14 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2016 – 2017

Nội dung text: 14 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Năm học 2016 – 2017

1. 14 Bộ HSG Toán 9 Cấp Tỉnh, TP HCM - Hà Nội Năm học: 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ N ỘI Năm học 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 1 Bài 1 a/ Chứng minh n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n. b/ Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) sao cho x2 + 8y và y2 + 8x là các số chính phương. Bài 2 3 6 3 a/ Giải phương trình: 2x- + - 2x = 1 + x x 2x ïì 4x ï =x + y - x - y ï 5y b/ Giải hệ phương trình: íï ï 5y ï =x + y + x - y îï x Bài 3: Với các số thực không âm x, y, z thõa mãn x2 + y2 + z2 = 2 a/ Chứng minh rằng: x + y + z £ 2 + xy x y z b/ Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = + + 2+ yz 2 + zx 2 + xy Bài 4 Cho tam giác nhọn ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt phân giác ABC· tại điểm thứ hai M. Gọi P là trực tâm tam giác BCM. a/ CMR: Tứ giác ABCP nội tiếp. b/ Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho CF = BE. Chứng minh rằng: Ba điểm A, F, O thẳng hàng. c/ Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh rằng: PN = PO Bài 5: Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n + 2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM Năm học 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 2 Câu 1. x−4 2 x − 5 x − 1 x 1 1 a/ Cho biểu thức P= − x x +2 + + với x 0 và x . 2x+− 3 x 2 4x − 1 2 x 4 3 Rút gọn biểu thức P và tìm x để P . 2 b/ Cho ba số thực dương abc,, thỏa ab+ bc + ca = 3. abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a3 b 3 c 3 thức A = + + . c+ a2 a + b 2 b + c 2 Câu 2. a/ Giải phương trình: x2 +1 + x + 1 − x − 2 = 0 . xy2 +2 x − 4 y = − 1 b/ Giải hệ phương trình: 2 3 2 x y+2 xy − 4 x + 3 y = 2 Câu 3. a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (,)ab thỏa mãn đẳng thức: a3− b 3 +3( a 2 − b 2 ) + 3( a − b ) = ( a + 1)( b + 1) + 25. b/ Cho hai số nguyên a và b thỏa 24ab22+= 1 . Chứng minh rằng chỉ có một số hoặc chia hết cho 5. Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AK; lấy điểm I thuộc cung nhỏ AB của đường tròn (O) (I khác A, B). Gọi M là giao điểm của IK và BC, đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. Câu 5. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H. Gọi D, E, F lần lượt là các chân đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. a/ Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, gọi L là giao điểm của đường thẳng AK và đường tròn (O) (L khác A). Chứng minh rằng: HL ^ AK. b/ Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B, C). Gọi N và P lần lượt là hai điểm đối xứng của điểm M qua hai đường thẳng AB và AC. Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ TĨNH Năm học: 2016 - 1017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề 3 1+ 3a x Bài 1: Cho phương trình: =1 4x a++ 2 x 1 a/ Tìm a để phương trình có nghiệm x = 4 b/ Giải phương trình với giá trị a vừa tìm được ở trên. a b c b c a Bài 2. Ba số a, b, c ( 0) thoả mãn : + + = + + . Chứng minh rằng có ít nhất 2 số bằng b c a a b c nhau. 33 Bài 3. Gọi (xoo , y ) là một nghiệm của phương trình : x+ y + 1 = 3xy . 1 yo Tính giá trị của biểu thức: A= (1 + xo )(1 + )(1 + ) yxoo Bài 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) R R’ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B (O và O’ nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng AB). Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đường thẳng OO’, trong đó C, thuộc đường tròn (O, R), D thuộc đường tròn (O’, R’). Từ C và D vẽ lần lượt các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác BCED nội tiếp. b/ Ba điểm A, B, E thẳng hàng. c/ BE < R + R’ Bài 5 . Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn xy+ yz + zx 3xyz .Chứng minh rằng: 33x2+3 y 2 + z 2 x + y + z Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 4 Bài 1. x y xy Cho biểu thức: P = - - (x+ y)(1 - y) (x + y)(x + 1) (x + 1)(1 - y) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. 2 1/ Tìm m để phương trình (x− 1)( x + 3)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1,,, x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 thỏa mãn + + + = −1 x1 x 2 x 3 x 4 x22=+2 xy 2/ Giải hệ phương trình : 22 y=+2 x y Bài 3. 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60. 2. Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x3++ y 3 z 3 chia hết cho 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x y z . Tìm thương của phép chia x++ y z: x y z Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC và AC lần lượt tại M, N. 1/ Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân. 2/ Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K là trung điểm của DM. 3/ Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là trung điểm của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng. Bài 5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 x , y , z 2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x + y + z . Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Năm học: 2016 -2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 5 Bài 1 . 5+− 3 3 5 1/ Rút gọn biểu thức: A = + 2+ 3 + 5 2 − 3 − 5 x22−+ x x x 2/ Cho A =− x+ x +11 x − x + a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b/ Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2. x + 3 1/ Giải phương trình : x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 2/ Giải phương trình: 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 . Bài 3 1/ Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −25 = y ( y + 6) Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a/ Chứng minh CIJ· = CBH· b/ Chứng minh D CJH đồng dạng với HIB c/ Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d/ Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất. a b c Bài 5. Chứng minh rằng + + 2 với abc, , 0 . b+ c c + a a + b Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2016 -2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Đề 6 Bài 1 2m+ 16 m + 6 m − 2 3 1/ Cho biểu thức: P = + + − 2 m+2 m − 3 m − 1 m + 3 a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2 1 1 4 a/ Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: + x y x+ y 2 b/ Cho phương trình: 2x+ 3 mx − 2 = 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm giá 2 22 2 11++xx12 trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (xx12−) + − xx12 Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2+ 2 + 2 + + x+ yz y + xz z + xy2 xy yz zx Bài 4 1/ Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a/ Chứng minh MB + MC = MA b/ Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức: 2 3( S + 2S') MH + MI + MK = 3R 2/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP HẢI PHÒNG Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 7 Bài 1. 3 10+− 6 3 ( 3 1) 2017 a/ Cho x = . Tính giá trị của P= ( 12x2 + 4x – 55) . 6+− 2 5 5 a+ 1 a a − 1 a2 − a a + a − 1 b/ Cho biểu thức M = + + với (a 0;a 1) . a a−− a a a a 6 Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài 2. a/ Cho phương trình: x22− 2mx + m − m − 6 = 0 (m tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x 2 sao cho x12+= x 8? x3 y 2− 2x 2 y − x 2 y 2 + 2xy + 3x − 3 = 0 b/ Cho hệ phương trình . 2 2017 y+ x = y + 3m Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (x11 ;y ) và (x22 ; y ) thỏa mãn điều kiện (x1+ y 2)( x 2 + y 1 ) + 3 = 0 . Bài 3. a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b2 chia hết cho a2 b− 1. b) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 + + 1. a3+( b + c)333 b 3 +( c + a) c 3 +( a + b) Bài 4. Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q). a/ Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. b/ Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Bài 5. Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH PHƯỚC Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 8 Bài 1 x+2 x + 1 3(1 − x ) 1/ Cho A = − + x−3 x − 2 x − 5 x + 6 a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa và rút gọn A b/ Tìm tất cả các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 2/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q = + + x+ 1 y + 1 z + 1 Bài 2 1/ Giải phương trình sau trên tập số thực: 2x2 + x + x2 + 3 + 2x = 9 ( x22+3)( y + 1) + 10 xy = 0 2/ Giải hệ phương trình: xy 3 ( x,y R ) + + = 0 22 xy++3 1 20 3/ Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 1 cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm có hoành 23xx12+ độ x1; x2 sao cho 22 đạt giá trị lớn nhất. x1+ x 2 +2( x 1 x 2 + 1) Bài 3 Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, AD kéo dài cắt đường tròn tâm O tại đểm K ( K khác A). Đường thẳng EF cắt đường tròn tâm O tại M và N ( F nằm giữa E và M ). 1/ Chứng minh D là trung điểm của HK 2/ Chứng minh OA ⊥ MN 3/ Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH. Bài 4 Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB ( IA < IB). trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax; By. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó. Đưởng thẳng qua m và vuông góc với IM cắt Ax, By theo thứ tự tại D và E. 1/ Chứng minh rằng tích AD.BE luôn không đổi khi M di chuyển trên cung AB 2/ Tìm vị trí củaM để hình thang ADEB có diện tích nhỏ nhất Bài 5 1 1 1 1 1/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình + + = x y66 xy 2/ Tìm tất cả số nguyên n sao cho 2n3 + n2 +7n + 1 chia hết cho 2n – 1. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP BẮC GIANG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, (không khể thời gian giao đề) Đề 9 Bài 1: a a− b b a b a/ Cho biểu thức M= −− với a, b>0 và a b ab− a+− b b a Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết (1−a)( 1 − b) + 2 ab = 1 54 b/ Tìm các số nguyên a, b thoả mãn − +18 2 = 3 a+− b22 a b c/ Cho a, b, c thỏa mãn abc+ + = 7 ; abc+ + = 23 ; abc = 3 1 1 1 Tính giá trị biểu thức H= ++ ab+ c −6 bc + a − 6 ca + b − 6 Bài 2: 4+ 3 + 4 − 3 a/ Tính giá trị của biểu thức N= +−27 10 2 4+ 13 2 b/ Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn (a22+ b −2)( a + b) +(1−ab )2 = − 4 ab Chứng minh 1+ ab là số hữu tỉ c/ giải phương trình x2 − x =2 x − 1( 1 − x) + 4 Bài 3 a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5+ y 2 = xy 2 +1 1 1 1 3 b/ Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh + + ab+ a +2 bc + b + 2 ca + c + 2 2 Bài 4: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH ^ AB, CE ^ AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P. a/ Chứng minh MNCO là hình thang cân b/ MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB c/ Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF Bài 5: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A = 427++ 4 2016 4n là số chính phương Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH ĐĂK LĂK Năm học: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 10 Bài 1 1(aéù- 1)a - 1 + 1 (a - 1)a - 1 - 1 1/ Cho aÎ>¡ ,a 2 . Rút gọn biểu thức : A =+êú a êú ëûêúa+ 2 a - 1 a - 2 a - 1 ì 2 ï x- 3x y + 3 y = 1 ï 2/ Giải hệ pt sau : í 16 ï -=3 y 5 îï x Bài 2 2 1/ Tìm m để phương trình x + (2m + 1)x + 3m – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn 22 x12+= x 5. 2 2/ Cho số thực b thõa mãn điều kiện đa thức P(x) = x + bx + 2017 có giá trị nhỏ nhất là một số thực dương. Chứng minh cả hai phương 4x2 - 12 10.x + b = 0 và 4x2 - 12 10.x - b = 0 đều có hai nghiệm phân biệt. Bài 3 1/ Tìm các số nguyên x, y thõa mãn phươn trình 1+= 2x2 y 2 4 2 n 4n+- 1 n M(n) 2/ Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt M(n) =+ 2 2 . Chứng minh rằng số 28- luôn chia hết cho 31. Bài 4 Cho đường tròn (O) có tâm O. Dây AB cố định không phải đường kính. Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E sao cho CIA;EIB· · là các góc nhọn. CI cắt đường tròn (O) tại D khác C. EI cắt đường tròn (O) tại điểm F khác E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại M ; các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F cắt nhau tại N. Nối OM cắt CD tại P và ON cắt EF tại Q. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác PQNM nội tiếp đường tròn. 2/ MN // AB Bài 5 AC 1+ 5 Cho tam giác ABC cân tại C, có góc ở đỉnh bằng 360. Chứng minh rằng : = AB 2 Bài 6 : Cho hai số thực a, b thay đổi sao cho 1£ a £ 2;1 £ b £ 2 . Tìm GTLN của biểu thức : æ öæ ö çç224 2÷÷ 4 2 A=çç a + b +22 +÷÷ b + a + + èçça b÷÷ øè b a ø Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. Đề 11 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. Đề 12 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. Đề 13 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. Đề 14 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
15. ĐÁP ÁN – Bộ HSG TOÁN 9 Năm 2016 - 2017 Đề 2 - Đáp án: Quảng Nam 2016 - 2017 Bài 1 3 1/ Rút gọn biểu thức P và tìm x để P . 2 * Cách 1 x−4 2 x − 5 x − 1 2 x2 + 4 x + x x + 2 P =− (2x− 1)( x + 2) (2 x − 1)(2 x + 1) 2 x x−2 25 x − x − 1 (2 x + 1)( x x + 2) =− 2x− 1(2 x − 1)(2 x + 1) 2 x 2x− 1 (2 x + 1)( x x + 2) = (2x−+ 1)(2 x 1) 2 x xx+ 2 = 2 x + Với x 0, ta có: x x+2 = x x + 1 + 1 3.3 x x .1.1 x x + 2 3 x x x+ 23 x 3 Suy ra P = hay P ( dấu bằng xảy ra khi x =1). 22xx 2 Do đó, để thì . * Cách 2: 3xx+ 2 3 + Với , ta có: P x x −3 x + 2 0 (*) 222 x Đặt t= x,0 t . Khi đó (*) trở thành: tt3 −3 + 2 0 (tt − 1)2 ( + 2) 0 Vì tt+2 0,( − 1)2 0 nên (t− 1)2 ( t + 2) 0 t − 1 = 0 t = 1 hay x =1. a3 b 3 c 3 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + + . c+ a2 a + b 2 b + c 2 1 1 1 Cách 1: ab+ bc + ca =33 abc + + = abc a33() a+− ac ac ac = =a − c+ a2 c + a 2 c + a 2 ac11 c + c+ a2 2 a c c ca+ 2 24 ac3 +1 Suy ra −a . ca+ 2 4 ba3 +1 cb3 +1 Tương tự : −b , −c . ab+ 2 4 bc+ 2 4 Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
16. 33 Suy ra A () a + b + c − 44 1 1 1 Dùng BĐT Cô Si chứng minh được: (abc+ +) + + 9 abc (a + b + c)3 9 a + b + c 3 3 Suy ra A , dấu bằng xảy ra khi abc= = =1. 2 3 Vậy min A = khi . 2 1 1 1 Cách 2 :Ta có: ab+ bc + ca =33 abc + + = abc 1 1 1 x, y , z 0 Đặt x=,, y = z = , khi đó: . a b c x+ y + z = 3 x y z Biểu thức A được viết lại: A = + + y()()() x+ y2 z y + z 2 x z + x 2 x( x+− y22 ) y 1 y Ta có : = = − ; y()() x+ y2 y x + y 2 y x + y 2 y 1 x 11 mà x+ y2 2 y x nên − ; xy+ 2 2 x y() x+ y2 y 2 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 mà =.2 1. 1 + nên 2 − 1 + 2 x 44xx y( x+ y ) y 4 x (dấu bằng xảy ra khi xy==1) y 1 1 1 z 1 1 1 Tương tự : 2 − 1 + , 2 − 1 + z( y+ z ) z 4 y x( z+ x ) x 4 z 3 1 1 1 3 Suy ra A = + + − . 44 x y z 1 1 1 Dùng BĐT Cô Si chứng minh được: ( x+ y + z) + + 9 . x y z 1 1 1 1 1 1 3 + + 9 + + 3 (vì z+ y + z = 3). x y z x y z 3 Do đó A , dấu bằng xảy ra khi x= y = z =1 hay abc= = =1. 2 3 Vậy min A = khi . 2 Bài 2 a/ Giải phương trình x2 +1 + x + 1 − x − 2 = 0 Cách 1: Điều kiện: −11 x . Khi đó ta có: 2 ( 1 +x + 1 − x) = (2 − x22 ) 2 1 −xx2 + 2 = (2 − 2 ) 2 (1) Đặt t=1 − x2 , t 0. Phương trình (1) trở thành: Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
17. 2tt+ 2 = (22 + 1) t42 +2 t − 2 t − 1 = 0 2 (t − 1) ( t + 1)( t + 1) + 2 t = 0 (2) Vì t 0 nên (t+ 1)( t2 + 1) + 2 t 0. Do đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất là t =1. + Với tx=10 = (thỏa). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 0. Cách 2: + Điều kiện: −11 x . x22+++−−= 1 x 1 x 2 0 1 ++−=− x 1 x 2 x (*) 2 2 2 2 t − 2 2 + Đặt t=1 + x + 1 − x , t 0 . Suy ra t=2 + 2 1 − x + 1 = 2 − x 2 Khi đó phương trình (*) trở thành: t4−4 t 2 − 480 t + = (2)( t − t 3 + 2 t 2 − 4)0 = (*) + vì tx22=2 + 2 1 − 2 và t 0 nên t 2 . Do đó tt32+2 − 4 2 2 + 4 − 4 0. Suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất là t = 2. + Với tx=20 = (thỏa). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là . Cách 3: + Điều kiện: . Đặt 1+x = a , 1 − x = b ( a , b 0) . Suy ra: ab22+=2 (1) + Hơn nữa: 1−x2 = ab 2 − x 2 = a 2 b 2 + 1. + Phương trình đã cho trở thành: a+ b = a22 b +1 (2) a22+ b =21 ab = Từ (1) và (2) ta cố hệ: 22 a+ b = a b +1 ab+=2 a = 1 x = 0 b = 1 xy2 +2 x − 4 y = − 1 b/ Giải hệ phương trình 2 3 2 x y+2 xy − 4 x + 3 y = 2 Cách 1: xy2 +(2 x + 1) = 4 y (*) 22 (x y+ 2 xy + 1) y − 2(2 x + 1) = − 2 y (lưu ý: không nhất thiết biến đối đưa vế phải của pt thứ hai về −2y , có thể −3y ) 2x += 1 0 1 - Xét y = 0 thay vào hệ (*) ta được: x = − −2(2x + 1) = 0 2 1 x =− Suy ra 2 là một nghiệm của hệ. y = 0 - Xét y 0 , hệ phương trình (*) tương đương với hệ: Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
18. 2xx++ 1 2 1 xy+ =4 ( xy + 1) + = 5 yy ( ) 2 2 2xx++ 1 2 2 1 x y+2 xy + 1 − 2 = − 2 ( xy + 1) − 2 = − 2 yy 21x + ab+=5 Đặt a= xy +1, b = ; khi đó hệ phương trình ( ) trở thành: ( ) 2 2 ab−22 = − a = 2 a =−4 + Giải hệ ( ) tìm được: , . b = 3 b = 9 21x + 3 xy +=12 x =1 x =− 3 x =1 2 * Với ta có 21x + hoặc = 3 21x + y =1 2 y y = y =− 3 3 21x + xy +14 = − x =−5 a =−4 9 * Với ta có 21x + (vô nghiệm) b = 9 = 9 21x + y y = 9 1 x =− x =1 Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm: 2 , , . y =1 y = 0 Cách 2: xy22+2 x − 4 y = − 1 xy + (2 x + 1) = 4 y 2 3 2 2 3 2 xyxyxy+2 − 4 + 3 = 2 xyxy + 2 − (4 x + 2) = − 3 y 2xy2 + (4 x + 2) = 8 y x2 y 3 + xy 2 −50 y = 2 3 2 x y+2 xy − (4 x + 2) = − 3 y y = 0 = xy 1 xy =−5 1 + Với y = 0 . Suy ra được (xy ; )=− ( ;0) . 2 32 + Với xy =1. Suy ra được (xy ; )= (1;1) hoặc (;)(;)xy = − − . 23 + Với xy =−5 . Trường hợp này không tồn tại cặp (;)xy. Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm: , , . Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
19. Bài 3 a/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (,)ab thỏa mãn đẳng thức: a3− b 3 +3( a 2 − b 2 ) + 3( a − b ) = ( a + 1)( b + 1) + 25. +(a3 3 a 2 ++−+++=+ 3 a 1) ( b 3 3 b 2 3 b 1) ( a 1)( b ++ 1) 25 (a + 1)33 − ( b + 1) = ( a + 1)( b + 1) + 25 (*) Đặt x= a +1, y = b + 1( x , y Z ; x , y 2) . Khi đó (*) trở thành: xy3− 3 = xy +25 ( xyxxyy − )( 2 + + 2 ) = xy + 25 ( ) + Từ ( ) suy ra x y x − y 1, mà x22+ xy + y 0 nên: x2+ xy + y 2 xy +25 x 2 + y 2 25 x 4 (1). + Hơn nữa: xy và xy,2 nên xy 6 . Suy ra x3− y 3 = xy +25 31 x 3 31 x 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x = 4. Do và y 2 nên y 2;3 . x = 4 a = 3 + Thử lại, chỉ có thỏa ( ). Suy ra là cặp số cần tìm. y = 3 b = 2 b/ Chứng minh rằng chỉ có một số a hoặc b chia hết cho 5. 24a2+ 1 = b 2 25 a 2 + 1 = a 2 + b 2 a 2 + b 2 = 5. k + 1 (1) n Z n =5 l + r( l Z , r 0;1;2;3;4) 2 2 2 n =5 l1 + r 1( l 1 Z , r 1 0;1;4) (2) ak2 =+51 ak2 = 5 Từ (1) và (2) suy ra: 1 hoặc 1 2 2 bk= 5 2 bk=+512 Suy ra chỉ một số a hoặc b chia hết cho 5. Bài 5 A a/ Chứng minh HL ^ AK. Cách 1: + Xét hai tam giác KBF và KEC có: E K chung, KBF= KEC (vì cùng bù với FBC ) L Suy ra và đồng dạng. O F KB KF H Suy ra: = KB KC = KF KE (1) KE KC K B D C + Tương tự: KBL và KAC đồng dạng. KB KL Suy ra: = KB KC = KL KA (2) KA KC KF KL Từ (1) và (2) suy ra: KF KE= KL KA = ; hơn nữa FKL= AKE . KA KE Suy ra KFL và KAE đồng dạng. Suy ra KFL= KAE . Do đó 4 điểm A, L, F, E cùng nằm trên đường tròn. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
20. Mà A, E, F nằm trên đường tròn đường kính AH nên L cũng nằm trên đường tròn đường kính AH. Vậy HL vuông góc với AK. Cách 2: + Hạ HL’ vuông góc AK tại L’. Ta đi chứng minh L’ thuộc đường tròn (O). + 5 điểm A, L’, F, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH. + Chứng minh được KFL' và KAE đồng dạng. =KL'. KA KF . KE . Tương tự chứng minh được: KF KE= KB KC Suy ra KL'. KA= KB . KC . Chứng minh được AL’BC nội tiếp. Suy ra L’ trùng L. Vậy HL vuông góc với AK. A b/ Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. ANB= AMB + Ta có: =ANB ACB E P AMB= ACB O F + Tứ giác DHEC nội tiếp nên H ACB+= AHB 1800 . N B D C Suy ra ANB+= AHB 1800 . M Do đó tứ giác AHBN nội tiếp trong đường tròn. Suy ra NHB= NAB . Mà NAB= MAB nên NHB= MAB + Tương tự ta cũng chứng minh được: CHP= MAC . + Suy ra NHB+ BHC + CHP = MAB + BHC + MAC =() MAB + MAC + BHC =BAC + BHC = BAC + FHE =1800 Suy ra N, H và P thẳng hàng. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
21. Đề 5 - Đáp án: Quãng Ngãi 2016 - 2017 Bài 1 5+− 3 3 5 1/ Rút gọn biểu thức: A = + 2+ 3 + 5 2 − 3 − 5 2( 5+− 3) 2(3 5) A = = + 2+ 6 + 2 5 2 − 6 − 2 5 2(53)+ 2(3 − 5) 2(53) + 2(3 − 5) A = + = + 2+ ( 5 + 1)22 2 − ( 5 − 1) 5+− 3 3 5 A = 22 x22−+ x x x 2/ Cho biểu thức A =− x+ x +11 x − x + a/ Tìm đkxđ và rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x0 33 x22−+ x x x x( x−+ 1) x( x 1) A = − = − xx1xx1xx1+ + − + + + xx1 − + xx1x( −)( + x1 +) xx1x( +)( − x1 + ) =− x+ x + 1 x − x + 1 =xx1( −) − xx1xxxx( +) = − − − = − 2x b/ Tìm GTNN của biểu thức B 2 B = A + x – 1= −2xx1x2x1 +−=− −=( x1 −− −) 2 2 Dấu “=” xảy ra x − 1 = 0 x = 1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN của biểu thức B = - 2 khi x = 1 Bài 2 x + 3 1/ Giải phương trình : x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 ĐKXĐ : x1 x + 3 x+2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 x + 3 x −+1 2 x −++ 1 1 x −− 1 2 x −+= 1 1 2 22x + 3 xx −1 + 1 + − 1 − 1 = ( ) ( ) 2 x + 3 xx −1 + 1 + − 1 − 1 = (*) 2 Nếu x2 phương trình (*) xx++33 −++−−=x1 1 x 1 1 2 x −= 1 4 x −=+ 1 x 3 22 16(x −=++ − 1) x2 6 x 9 x 2 10 x += −= = 25 0 ( x 5) 2 0 x 5 (TM) Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
22. xx++33 Nếu 1 x 2 phương trình (*) x −++−1 1 1 x −= 1 = 2 =+ = 4 x 3 x 1 ( 22 TM) Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5 2/ Giải phương trình: 2x22+ 5 x + 12 + 2 x + 3 x + 2 = x + 5 . Đặt u=2 x22 + 5 x + 12, v = 2 x + 3 x + 2 (uv 0, 0) =++u22 x 2 5 x 12, v 2 =++ −=+=+ 2 x 2 3 x 2 u 2 v 2 2 x 10 2( x 5) Từ (1) 2(u+= v)( u22 −v ) ( u + v )( u − v − 2) = 0 (2) Vì uv 0, 0, từ (2) suy ra: uv− −20 = . Vì vậy 2x22+ 5 x + 12 = 2 x + 3 x + 2 + 2 (3) Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2 2x2 + 3 x + 2 = x + 3 x + 30 xx −33 − 2 22 2 2x+ 3 x + 2 = x + 3 7x+ 6 x − 1 = 0 (7 x − 7) + (6 x + 6) = 0 x −3 (xx+ 1)(7 − 1) = 0 x −3 1 1 x = −1, x = ( tm) xx= −1, = 7 7 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 7 Bài 3 1/ Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. Suy ra: 2016k = a3 - 3 Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7. Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; − 1;2; − 2;3; − 3. Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7 Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k. ĐPCM 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −25 = y ( y + 6) Từ x2 −25 = y ( y + 6) Ta có : (y + 3 + x)(y + 3 - x) = - 16 Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên. Khi đó: y + 3 + x y + 3 - x . Ta có ( y + 3 + x) + (y + 3 - x) = 2(y + 3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y + 3 + x ) và (y + 3 - x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y + 3 + x ) và (y + 3 - x) là 2 số chẵn. Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây: - 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y + 3 + x). Khi y + 3 + x = 8 , y + 3 - x = -2 ta có x = 5 , y = 0. Khi y + 3 + x = 4 , y + 3 - x = - 4 ta có x = 4 , y = -3. Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
23. Vì thế pt đã cho có các nghiệm: ( x,y) ( 5,0;) ( 5, − 6;) ( 4, − 3.)  Bài 4 D a/ Chứng minh rằng: CIJ· = CBH· + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB C nên AC⊥ BC . J Suy ra BC⊥ CD (1) + Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2) I E + Từ (1) và (2) suy ra IJ^ BC + Suy ra CIJ· = CBH· (cùng phụ với HCB ) (3) A H O B b/ Chứng minh rằng: D CJH đồng dạng với HIB CH Trong vuông CBH ta có: tanCBH· = (4) BH + Lập luận chứng minh được CJ // AB + Mà CH ⊥ AB (gt) + Suy ra CJ ⊥ CH CJ CJ +) Trong tam giác vuông CIJ ta có tanCIJ· = =( CI = HI) (5) CI HI CH CJ + Từ (3), (4), (5) = HB HI CH CJ + Xét CJH và HIB có HCJ== BHI 900 và = (cmt) HB HI + Nên CJH đồng dạng với HIB c/ Chứng minh HE.HD = HC2 + Lập luận để chứng minh được HEI = 900 + Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ HE HI + Suy ra = HC HJ + Suy ra HE.HJ = HI.HC 11 + Mà HJ== HD; HI HC 22 + Suy ra HE.HD = HC2 d/ Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn C nhất. M + Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho BOM· = 450 + Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M 450 cắt AB tại N. Ta có M và N cố định. N A H O K B + Kẻ MK ⊥ AB tại K + Chứng minh được DMON vuông cân tại M và KM = KN Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
24. Suy ra ANC = 450 Xét C º M Ta có C º M nên H K Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) + Xét C khác M. Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM Do đó ·ANC 450 Suy ra HNC· < HCN· Suy ra HC < HN + Do đó AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho BOC· = 450 thì AH + CH đạt giá trị lớn nhất Bài 5 a b c Chứng minh rằng + + 2 . b+ c c + a a + b aa2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a+ b + c 2 a( b + c) b+ c a + b + c Chứng minh tương tự ta được b22 b c c ; c+ a a + b + c a + b a + b + c a b c 2(abc++) Suy ra + + = 2 b+ c c + a a + b a + b + c a=+ b c Dấu bằng xảy ra b = c + a a = b = c = 0 (Trái với giả thiết) c=+ a b Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm. Khúc eo Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.