Câu 2. Cho tam giác ABC , biết a) µA 60o , Bµ 45o ,b 4 . Tính cạnh b và c . b) µA 60o ,a 6 . Tính R Lời giải. a) Ta có A B C 180o C 180o A B 75o . bsin A 4sin 60o bsin C 4sin 75o Suy ra a 4,9 và c 5,5 sin B sin 45o sin B sin 45o a 6 b) Ta có R 3,5 . 2sin A 2sin 60o Câu 3. Cho tam giác ABC , biết a) a 7,b 8,c 6 . Tính ma . b) a 5,b 4,c 3 . Lấy D đối xứng của B qua C . Tính ma và AD Lời giải. Áp dụng định lý trung tuyến b2 c2 a2 82 62 72 151 a) Ta có m2 37,75 . Suy ra m 6,1 a 2 4 2 4 4 a a 5 b) Ta có a2 b2 c2 25 nên tam giác ABC vuông tại A . Do đó m 2,5 a 2 2 Tam giác ABD có AC là trung tuyến nên Trang 2
3. AB2 AD2 BD2 1 1 AC 2 . Suy ra AD2 4AC 2 BD2 2AB2 4.42 102 2.32 73 2 4 2 2 Vậy AD 8,5 . Câu 4. Cho tam giác ABC , biết a) a 7,b 8,c 6 . Tính S và ha . 3 b) b 7,c 5,cos A . Tính S và R,r 5 Lời giải. a b c 21 a) Áp dụng công thức Hê-rông với p 2 2 21 21 21 21 21 15 Ta có S p p a p b p c 7 8 6 2 2 2 2 4 1 21 15 1 3 15 Vì S ah 7.h h 2 a 4 2 a a 2 9 16 4 b) Ta có sin2 A 1 cos2 A 1 sin A (vì sin A 0 ). 25 25 5 1 1 4 Mà S bcsin A .7.5. 14 2 2 5 3 Theo Định lí Cô-sin ta có a2 b2 c2 2bc cos A 72 52 2.7.5. 32 a 4 2 5 1 2S 28 7 2 Từ S ah h 2 a a a 4 2 2 a a 4 2 5 2 Theo định lí sin: 2R R 4 sin A 2sin A 2. 2 5 S 14 14 7 Ta có S pr r p 5 7 4 2 12 4 2 6 2 2 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 5. Cho tam giác ABC , biết a 3,b 4,c 6 . Tính góc lớn nhất và đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất Lời giải. Ta có c 6 là cạnh lớn nhất của tam giác, do đó là góc lớn nhất. a2 b2 c2 32 42 62 11 Áp dụng định lí cô-sin, ta có cosC Cµ 117o17 2ab 2.3.4 24 Ta có hc là đường cao ứng với cạnh lớn nhất. Theo công thức Hê-rông a b c 13 S p p a p b p c với p 2 2 13 13 13 13 455 Nên S 3 4 6 2 2 2 2 4 2S 455 455 Ta có: h c c 2.6 12 Trang 3
4. Câu 6. Tính các góc A, B và ha , R của tam giác ABC biết a 6,b 2,c 3 1 Lời giải. Theo định lí cô-sin, ta có 2 2 2 b2 c2 a2 4 3 1 6 1 cos A µA 60o , 2bc 2.2. 3 1 2 2 3 1 6 4 2 cos B Bµ 45o 2. 3 1 . 6 2 2S acsin B 2 h csin B 3 1 a a a 2 b b 2 Áp dụng định lí sin ta có 2R R 2 sin B 2sin B 2 Câu 7. Cho tam giác ABC , biết a 21,b 17,c 10 a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao ha . b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và trung tuyến ma . Lời giải. a b c 21 17 10 a) Ta có p 24 2 2 Theo công thức Hê-rông, ta có S p p a p b p c 24 24 21 24 17 24 10 84 2S 2.84 Do đó: h 8 . a a 21 S 82 b) Ta có S pr r 3,5 . p 24 b2 c2 a2 172 102 212 337 Độ dài trung tuyến m2 84,25 a 2 4 2 4 4 Câu 8. Cho tam giác ABC , có µA 60o ,b 20,c 25. a) Tính diện tích S và chiều cao ha . b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r Lời giải. 1 1 3 a) Ta có S bcsin A .20.35. 175 3 2 2 2 1 Hơn nữa a2 b2 c2 2bc cos A 202 352 2.20.35. 925 2 Vậy a 925 30,41 1 2S 350 3 Từ công thức S ah h 19,94 2 a a a 925 a a 925 b) Từ công thức 2R R 17,56 sin A 2sin A 3 Trang 4
5. 3 20.30. a b c 2S bcsin A Từ công thức S pr với p ta có r 2 7,10 2 a b c a b c 925 20 35 Câu 9. Cho tam giác ABC , có AB 8, AC 9, BC 10. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM 7 . Tính độ dài đoạn thẳng AM . Lời giải. c2 a2 b2 83 Ta có cos B 2ca 160 Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác ABM , ta có 83 549 AM 2 AB2 BM 2 2AB.BM.cos B 82 72 2.8.7. 160 10 Vậy AM 3 6,1 Câu 10. Cho tam giác ABC , có BC 12,CA 13, trung tuyến AM 8. Tính S và cạnh AB . Lời giải. 27 27 27 27 9 55 Theo hệ thức Hê-rông, ta có SAMC 13 6 8 2 2 2 2 4 9 55 Vì M là trung điểm BC nên S 2S ABC AMC 2 b2 c2 a2 a2 Ta có AM 2 2AM 2 b2 c2 2 4 2 a2 Suy ra AB2 c2 2AM 2 b2 2.64 196 72 31 2 Vậy AB c 31 Câu 11. Cho tam giác ABC , có Bµ 60o ,Cµ 45o , BC a a) Tính độ dài hai cạnh AB, AC . 6 2 b) Chứng minh cos75o 4 Lời giải. a) Ta có µA 180o 60o 45o 75o . Đặt AC b, AB c . Theo định lí hàm số sin, ta có Trang 5
6. b a c a 3 a 2 . Suy ra b ;c sin 60o sin 75o sin 45o 2sin 75o 2sin 75o b) Kẻ AH  BC do Bµ,Cµ đều là góc nhọn nên H thuộc đoạn BC , hay BC HB HC . b 2 c Ta có HC ; HB . 2 2 2 c a 6 a 2 Suy ra a HC HB b . 2 2 4sin 75o 6 2 Do đó sin 75o và 4 2 2 o 2 o 6 2 1 1 6 2 cos75 1 sin 75 1 8 2 12 6 2 . 4 4 4 4 Câu 12. Cho tam giác ABC , có độ dài ba trung tuyến bằng 15,18,27 a) Tính diện tích tam giác. b) Tính độ dài các cạnh của tam giác Lời giải. a) Gọi I là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: SABC AI 3 SABC 3SGBC . SGBC GI Lấy D là điểm đối xứng với G qua I ta được hình bình hành BGCD , do đó 1 S S S S 3S GBC BGD 2 BGCD ABC BGD Tam giác BGD có độ dài ba cạnh bằng 10,12,18 nên SBGD 20 20 10 20 12 20 18 40 2 SABC S 120 2 b) Giả sử ma 15,mb 18,mc 27 . Ta có 2 2 2 2 a b c 2ma 2 2 2 2 2 b 2 2 2 4 2 2 2 c a 2mb a b c ma mb mc 1704 2 3 2 2 2 2 c a b 2mc 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 Mà b a ma mb 132 và b c mc mb 540 3 3 Từ đó ta tính được b 8 11,a 2 209,c 2 41 Trang 6
7. Câu 13. Cho tam giác ABC , có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3 , cạnh AB 9 và · o ACB 60 . Tính cạnh BC . Lời giải. Đặt BC x, x 0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Ta có MN 3 AC 6 . Theo định lí cô-sin ta có 1 AB2 CA2 CB2 2.CA.CB.cosC 81 36 x2 12x. BC x 3 1 6 2 5 13 Câu 14. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC . Biết AB 3, BC 8,cos ·AMB . Tính độ 26 dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC . Lời giải. Ta có BC 8 BM 4 . Đặt AM x Trang 7
8. AM 2 BM 2 AB2 Theo định lí cô-sin ta có cos ·AMB . 2AM.AB 5 13 x2 16 9 Suy ra 13x2 20 13x 91 0 26 8x 7 13 x 13 hoặc x 13 2 AB2 AC 2 BC 2 Theo công thức tính đường trung tuyến ta có AM 2 2AB.AC 2 32 AC 2 82 * Nếu x 13 13 AC 7 4 Ta có BC AC AB góc A lớn nhất. AB2 AC 2 BC 2 1 Theo định lí cô-sin ta có cos A 2AB.AC 7 Suy ra A 98o12 2 2 2 7 13 49 2 3 AC 8 397 * Nếu x AC 13 13 4 13 Ta có BC AC AB góc A lớn nhất. AB2 AC 2 BC 2 53 Theo định lí cô-sin ta có cos A 2AB.AC 5161 Suy ra A 137o32 DẠNG 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC * Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. * Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki, ). Bài tập tự luận Câu 1. Tam giác ABC có b 2c 2a . Chứng minh rằng 2 1 1 a) 2sin A sin B sin C . b) ha hb hc Lời giải. a) Theo định lí sin ta có a b c a b c 2a 2sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin B sin C Cách khác: a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C Nên b c 2a 2Rsin B 2Rsin C 2.2Rsin A sin B sin C 2sin A 1 1 1 1 a 1 b 1 c b) Ta có S a.ha b.hb c.hc ; ; 2 2 2 ha 2S hb 2S hc 2S 1 1 1 1 a 1 1 1 1 2 Do đó S a.ha b.hb c.hc ; b c 2a 2 2 2 ha 2S hb hc 2S 2S ha Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 8