›
›
›

20 Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh, thành phố cả nước - Phần I

pdf 21 trang dichphong 5690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "20 Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh, thành phố cả nước - Phần I", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf20_bo_de_toan_9_thi_vao_10_thpt_chuyen_cac_tinh_thanh_pho_ca.pdf

Nội dung text: 20 Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh, thành phố cả nước - Phần I

  1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 20 Bộ Toán 9 thi vào 10 THPT Chuyên Tỉnh; TP – Cả nước Phần I SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 1 x − 41 1 Câu 1: (2,5đ) Cho biểu thức: P =+ 1: với x 0; x ; x 1; x 4 . x−3 x + 2 2 x − 3 x + 1 4 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P = 2019 . 10 c) Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của TP=+ . x 11 Câu 2: (0,75đ) Cho hai đường thẳng (d1): y=+ mx m và (d2): yx= − + (với m tham số, mm 22 m 0). Gọi I( xy00; ) tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). Tính T=+ x00 y . 2 Câu 3: (1,25đ) Gọi xx12; là hai nghiệm phương trình: x+(2 − m ) x − 1 − m = 0 (m tham số). a)Tìm m để xx12−=22. 11 b) Tìm m sao cho T =+22 đạt giá trị nhỏ nhất. (xx12++ 1) ( 1) Câu 4: (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 4xx+ 8072 + 9 + 18162 = 5. x3− y 3 +3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 b) Giải hệ phương trình: 22 x+ y −31 x = Câu 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO. a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK. b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r. d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu 6: (0,5 điểm) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12x+ 10 y + 15 z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của T= x2 + y 2 + z 2 −44 x − y − z . “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 2 Câu 1. (2,0 điểm) 1) Cho phương trình: x22−2 mx + m − 2 m + 4 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm xx12, . Tính theo m giá trị biểu thức P=+ x12 x và tìm giá trị nhỏ nhất của P. x2 + 2 2) Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. x + 2 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a+2 b + 5 c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm. 3 2) Giải phương trình: (4x3− x + 3) 3 = x 3 : 2 Câu 3. (1,0 điểm) Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều, phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất? Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện (x+ 1 + x22 )( y + 1 + y ) = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=+ x y . Câu 5. (3,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a) Tính diện tích của nửa hình tròn đường kính BH. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. 2) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường tròn, hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ lớn nhất. Câu 6. (0,5 điểm) 1 1 1 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện + + =1. abc2 2 2 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: P = + + . 5a2+ 2 ab + 2 b 2 5 b 2 + 2 bc + 2 c 2 5 c 2 + 2 ca + 2 a 2 HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 3 a−+3 3 a 6 a Câu 1: (1,0 đ) Cho biểu thức T =+, với a 0, a 4, a 9 aa−−94 a − 2 a) Rút gọn T. b) Xác định các giá trị của a để T > 0 Câu 2: (2,0 đ) 1. Cho phương trình x22−2( m − 1) x + m − 3 m + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương 22 trình có hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa x1+ x 2 − x 1 x 2 = 5 2018 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2+ 2xx −2 + 7 Câu 3: (2,0 điểm) Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/giờ so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh MD2 = MB. MC b) Qua B kẻ đường thẳng song song với M cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh O là trung điểm của EF. Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng abc2+ 2 + 2 3 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP HUẾ NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn thi: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 4 Bài 1: (3 điểm) a) Hãy chứng minh đẳng thức: 3− 3 − 13 − 4 3 = 1. xy+15 + = b) Giải hệ phương trình : 2 (x+ 2 x + 1) y = 36 Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình: x42−2 mx + 2 m − 1 = 0 . Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1,,, x 2 x 3 x 4 sao cho: x1 x 2 x 3 x 4 và x4− x 1 =3( x 3 − x 2 ) . Bài 3: (3 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S). a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ. b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: ME2 = MA MP . ME AM c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: = . NF AN Bài 4: (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm. Bài 5: (1 điểm) Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên. Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  5. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chung) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 5 a − 3 3 a + 6 a Câu 1(1đ) Cho biểu thức T = với a 0,a 4, a 9  + a −9 a − 4 a − 2 a) Rút gọn T b) Xác định các giá trị của a để T > 0 Câu 2 (2đ) a) Cho phương trình x2 – 2( m – 1)x + m2 – 3m +2 = 0 , (m là tham số). Tìm m để 2 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + x2 – x1.x2 = 5 2018 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 + 2x − x 2 + 7 Câu 3 (2đ) Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Câu 4 (4đ) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O . AD là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F . a) Chứng minh : MD2 = MB.MC b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh O là trung điểm của EF. Câu 5 (1đ) Cho ba số thực a ,b , c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 3 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Nămhọc 2018 – 2019 Môn: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phútkhông kể thời gian giao đề Đề số 6 Câu1 (1,5điểm). Rút gọn các biểu thức sau: 1. A =4 2 − 3 8 + 18. xx− 2 2 4 2. B = −: 1 − , (với xx 0, 4 ). x − 4 xx++22 Câu2 (2,0điểm). 1. Giải phương trình: 3xx2 − 2 − 1 = 0. 2xy+= 3 13 2. Giải hệ phương trình: . 21xy−= Câu 3 (1,5điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P có phương trình yx= 2 và đường ( ) thẳng(d ) có phương trình y=21( m +) x − m2 (vớim là tham số). 1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d ) cắt parabol( P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2. Gọi xx12, lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để (2xx12+ 1)( 2 + 1) = 13. Câu 4 (4,0điểm). Cho đường tròn(O) , đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AB (H khác A và B), đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt đường tròn tại hai điểm C và D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi N là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh MA là tia phân giác củaCMD. 3. Chứng minh AD2 = AM AN 4. GọiI là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP. Câu 5 (1,0 điểm). 2 2 2 Cho các số thực abc, , 0thỏa mãn abc+ + = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 + + 1. 4−ab 4 − bc 4 − ca Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HẾT “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP HUẾ NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn thi: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 7 Bài 1: (2 điểm) x 2 + 2y = 8 Giải hệ phương trình: 2 y − 2x = 8 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x4−2( m 2 + 2) x 2 + m 4 + 3 = 0 luôn có 4 nghiệm phân biệt x1,,, x 2 x 3 x 4 với mọi giá trị của m . 2222 Tìm giá trị sao cho x1+ x 2 + x 3 + x 4 + x 1  x 2  x 3  x 4 =11. Bài 3: (3 điểm) Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M P, M Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N. 1. Chứng tỏ rằng: ERF= QRE + SRF . 2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định. 3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS. Bài 4: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên pq, sao cho đẳng thức sau đúng: p − 2 + q − 3 = pq − 2 p − q +1 Bài 5: (1 điểm) Chứng minh với mọi số thực x,, y z luôn có: xyzyzxzxyxyz+−++−++−+++ 2( xyz ++ ) Hết “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2005 – 2006 Môn thi: TOÁN (Toán Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 8 Bài 1 (3đ): 1. Giải phương trình: x+1 − 3 x = 2 x − 1 2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) thoả mãn điều kiện: y2 −5 y x + 6 x = 0 Bài 2 (2,5đ): 1. Cho phương trình: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0 (m tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm là các số nguyên. 2. Cho ba số x, y, z ; đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz. Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm: t2 + 2at + 3b = 0; at2 – 2bt + 3c = 0 Bài 3 (3đ): Cho ∆ABC 1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. Chứng minh: DM ⊥ BE. 2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh rằng: OD OE OF AD BE CF a, + + = 1 b, 1+ 1 + 1 + 64 AD BE CF OD OE OF Bài 4 (0,75đ): Cho các đa thức: P(x) = x3 + ax2 + bx + c và Q(x) = x2 + x + 2005 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô 1 nghiệm. Chứng minh: P(2005) > 64 Bài 5 (0,75đ): Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù. Hết . “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  9. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 9 Bài 1 (3đ): Giải phương trình: 1, x22+2 x − 3 + x − 3 x + 2 = 27 1 1 1 2, −= xx(− 2)(x − 1)2 20 Bài 2 (1đ): Cho ba số a, b, c R+ thoả mãn: ab > c và a3 + b3 = c3 + 1 Chứng minh rằng: a + b > c + 1 Bài 3 (2đ): Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: a=+ x y 3 3 3 b=+ x y 5 5 5 c=+ x y Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y. Bài 4 (1,5đ): Cho phương trình: (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (*) Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m. Bài 5 (2,5đ): Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng: 1, MI ⊥ PQ 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  10. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VŨNG TÀU NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 10 Bài 1: 1, Giải phương trình: 51 5xx+ = 2 + + 4 2 x 2x 2, Chứng minh không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005 Bài 2: Cho hệ phương trình: x2 + xy = a( y − 1) 2 y+ xy = a( x − 1) 1, Giải hệ khi a = - 1 2, Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 3: 1, Cho x, y, z R thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2xy + yz + zx 2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0 Bài 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ D); AN cắt BC tại M. Chứng minh: 1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM BC AB AC 2, =+ DI DK DH “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  11. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HCM NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 11 Bài 1: 2 Cho phương trình: x + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình: x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2. 22 Chứng minh: (a1− b 1)( a 2 − b 1 )( a 1 + b 1 b 2 + b 2 ) = q − p Bài 2: Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn: x=+ by cz y=+ ax cz z=+ ax by x+ y + z 0 1 1 1 Chứng minh: + + = 2 1+a 1 + b 1 + c Bài 3: 1, Tìm x, y thoả mãn: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0 2, Cho các số x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = 1 x2 y 2 z 2 Chứng minh: + + 2 1−x2 1 − y 2 1 − z 2 Bài 4: Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương trình: x3 – y3 = 1993 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  12. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 12 2 Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: P(x) = 21xx−− 3xx2 −+ 4 1 1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0 Bài 2 (2đ): x22−2(2 m + 1) x + 3 m + 6 m 1, Cho phương trình: = 0 (*) x − 2 a, Giải phương trình trên khi m = 2 3 b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 2x2 = 16 2x 1 1 2, Giải phương trình: + + = 2 1+ xx 2 2 Bài 3 (2đ): 5 1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: xy− 2 2 2, Cho phân số: A = n + 4 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004 n + 5 sao cho A là phân số chưa tối giản ? Bài 4 (3đ): Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng: 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn. 2, ∆BPR cân 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5 (1đ): Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  13. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn thi: TOÁN (Toán Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 13 ( x+2 − 4 x − 2 + x + 2 + 4 x − 2 ) Bài 1 (3đ): Cho biểu thức: A = 44 −+1 x2 x 1, Rút gọn biểu thức A. 2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên. Bài 2 (3đ): 1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0 2 2 Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất 2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = 2. a2003. b2003 Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ Bài 3 (3đ): 1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số BC AB 2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C. Tính góc ACD. Bài 4 (1đ): Chứng minh bất đẳng thức: a2+ b 2 − a 2 + c 2 b − c Với a, b, c là các số thực bất kỳ. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  14. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2001 – 2002 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 14 2 Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: P(x) = 21xx−− 3xx2 −+ 4 1 1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0 Bài 2 (2đ): x22−2(2 m + 1) x + 3 m + 6 m 1, Cho phương trình: = 0 (*) x − 2 a, Giải phương trình trên khi m = 2 3 b,Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 2x2 = 16 2x 1 1 2, Giải phương trình: + + = 2 1+ xx 2 2 Bài 3 (2đ): 5 1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: xy− 2 2 2, Cho phân số: A = n + 4 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004 n + 5 sao cho A là phân số chưa tối giản ? Bài 4 (3đ): Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng: 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn. 2, ∆BPR cân 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5 (1đ): Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  15. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. HCM NĂM HỌC 2004 – 2005 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 15 Bài 1: 2 Cho phương trình: x + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình: x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2. 22 Chứng minh rằng: (a1− b 1)( a 2 − b 1 )( a 1 + b 1 b 2 + b 2 ) = q − p Bài 2: Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn: x=+ by cz y=+ ax cz z=+ ax by x+ y + z 0 1 1 1 Chứng minh: + + = 2 1+a 1 + b 1 + c Bài 3: 1, Tìm x, y thoả mãn: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0 2, Cho các số x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = 1 x2 y 2 z 2 Chứng minh: + + 2 1−x2 1 − y 2 1 − z 2 Bài 4: Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương trình: x3 – y3 = 1993 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  16. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2005 – 2006 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 15 Bài 1 (3đ): 1, Giải phương trình: x+1 − 3 x = 2 x − 1 2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) thoả mãn điều kiện: y2 −5 y x + 6 x = 0 Bài 2 (2,5đ): 1, Cho phương trình: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0 (m tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là các số nguyên. 2, Cho ba số x, y, z. Đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz. Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm: t2 + 2at + 3b = 0 và at2 – 2bt + 3c = 0 Bài 3 (3đ): Cho ∆ABC 1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. Chứng minh: DM ⊥ BE. 2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh: OD OE OF a, + + = 1 AD BE CF AD BE CF b, 1+ 1 + 1 + 64 OD OE OF Bài 4 (0,75đ): Cho các đa thức: P(x) = x3 + ax2 + bx + c Q(x) = x2 + x + 2005 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm. Chứng minh: P(2005) > 1 64 Bài 5 (0,75đ): Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  17. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2005 – 2006 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề số 16 Bài 1 (3đ): Giải phương trình: 1, x22+2 x − 3 + x − 3 x + 2 = 27 1 1 1 2, −= xx(− 2)(x − 1)2 20 Bài 2 (1đ): Cho ba số a, b, c R+ thoả mãn: ab > c và a3 + b3 = c3 + 1 Chứng minh rằng: a + b > c + 1 Bài 3 (2đ): Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: a=+ x y 3 3 3 b=+ x y 5 5 5 c=+ x y Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y. Bài 4 (1,5đ): Cho phương trình: (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0 (*) Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m. Bài 5 (2,5đ): Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng: 1, MI ⊥ PQ 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi. “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  18. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Chu Văn An – Hà Nội NĂM HỌC 2002 – 2003 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề Đề số 17 1 1 x3 − x Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức M = + + x− 1 − x x − 1 + x x − 1 a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn M. b) Tìm giá trị của x khi cho M = 2. c) Tìm giá trị nguyên dương của x để M có giá trị nguyên. 1 Bài 2 (2 điểm): a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4x2 −+ 4x 3 b) Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: 2x+ y + 3z = 6 (x, y,z 0) 3x+ 4y − 3z = 4 Bài 3 (1 điểm): Tổng các chữ số của một số có 3 chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. Tìm các số có tính chất trên. Bài 4 (3 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ dây AC và BD lần lượt bằng R và R 2 . Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống đường thẳng CD. a) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD. b) Tính EF theo R. c) Chứng minh: SAEFB = SABC + SABD. Bài 5 (2 điểm): Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Từ một điểm D bất kỳ trên (O) kẻ DM, DN lần lượt vuông góc với đường thẳng AC và BC (M AC, N BC). a) Chứng minh các tam giác ADB, MDN đồng dạng. b) Xác định vị trí điểm D trên (O) để MN có độ dài lớn nhất “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  19. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI NĂM HỌC 2092 – 2093 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề Đề số 18 Bài 1 (2,5đ): Xét biểu thức: 1 1 a 2 + 2 P = + − 2(1+ a) 2(1− a) 1− a 3 1, Rút gọn P. 2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (2,5đ): Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB. Bài 3 (4đ): Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM. 1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được. 2, Chứng minh: AB // DE. 3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng. 4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ? Bài 4 (1đ): Giải phương trình: 2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0 “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  20. THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1998 – 1999 (120 phút) Đề số 19 Bài 1 (2,5đ): Cho biểu thức: 2xy x + 2xy y 2xy 2xy A = 1+ : + x + y x + xy y + xy 1, Rút gọn A. 2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn x + y = 6 Bài 2 (2,5đ): 1, Tìm m để phương trình sau: x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0 2 2 Có nghiệm x1, x2 sao cho: x1 + x2 = 5 2, Cho hàm số: y = x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thoả mãn: ׀x 2 ׀ 0 và x1 Bài 3 (4đ): Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC =  không đổi (  > 90o). Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1, Độ dài dây BC không đổi. 2, Điểm E cố định. 3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng. 4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định. Bài 4 (1đ): Cho các số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 ≥ 1. Chứng minh: x 3 y 3 z 3 + + 1 y z x “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
  21. THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Đề số 20 Bài 1 (2đ): Cho biểu thức: 1+ x 1 P = : x x + x + x x − x 2 1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P. 2 2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q = P + 2x cũng là số nguyên. x +1 Bài 2 (2đ): Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 (m là tham số) 1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc và m. 2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: x x 1 + 2 + 6 = 0 x2 x1 Bài 3 (2đ): Cho hàm số: y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l ) 1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C). 2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m. Bài 4 (3đ): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy. 1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn. 2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành. 3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định. Bài 5 (1đ): x 4 +1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 (x 2 +1) “Hố rác”Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.