14 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2016 – 2017

Nội dung text: 14 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2016 – 2017

1. 14 Bộ HSG Toán 9 Cấp Tỉnh, TP HCM - Hà Nội Năm học: 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ NỘI Năm học 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 1 Bài 1 a/ Chứng minh n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n. b/ Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) sao cho x2 + 8y và y2 + 8x là các số chính phương. Bài 2 3 6 3 a/ Giải phương trình: 2x 2x 1 x x 2x 4x x y x y 5y b/ Giải hệ phương trình: 5y x y x y x Bài 3: Với các số thực không âm x, y, z thõa mãn x2 + y2 + z2 = 2 a/ Chứng minh rằng: x + y + z 2 + xy x y z b/ Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P 2 yz 2 zx 2 xy Bài 4 Cho tam giác nhọn ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt phân giác ABC tại điểm thứ hai M. Gọi P là trực tâm tam giác BCM. a/ CMR: Tứ giác ABCP nội tiếp. b/ Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho CF = BE. Chứng minh rằng: Ba điểm A, F, O thẳng hàng. c/ Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh rằng: PN = PO Bài 5: Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n + 2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM Năm học 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 2 Câu 1. x 4 2 x 5 x 1 x 1 1 a/ Cho biểu thức P x x 2 với x 0 và x . 2x 3 x 2 4x 1 2 x 4 3 Rút gọn biểu thức P và tìm x để P . 2 b/ Cho ba số thực dương abc,, thỏa ab bc ca 3. abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a3 b 3 c 3 thức A . c a2 a b 2 b c 2 Câu 2. a/ Giải phương trình: x2 1 x 1 x 2 0. xy2 2 x 4 y 1 b/ Giải hệ phương trình: 2 3 2 x y 2 xy 4 x 3 y 2 Câu 3. a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (,)ab thỏa mãn đẳng thức: a3 b 3 3( a 2 b 2 ) 3( a b ) ( a 1)( b 1) 25. b/ Cho hai số nguyên a và b thỏa 24ab22 1 . Chứng minh rằng ch c một số hoặc chia hết cho 5. Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O) đường ính lấy điểm thuộc cung nhỏ B của đường tròn (O) ( hác , B). ọi là giao điểm của và B , đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. Câu 5. ho tam giác nhọn B ( B < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) và c trực tâm là H. ọi , , F lần lượt là các chân đường cao v từ , B, của tam giác B . a/ ọi là giao điểm của hai đường thẳng F và B , gọi là giao điểm của đường thẳng và đường tròn (O) ( hác ). hứng minh rằng: HL AK. b/ ấy điểm thuộc cung nhỏ B của đường tròn (O) ( hác B, ). ọi N và P lần lượt là hai điểm đối xứng của điểm qua hai đường thẳng B và . Chứng minh a điểm N, H, P thẳng hàng. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2016 - 1017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề 3 1 3a x Bài 1: ho phương trình: 1 4x a 2 x 1 a/ Tìm a để phương trình c nghiệm x 4 b/ Giải phương trình với giá trị a vừa tìm được ở trên. a b c b c a Bài 2. Ba số a, b, c ( 0) thoả mãn : . Chứng minh rằng có ít nhất 2 số bằng b c a a b c nhau. 33 Bài 3. Gọi (xoo , y ) là một nghiệm của phương trình : x y 1 3xy. 1 yo Tính giá trị của biểu thức: A (1 xo )(1 )(1 ) yxoo Bài 4. Cho hai đường tròn (O R) và (O’ R’) R R’ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và B (O và O’ nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng AB). V tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đường thẳng OO’, trong đ , thuộc đường tròn (O, R), D thuộc đường tròn (O’, R’). Từ C và D v lần lượt các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác BCED nội tiếp. b/ Ba điểm A, B, E thẳng hàng. c/ B < R + R’ Bài 5 . Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn xy yz zx 3xyz .Chứng minh rằng: 33x2 3 y 2 z 2 x y z Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 4 Bài 1. x y xy Cho biểu thức: P (x y)(1 y) (x y)(x 1) (x 1)(1 y) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. 2 1/ Tìm m để phương trình (x 1)( x 3)( x 5) m c nghiệm phân iệt x1,,, x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 thỏa mãn 1 x1 x 2 x 3 x 4 x22 2 xy 2/ iải hệ phương trình : 22 y 2 x y Bài 3. 1. ho p là số nguyên tố lớn hơn . hứng minh p2016 – 1 chia hết cho 0. 2. ho x, y, z là các số dương hác nhau đ i một và x3 y 3 z 3 chia hết cho 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x y z . Tìm thương của ph p chia x y z: x y z Bài 4. ho tam giác B c a g c nhọn nội tiếp đường tròn (O) và B < . ác tiếp tuyến tại B và của (O) cắt nhau tại . Qua ẻ đường thẳng song song với B, cắt B và lần lượt tại , N. 1/ hứng minh tứ giác BON nội tiếp và tam giác NB cân. 2/ Đường thẳng cắt đường tròn (O) tại , B cắt tại . hứng minh là trung điểm của . 3/ Trên đoạn thẳng B lấy điểm P sao cho P N, P cắt B tại Q. ọi là trung điểm của . hứng minh a điểm Q, , thẳng hàng. Bài 5. ho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 x , y , z 2 và x + y + z . Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: A x y z . Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Năm học: 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1 . 5 3 3 5 1/ Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 2 3 5 x22 x x x 2/ Cho A x x 11 x x a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b/ Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2. x 3 1/ Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 2/ Giải phương trình: 2x22 5 x 12 2 x 3 x 2 x 5 . Bài 3 1/ Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y ( y 6) Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của trên B, là điểm đối xứng với qua , là trung điểm của H, J là trung điểm của DH. a/ Chứng minh CIJ CBH b/ Chứng minh JH đồng dạng với HIB c/ Gọi là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d/ Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để H + H đạt giá trị lớn nhất. a b c Bài 5. Chứng minh rằng 2 với abc, , 0 . b c c a a b Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1 2m 16 m 6 m 2 3 1/ Cho biểu thức: P = 2 m 2 m 3 m 1 m 3 a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2 1 1 4 a/ Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta lu n c : x y x y 2 b/ ho phương trình: 2x 3 mx 2 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm giá 2 22 2 11 xx12 trị nhỏ nhất của biểu thức: M = xx12 xx12 Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương. hứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x yz y xz z xy2 xy yz zx Bài 4 1/ ho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đ . a/ Chứng minh MB + MC = MA b/ Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: hi di động ta lu n c đẳng thức: 2 3 S + 2S' MH + MI + MK = 3R 2/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. , B , F là các đường cao. Lấy trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP HẢI PHÒNG Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 7 Bài 1. 3 10 6 3( 3 1) 2017 a/ Cho x . Tính giá trị của P 12x2 + x – . 6 2 5 5 a 1 a a 1 a2 a a a 1 b/ ho iểu thức M với (a 0;a 1) . a a a a a a 6 Với những giá trị nào của a thì iểu thức N nhận giá trị nguyên? M Bài 2. a/ ho phương trình: x22 2mx m m 6 0 (m tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình c hai nghiệm x1 và x2 sao cho x12 x 8? xy3 2 2xy 2 xy 2 2 2xy 3x 3 0 b/ Cho hệ phương trình . 2 2017 y x y 3m Tìm các giá trị của m để hệ phương trình c hai nghiệm phân biệt x11 ;y và x22 ;y thỏa mãn điều kiện x1 y 2 x 2 y 1 3 0. Bài 3. a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, sao cho a + b2 chia hết cho a2 b 1. ) ho a số thực a, , c dương. hứng minh rằng: a3 b 3 c 3 1. a3 b c 333 b 3 c a c 3 a b Bài 4. ho a điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). V đường tròn tâm O thay đổi nhưng lu n đi qua điểm B và điểm (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm . Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q). a/ Chứng minh điểm K cố định hi đường tròn tâm O thay đổi. b/ Gọi là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Bài 5. Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH PHƯỚC Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1 x 2 x 1 3(1 x ) 1/ Cho A x 3 x 2 x 5 x 6 a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức c nghĩa và rút gọn A b/ Tìm tất cả các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 2/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q x 1 y 1 z 1 Bài 2 1/ Giải phương trình sau trên tập số thực: 2x2 + x + x2 3 + 2x = 9 22 x 3 y 1 10 xy 0 2/ Giải hệ phương trình: xy 3 ( x,y R ) 0 22 xy 3 1 20 3/ Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 1 cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm có hoành 23xx12 độ x1; x2 sao cho 22 đạt giá trị lớn nhất. x1 x 2 2( x 1 x 2 1) Bài 3 Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, AD kéo dài cắt đường tròn tâm O tại đểm ( hác ). Đường thẳng EF cắt đường tròn tâm O tại M và N ( F nằm giữa E và M ). 1/ Chứng minh là trung điểm của HK 2/ Chứng minh OA  MN 3/ Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH. Bài 4 ho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB ( IA < IB). trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, v nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến x By. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đ . Đưởng thẳng qua m và vuông góc với IM cắt Ax, By theo thứ tự tại D và E. 1/ Chứng minh rằng tích .B lu n h ng đổi khi M di chuyển trên cung AB 2/ Tìm vị trí của để hình thang ADEB có diện tích nhỏ nhất Bài 5 1 1 1 1 1/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x y66 xy 2/ Tìm tất cả số nguyên n sao cho 2n3 + n2 +7n + 1 chia hết cho 2n – 1. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP BẮC GIANG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, (không khể thời gian giao đề) Đề 9 Bài 1: a a b b a b a/ Cho biểu thức M= với a, b>0 và a b ab a b b a Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1 54 b/ Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 18 2 3 a b22 a b c/ Cho a, b, c thỏa mãn abc 7 ; abc 23 ; abc 3 1 1 1 Tính giá trị biểu thức H= ab c 6 bc a 6 ca b 6 Bài 2: 4 3 4 3 a/ Tính giá trị của biểu thức N= 27 10 2 4 13 2 b/ Cho a, b là số hữu t thỏa mãn a22 b 2 a b +(1 ab )2 4 ab Chứng minh 1 ab là số hữu t c/ giải phương trình x2 x 2 x 1 1 x 4 Bài 3 a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y 2 xy 2 1 1 1 1 3 b/ Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh ab a 2 bc b 2 ca c 2 2 Bài 4: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn v tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M v tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C v CH AB, CE . Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P. a/ Chứng minh MNCO là hình thang cân b/ MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB c/ Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF Bài 5: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A = 427 4 2016 4n là số chính phương Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH ĐĂK LĂK Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 10 Bài 1 1(a 1)a 1 1 (a 1)a 1 1 1/ Cho a ,a 2 . Rút gọn biểu thức : A a a 2 a 1 a 2 a 1 x2 3x y 3 y 1 2/ Giải hệ pt sau : 16 3 y 5 x Bài 2 2 1 Tìm m để phương trình x + (2m + 1)x + 3m – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn 22 x12 x 5. 2 2/ Cho số thực thõa mãn điều kiện đa thức P(x) x bx 2017 có giá trị nhỏ nhất là một số thực dương. hứng minh cả hai phương 4x2 12 10.x b 0 và 4x2 12 10.x b 0 đều có hai nghiệm phân biệt. Bài 3 1/ Tìm các số nguyên x, y thõa mãn phươn trình 1 2x2 y 2 4 2 n 4n 1 n M(n) 2/ Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt M(n) 2 2 . Chứng minh rằng số 28 luôn chia hết cho 31. Bài 4 ho đường tròn (O) có tâm O. Dây AB cố định không phải đường kính. Gọi là trung điểm của đoạn AB. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E sao cho CIA;EIB là các góc nhọn. CI cắt đường tròn (O) tại D khác C. EI cắt đường tròn (O) tại điểm F khác E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại M ; các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F cắt nhau tại N. Nối OM cắt CD tại P và ON cắt EF tại Q. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác PQNM nội tiếp đường tròn. 2/ MN // AB Bài 5 AC 1 5 Cho tam giác ABC cân tại C, có góc ở đ nh bằng 360. Chứng minh rằng : AB 2 Bài 6 : Cho hai số thực a, thay đổi sao cho 1 a 2;1 b 2 . Tìm GTLN của biểu thức : 4 2 4 2 A a b22 b a a22 b b a Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. Đề 11 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. Đề 12 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. Đề 13 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. Đề 14 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. ĐÁP ÁN – Bộ HSG TOÁN 9 Năm 2016 - 2017 Đề 2 - Đáp án: Quảng Nam 2016 - 2017 Bài 1 3 1/ Rút gọn biểu thức P và tìm x để P . 2 * Cách 1 x 4 2 x 5 x 1 2 x2 4 x x x 2 P (2x 1)( x 2) (2 x 1)(2 x 1) 2 x x 2 25 x x 1 (2 x 1)( x x 2) 2x 1(2 x 1)(2 x 1) 2 x 2x 1 (2 x 1)( x x 2) (2x 1)(2 x 1) 2 x xx 2 2 x + Với x 0 , ta c : x x 2 x x 1 1 3.3 x x .1.1 x x 2 3 x x x 23 x 3 Suy ra P hay P ( dấu ằng xảy ra hi x 1). 22xx 2 o đ , để thì . * Cách 2: 3xx 2 3 + Với , ta c : P x x 3 x 2 0 (*) 222 x Đặt t x,0 t . hi đ (*) trở thành: tt3 3 2 0 (tt 1)2 ( 2) 0 Vì tt 2 0,( 1)2 0 nên (t 1)2 ( t 2) 0 t 1 0 t 1 hay x 1. a3 b 3 c 3 b/ Tìm giá trị n n ất của biểu thức A . c a2 a b 2 b c 2 1 1 1 Cách 1: ab bc ca 33 abc abc a33() a ac ac ac a c a2 c a 2 c a 2 ac11 c c a2 2 a c c ca 2 24 ac3 1 Suy ra a . ca 2 4 ba3 1 cb3 1 Tương tự : b , c . ab 2 4 bc 2 4 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. 33 Suy ra A () a b c 44 1 1 1 ng BĐT Si chứng minh được: abc 9 abc a b c 3 9 a b c 3 3 Suy ra A , dấu ằng xảy ra hi abc 1. 2 3 Vậy min A khi . 2 1 1 1 Cách 2 :Ta có: ab bc ca 33 abc abc 1 1 1 x, y , z 0 Đặt x ,, y z , hi đ : . a b c x y z 3 x y z Biểu thức A được viết lại: A y()()() x y2 z y z 2 x z x 2 x( x y22 ) y 1 y Ta c : ; y()() x y2 y x y 2 y x y 2 y 1 x 11 mà x y2 2 y x nên ; xy 2 2 x y() x y2 y 2 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 mà .2 1. 1 nên 2 1 2 x 44xx y( x y ) y 4 x ( ng a khi xy 1) y 1 1 1 z 1 1 1 Tương tự : 2 1 , 2 1 z( y z ) z 4 y x( z x ) x 4 z 3 1 1 1 3 Suy ra A . 44 x y z 1 1 1 ng BĐT Si chứng minh được: x y z 9 . x y z 1 1 1 1 1 1 3 9 3 (vì z y z 3). x y z x y z 3 o đ A , dấu ằng xảy ra hi x y z 1 hay abc 1. 2 3 Vậy min A khi . 2 Bài 2 a/ Giải p ương trìn x2 1 x 1 x 2 0 Cách 1: Điều iện: 11 x . hi đ ta c : 2 1 x 1 x (2 x22 ) 2 1 xx2 2 (2 2 ) 2 (1) Đặt t 1 x2 , t 0. Phương trình (1) trở thành: Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. 2tt 2 (22 1) t42 2 t 2 t 1 0 2 (t 1) ( t 1)( t 1) 2 t 0 (2) Vì t 0 nên (t 1)( t2 1) 2 t 0. o đ phương trình (2) c nghiệm duy nhất là t 1. + Với tx 10 (thỏa). Vậy phương trình đã cho c một nghiệm duy nhất là x 0 . Cách 2: + Điều iện: 11 x . x22 1 x 1 x 2 0 1 x 1 x 2 x (*) 2 2 2 2 t 2 2 + Đặt t 1 x 1 x , t 0 . Suy ra t 2 2 1 x 1 2 x 2 hi đ phương trình (*) trở thành: t4 4 t 2 480 t (2)( t t 3 2 t 2 4)0 (*) + vì tx22 2 2 1 2 và t 0 nên t 2 . o đ tt32 2 4 2 2 4 4 0. Suy ra phương trình (*) c nghiệm duy nhất là t 2. + Với tx 20 (thỏa). Vậy phương trình đã cho c một nghiệm duy nhất là . Cách 3: + Điều iện: . Đặt 1 x a , 1 x b ( a , b 0) . Suy ra: ab22 2 (1) + Hơn nữa: 1 x2 ab 2 x 2 a 2 b 2 1. + Phương trình đã cho trở thành: a b a22 b 1 (2) a22 b 21 ab Từ (1) và (2) ta cố hệ: 22 a b a b 1 ab 2 a 1 x 0 b 1 xy2 2 x 4 y 1 b/ Giải hệ p ương trìn 2 3 2 x y 2 xy 4 x 3 y 2 Cách 1: xy2 (2 x 1) 4 y (*) 22 (x y 2 xy 1) y 2(2 x 1) 2 y ( không nh t thi t i n đ i đ a ph i a pt thứ hai ề 2y , thể 3y ) 2x 1 0 1 - X t y 0 thay vào hệ (*) ta được: x 2(2x 1) 0 2 1 x Suy ra 2 là một nghiệm của hệ. y 0 - X t y 0 , hệ phương trình (*) tương đương với hệ: Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. 2xx 1 2 1 xy 4 ( xy 1) 5 yy ( ) 2 2 2xx 1 2 2 1 x y 2 xy 1 2 2 ( xy 1) 2 2 yy 21x ab 5 Đặt a xy 1, b hi đ hệ phương trình ( ) trở thành: ( ) 2 2 ab 22 a 2 a 4 + iải hệ ( ) tìm được: , . b 3 b 9 21x 3 xy 12 x 1 x 3 x 1 2 * Với ta c 21x hoặc 3 21x y 1 2 y y y 3 3 21x xy 14 x 5 a 4 9 * Với ta c 21x (v nghiệm) b 9 9 21x y y 9 1 x x 1 Vậy hệ phương trình đã cho c a nghiệm: 2 , , . y 1 y 0 Cách 2: xy22 2 x 4 y 1 xy (2 x 1) 4 y 2 3 2 2 3 2 xyxyxy 2 4 3 2 xyxy 2 (4 x 2) 3 y 2xy2 (4 x 2) 8 y x2 y 3 xy 2 50 y 2 3 2 x y 2 xy (4 x 2) 3 y y 0 xy 1 xy 5 1 + Với y 0 . Suy ra được (xy ; ) ( ;0) . 2 32 + Với xy 1. Suy ra được (xy ; ) (1;1) hoặc (;)(;)xy . 23 + Với xy 5. Trường hợp này h ng tồn tại cặp (;)xy. Vậy hệ phương trình đã cho c a nghiệm: , , . Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. Bài 3 a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (,)ab th a mãn đẳng thức: a3 b 3 3( a 2 b 2 ) 3( a b ) ( a 1)( b 1) 25. (a3 3 a 2 3 a 1) ( b 3 3 b 2 3 b 1) ( a 1)( b 1) 25 (a 1)33 ( b 1) ( a 1)( b 1) 25 (*) Đặt x a 1, y b 1( x , y Z ; x , y 2) . hi đ (*) trở thành: xy3 3 xy 25 ( xyxxyy )( 2 2 ) xy 25 ( ) + Từ ( ) suy ra x y x y 1, mà x22 xy y 0 nên: x2 xy y 2 xy 25 x 2 y 2 25 x 4 (1). + Hơn nữa: xy và xy,2 nên xy 6 . Suy ra x3 y 3 xy 25 31 x 3 31 x 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x 4 . Do và y 2 nên y 2;3. x 4 a 3 + Thử lại, ch c thỏa ( ). Suy ra là cặp số cần tìm. y 3 b 2 b/ Chứng minh rằng c một ố a oặ b chia hết cho 5. 24a2 1 b 2 25 a 2 1 a 2 b 2 a 2 b 2 5. k 1 (1) n Z n 5 l r l Z , r 0;1;2;3;4 2 2 2 n 5 l1 r 1 l 1 Z , r 1 0;1;4 (2) ak2 51 ak2 5 Từ (1) và (2) suy ra: 1 hoặc 1 2 2 bk 5 2 bk 512 Suy ra ch một số a hoặc chia hết cho 5. Bài 5 ứng min AK. A Cách 1: + X t hai tam giác KBF và KEC c : E K chung, KBF KEC (vì c ng với FBC ) L Suy ra và đồng dạng. O F KB KF H Suy ra: KB KC KF KE (1) KE KC K B D C + Tương tự: KBL và KAC đồng dạng. KB KL Suy ra: KB KC KL KA (2) KA KC KF KL Từ (1) và (2) suy ra: KF KE KL KA hơn nữa FKL AKE . KA KE Suy ra KFL và KAE đồng dạng. Suy ra KFL KAE . o đ điểm A, L, F, E c ng nằm trên đường tròn. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. à A, E, F nằm trên đường tròn đường ính AH nên L c ng nằm trên đường tròn đường ính AH. Vậy HL vu ng g c với AK. Cách 2: + Hạ HL’ vu ng g c AK tại L’. Ta đi chứng minh L’ thuộc đường tròn (O). + điểm A, L’, F, H, E c ng nằm trên đường tròn đường ính AH. + hứng minh được KFL' và KAE đồng dạng. KL'. KA KF . KE . Tương tự chứng minh được: KF KE KB KC Suy ra KL'. KA KB . KC . hứng minh được AL’BC nội tiếp. Suy ra L’ tr ng L. Vậy HL vu ng g c với AK. A b/ Chứng min điểm t ẳng hàng. ANB AMB + Ta c : ANB ACB E P AMB ACB O F + Tứ giác DHEC nội tiếp nên H ACB AHB 1800 . N B D C Suy ra ANB AHB 1800 . M o đ tứ giác AHBN nội tiếp trong đường tròn. Suy ra NHB NAB. à NAB MAB nên NHB MAB + Tương tự ta c ng chứng minh được: CHP MAC . + Suy ra NHB BHC CHP MAB BHC MAC () MAB MAC BHC BAC BHC BAC FHE 1800 Suy ra N, H và P thẳng hàng. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
21. Đề 5 - Đáp án: Quãng Ngãi 2016 - 2017 Bài 1 5 3 3 5 1/ Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 2 3 5 2( 5 3) 2(3 5) A = = 2 6 2 5 2 6 2 5 2(53) 2(3 5) 2(53) 2(3 5) A = 2 ( 5 1)22 2 ( 5 1) 5 3 3 5 A = 22 x22 x x x 2/ Cho biểu thức A x x 11 x x Tìm đkxđ và rút gọn biểu thức A Đ XĐ: x0 33 x22 x x x x x 1 x x 1 A xx1xx1xx1 xx1 xx1x x1 xx1x x1 x x 1 x x 1 xx1 xx1xxxx 2x b/ Tìm GTNN của biểu thức B 2 B = A + x – 1= 2xx1x2x1 x1 2 2 Dấu “ ” xảy ra x 1 0 x 1 ( T Đ XĐ) Vậy GTNN của biểu thức B = - 2 khi x = 1 Bài 2 x 3 1/ Giải p ương trìn : x 2 x 1 x 2 x 1 2 Đ XĐ : x1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 3 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2 22x 3 xx 1 1 1 1 2 x 3 xx 1 1 1 1 (*) 2 Nếu x2 phương trình (*) xx 33 x1 1 x 1 1 2 x 1 4 x 1 x 3 22 16(x 1) x2 6 x 9 x 2 10 x 25 0 ( x 5) 2 0 x 5 (TM) Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
22. xx 33 Nếu 1 x 2 phương trình (*) x 1 1 1 x 1 2 4 x 3 x 1 ( 22 TM) Vậy phương trình c nghiệm x=1 và x=5 2/ Giải p ương trìn : 2x22 5 x 12 2 x 3 x 2 x 5. Đặt u 2 x22 5 x 12, v 2 x 3 x 2 (uv 0, 0) u22 x 2 5 x 12, v 2 2 x 2 3 x 2 u 2 v 2 2 x 10 2( x 5) Từ (1) 2(u v)( u22 v ) ( u v )( u v 2) 0 (2) Vì uv 0, 0, từ (2) suy ra: uv 20 . Vì vậy 2x22 5 x 12 2 x 3 x 2 2 (3) Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2 2x2 3 x 2 x 3 x 30 xx 33 2 22 2 2x 3 x 2 x 3 7x 6 x 1 0 (7 x 7) (6 x 6) 0 x 3 (xx 1)(7 1) 0 x 3 1 1 x 1, x tm xx 1, 7 7 1 Vậy phương trình c hai nghiệm x = -1, x= 7 Bài 3 1/ Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập p ương ủa một số nguyên. Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. Suy ra: 2016k = a3 - 3 Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7. Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3. Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7 Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 201 . ĐP 2/ Tìm nghiệm nguyên củ p ương trìn x2 25 y ( y 6) Từ x2 25 y ( y 6) Ta có : (y + 3 + x)(y + 3 - x) = - 16 Để ý trong phương trình ch chứa ẩn số x với số m ằng 2 , do đ ta c thể hạn chế giải với x là số tự nhiên. hi đ : y + 3 + x y + 3 - x . Ta có ( y + 3 + x) + (y + 3 - x) = 2(y + 3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y + 3 + x ) và (y + 3 - x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y + 3 + x ) và (y + 3 - x) là 2 số chẵn. Ta ch có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây: - 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đ thừa số đầu bằng giá trị (y + 3 + x). Khi y + 3 + x = 8 , y + 3 - x = -2 ta có x = 5 , y = 0. Khi y + 3 + x = 4 , y + 3 - x = - 4 ta có x = 4 , y = -3. Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
23. Vì thế pt đã cho c các nghiệm: ( x,y) 5,0; 5, 6; 4, 3.  Bài 4 D ứng min rằng: CIJ CBH + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB C nên AC BC . J Suy ra BC CD (1) + Lập luận để ch ra IJ // CD (2) I E + Từ (1) và (2) suy ra IJ BC + Suy ra CIJ CBH (c ng phụ với HCB ) (3) A O B H b/ Chứng minh rằng: J đồng dạng với HIB CH Trong vuông CBH ta có: tanCBH (4) BH + Lập luận chứng minh được CJ // AB + Mà CH  AB (gt) + Suy ra CJ  CH CJ CJ +) Trong tam giác vuông CIJ ta có tanCIJ CI HI (5) CI HI CH CJ + Từ (3), (4), (5) HB HI CH CJ + Xét CJH và HIB có HCJ BHI 900 và (cmt) HB HI + Nên CJH đồng dạng với HIB c/ Chứng minh HE.HD = HC2 + Lập luận để chứng minh được HEI 900 + Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ HE HI + Suy ra HC HJ + Suy ra HE.HJ = HI.HC 11 + Mà HJ HD; HI HC 22 2 + Suy ra HE.HD = HC d Xá địn vị trí ủ điểm trên nử đường tròn (O) để A + đạt giá trị lớn C n ất. M + ấy điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho BOM 450 + Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại 450 cắt B tại N. Ta c và N cố định. N A H O K B + ẻ  B tại + hứng minh được MON vu ng cân tại M và KM = KN Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
24. Suy ra ANC 450 Xét C M Ta có C M nên H K o đ H + H + + N N ( h ng đổi) + Xét C khác M. Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM o đ ANC ANM 450 + HNC có NHC 900 nên HNC HCN 900 Mà HNC 450 nên HCN 450 Suy ra HNC HCN Suy ra HC < HN + o đ H + H < H + HN N + Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho BOC 450 thì H + H đạt giá trị lớn nhất Bài 5 a b c Chứng minh rằng 2. b c c a a b aa2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c 2 a b c b c a b c Chứng minh tương tự ta được b22 b c c ; c a a b c a b a b c a b c 2 abc Suy ra 2 b c c a a b a b c a b c Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0(Trái với giả thiết) c a b Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.