›
›
›

22 Bộ Toán 9 vào 10 THPT chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2018 – 2019 (Có đáp án chi tiết)

pdf 36 trang dichphong 3690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "22 Bộ Toán 9 vào 10 THPT chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2018 – 2019 (Có đáp án chi tiết)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf22_bo_toan_9_vao_10_thpt_chuyen_cac_tinh_ca_nuoc_nam_hoc_201.pdf

Nội dung text: 22 Bộ Toán 9 vào 10 THPT chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2018 – 2019 (Có đáp án chi tiết)

  1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. ĐÁP ÁN - 22 Bộ Toán 9 vào 10 THPT Chuyên các Tỉnh Cả Nước Năm học: 2018 – 2019 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 1 Bài 1: 2 a b ab a b a33 b 1/ Cho biếu thức : T: , với a b,a 0,b 0 a b a b ab a/ Rút gọn biểu thức T b/ Chứng tỏ T > 1 2/ Cho n là sô tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số 20n 3 n 16 n 1chia hết cho số 323 Giải 1/ a/ Rút gọn biểu thức T Với a 0;a,b 0 ta có : 2 a b ab a b a33 b T: a b a b ab a ab b (a b)(a b) (a b)(a ab b) T: ab ab (ab)(ab) a abb a abb a abb(a b)(a2 abb) T : ( a b) : a b a b a b a b a ab b a b a b ab T. a b ab ab b/ Chứng tỏ rằng T > 1 22 a b ab a b ab a b Ta có : T 1 1 (Vì ) ab ab ab Vậy T > 1 2/ Chứng minh rằng 20n 3 n 16 n 1 323 ( n N, n chẵn) Ta có : an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + . + abn-2 + bn-1) an – bn = m.(a – b) (với a,b,m,n N) Vì n là số tự nhiên chẵn nên n = 2k (k A 20n 3 n 16 n 1 400 k 9 k 256 k 1 (400 k 1) (256 k 9 k ) N) A (400 1)(400k 1 400 k 2 .1 ) (256 9)(256 k 1 256 k 2 .9 ) A 399x 247y 19.21x 19.13y 19(21x 13y)(x,y ) Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  2. A 19( n chẵn) (1) A (400k 9 k ) (256 k 1) 319p 255q A 17.23p 15.17q 17(23p 17q)(p,q ) A 17(  n chan)(2) Vì 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau. Từ (1)và (2) suy ra : A 17.19 Vậy 20n 3 n 16 n 1 323 ( n N, n chẵn) Bài 2 1/ Giải bất phương trình: 3x 2 7x 8 44 x y 3 xy 2/ Giải hệ phương trình: 6 x y 5 xy Giải 1/ Giải bất phương trình: 2 22x xx 3 3x 2 7x 8 33 22 4 9x 12x 4 7x 8 9x 5x 4 0 1x 9 24 x 39 24 Vậy tập nghiệm của bất pt là S x | x 39 44 x y 3 xy 2/ Giải hệ phương trình 6 x y 5 xy 4S 4S P S x y 0 S3 S3 Đặt P 8 P xy 0 6 2 S 2 P S5S 5S 6 0 115 S S 3 P 2 22 8 8 3 + Khi S 2;P thì x, y là nghiệm của pt sau X 2 2X VN 0 (vì '0 ) 5 5 5 2 X11 + Khi S 3;P 2 thì x, y là nghiệm của pt sau X 3X 2 0 X22 x 1 x 2 va Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là y 2 y 1 Bài 3 Cho phương trình: (m 1)x2 2(2m 3)x 5m 25 0(m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  3. Giải Tìm các giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm hữu tỉ. 2 Phương trình (m 1)x 2(2m 3)x 5m 25 0 (1) 22 ' 2m 3 m 1 5m 25 3m 7 15 Phương rình (1) có nghiệm hữu tỉ với m chỉ khi ' chính phương. 2 ' 3m 7 15 n2 (n ) 22 3m 7 15 n2 3m 7 n 2 15 3m 7 n 3m 7 n 15 (m,n ) (2) Phương trình (2) có 8 hệ pt tương đương sau : 3m7n 15 3m7n 1 3m7n 5 3m7n 3 a / b / c / d / 3m7n 1 3m7n 15 3m7n 3 3m7n 5 3m7n15 3m7n1 3m7n3 3m7 n5 e/ f / g / h / 3m7n1 3m7n15 3m7n5 3m 7 n 3 Suy ra 8 hệ pt (2) có nghiệm hữu tỉ khi m = 1 hoặc m = 5. Bài 4 1/ Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB BC; BC CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất. Giải Gọi khoảng cách từ M đến BC, CA, AB lần lượt x, y, z. A Theo công thức tính diện tích ta có : 2SABC = xBC + yCA + zAB 2SABC xBC yCA zAB (x y z)AB 2S H x y z C AB + Nếu AB > BC thì dấu « = » xảy ra khi MC + Nếu AB = BC > CA thì dấu « = » xảy ra khi B M AC + Nếu AB = BC = CA thì M điểm bất kỳ trong ABC. Vậy tổng khoảng cách từ điểm M đến ba cạch của tam giác ABC có độ dài nhỏ nhất xảy ra một trong ba trường hợp như trên. 2/ Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: a / DA là phân giác của FDE b / F là trung điểm của MN c/ OD OK OE2 và BD DC OD  DK Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  4. Giải a / Chứng minh DA là phân giác của FDE . A 0 - Vì BDH BFH 90 E Tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường I kính BH. F (1) H FBH FDH(chancungFH)hayABE FDA - Vì ADB AEB 900 Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường K B D C kính AB. ABE ADE(chancungAE)(2) - Từ (1) và (2) Suy ra: FDA ADE Vậy DA là tia phân giác của góc FDE (đpcm) Bài 5 22 1 1 1 25 Cho hai số dương a, b thỏa mãn a1 . Chứng minh rằng: ab b a b 2 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 2 a 3 3 a 6 a Câu 1 Cho biểu thức T  với a 0,a 4, a 9 a 9 a 4 a2 a/ Rút gọn T b/ Xác định các giá trị của a để T > 0 Giải a/ Rút gọn T a 3 3 a 6 a a 33 a 2 a T  a 9 a 4 a2(a3)(a3) a 2 a 2 a2 1 a 3 1 T. a 3 a 2 a 2 b/ Xác định các giá trị của a để T > 0 1 T 0 a 2 0 a 2 a 4 a2 Vậy khi a > 4 và a9 thì T > 0. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  5. Câu 2 a/ Cho phương trình x2 – 2( m – 1)x + m2 – 3m + 2 = 0, (m tham số). Tìm m để phương 2 2 trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + x2 – x1.x2 = 5 2018 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2x x2 7 Giải 2 2 a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + x2 – x1.x2 = 5 2 2 m 1 0 x ' m 1 m 3m 2 0 x x 2(m 1) m1 x12 x 2(m 1) 12 2 x x m2 3m 2 4(m 1)22 3(m 3m 2) 5 x12 x m 3m 2 12 22 (x x )2 3x x 5 x1 x 2 x 1 x 2 5 1 2 1 2 m1 1 29 m1 m (tm) 2 1 2 2 m m 7 0 m m 7 0 1 29 29; 29 m2 (loai) mm 2 1 29 Vậy khi m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thõa mãn bài toán. 2 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2018 2018 A đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2xx22 7 2 (x1) 8 1009 Vậy khi x = 1 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . 12 Câu 3 Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Giải Gọi x (km/h) vận tốc ban đầu người đó dự định đi từ A đến B (đk: x > 0) 120 Thời gian dự định đi từ A đến B là (h) x Quãng đường người đó đi 1h đầu là 1.x = x (km) Quãng đường còn lại là (120 – x) km 120 x Thời gian đi quãng đường còn lại là (h) x6 120 1 120 x Theo đề bài ta có pt sau: 1 x 6 x 6 120 1 120 x Giải phương trình ta được: 1 x2 42x 4320 0 x 6 x 6 x 21 69 48(tm) ' 441 4320 4761; ' 69 1 x2 21 69 90(loai) Vậy vận tốc ban đầu của người đó đi từ A đến B là 48 km/h. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  6. Câu 4 Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F . a/ Chứng minh : MD2 = MB.MC b/ Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn. c/ Chứng minh O là trung điểm của EF. Giải 2 a/ Chứng minh : MD = MB.MC A - Xét MDC và MBD có: M Chung MDC MBD(gg) MDC MBD E O F MD MC M MD2 MB.MC C MB MD B H P 2 Vậy MD = MB.MC (đpcm) D Câu 5 Cho ba số thực a , b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 3 Giải x,y ta có: x y2 0 x22 y 2xy dấu “=” xảy ra khi x = y. Áp dụng Bất đẳng thức ta có; a2 1 2a b2 1 2b c2 1 2c 3 a2 b 2 c 2 1 2 a b c ab bc ca 2.6 12 a22 b 2ab b22 c 2bc c22 a 2ca a2 b 2 c 2 1 4 a2 + b2 + c2 3 dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 3 Câu 1. 1/ Giải phương trình: x4 - 22x2 + 25 = 0 a a a 4 a 2/ Cho biểu thức P.(với a là số thực dương) a 2 a 3 a 2 a a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất Giải 1/ Giải phương trình: x4 - 22x2 + 25 = 0 Đặt t = x2 0 ta có pt sau: t2 – 22t + 25 = 0 ' 121 25 96; ' 4 6 22 2 t11462231 tx 223 x 1;2 223 22 2 x 2 2 3 t1146222 3 tx 22 3 3;4 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm 2/ a/ Rút gọn biểu thức P a a a 4 a a a a 1 a 2 a 2 P a 2 a 3 a 2 a a 2a 1 a 2 a a a 1 a 2 a 2 P . a 1 a 2 a 2 a P a 1 a 2 b/ Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất? 12 9 9 P a 1 a 2 a a 2 a 2 4 4 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của P đạt được khi a . 4 4 Câu 2. x2 xy 6 Giải hệ phương trình (với x,y ) 22 3x 2 xy 3 y 30 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  8. Giải x22 6 x 6 x2 xy 6 yy Ta có: xx 3x22 2xy 3y 30 x4 3x 2 54 0 t 2 3t 54 0 x62 y x62 x y x x11 3 y 1 t 9(tm) x2 9 2 2 1 t 3t 54 0 t 3t 54 0 x22 3 y 1 t2 6(loai) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (3;1) và (-3;-1) Câu 3 2 Tìm các số thực m để phương trình x ( m 1) x 2 m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và xx12 1 x2 sao cho biểu thức P 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 x 2 ) 3 x 1 x 2 3 Giải Câu 4. 1/ Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x22 4 y 2 xy 3 x 3 0 a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 1 1 1 2/ Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh: abab(2 2 ) bc (b 2 c 2 ) ca(c 2 a 2 ) abc Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(50; 100) và N(100; 0).Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên) Câu 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F 1/ Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn 2/ Gọi H là trung điểm của đoạn BF.Chứng minh OE vuông góc với AH 3/ Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH.Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF 4/ Gọi I là tâm của đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF .Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua hai điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) thỏa điều kiện đã cho. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 4 Câu 1 1/ Giải phương trình 23xx . 3 2/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y x 2 ( d ) và y x3 ( d ) . 1 2 2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. 3/ Cho tam giác ABC có AB 8( cm ), BC 17( cm ), CA 15( cm ) . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4/ Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6 (cm ) , độ dài đường sinh là 5(cm ). Tính thể tích hình nón đó. Giải 1/ Giải phương trình ĐK: x0 ta có: x 1(loai) 2x 3 x 2x 3 x22 x 2x 3 0 (x 1)(x 3) 0 x 3(tm) Vậy nghiệm của pt là x = 3. 2/ Tính SABC? y - Độ dài AB = 5; OC = 2. 4 - Diện tích tam giác ABC là B d 11 S AB.OC .5.2 5 (đvdt) 1 2 ABC 22 - C O x 2 -2 A d 2 3/ Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. B Ta có: 82 + 152 = 172 (= 289) F AB2 AC 2 BC 2 Tam giác ABC vuông tại A. D O - Tứ giác ADOE có A D E 900 là hình chữ nhật, có hai cạnh kề OD = OE = r là hình A C vuông. E AD = AE Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  10. - Theo t/chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB AC BC 8 15 17 AD 3(cm) 22 r 3cm - Chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: C 2r 2.3.3,14 18,84cm Vậy chu vi đường tròn nội tiếp ktam giác ABC bằng 18,84cm. 4/ Tính thể tích hình nón. - Bán kính đường tròn đáy là: A C6 C 2 r r 3 cm 22 - Áp dụng dụng Định lý Pytago tam giác AOH vuông tại O ta có: AO2 = AC2 – OC2 h l AO 522 3 25 9 16 4 cm - Diện tích đáy hình nón là S r2 9 cm2 B d O r C - Thể tích hình nón là 11 V .S .h .9 .4 12 cm3 33d Vậy V = 12 cm3 1 x 1 1 x Câu 2 Cho biểu thức P x : (với x 0 và x 1). x x x x 1/ Rút gọn biểu thức P. 2/ Chứng minh rằng với mọi và x 1 thì P 4 . Giải 1/ Rút gọn biểu thức P 1 x11x x1x1 x1 x1x1x1 P x : : : x x x x x xx x 1 x x x 1 2 x 1x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P:. xx x 1 x x 1 x 2 x1 P x 2/ Chứng minh rằng P > 4 với và x 1 . 2 x1 x 2 x 1 1 1 P x 2 x 2 x x x x 11 Theo BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có: x 2 x. 2 xx 1 P x 2 2 2 4 x Vậy khi x 0 và thì P > 4 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  11. Câu 3 1/ Cho phương trình x22 mx m m 40 (với m là tham số). a/ Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b/ Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình đã cho ()xx12 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để xx21 2 . 2/ Giải phương trình 6x 2 3 3 x 3 x 1 4 x2 x 6 . Giải a/ Chứng minh mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 1 15 Xét hệ số c m m4 m 0 ac 0 24 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt và trái dấu. b/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để . Vì pt đã cho có 2 nghiệm trái dấu x1 < x2 x1 < 0 < x2 Do đó: |x2| - |x1| = 2 x2 + x1 = 2 (vì x1 < 0) Theo định lý Vi ét ta có: x2 + x1 = m = 2 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. 2/ Giải phương trình: ĐK: 2x3 6x 2 3 3 x 3 x 1 4 x2 x 6 . 62 x 33 x 3 x 14(2 x )(3 x ) Đặt: a 2 x 0;b 3 x 0 Câu 4 Cho tam giác ABC (với AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn (O; R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O; R). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 1/ Chứng minh tam giác BOE vuông và EI BD FI CD R2 . 2 Gọi P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD; Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh AQ 2 KP. 3/ Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C1 là giao điểm của CO với cạnh AB và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1 1 1 2 Chứng minh: . AA1 BB 1 CC 1 R 1 OO 1 Giải 1/ Chứng minh tam giác BOE vuông A - T/chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: E I F + OB tia phân giác góc DON . M N + OE tia phân giác góc NOI 1 O - Vì DON NOI 1800 (t/chất 2 góc kề bù) 2 BOE 900 (Góc tạo bởi 2 tia phân giác 1 B D C Vậy BOE vuông tại O. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  12. * Chứng minh EI BD FI CD R2 + Cách 1 - Theo hệ thức lượng BOE vuông tại O ta có: EN.BN = ON2 = R2 hay EI.BD = R2 (1) - Theo hệ thức lượng COF vuông tại O ta có: FM.CM = OM2 = R2 hay FI.CD = R2 (2) Từ (1) và (2) Suy ra: EI.BD FI.CD R 2 (đpcm) + Cách 2 OIE BDO(gn tgv) OI EI EI.BD OI.OD R 2''(1) BD OD OIF CDO(gn tgv) OI FI FI.CD OI.OD R2 '' (2) CD OD Từ (1) và (2) Suy ra: EI.BD FI.CD R2 (đpcm) 2/ Chứng minh rằng: AQ 2 KP. A EI CD I Từ EI.BD FI.CD (1) E F FI BD K Vì EF // BC theo hệ qủa định lý ta lét N EI FI AI EI BQ (2) O BQ CQ AQ FI CQ Từ (1) và (2) Suy ra: B C CD BQ CD BD D P Q (t/c tỷ lệ thức) BD CQ BQ CQ Theo t/chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: CD BD CD BD BC 1 BD CQ BQ CQ BQ CQ BC Vì P trung điểm BC BP = CP BP – BD = CP – CQ DP = PQ Xét ADQ ta có: DP PQ(cmt) KP là đường trung bình DK KA(gt) 1 KP AQ AQ 2KP 2 Vậy AQ = 2KP (đpcm) Câu 5 (2x 4 y 1)2 x y 1(4 x 2 y 3) x 2 y (1) 1/ Giải hệ phương trình 22(2) x 8 x 52(3 y 2)4 x 3 y 22 x 5 x 2 2/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2 bc 2 ca 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của 11a 11 b 12 c biểu thức: Q . 8a2 56 8 b 2 56 4 c 2 7 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  13. Giải (1) (2x 4 y 1)2 x y 1(4 x 2 y 3) x 2 y 1/ Giải hệ phương trình: (2) 22 x 8 x 52(3 y 2)4 x 3 y 22 x 5 x 2 Đặt: u 2x y 1;v x 2y;(u,v 0) Từ pt (1) ta có: (2v2 -1)u = (2v -1)u (v – u)(2vu + 1) = 0 (vì u,v 0 2uv 1 0 ) v – u = 0 v = u x 2y 2x y 1 x 2y 2x y 1 3y x 1 Thay 3y = x – 1 vào pt (2) ta có: 1 x2 8 x 5 2(x 1) 3 x 1 2 ( x 2)(2 x 1); (DK : x ) 3 2 x 1 2(x 1) 3x 1 3x 1 x 2 2 (x 2)(2x 1) 2x 1 0 22 x 1 3x 1 x 2 2x 1 0 x 1 3x 1 0 x 1 3x 1 x2 2x10 x2 2x1 x(x 1) 0 x 0(loai) x 1 0 x 1(tm) Khi thay x = 1 thì y = 0 Vậy nghiệm của hệ pt là (x, y) = (1; 0) Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  14. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 7 Câu 1 Rút gọn các biểu thức sau: 1/ A 4 2 3 8 18. x 2 x 2 4 2/ B : 1 , (với xx 0, 4 ). x4 x 2 x 2 Giải 1/ A4238 18426232 2 x2x 2 4 x(x2) 2 x2 2 / B : 1 : x4 x2 x2 (x2)(x2) x2 x2 x 2 x 2 B . 1 x 2 x 2 Câu 2 1/ Giải phương trình: 3xx2 2 1 0. 2xy 3 13 2 Giải hệ phương trình: . 21xy Giải x1 1 2 1/ Giải phương trình: 3xx 2 1 0 1 x 2 3 4y 12 2x 3 y 13 y 3 2 Giải hệ phương trình: . y 1 2x y 1x x 2 2 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là (2; 3). Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P yx 2 và đường thẳng d có phương trình y 21 m x m2 (với m tham số). 1/ Tìm điều kiện m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Gọi xx, lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để 2xx 1 2 1 13. 12 12 Giải 1/ Tìm m để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt x2 = 2(m + 1)x – m2 x2 - 2(m + 1)x + m2 = 0 Để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thì 1 ' (m 1)22 m 2m 1 0 m 2 1 Vậy khi m > thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. 2 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  15. 2/ Xác định m để 2xx 1 2 1 13. 12 1 1 ' 0 m m 2 2 x12 x 2(m 1) x12 x 2(m 1) x x m2 x x m2 12 12 2x12 1 2x 1 13 2x1 x 2 (x 1 x 2 ) 6 0 m 1(tm) 2m22 2(m 1) 6 0 m m 2 0 1 m2 2(loai) Vậy khi m = 1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol tại 2 điểm thõa mãn bài toán. Câu 4 Cho đường tròn O , đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AB (H khác A và B), đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt đường tròn O tại hai điểm C và D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi N là giao điểm của AM và CD. 1/ Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn. 2/ Chứng minh MA là tia phân giác của CMD. 3/ Chứng minh AD2 AM.AN. 4/ Gọi I là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP. Giải 1/ Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp. - Xét tứ giác BMNH có: C BMN BHN 900 M BMN BHN 1800 N Tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn. 2/ Chứng minh MA là tia phân giác A B O H của Vì AC AD AMC AMD MA là tia phân giác CMD D 3/ Chứng minh Xét AND và AMD có: A Chung ADN AMD(gg) ADN AMD AD AN AD2 AM.AN (đpcm) AM AD Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  16. 4/ Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp CMP. C + Xét tứ giác BMIP có: 1 I M MPB sdMB sdAD N 2 MPB MIB 1 MIB sdMB sdAC A B 2 O H P Tứ giác BMIP nội tiếp đường tròn. Ta có: IPM IBM(chanIM) (1) IPM CDM D CDM IBM(chanCM) IP / /CD (đvị) Ta có: IPC DCP (2) IPC CDM CDM DCP Từ (1) và (2) ta có: IPM IPC( CDM) PI tia phân giác góc CPM MI tia phân giác góc CMP (cmt) Do đó: I là giao điểm của 3 đường phân giác của CMP. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp CMP. Câu 5 2 2 2 Cho các số thực abc, , 0thỏa mãn abc 3. Chứng minh rằng 1 1 1 1. 4 ab 4 bc 4 ca Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Vì a , b , c 0; a 2 b 2 c 2 3 0 a , b , c 2 1 1 4 Chứng minh được ; x,y 0 x y x y Áp dụng ta có: 1 1 4 4 2 4 a 4 b 8 a b 8 2 ab 4 ab 2 1 1 (1) 4 ab 4 a 4 b 2 1 1 (2) 4 bc 4 b 4 c 2 1 1 (3) 4 ca 4 c 4 a Từ (1); (2); (3) ta có: 1 1 1 1 1 1 4 ab 4 bc 4 ca 4 abc 4 4 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  17. 1 1 1 Chứng minh được: 1;0 abc , , 2 4 abc 4 4 1 a2 5 Chứng minh được: 4 a 18 a2 5 4 a 18 2 a a 1 2 00 18 4 a 18 4 a 1 a2 5 1 b 2 5 1 c 2 5 ;; 4a 184b 18 4c 18 2 2 2 1 1 1 a b c 15 1 4 a 4 b 4 c 18 1 1 1 1 4 ab 4 bc 4 ca Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  18. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 9 x 4 1 1 Câu 1 Cho biểu thức: P 1 : với x 0; x ; x 1; x 4 . x 3 x 2 2x 3 x 1 4 a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tìm x sao cho P 2019. 10 c/ Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của TP . x Giải a/ Rút gọn biểu thức P. x 4 1 x 2 x 2 x 1 2 x 1 P 1 : 1 . x 3 x 2 2x 3 x 1 x 1 x 2 1 x 2x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 P 1 . . x 111 x 1 P 2 x 1 2 x 1 4x 1 P 4x 1 b/ Tìm x sao cho . Thay P = 2019 vào P = 4x -1 4x – 1 = 2019 4x = 2020 x = 505 Vậy khi x = 505 thì P = 2019. c/ Tìm GTN của khi . 10 10 2x 10 18x Thay P = 4x – 1 vào T P 4x 1 ( ) 1 x x 5 x 5 2x 10 2x 10 Áp dụng BĐT Cô si ta có: 2 . 4 5 x 5 x 2x 10 Dấu “=” xảy ra khi x 2 25 x 5 (vì x 0) 5x 18x Ta có: 18 (vì x 5) 5 T 4 18 1 21 Vậy Min T = 21 khi x = 5. Câu 2 11 Cho hai đường thẳng (d1): y mx m và (d2): yx (với m tham số, m 0). mm Gọi I( xy00; ) tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). 22 Tính T x00 y . Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  19. Giải Theo đề bài (x00 ; y ) là nghiệm của hệ pt sau: y00 mx m 1 1 22 mx00 m x m x00 m x 1 11 mm yx00 y00 mx m mmy00 mx m 1m2 1m2 x 220 2 x0 2 m 1 x0 1 m 1m 1m y m(x 1) 1m2 2m 00 y m( 1) y 0 1m2 0 1m2 2 22 2 2 4 2 1m2 221 m 2m 1 2m m 2m T x00 y2 2 2 2 1 1 m 1 m 1 m22 1 m T1 2 Câu 3: Gọi xx12; là hai nghiệm phương trình: x (2 m ) x 1 m 0 (m tham số). a/ Tìm m để xx12 22. 11 b/ Tìm m sao cho T 22 đạt giá trị nhỏ nhất. (x12 1) (x 1) Giải a/ Tìm m để . Ta có: xx 22 xx22 8 xx 4xx8 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 m 4 1 m 8 m 0 m 0 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. b/ Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất. 11(x 1)22 (x 1) (x x)2 2xx 2x x 2 T 21 1 2 1 2 1 2 (x 1)2 (x 1) 2 (x 1)(x 2 1) 2 2 1 2 1 2 x1 x 2 x 1 x 2 1 2 m 2 2 m 1 2 m 2 2 m2 T2 1 1 m 1 m 2 1 4 Vậy Giá trị nhỏ nhất T là Min T = 1 khi m = 0. Câu 4: a/ Giải phương trình: 4xx 8072 9 18162 5. x3 y 3 3 x 2 6 x 3 y 4 0 b/ Giải hệ phương trình: 22 x y 31 x Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  20. Giải a/ Giải phương trình sau: ĐK: x - 2018 ta có: . 4x 8072 9x 18162 5 2 x 2018 3 x 2018 5 5 x 2018 5 x 2018 1 x 2018 1 x 2017(tm) Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2017 Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO. a/ Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK. b/ Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. c/ JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r. d/ Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Giải a/ Chứng minh H trung điểm của OK. Ta có: MK NJ M MK / /ON(1) ON NJ NK MJ (2) NK / /OM J O OM MJ K H - Từ (1) và (2) Suy ra: Tứ giác MKNO là hình bình hành nên có 2 đường chéo MN và OK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường. N Vậy H là trung điểm của OK. b/ Chứng minh K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. Vì hình bình hành MKNO có 2 cạnh kề OM = ON = a nên là hình thoi. Tam giác OMJ 1 vuông tại M có (MK = a, OJ = 2a). Suy ra MK = OJ MK là đường trung tuyến của 2 OMJ nên K trung điểm của OJ . Suy ra: OK = KJ = MK = a Vậy K (O; a) (đpcm) Câu 6: Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12x 10 y 15 z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của T x2 y 2 z 2 4x 4y z . Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  21. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 10 Câu 1. 1/ Cho phương trình: x22 2 mx m 2 m 4 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm xx12, . Tính theo m giá trị biểu thức P x12 x và tìm giá trị nhỏ nhất của P. x2 2 2/ Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. x 2 Giải 1/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm? '0 'm(m2m4)022 2m40 m2 xx0xx2m0 m0 m0 1 2 1 2 x .x 0 2 22 12 x12 .x m 2m 4 0 (m1) 3 0 (m1) 3 0;m m2 Vậy khi m 2 thì pt có 2 nghiệm không âm. * Tính theo m giá trị biểu thức và tìm giá trị nhỏ nhất của P. P x12 x 0 2 22 P x1 x 2 xx 1 2 2xx 1 2 2m2m2m4 P 2m 2 m2 2m 4 - Với m 2 ta có: P 2m2m2 2m4 2.2204 8 22 P 2 2 Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy minP 2 2 khi m = 2. 2/ Tìm tất cả các giá trị x nguyên để nguyên. x2 2 6 Ta có: y x 2 tìm x ;y thì x 2 U 1, 2, 3, 6 (6) Suy ra: x 2 x 2 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  22. x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 x 2 2 x 0 x 2 2 x 4 x 2 3 x 1 x 2 3 x 5 x 2 6 x 4 x 2 6 x 8 Vậy x 8; 5; 4; 3; 1;0;1;4 thì y nhận các giá trị nguyên. Câu 2. 1/ Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 b 5 c 0. Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. 3 2/ Giải phương trình: (4x3 x 3) 3 x 3 : 2 Giải 1/ Chứng minh pt (1) có nghiệm. Xét 2 trường hợp: * Trường hợp 1: a = 0 phương trình (1) có dạng bx + c = 0 (2) + Nếu b = 0 thì a 2 b 5 c 0 c 0 PT (2) đúng với mọi x. Vậy pt (1) có nghiệm c + Nếu b0 thì pt (2) có nghiệm duy nhất x b * Trường hợp 2: a0 PT (2) trở thành pt bậc 2 ẩn x. a 5 c ( a 5 c )2 a 2 b 5 c 0 b b2 24 2 (ac 5 )2 ac 3 b22 4 ac 4 ac 4 c 0 44 PT (1) có nghiệm Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a, b, c thõa mãn a 2b 5c 0 Câu 3. Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều, phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất? Câu 4. Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện (x 1 x22 )( y 1 y ) 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . Câu 5. 1/ Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a/ Tính diện tích của nửa hình tròn đường kính BH. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  23. 2/ Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường tròn, hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ lớn nhất. Câu 6. 1 1 1 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 1. Tìm giá trị lớn abc2 2 2 1 1 1 nhất biểu thức: P . 5a2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 Giải Với a, b, c > 0 ta chứng minh được: 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 9 a b c a b c 9 a b c 2 1 1 1 1 1 1 x y z 3 x2 y 2 z 2 3 a b c a2 b 2 c 2 Với a, b > 0 ta có: 5a2 2ab 2b 2 4a 2 4ab b 2 a 2 2ab b 2 2a b2 a b 2 2a b 2 22 2 5a 2ab 2b 2a b 2a b 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5a22 2ab 2b 2a b 9 a a c 9 a b Tương tự: 1 1 2 1 5b22 2bc 2c 9 b c 1 1 2 1 5c22 2ca 2a 9 c a 1212121 1111 P 9abbcca 3abc 1 1 1 1 1 3 P 3 . 3 3 a2 b 2 c 2 3 3 Dấu “=” xảy ra khi a b c 1 1 1 a b c 3 1 a2 b 2 c 2 3 Vậy MaxP khia b c 3 3 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  24. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Nghệ An Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Phan Bội Châu ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN Đề 14 Câu I. a/ Giải phương trình: x 2 4 x 2 x2 5 x 1. 2 xy 34 y x b/ Giải hệ phương trình: y22 2 y 7 7 x 8 x Giải a/ Giải phương trình x 2 4 x 2 x 2 5 x 1. (ĐK: 2 x 4 ) 2x5x32 x21 4x10 x 3 3 x 2x 1 x 3 0 x 2 1 4 x 1 11 x 3 2x 1 0 x 2 1 4 x 1 x 3 0(1) 11 2x 1 0(2) x 2 1 4 x 1 Giải pt (1) ta được x = 3. Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. b/ Giải hệ phương trình xy 3y 4x2 2xy 6y 8x 2 xy 3y 4x 2 y2 2y7 7x 2 8x y 2 2y7 7x 2 8x y 2 2y72xy6y x 2 8x xy 3y 4x2(1) 2 x y 8 x y 7 0(2) - Giải phương trình (2) ta được x – y = 1 hoặc x – y = 7. + Với x – y = 1 thế vào pt (1) ta có 3x2 + 4x – 3 = 0. ' 4 9 13; ' 13 2 13 5 13 xy 1133 2 13 5 13 xy 2233 + Với x – y = 7 thế vào pt (1) ta có; 3x2 + 10x – 21 = 0 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  25. ' 25 63 88; ' 2 22 5 2 22 26 2 22 xy 3333 5 2 22 26 2 22 xy 4433 Vậy hệ pt đã cho có 4 nghiệm sau: 213 213 5222 5222 x1 x 2 x 3 x 4 (I)3 (II) 3 (III) 3 (IV) 3 5 13 5 13 26 2 22 26 2 22 y y y y 13 2 3 3 3 4 3 Câu II. a/ Tìm các số nguyên x;; y z sao cho x2 y 2 z 2 6 xy 3 y 4 z b/ Cho hai số nguyên dương mn; thỏa mãn mn 1 là một ước nguyên tố của 2(mn22 ) 1. Chứng minh rằng mn. là số chính phương. Câu III. Cho a;; b c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 aaab4 3 2 bbbc 4 3 2 ccac 4 3 2 Câu IV. Cho tam giác ABC vuông tại A() AB AC nội tiếp đường tròn (O ), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn ()O tại NNB( ). a/ Chứng minh AN BI DH BK b/ Tiếp tuyến của ()O tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c/ Tiếp tuyến của ()O tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M cắt OD tại QQD( ). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O ). Câu V. Để phục vụ cho lễ khai mạc Word Cup 2018, ban tổ chức giải chuẩn bị 25 000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25 000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả bóng được sơn một màu). Chứng minh rằng trong 25 000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a;; b c mà a chia hết cho bb; chia hết cho c và abc 17. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  26. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. Hà Nội Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 11 Bài I. 1/ Giải phương trình: x22 3 x 8 ( x 5) x x 2. 22 y 2 xy 8 x 6 x 1 2/ Giải hệ phương trình: y2 x 3 81 x 2 x Bài II. 1/ Cho pq; là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh pq44 2019 chia hết cho 20. 2/ Cho các số nguyên dương a;;; b c d thỏa mãn a b c d;ad bc; d a 1. a/ Chứng minh a d b c b/ Chứng minh a là số chính phương. Bài III 1/ Với các số thực x;; y z thay đổi và thỏa mãn xyz 1, Chứng minh rằng: 1 1 1 1. xy x 1 yz y1 zx z1 1 1 1 2/ Cho các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3. Tìm giá trị lớn nhất x y z 1 1 1 của biểu thức P . 2x2 y 2 3 2 y 2 z 2 3 2 z 2 x 2 3 Bài IV Cho tứ giác ABCD (không có hai cạnh nào song song) nội tiếp đường (O ). Các tia BA; CD cắt nhau tại điểm F. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC;. BD Vẽ hình bình hành AEDK. 1/ Chứng minh tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB. 2/ Gọi MN; tương ứng là trung điểm của các cạnh AD;. BC Chứng minh đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF. 3/ Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác EMN. Bài V Cho tập hợp S x Z /1 x 50 . Xét A một tập con bất kì của tập hợp S có tính chất: Không có ba phần tử nào của tập hợp là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. 1/ Tìm tập hợp có đúng 40 phần tử và thỏa mãn điều kiện đề bài. 2/ Có hay không có một tập hợp có đúng 41 phần tử và thỏa mãn điều kiện đề bài? Hãy giải thích câu trả lời. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  27. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. Hà Nội Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 12 Bài I. 1/ Giải phương trình: x22 2 x 7 ( x 3) x 5. 22 (x y )( x y ) 1 2/ Giải hệ phương trình: (x y )( x22 y ) 1 Bài II. 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn: 4x22 8 xy 3 y 2 x y 2 0. 2/ Cho hai số nguyên dương ab; thỏa mãn 3a22 a 4 b b . Chứng minh ab là một số chính phương. Bài III 1/ Với các số thực x;; y z thay đổi và thỏa mãn xyz 1, Chứng minh rằng: 1 1 1 1. xy x 1 yz y 1 zx z 1 2/ Cho các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1 biểu thức P. xyx1 yzy1 xzz1 Bài IV 1/ Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, đường cao BE và nội tiếp đường tròn (OR ; ). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O ). Đường thẳng BE cắt các đường thẳng AD; AO lần lượt tại các điểm IH;. Chứng minh BH. BI 2 R2 . 2/ Gọi M là trung điểm của AB. Lấy điểm N thuộc tia đối của tia OA sao cho R ON . Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 2 3/ Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh đường thẳng KE đi qua trung điểm của đoạn OI. Bài V. Trên một đường tròn cho 2018 điểm phân biệt. An và Bình cùng chơi như sau: Mỗi lượt chơi, một bạn sẽ nối 2 điểm trong 2018 điểm đã cho để được một dây cung sao cho mỗi dây cung vừa được vẽ không có điểm chung với bất kì dây cung nào đã vẽ trước đó. Hai bạn luân phiên thực hiện chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người đi trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người chiến thắng. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  28. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2018 – 2019 Chuyên Sư Phạm (Vòng 1) Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề 13 Bài 1. Các số thực xy; không âm thỏa mãn (xy 1)( 1) 2.Tính giá trị của biểu thức: P x2 y 2 2(x 2 1)(y 2 1) 2 xy. Bài 2. Các số thực x;; y z không âm thỏa mãn x2 y 2 z 2 xy 2 2 yz 2 2 zx 2 2 6.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Q x y z. Bài 3. ()ab 2 1/ Cho biểu thức: M với ab; là hai số nguyên dương phân biệt. a3 ab 2 a 2 b b 3 Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. 2/ Cho ab; là hai số nguyên dương đặt: A ( a b )2 2 a 2 ; B ( a b ) 2 2 b 2 Chứng minh AB; không đồng thời là số chính phương. Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB; AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác lấy điểm P sao cho AP PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q.Chứng minh rằng: 1/ PB PQ. 2/ O là trực tâm của tam giác ADE. 3/ PAO QAC. Bài 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: Nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong một cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp) 1/ Xây dựng ví dụ để S 870. 2/ Chứng minh S 870. HẾT Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  29. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Vĩnh Phúc Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 15 Bài 1. xx 1 3 10 Cho biểuthức: P :3 vớixx 0; 4. x 4 x 4 x 4 x 2 a/ Rút gọnP. b/ Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thứcP nhận giá trị nguyên. Bài 2. 2(1 m ) 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho đường thẳng():d y x (m 2). Giả mm 22 sử()d cắt các trụcOx;O y lần lượt tạiAB;. a/ Khim 3, tìm tọa độ các điểm Tính diện tích tam giácOAB. b/ Tìm tất cả các giá trị củam sao cho tam giác cân. Bài 3. 2 x 6 x y 5 0 a/ Giải hệ phương trình: (xy 3)4 5 16. xx3 b/ Giải phương trình: 1. x22 x 2 x 3 x 2 Bài 4. Cho tam giácABC nhọn, nội tiếp đường tròn(O );( AB AC ).Các tiếp tuyến tạiB vàC của()O cắt nhau ở E; AE cắt tạiDA .Kẻ đường thẳng()d đi qua E và song song với tiếp tuyến tạiAcủa(O ), cắt các đường thẳngAB; AC lần lượt tạiPQ;.GọiM là trung điểm củaBC.Đường thẳngAM cắt()O tạiNA . a/ Chứng minh tứ giácOBEC nội tiếp đường tròn, EB2 ED EA b/ Chứng minh AB,. AP AC AQ và điểmE cách đều các đỉnh của tứ giácBCQP. c/ Chứng minh tứ giácBCND là hình thang cân. Bài 5. Cho a;; b c là các số thực dương thỏa mãn().a b c ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: c22 c ab P . ()a b c2 a 2 b 2 ab Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  30. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 16 Bài I. 2 Cho biểu thức: A 11 6 1 1 6 1 1 a/ Rút gọn A b/ Tìm một phương trình bậc hai ẩn x với hệ số nguyên nhận A 1 làm nghiệm. Bài II. 1/ Giải phương trình: 2x 1 x 3 10 x 0 x22 5 y 4 x 6 2/ Giải hệ phương trình: (xy 2)22 29 Bài III. Chứng minh 4n 2019n 1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. Bài IV. Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2. R Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (C là tiếp điểm). Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng MC tại D và cắt đường thẳng AC tại E. a/ Chứng minh CE CA b/ Gọi G là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC. Tia CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh ba đường thẳng CB, EF, GO đồng quy. c/ Chứng minh BF OG2 2 R . Bài V. 0 a b c 1/ Cho các số thực a;; b c thỏa mãn điều kiện a b c 6. Chứng minh ab bc ca 9 ac 1; 4. 2/ Cho lục giác đều có cạnh bằng 2.cm Bên trong lục giác lấy 13 điểm phân biệt sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác có diện tích không lớn hơn 3 cm 2 mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 13 điểm nói trên. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  31. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 17 Bài I. a/ Rút gọn biểu thức: 3 11 10 x y y x xy A và B với xy;0 5 2 4 5 5 xy x y 4 b/ Giải phương trình: x 5 x 2 Bài II. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y (2 k 1) x 3 (k là tham số) và parabol ():.P y x 2 a/ Vẽ parabol ()P b/ Chứng minh với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng ()d luôn cắt tại hai điểm phân biệt. Bài III. 2 a/ Tìm m để phương trình: 2x (2 m 1) x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn điều kiện 3xx12 4 11 b/ Giải phương trình: x 3 6 x ( x 3)(6 x ) 3. Bài IV. Cho hình vuông ABCD, lấy điểm K thuộc cạnh AD (K khác A và D). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK, đường thẳng này cắt các đường thẳng CK, CD theo thứ tự tại I và H. a/ Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn b/ Tính số đo HID. c/ Chứng minh HI HA HD HC 1 1 1 d/ Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh BC2 BK 2 BN 2 Bài V. Cho a;; b c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 c 2 b 2 a 2 a 2 c 2 b 2 1. 2ab 2 bc 2 ac Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  32. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 18 Câu I. a 1 ab a 2 a b 2 ab a) Cho biểu thức: A 1: với a; b 0; ab 1 ab 11 ab 1 ab Rút gọn biểu thức A, tìm GTLN của A khi a b ab. b) Tìm các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn đẳng thức x2 y 2 x 2 6 y 2 2 xy . Câu II. a) Giải phương trình: 3x2 43232322493 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 27 8x 18 y 3 b) Giải hệ phương trình: 46xx2 1 2 y y Câu III. Cho hàm số yx 2 2 và y mx . Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt và ba đỉnh của tam giác đều. Câu IV. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD. Kẻ tia Bx cắt CD tại I sao cho ABM MBI. Kẻ tia phân giác của CBI, tia này cắt CD tại N. a) So sánh MN với AM NC b) Tính diện tích tam giác BMN theo a. Câu V. Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường cao AE; BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. a) Chứng minh OM vuông góc với EF. b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA; MB lần lượt tại C; D. Chứng minh khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. Câu VI. a2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Cho ba số thực dương a;; b c . Chứng minh 3 a b c b a c a b c Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  33. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 19 Bài I. a/ Giải phương trình: x2 2 x 2 3 x x 1 b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho a;; b c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân. Bài II. a/ Chứng minh với mọi số thực a;; b c ta luôn có(abc )2 a 2 b 2 c 2 2( abbcac ) 1 1 1 1 b/ Cho ba số x; y ; z 0 đồng thời thỏa mãn x y z 2; 4 và x2 y 2 z 2 xyz 1 1 1 0.Tính giá trị của biểu thức Q ( y2017 z 2017 )( x 2017 z 2017 )( x 2017 y 2017 ). x y z Bài III. Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là một điểm nằm trên đoạn thẳng BO (H không trùng với hai điểm B và O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N. a/ Chứng minh tứ giác MNBA nội tiếp 2 BO OH b/ Tính giá trị của P 2 AB BH c/ Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn(O), cắt hai đường thẳng AC, AN lần lượt tại K và E. Chứng minh đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi điểm H di động trên đoạn thẳng BO. Bài IV. Với a; b ; c 0 thỏa mãn a b c abc. Chứng minh 1 a2 1 b 2 1 c 2 1 a b c Bài V. Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khách du lịch tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tỉnh K. Công ty Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có tuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến đi từ A đến C. Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để có thể đi hết 18 địa điểm trên? Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  34. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 20 Bài 1. a a2 b 2 a a 2 b 24 a 4 a 2 b 2 1/ Rút gọn biểu thức: P : với 2 2 2 2 2 a a b a a b b ab 0. 2/ Cho phương trình x2 ax b 0 (1) với x là ẩn; ab; là tham số. Tìm biết xx12 5 phương trình (1) có hai nghiệm xx; thỏa mãn 12 xx33 35. 12 Bài 2. a/ Giải phương trình x 3 3 x 1 x 3. b/ Cho các số thực a;; b c thỏa mãn điều kiện 0 a ; b ; c 2; a b c 3.Tìm giá trị lớn a2 b 2 c 2 nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca Bài 3. a/ Tìm cặp số nguyên tố (;)xy thỏa mãn phương trình xy22 2 1. b/ Chứng minh nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng của hai số chính phương liên tiếp. Bài 4. 1/ Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ()O kẻ hai tiếp tuyến AB; AC của đường tròn với BC; là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AO;. BC Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn tại DC . Gọi T là trung điểm của BD. a/ Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp. b/ Gọi E là giao điểm của đường tròn đường kính AB và AC( E A );Slà giao điểm của AO và BE. Chứng minh TS song song với HD. 2/ Cho hai đường tròn (OO12 );( ) cắt nhau tại hai điểm AB;. Gọi MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn với MONO (12 ); ( ).Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN, cắt , BM, BN lần lượt tịa CDFGCDA; ; ; ( ; ). Gọi E là giao điểm củaCM;. DN Chứng minh EF EG. Bài 5. Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số trong 20 số đã cho mà tích của hai số đó là số chính phương. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  35. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẾN TRE Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 21 Câu 1: a b a b a b Cho biểu thức P với ab, là hai số thực dương. 1 ab 1 a/ Rút gọn biểu thức P: . ( a b)(a b) b/ Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019 . Câu 2: a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng p2 1 chia hết cho 24. b/ Cho phương trình x2 2 mx m 4 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề 1 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa 22 đạt giá trị lớn nhất. xx12 Câu 3: a/ Giải phương trình: x32 1 x 3 x 1. xy22 42 b/ Giải hệ phương trình: . (x 2 y )(1 2 xy ) 4 Câu 4: a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 xy 2 x y . 41 b/ Cho hai số thực ab, thỏa ab 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T . ab Câu 5: Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D. a/ Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp. b/ Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng NE. AD và 2R . ND c/ Chứng minh rằng CACN COCD d/ Xác định vị trí của điểm M để 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  36. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chung) Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề. Đề 22 Câu 1 3 14 2 a) Rút gọn biểu thức: A 7 2 . 7 2 7 b) Giải phương trình: 5xx2 2 5 1 0 . 3xy 2 16 c) Giải hệ phương trình: . xy 5 23 Câu 2 a) Tìm tất cả giá trị của hệ số a để hàm số y ax 2 đồng biến và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3) . b) Cho đường thẳng (d ) : y (3 2 m ) x m2 và parabol ():P y x2 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, và x1 x 2 1 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 . Câu 3 a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174m. Nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích mảnh vườn đó tăng thêm 215m2. Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn. b) Giải phương trình: 5x4 2 x 2 3 x 2 x 2 2 4 . Câu 4 Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB). a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MD2 MA.MB. c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh MCE cân tại M. d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh: 1 1 4 . OI.OF ME22 CD Câu 5 ab1 Cho ab 0, 0 và ab 1. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức S . 11 b a a b HẾT Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.