Bài tập bất đẳng thức Lớp 9 hay - THCS Lâm Thao

Nội dung text: Bài tập bất đẳng thức Lớp 9 hay - THCS Lâm Thao

1. 1 1 1 1 Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 2 . a 1 b 1 c 1 d 1 Chứng minh rằng: a 2 1 b2 1 c2 1 d2 1 3 a b c d 8 . 2 2 2 2 Cách 1: Ta có: 1 1 1 1 2 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d 2 a 1 b 1 c 1 d 1 Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 2 1 b2 1 c2 1 d2 1 a b c d 4 2 2 2 2 a 1 b 1 c 1 d 1 3 a b c d Ta đi chứng minh từng bất đẳng thức một rồi ghép đối xứng: a 2 1 4a 3 a ; 2 a 1 x4 1 4x2 Đặt a x(x 0) thì BĐT tương đương: 3x . 2 x2 1 Đây là BĐT một biến khá chặt nên nếu ta dùng các BĐT cổ điển thì sẽ bị ngược dấu nên ta chỉ có thể biến đổi tương đương ra bậc 8: x4 1 4x2 x4 1 4x2 3x 3x . 2 x2 1 2 x2 1 Nếu vế phải âm thì BĐT được chứng minh, nếu vế phải không âm thì BĐT tương đương: 4 2 2 x 1 4x 4 2 2 3 2 2 3x 2 (x 1)(x 1) 2(3x 3x 4x ) 2 x 1 (x 1)4 (x4 4x3 6x2 4x 1) 0 4 4 3 2 (x 1) x x x 1 3x(x 1) 0 Ngoài cách khó chịu trên thì ta có thể liên hợp tự nhiên hơn như sau: x4 1 4x2 3x 2 x2 1
2. x4 1 2x2 x 2 x 0 2 2 x 1 2 2 (x 1) 2x (x 1) 2 0 x4 1 x 1 2 2x 2 Bây giờ ta quy về chứng minh: 2 4 (x 1) 2x 2 2 x 1 2 (x 1)(x 1) 4x x x4 1 x 1 2 2 2x 2 x4 1 x4 1 2x3 2x 2x2 4x 2 x4 1 x4 1 x3 x x2 2x 2 2 Bất đẳng thức trên đúng theo AM – GM: 4 4 4 x 1 3 x 1 2 2 x 1 2 x x x x 2x x . 2 2 2 Vậy hoàn tất chứng minh nên ta có: a 2 1 4a b2 1 4b 3 a; 3 b; 2 a 1 2 b 1 . c2 1 4c d2 1 4d 3 c; 3 d 2 c 1 2 d 1 Cộng vào ta thu được điều phải chứng minh. Nguyễn Đăng Khoa – THCS Lâm Thao
3. Cách 2: Nguồn: facebook An Chu MỌI TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀU NÊN VIẾT TÊN TÁC GIẢ CỦA LỜI GIẢI.