17 Bộ đề tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT chuyên - Phần 6

Nội dung text: 17 Bộ đề tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT chuyên - Phần 6

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 17 Bộ đề Tuyển sinh Toán 9 vào 10 THPT Chuyên Phần 6 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƯƠNG Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 1 Câu 1 (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 7+ 2x − x =( 2 + x) 7 − x . b) Cho các số thực xy, thỏa mãn ( x+2018 + x22)( y + 2018 + y ) = 2018. Tính giá trị của biểu thức: Q= x2019 + y 2019 +2018( x + y) + 2020. Câu 2 (1,5 điểm) 2 Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình x−2( m − 1) x + 2 m − 6 = 0. Tìm tất cả các 22 xx giá trị m nguyên dương để A =+ 12 có giá trị nguyên. xx21 Câu 3 (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 P = + + + + . 2 1+ 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 2025 2024 + 2024 2025 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: x22+ y =3( x + y) . Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A và C khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. a) Chứng minh rằng: KO2 – KM2 = R2. b) Chứng minh rằng tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. c) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2014 - 2015 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 2 2 11−−x x x Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức P=( x −1) + x , với xx 0, 1. 1− x 1− x 1) Rút gọn P. 2 2) Tìm số chính phương x sao cho là số nguyên. P Câu II. (2,0 điểm) x y z 1) Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn các điều kiện + + =1 và a b c a b c x2 y 2 z 2 + + = 0 . Chứng minh rằng + + =1. x y z a2 b 2 c 2 2) Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 −(3 + 2 a ) x + 40 − a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó. Câu III. (1,5 điểm) x+= my3 m m 1) Cho hệ phương trình 2 với xy, là ẩn, là tham số. Tìm m để hệ mx− y = m − 2 phương trình có nghiệm duy nhất ( xy; ) thỏa mãn x2 − 2 x− y 0. 2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c+= b abc . Tìm 3 4 5 giá trị nhỏ nhất của biểu thức S.= + + b+ c − a c + a − b a + b − c Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P. 1 1 1 1) Cho biết +=, tính độ dài đoạn BC. OB22 NC 16 BP CP 2) Chứng minh rằng = . AC AB 3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy. Câu V. (1,5 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có các đỉnh A, B, C nằm trong đường tròn và có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. 2) Cho tập A= 1;2;3; ;16. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt ab, mà ab22+ là một số nguyên tố. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 3 Câu 1:(2,5 điểm) x 11 Cho biểu thức: A= + + ;x 04 , x x − 4 xx−+22 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x= 25. −1 3. Tìm giá trị của x để A = . 3 Câu 2: (2,5 điểm) Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Câu3: (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x22−2( m + 1) x + m + 2 = 0 1. Giải phương trình đã cho khi m =1. 2. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x12 , x thoả 22 mãn hệ thức: xx12+=10 Câu4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) 1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2. 3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O, R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B, C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng PM+ QN MN . Câu5: (0,5 điểm) 1 1 1 Giải phương trình: x2− + x 2 + x + =(2 x 3 + x 2 + 2 x + 1) . 4 4 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG Năm học: 2015 - 2016 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 4 Câu I. (5,0 điểm) 2 xy +1 1 2 x xy − x xy + x 1. Cho biểu thức: A = 2 − + + : − . 1+ xy 1− xy 1− xy xy +1 xy −1 a. Tìm điều kiện của x, y để biểu thức A có nghĩa, từ đó rút gọn A. 1 1 b. Cho + =12, Chứng minh rằng A 36. x y 2. Cho phương trình x4 − 2mx2 + m2 −1= 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số). 2 2 2 2 Tìm m để (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 40 . Câu II. (4,5 điểm) 1. Giải phương trình: 15 x3 −1 = 4(x2 + 2). 2 x + y = y 2 + y − x 2. Giải hệ phương trình: x(y 2 + y) = (y 4 − y 2 )2 − 2 Câu III. (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 54 x3 −1= y3. 2. Trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn (O) bán kính R, (R > 0) cho trước, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất. Câu IV. (6,0 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O;R). Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và không qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C (AB < AC). Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( O ) cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D, vuông góc với AO cắt cung nhỏ BC của đường tròn (O) tại điểm M. 1. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC luôn đi qua một điểm cố định. AC HM 3. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AO và DM. Chứng minh = ( )2. AB HB Câu V. (1,5 điểm) Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 28. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2013 - 2014 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 5 x+− 2 x 2 Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q= − x + x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) ( ) x++ 2 x 1 x1− 1. Rút gọn Q 2. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên x− 2 3 13 += x−+ 3 y 1 10 Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: 3 2y+ 4 11 − = − x−+ 3 y 1 6 bc ca ab Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : + + a + b + c. a b c Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. Bài 5: (1 đ): Rút gọn biểu thức: A= 7 + 13 − 7 − 13 − 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học: 2015 - 2016 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 6 Bài 1: ( 2 điểm ) 1)Giải phương trình : x − x −8 − 3 x +1= 0 x2 + y2 = 5 2)Giải hệ phương trình: 3 3 x + 2y =10x −10y Bài 2: (2,5 điểm) 4 1) Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = 1. CMR : (n −1) 40 2) Tìm tất cả các số nguyên tố p và x, y nguyên dương thoả mãn: p −1= 2x(x + 2) 2 p −1= 2y( y + 2) 3) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = nx2 y2 z2 Bài 3: (1,5 điểm) 3 Cho 2 số thực dương thoả mãn: (a +b)(b + c)(c + a) =1. CMR : ab + ac +bc 4 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi Q là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F là điểm đối xứng của Q qua AB, AC. 1. CMR: MH.MA = MP.MN 2. CMR : E, F, H thẳng hàng. 3. Gọi J là giao điểm của QE và AB. Gọi I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của Q AB AC trên cung nhỏ BC để + nhỏ nhất. QJ QI Bài 5: (1,0 điểm) 1 CMR tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho 0 a + b 2 + c 3 1000 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI DƯƠNG Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 7 Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: x22+ y + xy = 3 2 xy+= 3x 4 2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 4x22+ 4mx + 2m − 5m + 6 = 0 Câu II (2.5 điểm): 2+ 4 − x2 2 + x33 − 2 − x ( ) ( ) 1) Rút gọn biểu thức: A = với −2 x 2 4+− 4 x 2 2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: a3 m2 + b3 m + c = 0 Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết f (5)−= f (3) 2010 . Chứng minh rằng: f(7)− f(1) là hợp số. 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x22 − 4x + 5 − x + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK= NMP . Chứng minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. Câu V (1.0 điểm): Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 8 Câu 1: (3,0 điểm) 1 1 9 xy+ + + = x y 2 a) Giải hệ phương trình: 15 xy += xy 2 b) Giải và biện luận phương trình: | x+ 3| + p | x − 2 | = 5 (p tham số). Câu 2: (1,5 điểm) a2 b 2 c 2 Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt. Chứng minh + + 2 (b− c)2 (c − a) 2 (a − b) 2 1 2x− 2 Câu 3: (1,5 điểm) Cho A = và B = 4x2 ++ 4x 1 x2 −+ 2x 1 2A+ B Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho C = là một số nguyên. 3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh: a) KM // AB. b) QD = QC. Câu 5: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4. —Hết— “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2015 - 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 9 Bài 1: (2,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức P= 2 − 3( 6 + 2 ) 2x+= y 3 b) Giải hệ phương trình: x−= y 6 Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: mx2 − 2(m + 1)x + 1 − 3m = 0 (1) (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. b) Trong trương hợp m 0. Gọi x12 , x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ 22 nhất của biểu thức: A=+ x12 x Bài 3: (3,0 điểm) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải sắp thêm 2 người thì vừa đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi? Bài 4: (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D). với đường tròn (O). Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. b) MC= MD MA2 c) OH OM + MC  MD = MO2 Bài 5 (1,0 điểm). 3x2 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: +y22 + z + yz = 1. Tìm giá trị lớn nhất và 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + y + z “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NGÃI Năm học: 2009 - 2010 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 10 Bài 1. (1,5điểm). 1. Thực hiện phép tính : A =3 2 - 4 9.2 a + a a - a 2. Cho biểu thức P = +1 -1 với a 0; a 1. a +1 a -1 a) Chứng minh P = a -1. b) Tính giá trị của P khi a = 4+2 3 . Bài 2. (2,5 điểm). 1. Giải phương trình x2- 5x + 6 = 0 2 2. Tìm m để phương trình x - 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ 22 thức xx12+=13. 3. Cho hàm số yx= 2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : yx= - + 2 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). Bài 3. (1,5 điểm). Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 2 bể nước. 3 Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ? Bài 4. (3,5điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N. Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. a) Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh OI.OE = R2. c) Cho SO = 2R và MN = R3. Tính diện tích tam giác ESM theo R. Bài 5. (1,0 điểm). Giải phương trình 2010 -x+= x - 2008 x2 - 4018x + 4036083 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NGÃI Năm học: 2016 - 2017 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 11 Bài 1: (2,00 điểm) 1 1 1 1.Rút gọn biểu thức P =1 − . 1 − 1 − 22 3 2 2016 2 2.Cho a là nghiệm của phương trình xx2 −3 + 1 = 0 .Không tìm giá trị a ,hãy tính giá trị a2 của biểu thức Q = aa42++1 Bài 2: (2,00 điểm) 22 xx−+1 15 1 1. Giải phương trình : − +45 = xx+−22 x2 − 4 22 (x− xy)( xy − y ) = 25( 1) 2. Giải hệ phương trình 22 x− xy + xy − y =32( x − y)( ) Bài 3: (2,00 điểm) 1. Cho x 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= x +2 x − 1 + x − 2 x − 1 2. Hãy tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 81p2 + và 81p2 − là các số nguyên tố Bài 4: (3 điểm). Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Từ điểm E nằm trên tia đối của tia AB kẻ đến đường tròn (O') các tiếp tuyến EC và ED( C,D là các tiếp điểm phân biệt ). Các đường AC và AD cắt đường trong (O) lần lượt tại hai điểm P và Q(P và Q khác A) 1. Chứng minh hai tam giác BCP và BDQ đồng dạng 2. Chứng minh CA.DQ = CP.DA 3. Chứng minh ba điểm C, D và trung điểm I của đoạn thẳng PQ thẳng hàng. Bài 5: ( 1điểm ).Trong mặt phẳng cho mười điểm đôi một phân biệt sao cho bất cứ 4 điểm nào trong 10 điểm đã cho cũng có 3 điểm thẳng hàng .Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 10 điểm để 9 điểm còn lại thẳng hàng Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học: 2016 - 2017 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 12 Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 −2 mx + m + 2 = 0 ( m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm duy nhất. 2 x−+1 x 1 1 x Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức A= − . − ( x 0; x 1). x+−1 x 1 2 x 2 a) Rút gọn A. A b) Tìm tất cả các giá trị của x để 3. x (m+1) x − 2 y = − 1 Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình , với m là tham số. x+= my 5 a) Giải hệ phương trình khi m = 2. b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất ( xy; ) sao cho 5xy+ lớn nhất. Câu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn (O) có tâm là O và đường kính AB= 2R ( R là một số dương cho trước). Gọi M, N là hai điểm di động trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng MN bằng R 3. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AN và BM ; K là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. a) Chứng minh rằng bốn điểm K,M,I,N cùng nằm trên một đường tròn (C). b) Tính độ dài đoạn thẳng MN và bán kính đường tròn (C) theo R. c) Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác KAB có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x,, y z là các số thực không âm thoả mãn x2+ y 2 + z 2 + xyz = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= x + y + z. —— Hết—— “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018 Môn: TOÁN – Chuyên Toán, Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 13 3x+ 5 x − 11 x − 2 2 Bài 1: (2 điểm). P = − + ( x 0'; x 1 ) x+ x − 2 x − 1 x + 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 2: (1,5 điểm). Cho a, b là bình phương của hai số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b +1 chia hết cho 192 Bài 3: (2,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng, trong ba phương trình x2 − 2ax + b = 0 ; x2 − 2bx + c = 0 ; x2 − 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm. Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn, tiếp nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường phân giác tại A của tam giác cắt đường tròn (O) tại điểm D khác A. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường tròn qua ba điểm A, B, M cắt cạnh AC tại F. BD DM a) Chứng minh: = BC CF b) Chứng minh FH song song AD c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua O, chứng minh EF vuông góc AC. Bài 5: (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x 3, y 2, z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz1− + xzy − 2 + yzx − 3 P = xyz “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học: 201 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 14 Bài 1. (2,0 điểm). 1. Cho phương trình x22−2 mx + m − 2 m + 4 = 0(với m tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âmxx,.Tính theo m giá trị biểu thức: và tìm giá trị nhỏ 12 P=+ x12 x nhất củaP. x 2 + 2 2. Cho hàm sốy = .Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. x + 2 Bài 2. (2,0 điểm). 1. Cho các số a,, b c thỏa mãn điều kiệna+2 b + 5 c = 0. Chứng minh phương trìnhax2 + bx + c = 0 có nghiệm. 3 3 2. Giải phương trình: 4x33− x + 3 = x : ( ) 2 Bài 3. (1,0 điểm). Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất. Bài 4. (1,0 điểm). Cho các sốxy, dương thỏa mãn điều kiện(x+1 + x22)( y + 1 + y ) = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=+ x y. Bài 5. (3,5 điểm). 1. Cho tam giác ABC có AB= 4, AC = 3,BC = 5, đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờBC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kínhBH vàHC.Hai nửa đường tròn này cắtAB, AC lần lượt tại E, F. a. Tính diện tích nửa hình tròn đường kínhBH b. Chứng minh tứ giác BEFCnội tiếp và đường thẳngEF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kínhBH vàCH. 2. Cho nửa đường tròn đường kínhABR= 2.Tìm kích thước hình chữ nhậtMNPQ có hai đỉnhMN thuộc nửa đường tròn, hai đỉnhPQ, thuộc đường kínhAB sao cho diện tíchMNPQ lớn nhất. 1 1 1 Bài 6. (0,5 điểm). Choa,, b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện + + = 1. a2 b 2 c 2 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.P = + + . 5a2+ 2 ab + 2 b 2 5 b 2 + 2 bc + 2 c 2 5 c 2 + 2 ca + 2 a 2 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 15 Bài 1. (2,0 điểm) 1+−aa 1 1 1 Cho biểu thức: Q= + −1 − a2 − 2 a + 1 với 0 a 1. 2 2 11+aa − − 11−aa − + a a a) Rút gọn Q. b) So sánh Q và Q 3 Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( x+ 9 − 3)( 9 − x + 3) = 2x. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) : y= x2 ; hai đường thẳng y== m(d);y m2 (d) với 12 0 m 1. Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt C;D. Với hoành độ hai điểm A; D là số âm. Tìm m sao cho diện tích tứ giác ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD. Bài 3. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn: 7xy=+ 3.2 1. Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn ()O và đường thẳng ()d cố định; ()O và không có điểm chung. Điểm P di động trên đưởng thẳng ()d . Từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến PA; PB (AB; thuộc đường tròn). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC, điểm E là giao điểm của hai đường thẳng CP;. AH Gọi điểm F là giao điểm của hai đường thẳng CP và đường tròn (O ). 1. Chứng minh E là trung điểm của đoạn AH. 2. Vẽ dây cung CN của đường tròn ()O sao cho CN song song với AB. Gọi I là giao IF A F điểm của hai đường thẳng NF và AB. Chứng minh ==;.IA IB IB A C 3. Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố định khi P di động trên ().d Bài 5. (1,0 điểm) Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong hình tròn bán kính bẳng 1. Chứng minh luôn tồn tại hai điểm AB, trong 6 điểm đã cho thỏa mãn AB 1. Bài 6. (1,0 điểm)Cho các số thực dương x;; y z thỏa mãn xy+ yz + zx x + y + z. x2 y 2 z 2 Chứng minh rằng: + + 1. x3+8 y 3 + 8 z 3 + 8 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 16 Câu 1 (2,0 điểm). x2 y 2 x 2 y 2 a) Rút gọn biểu thức: P = − − . (x+ y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y ) 1 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 1+ + + 1 + + + + 1 + + 2018. 12 2 2 2 2 3 2 2017 2 2018 2 Câu 2 (2,0 điểm). 22 a) Giải phương trình: 2(( 1−x) x + 2 x − 1 + x) = x − 1. x−3 y − 2 + y ( x − y − 1) + x = 0 b) Giải hệ phương trình: 4y 2 3 8−x − = x − 14 y − 8. y ++11 Câu 3 (3,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC (MBMC ; ). Kẻ MH vuông góc với BC (H BC ), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. a) Chứng minh BEBCAB2 = b) Từ C kẻ CN⊥ AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. c) Cho BC= 2 R . Gọi OO12, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH . Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O12 HO lớn nhất. Câu 4 (1,5 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn 2x22+ 5 y = 41 + 2 xy . b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n 3 + 2019 chia hết cho 6. Câu 5 (1,5 điểm). a) Cho các số thực dương ab, thỏa mãn ab+=1. 2 1 Chứng minh rằng 3a+ b − a + b + 4 ab a + 3 b b + 3 a . ( ) ( ) 2 ( ) ( ) b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số 17 Câu I. (2 điểm) a+1 ab + a 2 a b + 2 ab a) Cho biểu thức: A = + + 1: với a; b 0; ab 1 ab+−11 ab 1 −ab Rút gọn biểu thức A, tìm GTLN của A khi a+= b ab. b) Tìm các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn đẳng thức x2 y 2− x 2 −6 y 2 = 2 xy . Câu II. (2 điểm) a) Giải phương trình: 3x2++−43232322493 x 3 x 2 −−= x 3 x 2 −+− x 3 x 2 −− x 3 27 8x += 18 y 3 b) Giải hệ phương trình: 46xx2 +=1 2 y y Câu III. (1 điểm) Cho hàm số yx= 2 2 và y= mx . Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt và ba đỉnh của tam giác đều. Câu IV. (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM= 3MD. Kẻ tia Bx cắt CD tại I sao cho ABM= MBI. Kẻ tia phân giác của CBI, tia này cắt CD tại N. a) So sánh MN với AM+ NC b) Tính diện tích tam giác BMN theo a. Câu V. (2 điểm) Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường cao AE; BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. a) Chứng minh OM vuông góc với EF. b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA; MB lần lượt tại C; D. Chứng minh khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. Câu VI. (1 điểm) a2+ b 2 c 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 Cho ba số thực dương a;; b c . Chứng minh + + 3 a+ b c + b a + c a + b + c “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.