›
›
›

80 Bài tập Hình học Lớp 9 có lời giải

pdf 35 trang dichphong 5650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "80 Bài tập Hình học Lớp 9 có lời giải", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf80_bai_tap_hinh_hoc_lop_9_co_loi_giai.pdf

Nội dung text: 80 Bài tập Hình học Lớp 9 có lời giải

  1. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®•êng trßn (O). C¸c ®•êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®•êng trßn (O) lÇn l•ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. E P F 1 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 2 O 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. H 5. X¸c ®Þnh t©m ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. - 1 ( Lêi gi¶i: B D 2 ( C 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: -  CEH = 900 ( V× BE lµ ®•êng cao) 0 M  CDH = 90 ( V× AD lµ ®•êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®•êng cao => BE  AC => BEC = 900. CF lµ ®•êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh• vËy E vµ F cïng nh×n BC d•íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®•¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®•êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp  C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)  E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®•êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 O 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (O). 1 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 2 E Lêi gi¶i: H 3 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: 0  CEH = 90 ( V× BE lµ ®•êng cao) B 1 D C 1
  2. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI  CDH = 900 ( V× AD lµ ®•êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®•êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®•êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh• vËy E vµ D cïng nh×n AB d•íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®•êng cao nªn còng lµ ®•êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®•êng trßn ®•êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®•êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l•ît ë C vµ D. C¸c ®•êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y 2. Chøng minh COD = 900. x D 2 / AB I 3.Chøng minh AC. BD = . M 4 / C 4.Chøng minh OC // BM N 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ®•êng kÝnh CD. 5.Chøng minh MN  AB. 6.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá A O B nhÊt. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®•êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®•êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®•êng trßn ®•êng kÝnh CD 2
  3. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®•êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®•êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®•êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I lµ t©m ®•êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®•êng trßn bµng tiÕp I gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 1 0 B 2 C Do ®ã BI  BK hayIBK = 90 . H T•¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh• vËy B vµ C cïng n»m trªn o ®•êng trßn ®•êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. K 0 0 C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®•êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®•êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d A 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét P ®•êng trßn . K D 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. N H 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. O M I 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®•êng th¼ng d C Lêi gi¶i: B 1. (HS tù lµm). 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®•êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh• vËy K, A, B cïng nh×n OM d•íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®•êng cao. 3
  4. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh•ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®•êng th¼ng d lµ nöa ®•êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®•êng cao AH. VÏ ®•êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®•êng kÝnh cña ®•êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). 1 V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®•êng cao võa lµ ®•êng trung tuyÕn cña 2 B H C BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®•êng trßn (O; R) ®•êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. X N J 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn. P 2. Chøng minh BM // OP. 1 3. §•êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh I tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. M 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau K t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i: 2 A 1 ( 1 ( 1. (HS tù lµm). O B 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  2 AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3) Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®•êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) 4
  5. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®•êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®•êng trßn t©m O ®•êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®•êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®•êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®•êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. X 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. F 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn. Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) H E 0 => KMF = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). K 0 AEB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) 1 2 2 => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 1 A O B => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®•êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®•êng cao nªn ®ång thêi lµ ®•¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®•êng cao nªn ®ång thêi lµ ®•¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®•êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®•êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®•êng trßn (O; R) ®•êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®•êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l•ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 5
  6. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI X E Lêi gi¶i: 1. C thuéc nöa ®•êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => BC  AE. C ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ D F ®•êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao ), mµ AB lµ ®•êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. 2. ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ). 0 0 => ABD + BAD = 90 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 180 )(1) A O B ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®•êng trßn t©m O ®•êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®•êng trßn sao cho AM SPA = 90 ; AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa 4 ( 1 1 P ) 0 ( ) 2 B ®•êng trßn ) => AMS = 90 . Nh• vËy P vµ M cïng nh×n AS d•íi mét 3 A H O gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh AS. VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. M' 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn nªn M’ còng 1 n»m trªn ®­êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau S' => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). 0 Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn suy 0 ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t¹i M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®•êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 6
  7. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF A Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. B M E C A B A C 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . => BDM  CBF => Bµi 12 Cho ®•êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®•êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §•êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®•êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng M O cè ®Þnh nµo. A B Lêi gi¶i: 0 0 1. Ta cã OMP = 90 ( v× PM  AB ); ONP = 90 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). N Nh• vËy M vµ N cïng nh×n OP d•íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. A' P D B' 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®•êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. 7
  8. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®•êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®•êng trßn ®•êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®•êng trßn ®•êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®•êng trßn . Lêi gi¶i: A 0 1. Ta cã : BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn ) E 0 I => AEH = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) 1 2 1( F CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn ) 0 1 1 => AFH = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) ) 2 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®•îc mét ®•êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®•êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) AEAF => AEF  ACB => => AE. AB = AF. AC. ACAB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®•êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®•êng trßn cã ®•êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §•êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®•êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®•êng trßn (I), (K). E 1.Chøng minh EC = MN. N 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K). 3 1 3.TÝnh MN. H 2 1 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®•îc giíi h¹n bëi ba nöa ®•êng trßn M Lêi gi¶i: 1 2 1 0 1. Ta cã: BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn t©m K) A I C O K B => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®•êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®•êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 8
  9. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®•êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm 2 2 2 2 2 2 Ta cã S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®•îc giíi h¹n bëi ba nöa ®•êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®•êng trßn (O) cã ®•êng kÝnh MC. ®•êng th¼ng BM c¾t ®•êng trßn (O) t¹i D. ®•êng th¼ng AD c¾t ®•êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®•êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®•êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 2 E 2 M S M D 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => CDB = 900 nh• vËy D vµ A cïng nh×n BC d•íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). D1= C3 => SMEM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®•êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh• vËy BA, EM, CD lµ ba ®•êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. 4. Theo trªn Ta cã => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®•êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) 9
  10. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®•êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CECSSMEM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §•êng trßn ®•êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®•êng thẳng CD, AE lÇn l•ît c¾t ®•êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®•êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O E Lêi gi¶i: 0 1 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 90 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i F 1 G A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) D 0 1 => DEB = BAC = 90 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . S A C 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) hay BFC = 900 nh• vËy F vµ A cïng nh×n BC d•íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®•êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®•êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) A => AQM = 900 nh• vËy P vµ Q cïng nh×n BC d•íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. * V× AM lµ ®•êng kÝnh cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña O AM. P 1 1 2 2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®•êng cao => SABC = BC.AH. 2 Q Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®•êng cao => SABM = AB.MP B H M C Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®•êng cao => SACM = AC.MQ Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 10
  11. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®•êng cao nªn còng lµ ®•êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => H P H Q ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®•êng cao => OH  PQ Bµi 18 Cho ®•êng trßn (O) ®•êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®•êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®•êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®•êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn ) 1 _ => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 1 K 0 C ADB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®•êng trßn ) 2 4 3 _ => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). D 0 => MCI + MDI = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn I MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 A B 2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD lµ hai O H ®•êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  AB nªn MH còng lµ ®•êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 . 0 0 0 Mµ A1 + M1 = 90 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 90 => C3 + C2 = 90 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 19. Cho ®•êng trßn (O) ®•êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. I 1 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 3 2 Lêi gi¶i: A / / 1 1 C M O 2 B O' 1. BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => BID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE  AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M E còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®•êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®•êng . 3. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => AD  DC; theo trªn BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®•êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 11
  12. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ 0 0 I3 + I2 = BIC = 90 => I1 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . D 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®•êng trßn 1 G 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng M C A B 5. DF, EG, AB ®ång quy. O O' 1 2 6. MF = 1/2 DE. 1 3 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 F Lêi gi¶i: E 1. BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE  AB t¹i M) nh• vËy F vµ M cïng nh×n BD d•íi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®•êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®•êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®•êng . 4. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => AD  DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi => BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => BF  DF mµ qua B chØ cã mét ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng. 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®•êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) 0 0 => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 90 => F1 + F2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®•êng trßn (O) ®•êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®•êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®•êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng 2. Chøng minh IP // OQ. lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn l•ît lµ c¸c b¸n kÝnh cña ®/ trßn (O) vµ ®•êng trßn (I) . VËy ®/ trßn (O) vµ ®•êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A . 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 12
  13. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Q 1 P 1 1 A B I O H 3. APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => OP  AQ => OP lµ ®•êng cao cña OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®•êng trung tuyÕn => AP = PQ. 1 4. (HD) KÎ QH  AB ta cã SAQB = AB.QH. mµ AB lµ ®•êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH 2 lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®•êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®•êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 1 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®•êng nµo? Lêi gi¶i: H O E 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE 1 2 t¹i H nªn BHD = 900 => nh• vËy H vµ C cïng nh×n BD d•íi mét 0 gãc b»ng 90 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh BD ) 1 => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. D C K 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2). Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KCKH => KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB. KBKD 4. (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C). Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. Lêi gi¶i: 2. §•êng th¼ng HD c¾t ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. vu«ng => BAH = 450 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 13
  14. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI E M D K A F H B O C Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®•êng trßn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh• vËy K, E, M cïng nh×n BC d•íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®•êng trßn. 4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®•êng trßn ®•êng kÝnh AC cã t©m O, ®•êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®•êng trung trùc D cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 1 F 2 3.Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ BDE. O / _H Lêi gi¶i: _K 1. AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) 1 / I 1 => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 B E C => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®•êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.  ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®•êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®•êng cao cña tam gi¸c ABC => BH  AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 . 0 Theo trªn ADC cã ADC = 90 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). 0 0 Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 90 => D1 +IDH = 90 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. 14
  15. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bµi 25. Cho ®•êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900. H K 1 => MIB + MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp M * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t•¬ng tù tø gi¸c BIMK ) 1 P Q 0 1 1 2 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 180 ; tø gi¸c CHMI néi 2 B 1 C tiÕp => HMI + HCI = 1800. mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) I => KMI = HMI (1). O Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). M I M K Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK M H M I 0 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t•¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 180 0 0 => I1 + I2 + BMC = 180 hay PIQ + PMQ = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy ra IM  PQ. Bµi 26. Cho ®•êng trßn (O), ®•êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC J 1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M K 4. Chøng minh ®•êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng _ I trßn t¹i M. A B Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MBMC H O => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) D 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t¹i M. Bµi 27 Cho ®•êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®•êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®•êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®•êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®•êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: 15
  16. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI I B I B H M M H O O A A K C C K 1. (HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t•¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) => HIM  KHM. MIMH 4. Theo trªn HIM  KHM => => MI.MK = MH2 MHMK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. A 2. E, F n»m trªn ®•êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. = B' 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam O gi¸c ABC. C' H G Lêi gi¶i: = / 1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ / / B A' C trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®•êng chÐo c¾t I / nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®•êng . E F 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC  HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trªn F (O) vµ FEA =900 => AF lµ ®•êng kÝnh cña (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF lµ ®•êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®•êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. 16
  17. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI  BC ( Quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG G I O I 1 (v× so le trong); l¹i cã OGI =  HGA (®èi ®Ønh) => OGI  HGA => mµ OI = AH G A H A 2 GI 1 => mµ AI lµ trung tuyÕn cña ∆ ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña ∆ ABC. GA 2 Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®•êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®•êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. A 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. = E 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó A1 O tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. F H Lêi gi¶i: (HD) = / 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / / B C D A' / AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF  ABC. 2. VÏ ®•êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng K vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®•êng trung b×nh cña AHK => AH = 2OA’ 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®•êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : RAA ' AEF  ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh RAA' 1 ®•êng trßn ngo¹i tiÕp AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®•êng trßn ®•êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®•êng trßn ngo¹i tiÕp AEF AH 2'AO Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA Theo (2) => OA’ = R . 1 mµ lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC AA' EF FD ED nªn = . T•¬ng tù ta cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®•îc BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( BC AC AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC. Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®•êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 17
  18. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. A 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: D a) B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => B OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam H C gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. M 2. VÏ d©y BD  OA => A B A D => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t•¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 .  BCB   1207000 => 00  BCC   2050 1201RR22 3.(433)RRR222 b) Svp = SqBOC - S BOC = R.3. = 360220 3412 Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600. 1. TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R. A 2. VÏ ®•êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®•êng cao cña tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH. D 3. TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: H O 1. Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s® BC =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) 0 => BOC = 120 ( t/c gãc ë t©m) . B M C * Theo trªn s® =1200 => BC lµ c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp (O; R) => BC = R 3 . 2. CD lµ ®•êng kÝnh => DBC = 900 hay DB  BC; theo gi¶ thiÕt AH lµ ®•êng cao => AH  BC => BD // AH. Chøng minh t•¬ng tù ta còng ®•îc AD // BH. 3. Theo trªn DBC = 900 => DBC vu«ng t¹i B cã BC = R ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lµ h×nh b×nh hµnh => AH = BD => AH = R. Bµi 32 Cho ®•êng trßn (O), ®•êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn1 mét. I lµ trung ®iÓm cña MN => OI  MN ®•êng trßn cè ®Þnh. t¹i I ( quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung) 2. Tõ A kÎ Ax  MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN= lµ > OIH = 900 . h×nh b×nh hµnh. 3. Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®•êng nµo. 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c AMN. Lêi gi¶i: (HD) 18
  19. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI N K D C I H A B O M OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh•ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d•íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®•êng trßn cè ®Þnh. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax  MN; theo trªn OI  MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iÓm cña AB => I lµ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lµ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã hai ®•êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®•êng ). 3. CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN mµ BN  AN ( v× ANB = 900 do lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => MC  AN; theo trªn AC  MN => C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Ta cã H lµ trung ®iÓm cña OB; I lµ trung ®iÓm cña BC => IH lµ ®•êng tung b×nh cña OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuéc ®•êng trßn ®•êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh OA cè ®Þnh. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . => AM =AN = R => AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R => BN = R => ABN = 600 . ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2). 33R2 Tõ (1) vµ (2) => AMN lµ tam gi¸c ®Òu => S AMN = . 4 2 2 R (4 3 3 => S = S(O) - S AMN = R - = 4 Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®•êng trßn t¹i M. ( 1. Chøng minh OM  BC. 1 P 2. Chøng minh MC2 = MI.MA. N 3. KÎ ®•êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ C A c¾t ®•êng th¼ng AN t¹i P vµ Q. Chøng minh bèn 1 2 ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®•êng trßn . Q Lêi gi¶i: 1 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM O K => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC 1 2 2 1 ( 2. XÐt MCI vµ MAC cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp B I C ch¾n hai cung b»ng nhau); M lµ gãc chung MCMI M => MCI  MAC => => MC2 = MI.MA. MAMC 19
  20. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 0 0 3. (HD) MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => P1 = 90 – K1 mµ K1 lµ gãc ngoµi cña tam AB 0 gi¸c AKB nªn K1 = A1 + B1 = (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => P1 = 90 – 22 ( ).(1) C 1 0 0 CQ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => C1 = = (180 - A - B) = 90 – ( ). (2). 2 2 Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( ) dùng trªn BQ. VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®•êng trßn . Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®•êng trßn (O) ®­êng kÝnh AA’. 1. TÝnh b¸n kÝnh cña ®•êng trßn (O). A 2. KÎ ®­êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lµ h×nh g×? T¹i sao? 1 2 3. KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC. C' Lêi gi¶i: K 1 O 1. (HD) V× ABC c©n t¹i A nªn ®­êng kÝnh AA’ cña ®­êng trßn ngo¹i 1 2 B 1 C tiÕp vµ ®­êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc lµ AA’®i qua H. H BC 6 => ACA’ vu«ng t¹i C cã ®­êng cao CH = = 3cm; AH = 22 CH 2239 A' 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = 2,5 => AA’ AH 44 => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. V× AA’ vµ CC’ lµ hai ®­êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng => ACA’C’ lµ h×nh b×nh hµnh. L¹i cã ACA’ = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH  BC; AK  CC’ => K vµ H cïng nh×n AC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®•êng trßn ®•êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => C2 = H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang (2).Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang c©n. Bµi 35 Cho ®•êng trßn (O), ®•êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . M 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. 2 O1 3. Chøng minh AM = AE.AC. C 4. Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . E 5. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®•êng trßn A B ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. I O Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt MN AB t¹i I => EIB = 900;  ACB néi tiÕp ch¾n nöa 0 0 ®•êng trßn nªn ACB = 90 hay ECB = 90 N => EIB + ECB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c néi tiÕp . 20
  21. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 2. Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM. L¹i thÊy CAM lµ gãc chung cña hai tam gi¸c AME vµ AMC do ®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. A M A E 3. Theo trªn AME  ACM => => AM2 = AE.AC A C A M 4. AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ); MN AB t¹i I => AMB vu«ng t¹i M cã MI lµ ®•êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao trong tam gi¸c vu«ng) . ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trªn AMN = ACM => AM lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp ECM; Nèi MB ta cã AMB 0 = 90 , do ®ã t©m O1 cña ®•êng trßn ngo¹i tiÕp ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 lµ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 BM. Gäi O1 lµ ch©n ®•êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®•îc O1 lµ t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp ECM cã b¸n kÝnh lµ O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt th× C ph¶i lµ giao ®iÓm cña ®•êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®•êng trßn (O) trong ®ã O1 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM. Bµi 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®•êng cao AD, BE, CF. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l•ît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . A 3. Hai tam gi¸c HNP vµ HCB ®ång d¹ng. E 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. F Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù lµm) H P Q 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n 1 1 0 2 cung HP); HDC cã HDC = 90 (do AH lµ ®•êng cao) HDP cã HPD = M N 1 0 90 (do DP  HC) => C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) 3 4 1 1 1 chøng minh t•¬ng tù ta cã B1=P1 (2) B D C Tõ (1) vµ (2) => HNP  HCB 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => C1= D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4) Theo chøng minh trªn C1 = N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H th¼ng hµng => M, N, P th¼ng hµng. (6) Chøng minh t•¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hµng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bµi 37 Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B (O), C (O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp . B I 2. Chøng minh  BAC = 900 . C 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. TÝnh ®é dµi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm. 9 4 Lêi gi¶i: O A O' 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC 1 ABC cã AI = BC => ABC vu«ng t¹i A hay BAC =900 2 3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lµ tia ph©n gi¸c BIA; I0’lµ tia ph©n gi¸c CIA . mµ hai gãc BIA vµ CIA lµ hai gãc kÒ bï => I0  I0’=> 0I0’= 900 21
  22. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 4. Theo trªn ta cã 0I0’ vu«ng t¹i I cã IA lµ ®•êng cao (do AI lµ tiÕp tuyÕn chung nªn AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm) Bµi 38 Cho hai ®­êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B (O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp . B M 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. 1 C 2 3 4 3. ME.MO = MF.MO’. E F 4. OO’ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. 5. BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’. O A O' Lêi gi¶i: 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB => MAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lµ tia ph©n gi¸c => ME  AB (1). Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã MF  AC (2). Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vµ MO’ lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vµ CMA => MO  MO’ (3). Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra tø gi¸c MEAF lµ h×nh ch÷ nhËt 3. Theo gi¶ thiÕt AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®•êng trßn => MA  OO’=> MAO vu«ng t¹i A cã AE  MO ( theo trªn ME  AB) MA2 = ME. MO (4) T­¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Tõ (4) vµ (5) ME.MO = MF. MO’ 4. §•êng trßn ®•êng kÝnh BC cã t©m lµ M v× theo trªn MB = MC = MA, ®•êng trßn nµy ®i qua Avµ co MA lµ b¸n kÝnh . Theo trªn OO’  MA t¹i A OO’ lµ tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC. 5. (HD) Gäi I lµ trung ®iÓm cña OO’ ta cã IM lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCO’O => IMBC t¹i M (*) .Ta cung chøng minh ®•îc OMO’ vu«ng nªn M thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ => IM lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ ( ) Tõ (*) vµ ( ) => BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ Bµi 39 Cho ®•êng trßn (O) ®•êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E, F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®•êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi ( I ), (K) theo thø tù lµ c¸c ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE, HCF. 1. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t•¬ng ®èi cña c¸c ®•êng trßn (I) vµ (O); (K) vµ (O); (I) vµ (K). 2. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?. A 3. Chøng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®•êng trßn (I) vµ (K). F G 5. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt. E 1 2 Lêi gi¶i: 1 B 2 C 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc (O) I H O K OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O) IK = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K) 2. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) D CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) BAC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn hay EAF = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 22
  23. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 3. Theo gi¶ thiÕt ADBC t¹i H nªn AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC (theo trªn CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 4. Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt, gäi G lµ giao ®iÓm cña hai ®•êng chÐo AH vµ EF ta cã GF = GH (tÝnh chÊt ®•êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) => GFH c©n t¹i G => F1 = H1 . KFH c©n t¹i K (v× cã KF vµ KH cïng lµ b¸n kÝnh) => F2 = H2. 0 0 => F1 + F2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHC = 90 => F1 + F2 = KFE = 90 => KF EF . Chøng minh t•¬ng tù ta còng cã IE  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®•êng trßn (I) vµ (K). e) Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH OA (OA lµ b¸n kÝnh ®•êng trßn (O) cã ®é dµi kh«ng ®æi) nªn EF = OA AH = OA H trïng víi O. VËy khi H trïng víi O tóc lµ d©y AD vu«ng gãc víi BC t¹i O th× EF cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 40 Cho nöa ®•êng trßn ®•êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax lÊy ®iÓm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N. y 1. Chøng minh tam gi¸c MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c APB. x N 2 2. Chøng minh AM. BN = R . / S R P 3. TÝnh tØ sè MO N khi AM = . / S APB 2 M 4. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra. Lêi gi¶i: A O B 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOP ; ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOP, mµ AOP vµ BOP lµ hai gãc kÒ bï => MON = 900. hay tam gi¸c MON vu«ng t¹i O. APB = 900((néi tiÕp ch¾n nöa ®•êng trßn) hay tam gi¸c APB vu«ng t¹i P. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900 =>OBN+OPN =1800 mµ OBN vµ OPN lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OBNP néi tiÕp =>OBP = PNO XÐt hai tam gi¸c vu«ng APB vµ MON cã APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB  MON 2. Theo trªn MON vu«ng t¹i O cã OP  MN ( OP lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®•êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OP2 = PM. PM Mµ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R2 3. Theo trªn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mµ PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R 5R MN 5 => MN = MP + NP = + 2R = Theo trªn APB  MON => = : 2R = = k (k lµ tØ sè 2 AB 4 ®ång d¹ng).V× tØ sè diÖn tich gi÷a hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph•¬ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: 2 2 525 = k => = 416 Bµi 41 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , O lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÇn l•ît lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho  DOE = 600 . 1)Chøng minh tÝch BD. CE kh«ng ®æi. Lêi gi¶i: 2)Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng. Tõ ®ã suy ra 1. Tam gi¸c ABC ®Òu tia DO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE => ABC =  ACB = 600 3)VÏ ®•êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB. Chøng minh r»ng (1); ®•êng trßn nµy lu«n tiÕp xóc víi DE. 23
  24. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI  DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2). A DBO cã DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) . Tõ (2) vµ (3) => BDO =  COE (4) B D B O K E Tõ (2) vµ (4) => BOD  CEO => => BD.CE = BO.CO D C O C E 2 mµ OB = OC = R kh«ng ®æi => BD.CE = R kh«ng ®æi. H B C O B D O D BDODBDBO 2. Theo trªn BOD  CEO => mµ CO = BO => (5) C O O E BOOEODOE L¹i cã DBO = DOE = 600 (6). Tõ (5) vµ (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE. 3. Theo trªn DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE => O c¸ch ®Òu DB vµ DE => O lµ t©m ®•êng trßn tiÕp xóc víi DB vµ DE. VËy ®•êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB lu«n tiÕp xóc víi DE Bµi 42 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®•êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn l•ît c¾t AC, AB ë D vµ E. Chøng minh : 2 A 1. BD = AD.CD. 2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp . 3. BC song song víi DE. O Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c BCD vµ ABD ta cã CBD = BAD ( V× lµ gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung), l¹i B C BDCD cã D chung => BCD  ABD => => BD2 = AD.CD. ADBD 2. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A => ABC = ACB E => EBC = DCB mµ CBD = BCD (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi D mét d©y cïng ch¾n mét cung) => EBD = DCE => B vµ C nh×n DE d•íi cïng mét gãc do ®ã B vµ C cïng n»m trªn cung trßn dùng trªn DE => Tø gi¸c BCDE néi tiÕp 3. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => BCE = BDE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung BE) mµ BCE = CBD (theo trªn ) => CBD = BDE mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra BC // DE. Bµi 43 Cho ®•êng trßn (O) ®•êng kÝnh AB, ®iÓm M thuéc ®•êng trßn . VÏ ®iÓm N ®èi xøng víi A qua M, BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . 3.Theo gi¶ thiÕt A vµ N ®èi 2. Chøng minh NE  AB. xøng nhau qua M nªn M lµ 3. Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi E qua M. Chøng minh FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). trung ®iÓm cña AN; F vµ E 4. Chøng minh FN lµ tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (B; BA). xøng nhau qua M nªn M lµ Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) trung ®iÓm cña EF => 2. (HD) DÔ thÊy E lµ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE  AB. AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE  AB 24
  25. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI => FA  AB t¹i A => FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. N 4. Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC  F _ BN => FN  BN t¹i N / M / C _ E B A O H BAN cã BM lµ ®•êng cao ®ång thêi lµ ®•êng trung tuyÕn ( do M lµ trung ®iÓm cña AN) nªn BAN c©n t¹i B => BA = BN => BN lµ b¸n kÝnh cña ®•êng trßn (B; BA) => FN lµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (B; BA). Bµi 44 AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ( B, C lµ tiÕp ®iÓm ). VÏ CH vu«ng gãc AB t¹i H, c¾t (O) t¹i E vµ c¾t OA t¹i D. 1. Chøng minh CO = CD. B 2. Chøng minh tø gi¸c OBCD lµ h×nh thoi. H 3. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CE, Bm c¾t OH t¹i I. Chøng minh I lµ I E trung ®iÓm cña OH. O 4. TiÕp tuyÕn t¹i E víi (O) c¾t AC t¹i K. Chøng minh ba ®iÓm O, M, A D K th¼ng hµng. M K Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt AB vµ AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn t©m O => C OA lµ tia ph©n gi¸c cña BOC => BOA = COA (1) OB  AB ( AB lµ tiÕp tuyÕn ); CH  AB (gt) => OB // CH => BOA = CDO (2) Tõ (1) vµ (2) => COD c©n t¹i C => CO = CD.(3) 2. theo trªn ta cã CO = CD mµ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5) Tõ (4) vµ (5) => BOCD lµ h×nh b×nh hµnh (6) . Tõ (6) vµ (3) => BOCD lµ h×nh thoi. 3. M lµ trung ®iÓm cña CE => OM  CE ( quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung) => OMH = 900. theo trªn ta còng cã OBH =900; BHM =900 => tø gi¸c OBHM lµ h×nh ch÷ nhËt => I lµ trung ®iÓm cña OH. 4. M lµ trung ®iÓm cña CE; KE vµ KC lµ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K th¼ng hµng. Bµi 45 Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC) néi tiÕp ®•êng trßn (O). Gäi D lµ trung ®iÓm cña AC; tiÕp tuyÕn cña ®•êng trßn (O) t¹i A c¾t tia BD t¹i E. Tia CE c¾t (O) t¹i F. 1. Chøng minh BC // AE. A E 2. Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh. 1 2 _ 3. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI. 2 K O 1 D F So s¸nh BAC vµ BGO. _ I _ Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) _ 1 B 2).XÐt hai tam gi¸c ADE vµ CDB ta cã EAD = BCD (v× so le trong ) H C G AD = CD (gt); ADE = CDB (®èi ®Ønh) => ADE = CDB => AE = CB (1) Theo trªn AE // CB (2) .Tõ (1) vµ (2) => AECB lµ h×nh b×nh hµnh. . 3) I lµ trung ®iÓm cña CF => OI  CF (quan hÖ ®•êng kÝnh vµ d©y cung). Theo trªn AECB lµ h×nh b×nh hµnh => AB // EC => OI  AB t¹i K, => BKG vu«ng t¹i K. Ta cung cã BHA vu«ng t¹i H 1 => BGK = BAH ( cung phô víi ABH) mµ BAH = BAC (do ABC c©n nªn AH lµ ph©n gi¸c) 2 => BAC = 2BGO. Bài 46: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. 25
  26. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. B HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: B E A chung E E A B = E B D (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) O E B E D P EB2 = EA.ED (1) D E A E B C * E P D = PCA (s.l.t) ; E A P = (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến ) A = ; P E A chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)Từ 1 & 2 EB2 = EP2 EB = EP AE là trung tuyến ∆ PAB. EA EP Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD. a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh FD vuông góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE. d. Cho A B C = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. C HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) b) tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900) E c) Chứng minh D là trực tâm ∆ CBF. K D 3 2a d) AC = BC.sin = 2a.sin600 = 2a . = a 3 H 2 a 1 600 AB = BC.cos = 2a.cos600 = 2a. = a 2 F A B AH = AB.sin = a.sin600 = a ; ∆ FKB vuông tại K , có = 600 B F K = 300 AD = FD.sin AD = FD.sin300 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a. Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I C). CICE B a. Chứng minh CBCA b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. I c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. HD; a) AB // EI (cùng  BC) A H C (đ/lí Ta-lét) O E O’ b) chứng minh ABED là hình thoi DE // AB mà EI //AB D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB D, E, I thẳng hàng. D c) EIO' = IEO' ( vì ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) = HED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến ∆HID cân HIE = HDI 26
  27. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Mà HDI + H E D = 900 đpcm. Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH  (d) (H d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn. b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP P c. Giả sử PM Q = 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ. HD: a) 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn 0 K O (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 ) M I O I Q b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) IH.IO = IQ.IP I I P I H P Q P Q 3 Q c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tg M Q K = KQ.tg600 = 3 . 22 H 3PQ3PQ3 ∆v OKQ có: OK = KQ.tg OQK = KQ.tg300 = KQ 3236 S PQ 3 PQ 3 MPQ = : = 3 SOPQ 2 6 Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. DMCM b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra . DECE D c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 1 d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. M e. Đặt A O C = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD. C Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R, N không phụ thuộc vào α. 2 3 HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) 1 4 b) AC // BD (cùng  EB) ∆EAC ~ ∆EBD E A O B CEAC CE CM DM CM (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) DEBD DE DM DE CE NC AC NC CM c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD (3) .Từ 1; 2; 3 MN // BD NB BD NB DM 0 0 0 d) O1 = O2 ; O3 = O4 mà + + + = 180 + = 90 ; + D1 = 90 ( ) OB R = = = α . Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα AC.DB = R.tgα. tg tg AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. a. Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy. 27
  28. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI b. Chứng minh A1A là phân giác của B1 A 1 1 C . c. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1. A M H 1 d. Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho . M C 3 So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM. B1 0 HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 90 ) C1 J Tâm I là trung điểm BH. H b) C/m: H A11 C = H B C1 ; H A11 B = H C B1 ; M K = = đpcm. I 1 2 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 ỊJ là trung trực của A1C1. B A1 C 1 d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 H C. A C1 HCHM+MCMC AC1 SHAC : S HJM = mà 1134 ; 2 (JK// AC1 H M .J K HMHMHM JK SHAC : S HJM = 8 Bài 52: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. a. Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. b. Kẻ PI  Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. c. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH PM. d. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng. HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900 ) z OA = OB = R(O) O thuộc đường trung trực AB đi qua L I P là trung điểm AB b) IP // CM ( Cz) MPIC là hình thang. IL = LC không đổi B vì A,B,C cố định. I cố định. H c) PA KM ; PK MB H là trực tâm ∆ PKM N O KH PM K L d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc ) N là tâm đ/tròn ngoại tiếp NE = NA = R(N) A N thuộc đường trung trực AB O,L,N thẳng hàng. x C M y Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân. c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao? HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) U b) HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân. K 28
  29. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI c) ∆ KMN vuông KN  KM mà KM // BP KN BP APB = 900 (góc nội tiếp ) AP BP P KN // AP ( BP) M 0 KM // BP KMNPAT45 T = PKM // N Mà PAMPKU45 0 2 A O B P K N 4 5 0 ; K N M 4 5 0 PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành. Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. a. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi. c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động như thế nào? C HD: a) AMDDMB45 0 (chắn cung ¼ đ/tròn) MD là tia phân giác A M B M F b) ∆ OMB cân vì OM = OB = R(O) N ∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến. I ∆ OMB ~ ∆ NAB A B BMBO E O BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi. BABN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN. Gọi I là tâm đ/tròn ngoại tiếp I cách đều A và O cố định I thuộc đường trung trực OA Gọi E và F là trung điểm của AO; AC D Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh BGO với BAC . d. Cho biết DF // BC. Tính cos ABC . A E HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH  BC (∆ ABC cân tại A) lập luận chỉ ra AH AE BC // AE. (1) b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) N M D Từ 1 và 2 ABCE là hình bình hành. F O _ c) Theo c.m.t AB // CF GO AB. I 1 _ = 900 – ABC = BAH = 2 d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) tại N.; DF // BC và AH là trục B H C G đối xứng cuarBC và đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH. FD = MN = MD = BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC 29
  30. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 1 2 BH 2BH2 = AC2 BH = AC cos A B C = = . 4 4 AB Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. E b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được. D c. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. A d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). HD: a) C B A = 900 = F B A (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O O’ + = 1800 C, B, F thẳng hàng. b) C D F = 900 = C E F CDEF nội tiếp (quĩ tích ) F C B c) CDEF nội tiếp A D E = E C B (cùng chắn cung EF) Xét (O) có: A D B = (cùng chắn cung AB) = DA là tia phân giác B D E . Tương tự EA là tia phân giác D E B Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy : DOA = 2 D C A ; E O ' A = 2 E F A mà = (góc nội tiếp chắn cung DE) = ; mặt khác: D A O = E A O ' (đ/đ) ODO' = O ' E O ODEO’ nội tiếp. Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật AO = AO’ = AB. Đảo lại : AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Kết luận : Điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB. Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB  CD. a) Chứng minh: ACBD là hình vuông. b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của A E B và ED // MB. c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R. HD: a) AB CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O) C ACBD là hình vuông. M 1 E // b) A E D = AOD = 450 ; D E B = DOB = 450 2 = = ED là tia phân giác của . A B = 450 ; EMB = 450 (∆ EMB vuông cân tại E) O = (2 góc đồng vị) ED // MB. c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE DE ; ED // BM CE BM CE là đường trung trực BM. D d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2 Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R ) 30
  31. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phía ngoài của tam giác, tạo với cạnh AC một góc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kéo dài ở D. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuông góc với CD tại O cắt AD ở M. a. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xác định tâm I của đường tròn đó. b. Chứng minh: CA = CM. c. Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O ở K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp. Bài 59: BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong ∆ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. a. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. b. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. c. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. d. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 60: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường tròn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. a. Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được. b. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuông góc với DC. c. Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆CPD. Bài 61: Cho ∆ABC cân (AB = AC; A < 900), một cung tròn BC nằm bên trong ∆ABC tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK. a. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được. b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác H M K . c. Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC. Bài 62: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CI  AM (I AM). a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường tròn. C b. Chứng minh: Tứ giác BMCI là hình bình hành. = M c. Chứng minh: MOICAI . 1 d. Chứng minh: MA = 3.MB. N 2 HD: a) COA90 0 ( ) ; CIA90 0 ( ) I = Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) b) MB // CI (  BM). (1) A O B ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) N12 N (đ/đ) ; NC = NB ; NCINBM (slt) CI = BM (2). Từ 1 và 2 BMCI là hình bình hành. 1 c) ∆ CIM vuông cân ( ; CMICOA45 0 ) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vì OI chung ; 2 IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI IOC mà: IOC CAI MOI CAI R 2 AC d) ∆ ACN vuông có : AC = R 2 ; NC = (với R = AO) 22 31
  32. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI R5R102 NCR10MI2 Từ đó : AN = AC+CN2R+R222 ; NI = MN = 222 NA102 RR2RR1022 R 10 R 10 3R 10 MB = NCMN22 AM = AN + MN = + = 2105 10 2 10 5 AM = 3 BM. Bài 63: Cho ∆ABC có A = 600 nội tiếp trong đường tròn (O), đường cao AH cắt đường tròn ở D, đường cao BK cắt AH ở E. a. Chứng minh: BKH BCD . b. Tính BEC . c. Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hỏi tâm I của đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động trên đường nào? Nêu cách dựng đường đó (chỉ nêu cách dựng) và cách xác định rõ nó (giới hạn đường đó). d. Chứng minh: ∆IOE cân ở I. A HD: a) ABHK nội tiếp B K H B A H ; B C D B A H ( cùng chắn cung BD) B C D B K H b) CE cắt AB ở F. ; K AFEK nội tiếp FEK180 A0000 18060120 = 1200 B C 1200 F I c) BIC 1800 180 0 120 0 E 22 0 Vậy I chuyển động trên cung chứa góc 120 dựng trên đoạn BC, cung C này nằm trong đường tròn tâm (O). B H DS IO d) Trong đ/tròn (O) có D A S = sđ ; trong đ/tròn (S) có I SO = sđ D 2 2 S vì = (so le trong) nên: = mà DS = IE IO = đpcm. Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK  AD và PH AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh rằng: a. I là trung điểm của AP. D C b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH. d. Tứ giác APMH là hình thang cân. 0 K P HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R(B)) mà AIB90 (góc nội tiếp ) BI AP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến M I là trung điểm của AP b) HS tự c/m. I c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật AH = KP PM = PK = AH d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) PM = AH PA // MH A H B Vậy APMH là hình thang cân. 32
  33. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bài 65: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB. c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN. HD: a) BOIM nội tiếp được vì OIMOBM90 0 A H O B b) INBOBM90 0 ; N I B B O M (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM) ∆ IBN ~ ∆OMB. I 1 c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R(O) 2 N Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó SAIO lớn nhất M Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức H A I 4 5 0 Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R(O) thì SAIO lớn nhất . Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D A và D C). A a. Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của BAC . b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI  CE. D c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn. d. Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC. = HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). HS tự c/m : E O = AB = AC = BC = R 3 Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC AO hay AI là tia phân giác của . B C b) Ta có : DE = DC (gt) ∆ DEC cân ; B D C = = 600 (cùng chắn BC ) I ∆CDE đều. I là điểm giữa IB = IC B D I = I D C DI là tia phân giác ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao DI CE c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE IE = IC mà I và C cố định IC không đổi E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I AC (cung nhỏ ) D → C thì E → C ; D → A thì E → B E đi động trên nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều. Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho : a AE = DF = . 3 a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng. b. Chứng minh AF BE. c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF. Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; A = 450. Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE. a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC. DE c. Tính tỷ số: d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OA DE BC 33
  34. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì ( B M D + B C D ) không đổi. c. DB.DC = DN.AC Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh: a. BC // DE. b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giác BCQP là hình gì? Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a. ∆ABD ~ ∆CBA. b. B Q D = A P B c. Tứ giác APBQ nội tiếp. Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được. b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c. Kẻ MH  AB (H AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. 1r1 d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh: . 3R2 Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I. a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC. b. Chứng minh: IC2 = IK.IB. c. Cho B A C = 600. Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O. Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F. a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó. b. Chứng minh: EB là tia phân giác của AEF . c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp AFN . Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED. a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao? c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O). 34
  35. TOANCAP2.COM - 80 BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI 1 Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC = AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Từ B kẻ đường 2 thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K. a. Tính độ lớn góc C I K . b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK. c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB. Chứng minh: H, E, K thẳng hàng. d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC. Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được. b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của C K D cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của C B F cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao? c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng 2 2 2 minh: r = r1 + r2 . Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì? b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó. c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy. Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’. a. Chứng minh: HE  AC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định. Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp ∆ ABH và ∆ ACH . 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK. 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh AM = AN. 1 c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN. 2 35