32 Bài Hình học tổng hợp Lớp 9

Nội dung text: 32 Bài Hình học tổng hợp Lớp 9

1. Hình học Bài120: Cho hai đường tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đường kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE  AB. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G d) *Xét vị trí của MF đối với đường tròn tâm O’ , vị trí của AE với đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 121: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đường tròn , dựng tiếp tuyến với đường tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q. a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED b) Tính tích CP.DQ theo R R POQ 25 c) Khi PC= . CMR 2 CED 16 d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD Bài 122: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB , COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đường tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey . a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác CEIO là hình gì ? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào ? Bài 123: Cho đường tròn tâm O và một điểm A trên đường tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB . a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp được b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax. c) Hạ BK  Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Các đường cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đường trong tại F . Vẽ đường kính BOE . a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ? b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng BH c) CMR OI = và H ; F đối xứng nhau qua AC 2 Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đường nối tâm cắt đường tròn O’ và đường tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC . Nối A với M cắt đường tròn O’ tại E . a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’P = R ; OP = R’ 1
2. c) Xét vị trí của PE với đường tròn tâm O’ Bài 126: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB . Đường tròn này cắt đường tròn O tại C và D a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ? b) CMR OC  AD ; OD  AC c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B Bài 127: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) . a) Tính các góc của MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 450 . b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đường tròn . c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d Bài 128: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đường tròn tại M . a) CMR OM  BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB ( Hướng dẫn : áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ) Bài 129: Cho ABC ( AB = AC ,  A AB ; BAˆC > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được c) Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE . Bài 131: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA =R 2 , một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN . a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông 2
3. c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O) Bài132: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. a) AFC và BEC có quan hệ với nhau như thế nào ? Tại sao ? b) CMR FEC vuông cân c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp được Bài133: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E B;E D ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N. a) CMR AMC đồng dạng ANC . b) CMR : AM.CN = 2R2 CN c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số ND Bài 134: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB . Gọi H , I lần lượt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI. a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lượt tại M, N . a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN . b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC . c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R (M A, B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường Mz cắt Ax , By lần lượt tại N và P . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lượt tại M và N . a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB 3
4. Bài 138: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B (B C ) và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đường tròn (O’) tại I . a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng c) CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC (Lớp10- bộ đề toán) Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn . Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N . Đường tròn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C , D a) Chứng minh : CD // AB . b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. c) CMR : KM.KN không đổi Bài 140: Cho một đường tròn đường kính AB , các điểm C , D ở trên đường tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lượt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K a) CMR: NKD; MAK cân b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp được . Suy ra KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp được b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động. Bài 142: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S . a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định . b) Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA) c) Đường tròn đi qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB. d) Xác định vị trí của M sao cho MKˆA 900 . 4
5. Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR: a) Góc CID bằng góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp được c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A Bài 144: Cho hai đường tròn (O 1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lượt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đường kính BO1D và CO2E. a) CMR: M là trung điểm của BC b) CMR: O1MO2 vuông c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là giao điểm của các đường thẳng PB , QA. a) CMR : PQ là đường kính của đường tròn (O) b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định. Bài 146: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) . a) CMR : BM // OP b) Đườngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ? c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O) Bài 147: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P . a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp được b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định Bài 148: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F . 5
6. a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp được c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’) Bài 149: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ). a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM. b) CMR : CA và DB vuông góc với AB c) CMR : AMB đồng dạng COD d) CMR : AC.BD = R2 Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K . a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) Hạ   A . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R) c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 151: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 900 và COˆD 900 . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F . a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ? b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB. c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đường tròn Bài 152: Cho ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q. a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được . b) CMR : MI2 = MH . MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được . Suy ra PQ  MI d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC 6