›
›
›

31 Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần II

pdf 31 trang dichphong 5860
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "31 Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần II", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf31_bo_de_toan_9_thi_vao_lop_10_cac_tinh_thanh_pho_ho_chi_min.pdf

Nội dung text: 31 Bộ đề Toán 9 thi vào Lớp 10 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần II

  1. 31 Bộ đề thi HSG Toán 9 Cấp huyện & Tỉnh – Cả Nước Phần II SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 1 Bài 1 (6,0 điểm). 2m+ 16 m + 6 m − 2 3 1. Cho biểu thức: P = + + − 2 m+2 m − 3 m − 1 m + 3 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: + x y x+ y 2 b) Cho phương trình: 2x+ 3 mx − 2 = 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm giá 2 22 2 11++xx12 trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (xx12−) + − xx12 Bài 3 (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2+ 2 + 2 + + x+ yz y + xz z + xy2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a. Chứng minh MB + MC = MA b. Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức: 2 3( S + 2S') MH + MI + MK = 3R 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian :150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 2 Câu 1 (4.0 điểm): Cho phương trình x 2 − 2mx + m2 − 2m = 0, trong đó m là tham số. 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm. 2. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x1 + x2 = 3. Câu 2 ( 6.0 điểm): Giải các phương trình sau: 1. x 2 − 6 x − 7 = 0 . 2. 2x 2 − 3x + 10 = 3 x 3 + 8 . 3. 3x 2 + 3x + x − x 2 = 2x + 1. Câu 3 (6.0 điểm): 1. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = R (C thuộc cung AD). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F. Gọi K là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông. b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, BC = 2 + 2 3 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Tính độ dài cạnh AB và AC. 1 a,b, c 3 Câu 4 (2.0 điểm): Cho ba số a , b , c thoả mãn a + b + c = 6 Chứng minh rằng: a 2 + b2 + c 2 14 Câu 5 ( 2.0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thoả mãn x + y + z 11 8x + 9y + 10 z =100 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  3. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề chính thức Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 3 Câu 1. (3 điểm). a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó). b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2. Câu 2. (6 điểm). a. Giải phương trình: x22+6 x + 1 =( 2 x + 1) x + 2 x + 3 4x22+ 1 = y − 4 x b. Giải hệ phương trình: 22 x+ xy + y =1 Câu 3. (3 điểm). a+1 b + 1 c + 1 Cho abc, , 0 thỏa mãnabc+ + = 3. Chứng minh rằng: + + 3 b2+1 c 2 + 1 a 2 + 1 Câu 4. (6 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh: HPO= HQO 11 b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng + có giá trị nhỏ nhất. EA EB Câu 5. (2 điểm). Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  4. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 4 a2 − a 3a − 2 a a − 4 Bài 1. (5đ) Cho biểu thức: P = − + a+ a + 1 a a − 2 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN của P Bài 2. (5đ) Giải các pt sau: a) 2x3− x 2 + 2x 3 − 3x + 1 = 3x + 1 +3 x 2 + 2 b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0 Bài 3. (4đ) Cho (O; R). Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. từ một điểm tùy ý trên d và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm). a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d. Bài 4. (4đ) a) Tìm GTLN của y=− x 9 x2 b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: abc1;a+ + =2 + b 2 + c 2 = 1;a 3 + b 3 + c 3 = 1. Chứng minh: a2009+ b 2009 + c 2009 = 1 Bài 5. (2đ) Cho ABC thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB. Tìm GTLN của diện tích . HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NINH BÌNH Năm học 2014- 2015 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề Đề số 5 Câu 1 (5,0 điểm): x−4 x x − 8 ( x − 2)2 + 2 x Cho biểu thức: A =+ : với x không âm, khác 4 xx−+224 − x a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm, khác 4 c) Tìm x để A là số nguyên Câu 2 (5,0 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 x+ y + z = 6 b) xy++= yz zx 11 xyz = 6 Câu 3 (2,0 điểm): Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2 x2 + 3 xyy + 2 2 + 2 y 2 + 3 yzz + 2 2 + 2 z 2 + 3 zxx + 2 2 Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’. Chứng minh rằng: a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố dịnh khi A chuyển động trên cung nhỏ BC Câu 5 (1,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NINH BÌNH Năm học 2013- 2014 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 6 Câu 1 (6,0 điểm): 2 2 ab 1 a b a) Rút gọn biểu thức: M1= + − a+ b 4 b a x2 1 5 x 1 b) Giải phương trình: +2 = − 9 x 3 3 x 11 +22 − = x y c) Giải hệ phương trình: 11 +22 − = y x Câu 2 (3,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và −x 2 parabol (P) có phương trình y = . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng 4 (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Câu 3 (2,0 điểm): Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn 0 a ; b ; c 2 1 1 1 9 Chứng minh rằng: + + (a− b )222 ( b − c ) ( c − a ) 4 Câu 4 (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng a) AC.HF = AD.CF b) F là trung điểm EH c) Hai đường thẳng DC và DI đối xúng với nhau qua đường thẳng DN Câu 5 (3,0 điểm): Cho n và k là các số tự nhiên, A = n4 + 4 2k+1 a) Tìm k, n để A là số nguyên tố b) Chứng minh rằng: + Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5 + Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p -1 chia hết cho 4 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN TOÁN LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 7 Bài 1 (4,0 điểm). 5+− 3 3 5 1) Rút gọn biểu thức: A = + 2+ 3 + 5 2 − 3 − 5 x22−+ x x x 2) Cho A =− x+ x +11 x − x + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình x + 3 1) Giải phương trình : x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 2) Giải phương trình: 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 . Bài 3 (3,0 điểm). 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −25 = y ( y + 6) Bài 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a) Chứng minh CIJ· = CBH· b) Chứng minh D CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất. a b c Bài 5 (2,0 điểm). Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng + + 2 . b+ c c + a a + b HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM Năm học 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Câu 1 (4 điểm). a) Rút gọn biểu thức A= x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 với x ≥ 4. a b c b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn + + =1 và d e f d e f + + = 0 . a b c a2 b 2 c 2 Tính giá trị của biểu thức B = + + . d2 e 2 f 2 Câu 2 (4 điểm). a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương. b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5. Chứng minh rằng a8n+− 3a 4n 4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n. Câu 3 (6 điểm). a) Giải phương trình x2 + x + 2014 = 2014. x+ y + z = 2 b) Giải hệ phương trình 2 2xy−= z 4 c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. Câu 4 (3 điểm). a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC. b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = 4+ 4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC. Câu 5 (3 điểm). Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  9. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 9 Câu 1 (2.0 điểm) x2 − x2 x + x 2( x − 1) Cho biểu thức: P = − + với 01 x . x+ x +11 x x − a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2 (3.0 điểm) a. Cho phương trình: 2x22+ 2 mx + m − 2 = 0 (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x12 , x thỏa mãn | 2x1 x 2+ x 1 + x 2 − 4 | = 6. x3−22 x 2 y + x = y 3 − xy 2 + y b. Giải hệ phương trình: x−2 + 4 − x = y2 − 6 x + 11 Câu 3 (2.5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) tại M (khác A), J là điểm đối xứng với I qua M . Gọi N là điểm chính giữa của cung ABM , NI và NJ lần lượt cắt (O) tại E và F . a. Chứng minh MI= MB. Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông. b. Chứng minh I, J, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 4 (1.5 điểm) Cho a, b 0 thỏa mãn a+ b 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 11 M =+ a++ b22 b a Câu 5 (1.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện: n2+ n + 1 =( m 2 + m − 3)( m 2 − m + 5) Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HẢI PHÒNG Năm học: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 10 Câu I (4đ) æx-1 x + 8 ö æ 3 x - 1 + 1 1 ö çç÷÷ Cho biểu thức P = çç+-÷÷: èçç3+x - 110- x ø÷÷ è x - 3 x - 1 - 1 x - 1 ø 1) Rút gọn P 3 + 2 2 3 − 2 2 2) Tính giá trị của P khi x = 4 − 4 3 − 2 2 3 + 2 2 Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). 1) Tính độ dài AB. 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ) x 2 + x = 2 y 1) Giải hệ phương trình y 2 1 + y = . x 2 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2) KH ⊥ AM. Câu V (2đ) Với 0 x; y; z 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: x y z 3 + + = 1+ y + zx 1+ z + xy 1+ x + yz x + y + z Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  11. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LÂM THAO Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 11 Câu 1 (4 điểm): x+3 x + 2 x + 2 x Cho biểu thức Với ; A = + + : 1 − ; x 0; x 4; x 9 x−2 3 − x x − 5 x + 6 x + 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x =−6 2 5 . 1 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? A Câu 2(4 điểm): a) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. x - 2012−− 1y - 2013− 1 z - 2014 1 3 b) Giải phương trình: + + = x - 2012 y - 2013 z - 2014 4 Câu 3 (3 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2. Câu 4: (7 điểm) 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Câu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz = 1. 1 1 1 Chứng minh rằng + + 1 x+ y +1 y + z + 1 z + x + 1 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  12. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 12 Bài 1. (6 điểm) x +1 x − 2 x − 3 x + 3 2 1.Cho biểu thức: A = với x 0; x 1. − : + x −1 x −1 x −1 x +1 a. Rút gọn A. b. Tìm x để A nguyên. 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a  6 Bài 2. (4 điểm) 2 1. Giải phương trình: x + 4 + x − 4 = 2 x −16 + 2x −12 xy + x + y = 3 2. Cho các số dương x,y,z thoả mãn: yz + y + z = 8 zx + z + x = 15 Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z. Bài 3. (3 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. 2. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng 5a3 − b3 5b3 − c3 5c3 − a3 + + 2015 ab + 3a 2 bc + 3b2 ca + 3c 2 Bài 4. (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I. a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. b) Tìm vị trí của M để MAB đều. c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. Bài 5(1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (x + y)4 = 40y + 1. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  13. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 13 Bài1: (6 điểm). x+1 x + 2 x + 1 1. Cho biểu thức: P = − − x −1 x x−11 x + x + a) Rút gọn P. 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx=+ P 2. chứng minh biểu thức : A= ( 3 − 1) 6 + 2 2. 3 − 2 + 12 + 18 − 128 là số nguyên. Bài 2: (4đ) 1. Tìm cặp số ( xy; ) ,sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn: x22+5 y + 2 y − 4 xy − 3 = 0 2. Cho xy 0, 0 và thỏa mãn xy+ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 12 A= + + 4xy x22+ y xy Bài 3: (4đ) 36 4 1. Giải phương trình: + =28 − 4xy − 2 − − 1 xy−−21 2. Cho a,b,c là ba số thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + . a2+2 b 2 + 3 b 2 + 2 c 2 + 3 c 2 + 2 a 2 + 3 2 Bài 4(6đ) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Kẻ hai tiếp tuyến AB,ACvà cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm và D nằm giữa A và E.Gọi H là giao điểm của AO và BC. 1. Chứng minh 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn 2. Chứng minh rằng: AH.AO = AD.AE 3. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC theo thứ tự ở M, N biết OA = 6cm; R = 3,6cm. 4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC ở I,K. Chứng minh rằng: MI+ NK IK . Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định, ACBˆ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=+34 Sin Cos . HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  14. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN QUỲNH LƯU Năm học: 2003 - 2004 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 14 x − 5 x 25 − x x + 3 x − 5 Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức A = −1 : − + x − 25 x + 2 x −15 x + 5 x − 3 1) Rút gọn A 2) Tìm số nguyên x để A nguyên A(x +16) 3) Với x 0, x 25, x 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 5 Bài 2:(4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy 2) Giải phương trình x2 + 4x + 5 = 2 2x+3 Bài 3:(4,0 điểm) 1 1 1 1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và + + = 4. x y z 1 1 1 Chứng minh rằng: + + 1 2x+y+z x+ 2y + z x + y + 2z 2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn ab+ 1. 1 1 Tìm GTNN của: A = + + 4ab a2 + b2 ab Bài 4:(5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. 1) Tính sin2MBA+ sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC 2) Chứng minh: OK2 =− AH(2 R AH ) 3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Bài 5: (1,0 điểm) Tìm n N* sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  15. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 15 Câu 1.(3 điểm). a) Tính : A=4 + 5354810743 + − + 1 1 x+ 1 b) Cho biểu thức B= + : 1 + ( với x > 1) x+ x + 1 x − x − 1 x1− i) Rút gọn biểu thức B. ii) Tìm các giá trị của x để B 2− x = − x2 + 3x − 2 . Câu 2. (3,5 điểm): a) Cho x= 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Tính giá trị của biểu thức A= x2 − 2x − 2 b) Cho hàm số f (x)= (x3 + 12x − 31) 2010 Tính f (a) tại a=33 16 − 8 5 + 16 + 8 5 Câu 3: (3,5điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 Câu 4 : (4 điểm) a) Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x2 - 8x + 24 b) Cho ba số x;; y z thỏa mãn : x+ y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy++ yz zx Câu 5 ( 6điểm): Cho ABC (AB = AC). Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N . a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi. b) Chứng minh hệ thức 4.BM . CN= BC2 c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  16. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 16 1 1 2x+ x12xxx − + − x Bài 1: (5,0đ) Cho biểu thức A:= − + 1−+ x x 1x− 1 x x 1. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi x=− 17 12 2 3. So sánh A với A . Bài 2 : (4,0đ) 1. Giải phương trình: 8x+ 1 + 46 − 10 x = − x32 + 5 x + 4 x + 1 2. Tìm nghiệm nguyên của pt sau : 8x22+ 23 y + 16 x − 44 y + 16 xy − 1180 = 0 Bài 3 : ( 4,0 đ) 1 1 1 1 1. T ính tổng: S = + + + + 2 1+ 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 2013 2012 + 2012 2013 1 1 1 2. Cho ba số dương x,, y z thoả mãn + + =1. x y z Chứng minh rằng: x+ yz + y + zx + z + xy xyz + x + y + z. Bài 4 : (5,0đ) Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. 1. Tính sin2MBA+ sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC 2. Chứng minh: OK2 =− AH(2 R AH ) 3. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Bài 5: ( 2,0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, sin +c os = 1 + sin  góc ACB bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: . H ết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  17. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 17 Câu 1: (6,0 điểm) 2x− 9 x + 3 2 x + 1 1. a) Rút gọn biểu thức A = −− x−5 x + 6 x − 2 3 − x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. Hãy tính giá trị biểu thức: (1+y2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) A = x++ y z (1+++x2 ) (1 y 2 ) (1 z 2 ) 2. Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR: (46 )n + 296.13 n 1947 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: x2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x2 + 2x − 3 a b c b ) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn: + + = 0 b - c c - a a - b a b c Chứng minh rằng: + + = 0 (b - c)2 (c - a) 2 (a - b) 2 Câu 3: (3 điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 1 1 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn ++=6 . x+ y y + z z + x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + + . 3x+ 3 y + 2 z 3 x + 2 y + 3 z 2 x + 3 y + 3 z 2 Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  18. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 18 3xx+− 9 3 1 1 1 Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức A = + + − 2: x+ x −2 x − 1 x + 2 x −1 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. 2) Rút gọn biểu thức A. 2 3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên. A Câu 2. (4,0 điểm): 1) Giải phương trình: x2 −10 x + 27 = 6 − x + x − 4 x +1 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xx2 ++1 Câu 3. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2) 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó. Câu 4. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. HM MK CD Chứng minh rằng: = HK MC4 R 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB ( M khác A và B). Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: c+ ab a + bc b + ac + + 2 a+ b b + c a + c HẾT SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  19. HÀ NỘI Năm học 2010 - 2011 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 19 Bài I (2 điểm) 4x32− 16 x + 21 x − 9 Rút gọn biểu thức: A = x −1 Bài II (5 điểm) 1) Giải phương trình: 2(x2+2x+3)=5 x3+3x2+3x+2 2) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 4x2-(8y+11)x+(8y2+14)=0 Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài III (5 điểm) 1) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng. 2) Cho các số thực không âm x. y thay đổi và thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: B = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy Bài IV (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. 1) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB. 2) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE. AF AF · So sánh AB và AC với cosAEB Bài IV (2 điểm) Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với k {1; 2; 3}. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó. 1) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng? 2) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương? Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  20. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THẠCH HÀ NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 20 Câu 1: 11 a) Tính giá trị của đa thức f( x )= ( x4 − 3 x + 1) 2016 tại x =9 − + 99 −+55 44 2.2016 b) So sánh 201722− 1 − 2016 − 1 và 201722− 1 + 2016 − 1 sin22xx cos c) Tính giá trị biểu thức: sinxx .cos ++ với 00 < x < 900 1++ cotxx 1 tan d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 23 − = −9 − 20 5 a+− b 5 a b 5 Câu 2: Giải các phương trình sau: 3 2xx−− 1 3 a) −=− xx−−3 1 2 3 b) x2 − 5x + 8 = 2 x − 2 Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. Câu 4: a4 + b4 a) Chứng minh rằng ab3 + a3b − a2b2 2 1 1 1 b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện + + =2 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC 1 b) Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HƯƠNG SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  21. Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 21 Bài 1. (2,0 điểm) a+ 1 a a − 1 a2 − a a + a − 1 Cho biểu thức: M = + + với a > 0, a 1. a a−− a a a a a) Chứng minh rằng M 4. 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho các hàm số bậc nhất: y=+ 0,5x 3, y=− 6 x và y= mx có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra 11 giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =+. OM22 ON Bài 3. (2,0 điểm) 17x+= 2 y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x−=2 y 3 xy . 1 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x+ y − z + z − x = (y + 3). 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. HẾT PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN QUỲNH LƯU NĂM HỌC 2013 – 2014 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  22. Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 22 x+− y x y x++ y 2xy Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= + : 1 + . 1−+ xy 1 xy 1− xy a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tính giá trị của P với x = . 23+ Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 13 yx= − + và yx= . 22 a) Vẽ đồ thị (D) và (L). b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4− 5x 3 − 38x 2 − 5x + 6 = 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN ⊥ AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  23. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 23 Câu 1( 2 điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013 33 Tính giá trị của A khi x = − 3+ 1 − 1 3 + 1 + 1 b) Cho (x + x2 + 2013 ).(y + y2 + 2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013 = 0 Câu 2 ( 2 điểm) a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) x2 +1 a b c b) Chứng minh + + 2 , với a, b, c>0 b+ c a + c b + a Câu 3 ( 2 điểm) a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Câu 4 ( 3 điểm) 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE Â a 2) Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin 2 bc+ Câu 5( 1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + + + abcbcacababc+ − + − + − Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  24. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN KỲ ANH NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 24 x+− y x y x++ y 2xy Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= + : 1 + . 1−+ xy 1 xy 1− xy c) Rút gọn biểu thức P. 2 d) Tính giá trị của P với x = . 23+ Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 13 yx= − + và yx= . 22 c) Vẽ đồ thị (D) và (L). d) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4− 5x 3 − 38x 2 − 5x + 6 = 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: d) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. e) MN ⊥ AD. f) ME.MA = MF.MD. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  25. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÙ NINH NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 25 Câu 1. (4,0 điểm): a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Câu 2. (4,0 điểm): xzy 2 a. Cho A = + + . Biết xyz = 4, tính A . xy+ x +2 yz + y + 1 zx + 2 z + 2 x y z a b c x2 y 2 z 2 b. Cho + + =1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : + + =1. a b c x y z a2 b 2 c 2 x2 Câu 3. (3,0 điểm): Giải phương trình : x2 + = 3 (x + 1)2 Câu 4. (7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB+ BC + CA ) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 + BB'2 + CC '2 2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: BC 2 a) BD.CE = 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: a b c 3 T = + + 3abc++ 3bac++ 3c++ b a 5 ___ Hết ___ “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  26. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CAN LỘC NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 26 x + y x − y x + y + 2xy Bài 1(6điểm) Cho P = + : 1+ 1− xy 1+ xy 1− xy a, Rút gọn P 2 b, Tính giá trị của P với x= 2 + 3 c, Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 2 : (3đ) Giải phương trình sau : x + 2002 x + 2003 x + 2004 + + = 3 ( với m là tham số ). m −1 m m +1 Bài 3 : ( 2đ) Chứng minh rằng nếu a , b là các số dương thõa mãn : 1 1 1 + + = 0. Thì : a + c + b + c = a + b. a b c Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 1 1 6 (x − ) = 3(y − ) = 2(z − ) = xyz − . y z x xyz . Hết . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  27. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CẦN GIỜ NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 27 x+− y x y x++ y 2xy Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= + : 1 + . 1−+ xy 1 xy 1− xy e) Rút gọn biểu thức P. 2 f) Tính giá trị của P với x = . 23+ Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 13 yx= − + và yx= . 22 e) Vẽ đồ thị (D) và (L). f) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4− 5x 3 − 38x 2 − 5x + 6 = 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M 1 1 1 và cắt đường thẳng DC ở I. Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN ⊥ AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  28. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRIỆU SƠN Năm học 2012 – 2013 Đề chính thức Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 28 5 5 Câu 1: (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức: P = + 1− x : +1 . 2 1+ x 1− x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x để P P. 1 1 2. Cho a 0 , thoả mãn điều kiện: a 2 + = 23. Tính giá trị của biểu thức: A = a5 + . a 2 a5 Câu 2: (4,0 điểm)1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: (k - 2)x + (k - 1)y = 1 (k là tham số). Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 1 1 9 x + y + + = x y 2 2. Giải hệ phương trình: 1 5 xy + = xy 2 Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn điều kiện: (x − 2013 )2 = y(y +1)( y + 2)( y + 3). 2. Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1, chứng minh rằng tồn tại một 1 tam giác có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá . 10 Câu 4: (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AC = 3AB = 3a và BAC = 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ADB = 300. Đường thẳng vuông góc với AD tai D cắt tia AB ở E và cắt cạnh AC ở F. Hạ EK vuông góc với AC (K AC). a. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a. b. Chứng minh ba đường thẳng AD, BF và EK đồng quy. 2) Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé nhất là bao nhiêu? 3 Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z 0 và x + y + z . Chứng minh rằng: 2 1 1 1 3 x 2 + + y 2 + + z 2 + 17. x 2 y 2 z 2 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  29. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN QUẾ SƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 29 Bài 1 (4,0 điểm): a) Thực hiện tính: A =2 + 3 + 14 − 5 3 b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c và a’, b’, c’ là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng (các cạnh có độ dài a, b, c lần lượt tương ứng với các cạnh có độ dài a’, b’, c’) thì: aa'+ bb ' + cc ' = ( abcabc + + )( ' + ' + ') 20172 2017 c) Chứng minh: 1+ 20172 + + = 2018 20182 2018 Bài 2(4,0 điểm): Giải các hệ phương trình sau: 4(x+= y ) 5( x - y ) x22+( y + 1) = xy + x + 1 a) b) 40 40 3 +=9 21x= x + y + x+ y x- y Bài 3 (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có AD và CE là các đường cao. Gọi H là giao điểm của AD và CE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE cắt AC tại F. a) Chứng minh ba điểm B, H, F thẳng hàng. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và BC. Chứng minh đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng MN. c) Tia phân giác của góc BAC cắt MN tại K. Chứng minh MK= MA. Bài 4 (4,0 điểm): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm di chuyển trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm D sao cho MD = MB. a) Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì điểm D di chuyển trên đường nào? b) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để MA + MB + MC lớn nhất. Bài 5 (3,0 điểm): Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp. Chứng minh: abc3++ 3 3 chia hết cho 9. === HẾT=== “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  30. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN QUẾ SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 30 Bài 1 (3,0 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa a+ b + c = 0. a) Chứng minh a4+ b 4 + c 4 = 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ). b) Tính abc4++ 4 4 khi có thêm điều kiện abc2+ 2 + 2 = 6 . Bài 2 (4,0 điểm): Tam giác ABC số đo các cạnh là: a, b, c. Gọi 2 p là chu vi của tam giác. Chứng minh rằng : 1 1 4 a) + a b a+ b 1 1 1 1 1 1 b) + + 2 + + p− a p − b p − c a b c c) Cho 2p = 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của abc2++ 2 2 Bài 3 (4,0 điểm): Cho phương trình: (x2 −1)( x + 3)( x + 5) = m . Thực hiện: a) Giải phương trình với m = 9. b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1,,, x 2 x 3 x 4 thỏa: 1 1 1 1 + + + = −1 x1 x 2 x 3 x 4 Bài 4 (7,0 điểm): Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN = CM. Tia AM cắt đường thẳng CD tại E. a) Chứng minh ∆OMN là tam giác vuông cân. b) Chứng minh MN // BE. c) Gọi H là giao điểm của OM với BE. Chứng minh CH vuông góc với BE. Bài 5 (2,0 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x22+ 4 x + 3 y = 19 ===HẾT=== “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  31. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN DÂN HÒA NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 31 Câu 1: (6điểm) x + y x − y x + y + 2xy Cho P = + : 1+ 1− xy 1+ xy 1− xy a, Rút gọn P b, Tính giá trị của P với x= 2 2 + 3 c, Tìm giá trị lớn nhất của P Câu 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 3 + x + 6 − x - (3 + x)(6 − x) = 3 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. Câu 3: ( 4 điểm) x y z a b c x2 y 2 z 2 a) Cho + + =1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : + + =1. a b c x y z a2 b 2 c 2 b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. 1 1 1 a + b + c CMR: P = + + a 2 + bc b2 + ac c 2 + ab 2abc Câu 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . a. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. b. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). c. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. Câu 5 (1 đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 1 1 6(x − ) = 3(y − ) = 2(z − ) = xyz − . y z x xyz Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.