Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9: Số chính phương

Nội dung text: Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9: Số chính phương

1. BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1) Tìm số nguyên dương n để các số sau là số chính phương a) n4 + n3 + n + 1 b) n+20 và n – 39 c) n4 + 8n3 + 23n2 + 30n + 18 ( n là số nguyên Z) d) n2 + 18n + 2020 e) n2 + n – 1 ( n là số nguyên Z) f) n4 + 2n3 + 2n2 + n+ 7 ( Z ) g) n(n+1)(n+2)(n+3) 2) Tìm các số tự nhiên x, y để 2x + 5y là số chính phương 3) Tìm hai số chính phương liên tiếp m2 và n2 ( m>n) sao cho m2 abc;n2 acb 4) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 3y; y2 3x đều là các số chính phương. n 1 4n 3 5) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho là số chính phương. 3 6) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 3n + 1 là số chính phương. 7) Tìm tất cả bộ ba số nguyên sao cho tổng của chúng bằng 0 và tổng các bình phương của chúng là số chính phương. 8) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước của p4 là số chính phương. 9) Cho hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn a3b + ab3 + 2a2b2 + 2a + 2b + 1= 0 . Chứng minh 1- ab là bình phương một số hữu tỉ 10) Chứng minh rằng nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m – n và 4m + 4n + 1 đều là các số chính phương 11) Cho n nguyên dương chứng minh A = 13 + 23 + + n3 là một số chính phương. 12) Cho dãy số được xác định như sau: u1 1;u2 1;un un 1 2un 2 ,(n 3,n N .) Chứng n 1 2 minh làA số2 chính 7un phương.1 13) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x 2 + y2 – x chia hết cho xy. Chứng minh rằng x là số chính phương. 14) Cho n là số tự nhiên và A 2 2 28n2 1 Chứng minh rằng nếu A là số tự nhiên thì A là số chính phương. 15) Cho a và b là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d thỏa mãn a – b = a2c – b2d. Chứng minh rằng: a b là số chính phương 16) Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn ( a,b,c ) = 1 và ab = c(a-b). Chứng minh rằng: a – b là một số chính phương.
2. 17) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên ( S1 = 2; S2 = 2 + 3; S3 = 2 + 3 + 5; ). Chứng minh rằng trong dãy số S1;S2 ; ;Sn ; : không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương. 18) Chứng minh rằng nếu hiệu của các lập phương hai số nguyên liên tiếp là số chính phương, thì số chính phương này lại biểu diễn được dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp. 19) Cho hai số nguyên tố p, q thỏa mãn p – 1 chia hết cho q và q 3 – 1 chia hết cho p. Chứng minh rằng: p + q là số chính phương. 20) Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p + 1 không là số chính phương 21) Cho số nguyên dương n. Chứng minh với mọi ước dương d của 2n 2, số n2 + d không thể là số chính phương. 22) Cho a, b là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu tích (16a + 17b)(17a + 16b) chia hết cho 11 thì tích đó có ít nhất một ước số là số chính phương. 23) Cho n là số nguyên dương, sao cho 2n + 1 và 3n + 1 là số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 24) Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. CMR P = mn – m – n +1 chia hết cho 192.