Bài tập Hình học ôn thi vào Lớp 10 THPT

Nội dung text: Bài tập Hình học ôn thi vào Lớp 10 THPT

1. Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật I APMQ có diện tích lớn nhất. M Q E K I B A O P x a) Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại A AE AO OEA vuông ở A O,E,A đường tròn đường kính OE(1) Vì ME là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại M MEMO MOE vuông ở M M,O,E đường tròn đường kính OE(2) (1),(2) A,M,O,E cùng thuộc môt đường tròn *Tứ giác APMQ có 3 góc vuông : E· AO A· PM P· MQ 90o => Tứ giác APMQ là hình chữ nhật b) Ta có : I là giao điểm của 2 đường chéo AM và PQ của hình chữ nhật APMQ nên I là trung điểm của AM. Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và tại A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng hàng. c) hai tam giác AEO và PMB đồng dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau là A· OE A· BM , vì OE // BM AO AE => (3) BP MP KP BP Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số (4) AE AB Từ (3) và (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K là trung điểm của MP. d) Ta dễ dàng chứng minh được : 4 a b c d abcd (*) 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d MP = MO2 OP2 R 2 (x R)2 2Rx x2 1
2. 2 3 Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x (2R x)x S đạt max (2R x)x3 đạt max x.x.x(2R – x) đạt max x x x . . (2R x) đạt max 3 3 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = 3 4 x x x 1 x x x R 4 Ta có : . . (2R x) 4 (2R x) 3 3 3 4 3 3 3 16 x 3 Do đó S đạt max (2R x) x R . 3 2 R 3 Vậy khi MP= thì hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn nhất 2 Bài 4. (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I. a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. b) Tìm vị trí của M để MAB đều. c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. A O I K B (d) M H Vẽ hình đúng đến câu a a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) OB MB Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB AMB cân tại M có OM là đường phân giác đồng thời là đường cao OM AB OMB vuông tại B có OI là đường cao OB2 = OI.OM OI.OM = R2 không đổi. b) AMB cân tại M (CMT) Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300 OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM OM = 2.OB = 2R 2
3. Kết luận d) Kẻ OH  d, H d H cố định, OH cắt AB tại K. Chứng minh OIK và OHM đồng dạng OH.OK = OI. OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định K cố định Kết luận Bài 4: (6,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. A E D C B H O a) Chứng minh tam giác ABC vuông Ta có: OA= OB = OC = R => Tam giác ABC vuông tại A (theo đl đảo) b) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật AB . EB = HB2 AC . EH = AC . AD = AH2 Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go) => Đpcm AD2 AE 2 DE 2 AH 2 b) S(ADHE)= AD.AE 2 2 2 AH 2 AO2 R2 S(ADHE) 2 2 2 R2 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE hay AB = AC 2 Tam giác ABC vuông cân tại A Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có A 1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC). 3
4. AH AH Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( I; ), 2 2 chúng cắt BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a, PE// QF. b, AB . AP = AQ . AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất. Vẽ hình đúng được 0,25điểm A Q I K P I B a, Chứng minh được: E H F C +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF cùng vuông góc với PQ. b, +) APHQ là hình chữ nhật +) góc BAH bằng góc C +) góc APQ bằng góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) c, +) Tính BC = 13cm +) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC 1 +) EF = BC = 6,5cm 2 1 1 d, Kẻ AK PQ ta có SAPQ= AK . PQ = AK . AH 2 2 1 1 2 Vì AK AH nên SAPQ AH SAPQ lớn nhất AH lớn nhất AH là trung tuyến của 2 4 ABC ABC là vuông cân tại A. Bài 4.(5đ) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R).C là một điểm thay đổi trên đường tròn(C khác A và B),kẻ CH vuông góc với AB tại H.Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M,MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó theo M R. C I K A B O H 4
5. a) Cminh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc một đường tròn ( 1,75đ) Cminh OI  AC OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. CH  AB gt CHO vuông tại H suy ra H thuộc đường tròn đường kính OC. Suy ra I,H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. Hay 4 điểm C,I,H,O cùng thuộc một đường tròn đường kính OC. b)Cminh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) (1,5đ) - Cminh ·AOM C· OM - Cminh AOM COM - Cminh MC  CO MC là tiếp tuyến của (O,R) c) Cminh K là trung điểm của CH (1đ) MAB có KH // MA ( vì cùng  AB ) KH HB AM.HB AM.HB KH (1) AM AB AB R Cminh CB // MO ·AOM C· BH ( đồng vị) MA AO AM.HB AM.HB Cminh MAO : CHB CH (2) CH HB AO R Từ (1) và (2) CH = 2CK CK = KH K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN?Tìm GTLN đó? (0,75đ) Chu vi tam giác ACB là: P ACB AB AC CB 2R AC BC Ta lại có: AC CB 2 0 AC 2 BC 2 2AC.BC 2 AC 2 BC 2 AC CB 2 AC CB 2 AC 2 CB2 AC CB 2AB2 ( định lý Pi -Ta - Go) AC CB 2.4R2 AC CB 2R 2 Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB. Suy ra P ACB 2R 2R 2 2R 1 2 Dấu bằng xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB. Vậy MaxP CAB 2R 1 2 M là điểm chính giữa cung AB Câu 4: (6đ) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH  d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại E. a. Chứng minh OK.OH = OI. OM b. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. c. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diện tích lớn nhất. M 1 2 A 2 1 E 1 5 I O K H J N B
6. ˆ ˆ 0 a. OIK OHM OK OH OI .OM A1 E1 90 ; ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 E1 OAE A1 OAE 90 ,A 2 OAE 90 (2đ) ˆ ˆ ˆ ˆ A1 A 2 ;M1 M 2 E là tâm đường tròn nội tiếp MAB (2đ) R 2 c. vOAM : OI.OM OA 2 R 2 OK.OH R 2 OK không đổi OH K cố định. SOIK (Max) IN(Max) mà IN IJ N  J  IKO vuông cân tại I MOˆ H 450 MH OH Bài 4: (6đ) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên 1 đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C ( 0 không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM, AN là các tiếp tuyến với (0) tại M, N. Gọi I là trung điểm của BC, OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và 0). BC cắt MN tại K. a. Chứng minh 4 điểm 0, M, N, I cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh điểm K cố định c. Gọi D là trung điểm của HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E. CMR: P là trung điểm của ME. hình M D Q P O D A H B I N C d E I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua 0) => OI  BC => OIA = 900 Ta có AMO = 900 (do AM là hai tiếp tuyến (O)) ANO = 900 (do AN là hai tiếp tuyến (O)) Suy ra 4 điểm O,M,N,I cùng thuộc đường tròn đường kính OA. AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác MON mà OMN cân tại O nền OA  MN AHK đồng dạng với AIO ( vì AHK = AIO = 900 và OAI chung) AH AK AH.AO => AI.AK AH.AO AK AI AO AI Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định Ta có PMQ = 900 6
7. Xét MHE và QDM có MEH = DMQ ( cùng phụ với DMP), ME MH EMH = MQD ( cùng phụ với MPO) => MQ DQ PMH đồng dạng với MQH MP MH MH => MQ MQ 2DQ MP 1 ME => MQ 2 MQ => ME = 2MP => P là trung điểm ME. C©u 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. C©u 4: (5đ) a) Vẽ hình và chứng minh câu a 2đ E P C D M I O/ F a) Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1) Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD  E F nên I là trung điểm của E F. Lại có I là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ) 1. Ta có  EDC = EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên  EDC =  O’PD. Lại có  EFP = IPF (do tam giácIPF cân) vậy  I PF= O’PD mà  FPD =1v, suy ra IPO’ =900 nên IP  O’P. Hay IP là tiếp tuyến của (O’). (2đ) 2. Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R. áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) . Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P) . Vậy 1 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ do đó 2 DM = 2 R , Vậy M cách D một khoảng bằng 2 R. (1đ ) Câu 4: ( 6 điểm ). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. 7
8. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AB2 b) Chứng minh AC.BD ; 4 c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. y x D H M C A B K O a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH AB2 CH.DH = OH2 => AC.BD 4 OH c) S S => 1 ( HK  AB; K thuộc AB ) COD AHB HK ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) AB => OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn O => AC = vậy điểm C thuộc tia 2 AB Ax sao cho AC = thì S S . 2 COD AHB Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O;R), vẽ 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn CA lấy G sao 1 cho GC= AC. Tia OG cắt BC tại M, vẽ ON vuông góc với BG N BG . 3 a/ Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) b/ Tia CN cắt đường tròn tại K . Tính KA4 KB4 KC 4 KD4 theo R c/ Chứng minh MN=2R 8
9. a) Lấy I là trung điểm của BC ta có OI là đường trung bình của tam giác ABC OI//BC 1 và OI= CB (1) ; Vì I là trung điểm của BC nên IC= 2 1 1 AC mà GC= AC 2 3 nên GI=IC GC= 1 1 1 GI 1 1 1 AC AC AC AC : AC 2 3 6 GC 6 3 2 Ta có OI//BC ( cm trên) OI//CM OI GI 1 1 OI CM (2) K CM GC 2 2 Từ (1) và (2) ta có CB=CM. Xét ABM có OA=OB ( cùng bán kính) , có CB=CM ( cm trên) nên OC là đường trung bình OC // AM mà OC AB nên AM AB. Vậy MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) b) Ta có tam giác AKB nội tiếp đường tròn (vì 3 đỉnh nằm trên đường tròn) mà AB la đường kính nên tam giác AKB vuông tại K, theo Pitago ta có KA2 KB2 AB2 KA2 KB2 4R2 KA4 KB4 2KA2 KB2 16R4 Vẽ KP vuông góc với AB, theo hệ thức lương trong tam giác vuông AKB ta có KA KB AB  KP KA KB 2R  KP KA2 KB2 4R2 KP2 Vây ta có KA4 KB4 8R2 KP2 16R4 KA4 KB4 16R4 8R2 KP2 Vẽ KQ vuông góc với CD, chứng minh tương tự ta có KC 4 KD4 16R4 8R2 KQ2 Vây Ta có KA4 KB4 KC 4 KD4 32R4 8R2 KP2 KQ2 Xét tứ giác KPOQ có Oµ Pµ Qµ 900 nên tứ giác KPOQ là hình chữ nhật Vậy ta có KP2 +KQ2 =PQ2 =KO2=R2 Vậy KA4 KB4 KC 4 KD4 32R4 8R2 KP2 KQ2 =32R4 8R2 R2 24R4 c) Ta có ACB nội tiếp đường tròn, mà AB là đường kính nên ACB vuông tại C AC  BM AC là đương cao của MAB . Ta có CM=CB ( cm trên) AC là trung tuyến của MAB vây MAB cân tại A AM AB . 1 Xét MAB có AM là trung tuyến mà GC=AC nên G là trọng tâm của MAB , keo dài BG cắt 3 MA đường tròn tại F và AM tại E ta có BE là trung tuyến của MAB nên EA=EM= , mà OA=OB= 2 AB nên EA=BO. 2 Ta có AFB nội tiếp đường tròn, mà AB là đường kính nên AFB vuông tại F AF  BE O· BN F· AB 900 ; Vì MA AB ( cm trên) nên E· AF F· AB 900 E· AF O· BN Xét EAF và OBN có AE=OB , E· AF O· BN;E· FA O· NB 900 EAF OBN AF=NB; Ta có ON BF NB NF (vi ) nên FA=FN=NB AFN vuông cân F· NA 450 ·ANB 1350 . Ta có MAF= BAN (cgc) M· FA ·ANB 1350 , mà A· FN 900 M· FN 3600 1350 900 1350 Ta có MFN MFA (cgc) MN MA mà MA=AB=2R MN 2R 9
10. Bài 4: ( 6 điểm ) Cho đường tròn ( O,R ). Đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến tại E cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Vẽ EF vuông góc với AB tại F. BC cắt EF tại I. EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC. 1. Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng. 1 r 1 2. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD. Chứng minh . 3 R 2 3. Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE. Chứng minh rằng 2 2 2 r r1 r2 1. + kéo dài BE cắt Ax tại Q + chứng minh được CEQ cân tại C và CAE cân Suy ra CA = CQ ( 1) EI BI IF EI IF + EF//CQ nên (2) CQ BC CA CQ AC 1 2 EI IF EF EM  EF / /CA AC MA EI EM  1 1 AK MA IE EF, KA AC 2 2  + Cm EMI đồng dạng AMK (c-g-c) Suy ra EMI = KMA Suy ra KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 2. + đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c ) + vì r là bán kính đường tròn nội tiếp COD 1 1 1 r a s r(OC OD CD) r(a b c) R.a COD 2 2 2 R a b c + Trong COD có b+c > a suy ra a+ b +c > 2a a a 1 r 1 a b c 2a 2 R 2 (3) a 1 r 1 + Vì a b,a c a b c 3a (4) a b c 3 R 3 Từ (3) (4) suy ra đpcm 3. + gọi P là nửa chu vi tam giác r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác S là diện tích tam giác ta chứng minh được S = Pr + Cm : COD đồng dạng với các CEO ; OED CO CD OD CE CO EO 10
11. s CO2 P .r CO2  CEO CEO 1 2 2 2 SCOD CD PCOD .r CD CO.r1 CO r1 r  2 P CO CD.r CD CO CD (5) CEO PCOD CD  r r 1 Cm tương tự ta có : OD CD (6) 2 2 2 2 2 2 2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 r 2 2 2 Từ (5) (6) 2 2 2 2 2 2 r1 r2 r CO DO CO OD CO OD CD CD (đpcm) Bài 4 (6,0 điểm) AB Cho (0; ). Điểm M thay đổi trên (0), (M A,B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai 2 tiếp tuyến AC, BD đến (M). Cmr a/ CD là tiếp tuyến (0) b/ Tổng AC+DB không đổi. Từ đó tính GTLN của AC.DB c/ Lấy N cố định trên (0). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp điểm P Bài 4 (6,0 điểm) a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm 2đ b/ AC+DB=AB không đổi 0,5đ AC BD AB 2 AC.BD ( ) 2 (BĐT cosi) 0,5đ 2 4 AB 2 =>(AC.BD)max = khi AC=BD H 0 M chính giữa cung AB 1đ 4 c/ Gọi K là giao của PI và AN Vì IK//AM =>K là trung điểm của AN = KB cố định =>P chuyển động trên dường tròn đường kính KB 1đ Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia AD, AE lần lượt ở B và C. 1) Chứng minh: DC = EB. 2) Chứng minh: DA.DB = R2. 3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt AD, AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN. 4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. B D O A E C 11
12. Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ ra BE = CD Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng minh được DA.DB = R2. B D M K O A N E C µ µ µ 180 A Chứng minh B C (1) 2 · µ · DOE 180 A Chứng minh MON (2) 2 2 Từ (1) và (2) ta có: Bµ Cµ M· ON Chứng minh MON đồng dạng với MBO (gg) BM BO BC BC BC2 Suy ra Hay BM.NC . OC NC 2 2 4 Kết luận Áp dụng bất đẳng thức Cô si BM CN BM.CN 2OB 2R 3 4R 3 Tính được OB ; 2OB 3 3 4R 3 Kết luận: min(BM + CN) = Khi K là giáo điểm của AO với đường tròn. 3 12
13. Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 4. (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I. e) Chứng minh tích OI.OM không đổi. f) Tìm vị trí của M để MAB đều. g) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. Bài 4: (6,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có A 1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC). AH AH Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( I; ), 2 2 chúng cắt BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a, PE// QF. b, AB . AP = AQ . AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất. Bài 4.(5đ) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R).C là một điểm thay đổi trên đường tròn(C khác A và B),kẻ CH vuông góc với AB tại H.Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M,MB cắt CH tại K. e) Chứng minh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc một đường tròn. f) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). g) Chứng minh K là trung điểm của CH h) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Câu 4: (6đ) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH  d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại E. a. Chứng minh OK.OH = OI. OM b. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. c. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diện tích lớn nhất. Bài 4: (6đ) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên 1 đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C ( 0 không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM, AN là các tiếp tuyến với (0) tại M, N. Gọi I là trung điểm của BC, OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và 0). 13
14. BC cắt MN tại K. a. Chứng minh 4 điểm 0, M, N, I cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh điểm K cố định c. Gọi D là trung điểm của HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E. CMR: P là trung điểm của ME. C©u 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 4. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 5. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 6. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. Câu 4: ( 6 điểm ). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AB2 b) Chứng minh AC.BD ; 4 c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O;R), vẽ 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn CA lấy G sao 1 cho GC= AC. Tia OG cắt BC tại M, vẽ ON vuông góc với BG N BG . 3 a/ Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) b/ Tia CN cắt đường tròn tại K . Tính KA4 KB4 KC 4 KD4 theo R c/ Chứng minh MN=2R Bài 4: ( 6 điểm ) Cho đường tròn ( O,R ). Đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến tại E cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Vẽ EF vuông góc với AB tại F. BC cắt EF tại I. EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC. 4. Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng. 1 r 1 5. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD. Chứng minh . 3 R 2 6. Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE. Chứng minh rằng Bài 4 (6,0 điểm) AB Cho (0; ). Điểm M thay đổi trên (0), (M A,B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai 2 tiếp tuyến AC, BD đến (M). Cmr a/ CD là tiếp tuyến (0) b/ Tổng AC+DB không đổi. Từ đó tính GTLN của AC.DB c/ Lấy N cố định trên (0). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp điểm P Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia AD, AE lần lượt ở B và C. 5) Chứng minh: DC = EB. 6) Chứng minh: DA.DB = R2. 7) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt AD, AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN. 8) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. 14