Tuyển tập bài tập phương trình - hệ phương trình - Tuyển sinh Lớp 10 - Năm 2017-2018 - Lê Minh Cường

29 trang dichphong 4490

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập bài tập phương trình - hệ phương trình - Tuyển sinh Lớp 10 - Năm 2017-2018 - Lê Minh Cường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_bai_tap_phuong_trinh_he_phuong_trinh_tuyen_sinh_lo.pdf

Nội dung text: Tuyển tập bài tập phương trình - hệ phương trình - Tuyển sinh Lớp 10 - Năm 2017-2018 - Lê Minh Cường

Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 1 by Mr. Cuong T A o M by Mr. Cuong T A o M The ART of MATHEMATICS TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TUYỂN SINH LỚP 10, năm 2017-2018 Biên soạn: Lê Minh Cường và Phạm Quốc Sang §Phương trình vô tỷ √ Bài 1. Giải phương trình 2(x2 − 3x + 2) = 3 x3 + 8. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Vĩnh Long, 2017. Lời giải. Điều kiện: x √≥ −2. Ta có: 2(x2 − 3x + 2) = 3 x3 + 8 p ⇔ 2(x2 − 3x + 2) = 3 (x + 2)(x2 − 2x + 4) p ⇔ −2(x + 2) + 2(x2 − 2x + 4) − 3 (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 0 . (1) Vì x2 − 2x + 4 > 0 nên chia hai vế phương trình trình (1) cho x2 − 2x + 4 ta được r x + 2 x + 2 −2 − 3 + 2 = 0 x2 − 2x + 4 x2 − 2x + 4 r " x + 2 t = −2 1 Đặt t = ≥ 0 ta có −2t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ 1 do t ≥ 0 ⇒ t = x2 − 2x + 4 t = 2 r 2 1 x + 2 1 Với t = ⇔ = ⇔ x2 − 2x + 4 = 4(x + 2) 2 x2 − 2x + 4 2 √ x = 3 + 13 (n) . ⇔ x2 − 6x − 4 = 0 ⇔ √ x = 3 − 13 (n) . √ Bài 2. Giải phương trình x2 − x3 + x = 6x − 1. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Tiền Giang, 2017. √ √ Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ 3 + 2 2 hoặc 0 ≤ x ≤ 3 − 2 2. p q x2 − x3 + x = 6x − 1 ⇔ x2 + 1 − x(x2 + 1) − 6x = 0 √ √ Đặt a = x, b = x2 + 1 (a ≥ 0, b ≥ 1). Khi đó phương trình trở thành: " b = 3a (TM) b2 − ab − 6a2 = 0 ⇔ (b − 3a)(b + 2a) = 0 ⇔ . b = −2a (Loại) ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 2 √ √ √ ± 9 77 by Mr. Cuong Với b = 3a ⇔ x2 + 1 = 3 x ⇔ x2 − 9x + 1 = 0 ⇔ x = (nhận). ( √ ) 2 T A o M 9 ± 77 Kết luận: tập nghiệm của phương trình là . 2 √ Bài 3. Giải phương trình 5x − x2 + 2x2 − 10x + 6 = 0. Trích từ đề thi vào 10, SoGiaoDucHaNoi-ChuyenTin, 2017. Lời giải. Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 5. Phương trình đã cho tương đương: q q q x(5 − x) + 2x(x − 5) + 6 = 0 ⇔ x(5 − x − 2x(5 − x) + 6 = 0 ⇔ 2x(5 − x) − x(5 − x) − 6 = 0 p Đặt t = x(5 − x) ≥ 0. Khi đó ta có phương trình:  t = 2 2 2t − t − 6 = 0 ⇔ (t − 2)(2t + 3) = 0 ⇔  3 t = − (loại) 2 " p x = 1 (thỏa) Khi t = 2 ⇔ x(5 − x) = 2 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ . x = 4 (thỏa) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1; 4} 1 3 Bài 4. Giải phương trình: x4 + 3x2 − − − 2 = 0. x4 x2 Trích từ đề thi vào 10 chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum 2017. 1 6= 2 + = ≥ Lời giải. ĐKXĐ: x 0. Đặt x 2 t ( ĐK: t 2). x " t = −1 (loại) Phương trình trở thành t2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 (nhận)  " √ q √ 1 x2 = 2 + 3 x = ± 2 + 3 2 4 2  Với t = 4 có x + = 4 ⇔ x − 4x + 1 = 0 ⇔ √ ⇔ q (TM). x2 x2 = −  √ 2 3 x = ± 2 − 3 √ Bài 5. Giải phương trình (x − 1)(x + 2) + 2 x2 + x + 1 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi, 2017. 12 3 Lời giải. Do x2 + x + 1 = x + + > 0. Ta có: 2 4 p p (x − 1)(x + 2) + 2 x2 + x + 1 = 0 ⇔ x2 + x + 1 + 2 x2 + x + 1 − 3 = 0. (1) " √ t = 1 Đặt t = x2 + x + 1, t > 0. Thay vào (1), ta được: t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = −3 Ta chỉ nhận t = 1 hay x2 + x + 1 = 1. Giải phương trình này ta được các nghiệm x = −1, x = 0. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 và x = −1. √ Bài 6. Giải phương trình x3 − x2 − x x − 1 − 2 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 3 √ ≥ 2( − ) − − − = Lời giải.√ ĐK: x 1. Biến đổi về phương trình x x 1 x x 1 2 0. by Mr. Cuong 2 2 Đặt t = x x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x (x − 1). Phương trình đã cho trở thành: T A o M t = −1 t2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 Kết hợp với điều√ kiện, ta được t = 2. Với t = 2 ⇒ x x − 1 = 2 ⇔ x3 − x2 = 4 ⇔ (x − 2)(x2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 2 √ 3√ Bài 7. Giải phương trình: x2 − 3x + 1 = − x4 + x2 + 1. 3 Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2017. Lời giải. Ta có: √ − 3p −1 q x2 − 3x + 1 = x4 + x2 + 1 ⇔ (x2 − x + 1) − 2x = √ (x2 − x + 1)(x2 + x + 1) 3 3 Đặt a = x2 − x + 1, b = x2 + x + 1. Khi đó phương trình trở thành: −1 √ ab 2a − b = √ ab ⇒ (2a − b)2 = ⇔ 12a2 − 13ab + 3b2 = 0 3 3 4a = 3b ⇔ (4a − 3b)(3a − b) = 0 ⇒ 3a = b Do đó ta có:  √ 7 + 3 5 =  x x2 − 7x + 1 = 0  2 √ ⇒  7 − 3 5 x2 − 2x + 1 = 0  x =  2 x = 1 √ √ √ Bài 8. Giải phương trình x + 4 − x − 1 x2 + 3x − 4 + 1 = 5. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017. Lời giải.√ Điều kiện x ≥ 1√. Đặt u = x + 4 > 0 và v = x − 1 ≥ 0. Khi đó phương trình trở thành ( (u − v)(uv + 1) = 5 (1) . u2 − v2 = 5 (2) Thay (2) vào (1) với chú ý u > v ta được uv + 1 = u + v hay√ u = 1 hoặc v = 1. Tuy nhiên từ (2), ta thấy u2 > 5 > 1 nên v = 1. Thay vào (2) ta được u = 6. Do đó ta có ( √ √ x + 4 = 6 √ ⇔ x = 2. x − 1 = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2}. √ Bài 9. Giải phương trình 3x x2 + x + 1 = 3x2 + x + 1. Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 4 √ ⇔ 2 + + = 2 + ( 2 + + ) Phương trình đã cho 3x x x 1 2x x x 1 by Mr. Cuong Lời giải. x 2 x ⇔ 2 √ − 3√ + 1 =T0.A o M x2 + x + 1 x2 + x + 1  t = 1 x Đặt t = √ , phương trình trở thành 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔  1 . x2 + x + 1 t = √ 2 Với t = 1, ta có x = x2 + x + 1 (Vô nghiệm). ( √ 1 √ x ≥ 0 1 + 13 Với t = , ta có 2x = x2 + x + 1 ⇔ ⇔ x = . 2 4x2 = x2 + x + 1 6 √ √ Bài 10. Giải phương trình 2 3 − x + 2 + x = 5. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017. √ Lời giải. Đặt t = 2 + x, ta được phương trình theo t: t2 − 2t + 1 = 0 ⇒ t = 1. Đối chiếu điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn, do đó t = 1 ⇔ x = −1. p Bài 11. Giải phương trình (x + 1)4 + 3 = x2 + 2x + 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu Vòng 1, 2017. Lời giải. Dễ thấy x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi số thực x. Bình phương hai vế của phương trình, ta có: h i2 (x + 1)4 + 3 = (x + 1)2 + 1 ⇔ (x + 1)4 + 3 = (x + 1)4 + 2(x + 1)2 + 1 " x = 0 ⇔ 2(x + 1)2 = 2 ⇔ (x + 1)2 = 1 ⇔ . x = −2 Vậy x = 0; x = −2 là nghiệm của phương trình. Bài 12. Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24. Trích từ đề thi vào Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017. Lời giải. Phương trình tương đương với (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24. Đặt t = x2 + 5x + 4, ta có phương trình t(t + 2) = 24 ⇔ t2 + 2t − 24 = 0. Giải phương trình này ta được các nghiệm t = −6, t = 4. Với t = 4 ta được x = 0, x = −5. Với t = −6 ta thấy phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là x = 0, x = −5. √ √ √ √ Bài 13. Giải phương trình: 2(x + 1) x + 1 = x + 1 + 1 − x 2 − 1 − x2 . Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội, vòng 1, 2017. ( √ u = x + 1 Lời giải. ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1. Đặt √ . Ta có hệ: v = 1 − x ( ( u2 + v2 = 2 u2 + v2 = 2 ⇔ 2u3 = (u + v)(2 − uv) 2u3 = (u + v)(u2 + v2 − uv) ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 5 √ √ ⇒ 3 = 3 + 3 ⇔ = + = − ⇔ = Suy ra 2u u v u v, thay vào được x 1 1 x x 0(thỏa mãn). by Mr. Cuong √ Bài 14. Giải phương trình 4x2 + 5 + 3x + 1 = 13x. T A o M Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, Vòng 1, 2017. √ Lời giải. Đặt 2t + 3 = 3x + 1. Ta có hệ ( ( 4t2 + 12t + 9 = 3x + 1 4t2 + 12t − 3x + 8 = 0(1) ⇔ . 4x2 + 5 + 2t + 3 = 13x 4x2 − 13x + 2t + 8 = 0(2) Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được 4t2 − 4x2 + 10x + 10t = 0 ⇔ (t + x)(4t − 4x + 10) = 0  t = −x ⇔  5 . t = x − 2 TH1. t = −x suy ra √ − 2x + 3 = 3x + 1 3 ⇔ 4x2 − 15x + 8 = 0(x ≤ ) √ 2  15 + 97 x = (loại)  8 ⇔  √ .  15 − 97 x = 8 5 TH2. t = x − suy ra 2 √ 2x − 2 = 3x + 1 ⇔ 4x2 − 11x + 3 = 0(x ≥ 1) √  11 + 73 x =  8 ⇔  √  11 − 73 x = (loại) 8 ( √ √ ) 15 − 97 11 + 73 Vậy x ∈ ; . 8 8 √ Bài 15. Giải phương trình 6x − x2 + 2x2 − 12x + 15 = 0. Trích từ đề thi vào chuyên 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2017. 2 Lời√ giải. ĐKXĐ: 6x − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 6. Đặt 6x − x2 = t. Ta có 6x − x2 = 9 − (x − 3)2 ≤ 9 nên 0 ≤ t ≤ 3.  t = 3 (tmđk) Phương trình đã cho có dạng −2t2 + t + 15 = 0 ⇔  3 t = − (loại). √ 2 Với t = 3, ta có 6x − x2 = 3 ⇔ 6x − x2 = 9 ⇔ x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3 (tmđk). Vậy phương trình có nghiệm x = 3. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 6 √ √ Bài 16. Giải phương trình: 3x + 7 x − 4 = 14 x + 4 − 20. by Mr. Cuong Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, NghệT A An, 2017.o M √ √ Lời giải. Xét phương trình 3x + 7 x − 4 = 14 x + 4 − 20. Với điều kiện xác định x ≥ 4, phương trình tương đương với: √ √ 3x + 20 − 7(2 x + 4 − x − 4) = 0 √ √ (2 x + 4)2 − ( x − 4)2 ⇔3x + 20 − 7. √ √ = 0 2 x + 4 + x − 4 7 ⇔(3x + 20)(1 − √ √ ) = 0 + + − √ √ 2 x 4 x 4 ⇔2 x + 4 + x − 4 = 7 (vì điều kện x ≥ 4 nên 3x + 20 > 0) √ √ ⇔2( x + 4 − 3) + ( x − 4 − 1) = 0 2 1 ⇔(x − 5) √ + √ = 0 x + 4 + 3 x − 4 + 1 ⇔x = 5 (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5. √ √ Bài 17. Giải phương trình x2 + 3x + 7 − 3 x + 3 − 7x + 18 = 0 Lời giải. √ √ 2 x + 3x + 7 − 3 x + 3 − √7x + 18 = 0 √ ⇔ x2 + x − 2 + (x + 5) − 3 x + 3 + (x + 4) − 7x + 18 = 0 x2 + x − 2 x2 + x − 2 ⇔ x2 + x − 2 + √ + √ = 0 (x + 5) + 3 x + 3 (x + 4) + 7x + 18 1 1 ⇔ x2 + x − 2 1 + √ + √ = 0 (x + 5) + 3 x + 3 (x + 4) + 7x + 18 x = 1 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 r 1 − 2x 3x + x2 Bài 18. Giải phương trình = . x x2 + 1 Trích từ đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2017. 1 − 2x 1 Lời giải. Điều kiện ≥ 0 ⇔ x ∈ 0; . x 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 7 by Mr. Cuong r r 1 − 2x 3x + x2 1 − 2x 3x + x2 T A o M = ⇔ − 1 = − 1 x x2 + 1 x x2 + 1 1 − 2x − 1 3x − 1 1 − 3x 3x − 1 ⇔ x = ⇔ = r 2 r ! 2 1 − 2x x + 1 1 − 2x x + 1 + 1 x + 1 x x      1 1  ⇔ ( − x) + = 1 3  r ! 2  0  1 − 2x 1 + x   x + 1  x 1 1 1 1 ⇔ x = + > ∀x ∈ . Vì r ! 2 0, 0; 3 1 − 2x 1 + x 2 x + 1 x √ √ √ √ Bài 19. Giải phương trình: x 2x + 3 + 3( x + 5 + 1) = 3x + 2x2 + 13x + 15 + 2x + 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017.  2x + 3 ≥ 0 (  2x + 3 ≥ 0 3 Lời giải. Điều kiện: x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≥ − .  x + 5 ≥ 0 2  2x2 + 13x + 15 ≥ 0 Phương trình đã cho tương đương với √ √ q 2x + 3 (x − 1) + 3 x + 5 + 3 − 3x − (2x + 3)(x + 5) = 0 √ √ √ ⇔ 2x + 3 (x − 1) − 3 (x − 1) + x + 5 3 − 2x + 3 = 0 √ √ √ ⇔ (x − 1) 2x + 3 − 3 − 2x + 3 − 3 x + 5 = 0 √ √ ⇔ 2x + 3 − 3 x + 5 − x + 1 = 0 " √ 2x + 3 = 3 ⇔ √ . x + 5 = x − 1 √ Với 2x + 3 = 3 ta có x = 3. ( ( √ x − 1 ≥ 0 x ≥ 1 Với x + 5 = x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 4. x + 5 = (x − 1)2 x2 − 3x − 4 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3, x = 4. √ √ √ Bài 20. Giải phương trình x + 5 − x + 1 x2 + 6x + 5 + 1 = 4. Trích từ đề Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017. √ √ Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ −1. Nhân hai vế với x + 5 + x + 1 > 0 ta được: p √ √ √ √ x2 + 6x + 5 + 1 = x + 5 + x + 1 ⇔ x + 5 − 1 x + 1 − 1 = 0 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 8 ⇔ = = − Từ đó x 0 hoặc x 4 (loại). by Mr. Cuong √ 2 Bài 21. Giải phương trình 4x2 = (3x − 2) 2x + 1 − 1 . T A o M Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hà Tĩnh, 2017. 1 Lời giải. Điều kiện x ≥ − . Khi đó ta có 2 √ 2 4x2 = (3x − 2) 2x + 1 − 1 √ 2 √ 2 √ 2 ⇔ 2x + 1 − 1 2x + 1 + 1 = (3x − 2) 2x + 1 − 1 √ 2 √ 2 ⇔ 2x + 1 − 1 2x + 1 + 1 − 3x + 2 = 0 " √ 2x + 1 = 1 ⇔ √ 2 2x + 1 = x − 4 √ Giải từng phương trình và kết hợp điều kiện ta được nghiệm là x = 0; x = 8 + 2 13. √ √ √ Bài 22. Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1. Trích từ đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bình Phước, 2017. Lời giải. Điều kiện 1 ≤ x ≤ 7. Ta có: √ √ p x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1 √ √ q ⇔2( 7 − x − x − 1) + (x − 1) + (x − 1)(7 − x) = 0 √ √ √ √ √ ⇔2( 7 − x − x − 1) + x − 1( x − 1 − 7 − x) = 0 √ √ √ ⇔( 7 − x − x − 1)(2 − x − 1) = 0 " √ " x − 1 = 2 x = 5 ⇔ √ √ ⇔ (thỏa mãn điều kiện). x − 1 = 7 − x x = 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4, x = 5. √ 2 (x − 1) Bài 23. Giải phương trình: x2 + 2x − x − 1 + √ = 0. x2 + 2x " x 0 p 2 (x − 1) p x2 + 2x − x − 1 + √ = 0 ⇔ x2 + 2x − (x + 1) x2 + 2x + 2 (x − 1) = 0 x2 + 2x p p ⇔ x2 + 2x − (x − 1) x2 + 2x − 2 x2 + 2x + 2 (x − 1) = 0 p p p ⇔ x2 + 2x x2 + 2x − x + 1 − 2 x2 + 2x − x + 1 = 0 " p x2 + 2x = 2 p 2 p 2 ⇔ x + 2x − 2 x + 2x − x + 1 = 0 ⇔ p . x2 + 2x = x − 1 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 9 √ √ " = − − x 1 5 by Mr. Cuong • x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 4 = 0 ⇔ √ (TMĐK). x = −1 + 5 T A o M √ 1 • x2 + 2x = x − 1 (x ≥ 1) ⇔ x2 + 2x = x2 − 2x + 1 ⇔ x = (Loại). 4 n √ √ o Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1 − 5; −1 + 5 . √ √ √ Bài 24. Giải phương trình: 3x + 4 − 3x + 2 1 + 9x2 + 18x + 8 = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Đắk Lắk, 2017. 2 Lời giải. Điều kiện: x ≥ − . Khi đó: 3 √ √ p 3x + 4 − 3x + 2 1 + 9x2 + 18x + 8 = 2 √ √ p √ √ √ √ ⇔ 3x + 4 − 3x + 2 1 + 9x2 + 18x + 8 = 3x + 4 − 3x + 2 3x + 4 + 3x + 2 " √ √ 3x + 4 − 3x + 2 = 0 ⇔ p √ √ . 1 + 9x2 + 18x + 8 = 3x + 4 + 3x + 2 √ √ 2 • 3x + 4 − 3x + 2 = 0 ⇔ √ √ = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm. 3x + 4 + 3x + 2 √ √ √ • 1 + 9x2 + 18x + 8 = 3x + 4 + 3x + 2 q √ √ ⇔ 1 + (3x + 4)(3x + 2) − 3x + 4 − 3x + 2 = 0 " √  = − √ √ 3x + 4 = 1 x 1 (loại) ⇔ 1 − 3x + 4 1 − 3x + 2 = 0 ⇔ √ ⇔  1 . 3x + 2 = 1 x = − 3 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − . 3 √ √ Bài 25. Giải phương trình x2 + 4x + 12 = 2x − 4 + x + 1. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Thái Bình, 2017. Lời giải. ĐK: x ≥ −1. √ √ 25 − 65 Nhận thấy VP = 2x − 4 + x + 1 > 2 ⇔ x > > 2 (*). 8 Phương trình đã cho tương đương với q √ (x − 2)2 + 8(x + 1) = 2(x − 2) + x + 1 √ 2 √ √ 2 ⇔ (x − 2)2 + 8 x + 1 = 4(x − 2)2 + 4(x − 2) x + 1 + x + 1 √ √ 2 ⇔ 3(x − 2)2 + 4(x − 2) x + 1 − 7 x + 1 = 0 √ √ ⇔ x − 2 − x + 1 3(x − 2) + 7 x + 1 = 0 √ ⇔ x − 2 − x + 1 = 0 do (∗) √ ⇔ x + 1 = x − 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 10 √  − 5 13 by Mr. Cuong x = (loại)  ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  2√ T A o M  5 + 13 x = 2 √ 5 + 13 Vậy nghiệm của phương trình là x = . 2 √ √ Bài 26. Giải phương trình 2x + 1 − x − 3 = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Toán Hùng Vương Phú Thọ, 2017. Lời√ giải. Điều√ kiện: x ≥ 3, ta có: (1) 2x + 1 = x − 3 + 2 √ ⇔ 2x + 1 = x − 3 + 4 x − 3 + 4 √ ⇔ 4 x − 3 = x " x = 4 ⇔ 16(x − 3) = x2 ⇔ x2 − 16x + 48 = 0 ⇔ Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều x = 12 kiện. Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = 4; x = 12. s r 1 1 1 Bài 27. Giải phương trình 3 x2 − + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 Trích từ đề tuyển sinh lớp 10, chuyên Đồng Tháp, 2017. s r 1 1 1 Lời giải. 3 x2 − + x2 + x + = (2x3 + x2 + 2x + 1) 4 4 2 v u s  2x + 1 ≥ 0 u 2  2 1 1 1 2 r ⇔ 3tx − + x + = (x + 1)(2x + 1) ⇔ 1 1 1 4 2 2  3 x2 − + x + = (x2 + 1)(2x + 1)  4 2 2 1  1  x ≥ −  ≥ −  2  x ⇔ s ⇔ 2 2 1  1 2 1  2  3 x + = (x + 1) x +  x + (x + 1 − 3) = 0  2 2 2  1  x ≥ −   2 ⇔  1 x = − .   2  √  x = ± 2 1 √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = − ; x = 2. 2 q q Bài 28. Giải phương trình (x2 + 2x)2 + 4 (x + 1)2 − x2 + (x + 1)2 + (x2 + x)2 = 2007. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Sư phạm Hà Nội vòng 2, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 11 ∀ ∈ R Lời giải. ĐKXĐ: x by Mr. Cuong q q T A o M (x2 + 2x)2 + 4 (x + 1)2 − x2 + (x + 1)2 + (x2 + x)2 = 2007 q q ⇔ ((x + 1)2 − 1)2 + 4 (x + 1)2 − 1 + 2(x2 + x) + (x2 + x)2 = 2007 q q ⇔ (x2 + 2x + 2)2 − (x2 + x + 1)2 = 2007 ⇔ x2 + 2x + 2 − x2 − x − 1 = 2007 ⇔ x = 2006. √ Bài 29. Giải phương trình: x2 − 6x + 5 x − 2 − x + 4 = 0. Trích từ đề thi vào 10, Trường THPT Năng Khiếu V1, 2017. Lời giải. Điều kiện xác định x ≥ 2 " x = 1 (loại) x2 − 6x + 5 ⇔ x = 5 (nhận) ( √ x ≥ 4 x − 2 − x + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 6 x − 2 = x2 − 8x + 16 Kết luận, tập nghiệm của phương trình là S = {5; 6} √ √ √ Bài 30. Giải phương trình x + 1 − x − 7 = 12 − x. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2017. Lời giải. Điều kiện của phương trình là 7 ≤ x ≤ 12. Với điều kiện đó, phương trình tương đương √ √ √ x + 1 = 12 − x + x − 7 √ √ ⇔x + 1 = 12 − x + 2 12 − x x − 7 + x − 7 √ √ ⇔x − 4 = 2 12 − x x − 7 ⇔x2 − 8x + 16 = −4x2 + 76x − 336 ⇔5x2 − 84x + 352 = 0  44 x = ⇔  5 x = 8 44 Thử lại, ta được tập nghiệm của phương trình là S = ; 8 . 5 √ Bài 31. Giải phương trình (x + 1)3 = (x4 + 3x3) x + 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ −3. √ √ 3 √ Ta có (x + 1)3 = (x4 + 3x3) x + 3 ⇔ (x + 1)3 = x x + 3 ⇔ x + 1 = x x + 3. Bình phương hai vế suy ra: x2 + 2x + 1 = x2(x + 3) ⇔ x3 + 2x2 − 2x − 1 = 0 (*)  x = 1 2 √ Ta có (∗) ⇔ (x − 1)(x + 3x + 1) = 0 ⇔  −3 ± 5 . x = 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 12 √ − − 3 5 by Mr. Cuong Thử lại ta chọn được hai nghiệm x1 = 1, x2 = . 2 T A o M §Hệ phương trình  3  4x2 = y +  y Bài 32. Giải hệ phương trình .  2 3  4y = x + x Lời giải. ĐKXĐ: x, y 6= 0. ( 4x2y = y2 + 3 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương . 4y2x = x2 + 3 (2) Trừ hai phương trình cho nhau ta có: 4x2y − 4y2x = y2 − x2 ⇔ 4xy(x − y) + (x − y)(x + y) = 0 ⇔ (x − y)(x + y + 4xy) = 0 " x = y ⇔ x + y + 4xy = 0 TH1: x = y. Thay vào phương trình (1) ta có 4x3 = x2 + 3 ⇔ 4x3 − x2 − 3 = 0 ⇔ (x − 1)(4x2 + 3x + 3) = 0 32 39 Vì 4x2 + 3x + 3 = 2x + + > 0 nên ta có x = 1. 4 16 Hệ có nghiệm (x, y) = (1, 1). TH2: x + y + 4xy = 0 ⇒ 4xy = −x − y. Thay vào phương trình (1) ta có x(−x − y) = y2 + 3 ⇔ x2 + xy + y2 + 3 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1). ( x2 + y2 − xy = 1 Bài 33. Giải hệ phương trình: x + x2y = 2y3. Lời giải. Hệ đã cho tương đương với: ( x2 + y2 − xy = 1 (1) x.1 + x2y = 2y3. (2) Từ (1) và (2) suy ra: x(x2 + y2 − xy) + x2y = 2y3 ⇔ x3 − 2y3 + xy2 = 0. Với y = 0 ⇒ x = 0 : không thỏa mãn hệ. x 3 x Với y 6= 0, chia cả hai vế cho y3 ta được − 2 + = 0. y y x Đặt t = ta có: t3 + t − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t2 + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ x = y. y ( ( x = y x = y Do đó ta có: ⇔ ⇔ x = y = ±1. x2 + y2 − xy = 1 x2 = 1 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 13 ( √ √ x y + y x = 6 by Mr. Cuong Bài 34. Giải hệ phương trình: x2y + xy2 = 20 T A o M Lời giải. ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0. ( √ √ √ xy( x + y) = 6 Hệ đã cho tương đương xy(x + y) = 20. ( √ xy = u Đặt √ √ ĐK: u, v > 0. x + y = v   6  (  v = 6 ( uv = 6  u  v = v = 3 Hệ trở thành ⇔ ! ⇔ u ⇔ (TM) u2(v2 − 2u) = 20 36 u = 2  u2 − 2u = 20  u3 = 8  u2  ( √  ( x = 2 x = 4 √ (TM) ( √   xy = 2  y = 1  y = 1 Hay √ √ ⇔  ( √ ⇔  ( x + y = 3  x = 1  x = 1  √  (TM). y = 2 y = 4 x + y + 2xy = 2 Bài 35. Giải hệ phương trình x3 + y3 = 8 S = x + y Lời giải. Đặt P = x.y Điều kiện S2 ≥ 4P.  2 − S  = S + 2P = 2  P ⇔ 2 Hệ phương trình đã cho trở thành 2 − = 6 − 3S S S 3P 8  S S2 − = 8  2 ⇒ 2S3 + 3S2 − 6S − 16 = 0 ⇔ (S − 2) 2S2 + 7S + 8 = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0. Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:X2 − 2X = 0 ⇔ X = 0, X = 2. x = 0 x = 2 Kết luận: . hoặc y = 2 y = 0 ( x3 + xy2 − 10y = 0 Bài 36. Giải hệ phương trình . x2 + 6y2 = 10 Lời giải. Dễ thấy x 6= 0 và y 6= 0. Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương  x 3 x 10  + =  y y y2  x 2 10  + 6 =  y y2 x 3 x 2 x x Trừ hai phương trình theo vế ta được − + − 6 = 0 hay = 2. Thay vào phương y y y y trình thứ hai của hệ ta được y2 = 1 hay y = ±1. Từ đó x = ±2. Vậy các nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2; 1) và (−2; −1). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 14 ( x2 + 2y = xy + 4 by Mr. Cuong Bài 37. Giải hệ phương trình √ p (x, y ∈ R) . o x2 − x + 3 − x 6 − x = (y − 3) y − 3 T A M Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≤ 6; y ≥ 3. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với " x = 2 (x − 2)(x + 2 − y) = 0 ⇔ y = x + 2 p • Với x = 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1 = (y − 3)3 ⇔ y = 4. • Với y = x + 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được √ √ x2 − x + 3 = (x − 1) x − 1 + x 6 − x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương ta có √ √ (x − 1)2 + (x − 1) x2 + 6 − x (x − 1) x − 1 + x 6 − x ≤ + = x2 − x + 3 2 2 ( √ x − 1 = x − 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √ ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 (thỏa mãn điều x = 6 − x kiện). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 4) Chú ý: Có thể trình bày lời giải phương trình trên bằng cách phân tích thành tổng của các bình phương. ( xy + x + y = x2 − 2y2 Bài 38. Giải hệ phương trình p √ . x 2y − y x − 1 = 2(x − y) Trích từ đề thi vào 10 chuyên Hùng Vương, Gia Lai, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0. Ta có: xy + x + y = x2 − 2y2 ⇔ (x + y)(x − 2y − 1) = 0. (1) Do điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0 nên x + y > 0, vì vậy (1) ⇔ x = 2y + 1. Do đó p √ p y = −1 x 2y − y x − 1 = 2(x − y) ⇔ (y + 1)( 2y − 2) = 0 ⇔ y = 2. Kết hợp với điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0, ta được nghiệm của hệ phương trình là (x; y)=(5; 2). ( x2 − 2xy = 2y − x Bài 39. Giải hệ phương trình . x2 + 2x = 9 − y Lời giải. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x = −1 x2 + x − 2xy − 2y = 0 ⇔ (x + 1)(x − 2y) = 0 ⇔ x = 2y ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 15 = − = Xét x 1 thay vào phương trình còn lại ta thu được y 10. by Mr. Cuong " y = 1 ⇒T Ax = 2 o M Xét x = 2y thay vào phương trình còn lại ta thu được 4y2 + 5y − 9 = 0 ⇔ 9 9 . y = − ⇒ x = − 4 2 9 9 Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x; y) là (−1; 10), (2; 1), − ; − . 2 4  2 2 2  x + y − 4xy − 1 = 4(4 + xy) Bài 40. Giải hệ phương trình x − y .  p q  x − y + 3 2y2 − y + 1 = 2y2 − x + 3 Lời giải. ĐK: x − y > 0 ( ). Xét phương trình 2 x2 + y2 − 4xy − 1 = 4(4 + xy) x − y 8xy ⇔ x2 − 2xy + y2 + 2xy − − 16 = 0 x − y ⇔ (x − y) (x − y)2 − 16 + 2xy(x − y − 4) = 0 ⇔ (x − y − 4) x2 + y2 + 4(x − y) = 0 ⇔ x = y + 4 do (∗∗). Thay x = y + 4 vào phương trình sau ta được q 2y2 − y + 1 − 3 2y2 − y + 1 − 4 = 0  q 2y2 − y + 1 = −1 (loại)  ⇔  q 2y2 − y + 1 = 4  5 3 y = − ⇒ x = ⇔ 2y2 − y − 15 = 0 ⇔  2 2 y = 3 ⇒ x = 7 3 5 Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm ; − và (7; 3). 2 2 ( x3 + y3 + 1 = 3xy Bài 41. Giải hệ phương trình . x2 + 2xy + 2y2 = 5 Lời giải. Ta có: " h i x + y + 1 = 0 x3 + y3 + 1 = 3xy ⇔ (x + y + 1) (x − y)2 + (x − 1)2 + (y − 1)2 = 0 ⇔ x = y = 1 • Rõ ràng x = y = 1 là một nghiệm của hệ. • Với x + y + 1 = 0 ta có y = −x − 1 thay vào phương trình còn lại ta được x2 + 2x − 3 = 0. Giải ra ta được x = 1 và x = −3. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 16 ( ) ( − ) (− ) Vậy hệ có 3 nghiệm 1; 1 , 1; 2 , 3, 2 . by Mr. Cuong √ x px + 2y − 3 = 0 T A o M Bài 42. Giải hệ phương trình: x2 − 6xy − y2 = 6 x Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ 0 và y ≥ − . 2 ( √ p x = 0 x x + 2y − 3 = 0 ⇔ x + 2y = 9 • TH1. x = 0 suy ra −y2 = 6 (loại) • TH2. x + 2y = 9 ⇒ x = 9 − 2y. Thay vào ta có: (9 − 2y)2 − 6 (9 − 2y) y − y2 = 6 ⇒ 15y2 − 90y + 75 = 0 ( y = 5 ⇒ x = −1 (loại) ⇒ y = 1 ⇒ x = 7(nhận) Vậy tập nghiệm của hệ là: (x; y) = (7; 1) ( x2 + y2 − xy + 4y + 1 = 0 Bài 43. Giải hệ phương trình sau: . y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2(x2 + 1) Trích từ đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017. Lời giải. Ta có: ( x2 + y2 − xy + 4y + 1 = 0 (1) y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2(x2 + 1) ( x2 + 1 = −y2 + xy − 4y ⇔ y(7 − x2 − y2 + 2xy) = 2(−y2 + xy − 4y) ( x2 + 1 = −y2 + xy − 4y ⇔ (2) y[15 − (x − y)2 − 2(x − y)] = 0. Do y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho nên từ (2), ta có: ( x2 + 1 = −y2 + xy − 4y 15 − (x − y)2 − 2(x − y) = 0  x − y = −5  ⇔ x − y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy − 4y  ( x − y = −5  2 2  x + 1 = −y + xy − 4y ⇔   (  x − y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy − 4y. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 17 Ta có: by Mr. Cuong ( ( T A o M x − y = −5 x = y − 5 ⇔ x + 1 = −y2 + xy − 4y (y − 5)2 + 1 = −y2 + (y − 5)y − 4y ( x = y − 5 ⇔ (hệ vô nghiệm) y2 − y + 26 = 0. Ta có: ( ( x − y = 3 x = y + 3 ⇔ x2 + 1 = −y2 + xy − 4y (y + 3)2 + 1 = −y2 + (y + 3)y − 4y  ( x = 1 (  x = y + 3  y = −2 ⇔ ⇔  y2 + 7y + 10 = 0  (  x = −2 y = −5. Vậy nghiệm của hệ là (1; −2); (−2; −5).  2 1  x + = 2y + Bài 44. Giải hệ phương trình x y . √ p  x − 1 + 2 − y = 1 Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1, y ≤ 2, y 6= 0. Phương trình đầu tương đương với ( x − 2y = 0 x2y + 2y = 2y2 + x ⇔ (x − 2y)(xy − 1) = 0 ⇔ . xy − 1 = 0 Với x = 2y, thay vào phương trình còn lại ta được p p2y − 1 + p2 − y = 1 ⇔ 2 (2y − 1)(2 − y) = −y (Vô nghiệm). r 1 √ 1 Với y = , thay vào phương trình còn lại ta được x − 1 + 2 − = 1. Vì x ≥ 1 nên x x VT ≥ 1 = VP, do đó x = 1. Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1). ( x2 − 4xy + x + 4y = 2 Bài 45. Giải hệ phương trình . x2 − y2 = −3 Lời giải. Ta viết phương trình thứ nhất của hệ như sau x2 + x − 2 − 4xy + 4t = 0 hay (x − 1)(x + 2) − 4y(x − 1) = 0 Suy ra (x − 1)(x + 2 − 4y) = 0, dẫn tới x = 1 hoặc x = 4y − 2. Với x = 1 thay vào phương trình thứ hai ta có y = ±2. Với x = 4y − 2 thay vào phương trình thứ hai ta được 15y2 − 16y + 7 = 0. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 18 Ta thấy phương trình này vô nghiệm. by Mr. Cuong Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; ±2). T A o M  √ q  4 x + 1 − xy y2 + 4 = 0 Bài 46. Giải hệ phương trình: q √ .  x2 − xy2 + 1 + 3 x − 1 = xy2 ( x ≥ 1 Lời giải. Điều kiện , kết hợp với phương trình (1), ta có: y > 0. x2 − xy2 + 1 ≥ 0 Từ (1), ta có: √ p √ p 4 x + 1 − xy y2 + 4 = 0 ⇔ 4 x + 1 = xy y2 + 4 ⇔ 16(x + 1) = x2y2(y2 + 4) ⇔ (y4 + 4y2)x2 − 16x − 16 = 0. 4 −4 Giải phương trình theo ẩn x ta được x = hoặc x = 0 ⇔ x = 2. x2 − 3 + 1 x − 1 + 1 ( y2 = 2 √ Với x = 2 ta có ⇔ y = 2. Kết hợp với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm y > 0 √ (2, 2). ( x2 − 2y2 = xy + x + y Bài 47. Giải hệ phương trình p √ x 2y − y x − 1 = 4x − 4y. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0. Phương trình thứ nhất trong hệ tương đương với " x = −y x2 − xy − 2y2 − (x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x − 2y − 1) = 0 ⇔ x = 2y + 1 Trường hợp 1: x = −y Từ điều kiện của bài toán x ≥ 1 ⇒ −y ≥ 1 ⇔ y ≤ −1. Mặt khác y ≥ 0. Do đó hệ vô nghiệm. Trường hợp 2: x = 2y + 1, thay vào phương trình thứ 2 trong hệ ta được p p (2y + 1) 2y − y 2y = 4(2y + 1) − 4y p ⇔(y + 1) 2y = 4(y + 1) p ⇔ 2y = 4(do y + 1 > 0) ⇔ y = 8 Khi đó hệ có nghiệm (x; y) = (17; 8). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 19 ( x2 + xy − 2y2 = 0 (1) by Mr. Cuong Bài 48. Giải hệ phương trình o xy + 3y2 + x = 3 (2) T A M Lời giải. Phương trình (1) ⇔ x2 − y2 + y(x − y) = 0 ⇔ (x − y) (x + 2y) = 0, ta được x = y hoặc x = −2y 3 • Với x = y, từ (2) ta có: 4x2 + x − 3 = 0, ta được x = −1, x = . Khi đó, x = y = 1 2 4 1 1 3 −1, x = y = . 2 2 4 2 • Với x = −2y, từ (2) ta có y − 2y − 3 = 0, ta được y1 = −1, y2 = 3 Nếu y = −1 ⇒ x = 2. Nếu y = 3 ⇒ x = −6. 3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (−1; −1); ; ; (2; −1); (−6; ). 4 4 ( x2 + y2 + xy = 1 Bài 49. Giải hệ phương trình . 2x6 − 1 = xy(2x2y2 − 3) Lời giải. Ta có 2x6 − 1 = xy(2x2y2 − 3) ⇔ 2x6 = 2xy x2y2 − 1 − xy + 1 ⇔ 2x6 = (xy − 1) 2x2y2 + 2xy − 1 h i ⇔ 2x6 = (xy − 1) 3x2y2 − (xy − 1)2 2 ⇔ 2x6 = (−x2 − y2) 3x2y2 − x2 + y2 do x2 + y2 + xy = 1 ⇔ 2x6 = x6 + y6 " x = y ⇔ x6 = y6 ⇔ x = −y. √ √ ! √ √ ! 3 3 3 3 Với x = y ta có 3x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm ; và − ; − . 3 3 3 3 Với x = −y ta có x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1) và (−1; 1).  q  x2 + 4y − 13 + (x − 3) x2 + y − 4 = 0 Bài 50. Giải hệ phương trình: . √ p  (x + y − 3) y + (y − 1) x + y + 1 = x + 3y − 5  y ≥ 0  Lời giải. Điều kiện: x + y + 1 ≥ 0 .   x2 + y − 4 ≥ 0 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 20 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với by Mr. Cuong √ p T A o M (x + y − 3)( y − 1) + (y − 1)( x + y + 1 − 2) = 0 (x + y − 3)(y − 1) (x + y − 3)(y − 1) ⇔ √ + = 0 y + 1 px + y + 1 + 2 ! " 1 1 y = 1 ⇔ (x + y − 3)(y − 1) √ + = 0 ⇔ . y + 1 px + y + 1 + 2 y = 3 − x Với y = 1, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được p (x2 − 9) + (x − 3) x2 − 3 = 0, Hay " p x − 3 = 0 (x − 3)(x + 3 + x2 − 3) = 0 ⇔ p . x + 3 + x2 − 3 = 0 Thay y = 3 − x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: p x2 − 4x − 1 + (x − 3) x2 − x − 1 = 0, Hay " p x2 − x − 1 = 3 2 p 2 (x − x − 1) − (3 − x) x − x − 1 − 3x = 0 ⇔ p . x2 − x − 1 = −x √ √ 1 − 41 5 + 41 Giải các phương trình này ta được x = ⇒ y = và x = −1 ⇒ y = 4. 2√ √ !2 1 − 41 5 + 41 Vậy nghiệm của hệ là (3; 1), (−1; 4), ; . 2 2 ( p x + y = x + 3y Bài 51. Giải hệ phương trình x2 + y2 + xy = 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện xác định : x + y ≥ 0, x + 3y ≥ 0. ( p ( ( x + y = x + 3y x2 + y2 + 2xy = x + 3y (x − 3)(y − 1) = 0 ⇔ ⇔ x2 + y2 + xy = 3 x2 + y2 + xy = 3 x2 + y2 + xy = 3 • Với x = 3, y2 + 3y + 6 = 0 (vô nghiệm). • Với y = 1, x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1, x = −2, ta loại nghiệm x = −2 do x + y = −2 + 1 < 0. Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 1). ( √ 5x + x + 12 − 2y = −2 (1) Bài 52. Giải hệ phương trình √ 2x + 6 x + 12 + 3y = −3 (2) Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 21 ≥ − Lời giải. Điều kiện: x 12. by Mr. Cuong Nhân 3 vào hai vế của (1) và nhân 2 vào hai vế của (2) rồi cộng lại, ta được T A o M √ 19x + 15 x + 12 + 12 = 0 √ 72 Đặt t = x + 12 ≥ 0 ta được phương trình 19t2 + 15t − 216 = 0 ⇔ t = 3, t = − . 19 Ta nhận t = 1 ⇒ x = −3 ⇒ y = −5. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (−3; −5). ( x3 − 3x = y3 + y (1) Bài 53. Giải hệ phương trình . x2 = y2 + 3 (2) √ Lời giải. Dễ thấy với y = 0 khi và chỉ khi x2 − 3 = 0 hay x = ± 3. Xét y 6= 0. Thay 1 x2 − 3 = y2 vào (1) ta được xy = y2 + 1 hay x − y = (3). Thay (3) vào (2) với chú ý (2) y tương đương (x − y)(x + y) = 3, ta được x = 2y. Kết hợp (3) ta được y = ±1. Do đó x = ±2. √ √ Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm 3; 0 , − 3; 0 , (2; 1) và (−2; −1). ( 6x + 4y + 2 = (x + 1)2 Bài 54. Giải hệ phương trình 6y + 4x − 2 = (y − 1)2. 6x + 4y + 2 = (x + 1)2 (1) Lời giải. Xét hệ phương trình 6y + 4x − 2 = (y − 1)2. (2) Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta được: 6x + 4y + 2 − 6y − 4x + 2 = (x + 1)2 − (y − 1)2 ⇔2x − 2y + 4 = (x + 1)2 − (y − 1)2 ⇔2(x − y + 2) = (x + y)(x − y + 2) ⇔(x − y + 2)(x + y − 2) = 0 " y = x + 2 ⇔ y = 2 − x. • Trường hợp 1: y = x + 2, thay vào (1) ta được: x = −1 x2 − 8x − 9 = 0 ⇔ x = 9. Với x = −1 ta được y = 1. Với x = 9 ta được y = 11. x = 3 • Trường hợp 2: y = 2 − x, thay vào (1) ta được: x2 = 9 ⇔ x = −3. Với x = 3 ta được y = −1. Với x = −3 ta được y = 5. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (−1; 1), (9; 11), (3; −1), (−3; 5). ( 2x3 + x2y + 2x2 + xy + 6 = 0 Bài 55. Giải hệ phương trình: (I). x2 + 3x + y = 1 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 22 ( ( 2 + )( + ) = − x x 2x y 6 by Mr. Cuong Lời giải. Ta có (I) ⇔ Đặt u = x2 + x; v = 2x + y. (x2 + x) + (2x + y) = 1 T A o M (  u = −2 (  uv = −6  v = 3 Hệ đã cho trở thành: ⇔  u + v = 1  (  u = 3 v = −2 ( ( u = −2 x2 + x = −2 • Với ⇒ . Hệ PT này vô nghiệm. v = 3 2x + y = 3  √  √ ( ( ( −1 − 13 −1 + 13 u = 3 x2 + x = 3 x2 + x − 3 = 0  x =  x = • Với ⇒ ⇔ ⇔ 2 ; 2 . v = −2 2x + y = −2 y = −2x − 2 √ √  y = 13 − 1  y = − 13 − 1 √ ! √ ! −1 − 13 √ −1 + 13 √ Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm ; 13 − 1 ; ; − 13 − 1 . 2 2 ( √ p 2x + 2y = 6 Bài 56. Giải hệ phương trình √ p . 2x + 5 + 2y + 9 = 8 ( √ p a + b = 6(1) Lời giải. Đặt 2x = a ≥ 0; 2y = b ≥ 0 ta có hệ p p . a2 + 5 + b2 + 9 = 8(2) Thay a = 6 − b từ (1) vào (2) ta được q p (6 − b)2 + 5 = 8 − b2 + 9 p ⇔ (6 − b)2 + 5 = 64 − 16 b2 + 9 + b2 + 9 p ⇔ 4 b2 + 9 = 8 + 3b ⇔ 7b2 − 48b + 80 = 0  b = 4 ⇔  20 . b = 7  (a; b) = (2; 4)  (x; y) = (2; 8) Suy ra  22 20. Vậy  242 200. (a; b) = ; (x; y) = ; 7 7 49 49 ( |x − 1| + 2py + 2 = 5 Bài 57. Giải hệ phương trình: . 3py + 2 − |x − 1| = 5 Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2017. ( |x − 1| + 2py + 2 = 5 Lời giải. Giải hệ phương trình: . 3py + 2 − |x − 1| = 5 Đặt A = |x − 1| ≥ 0; B = py + 2 ≥ 0. ( ( ( A + 2B = 5 A + 2B = 5 A = 1 Ta có: ⇔ ⇔ . 3B − A = 5 −A + 3B = 5 B = 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 23 " "   = ( ( x − 1 = 1 x 2 by Mr. Cuong |x − 1| = 1 |x − 1| = 1   Do đó: p ⇔ ⇔ x − 1 = −1 ⇔ x = 0 T. A o M y + 2 = 2 y + 2 = 4   y = 2 y = 2 Vậy (x; y) = {(2; 2), (0; 2)} là nghiệm của hệ. ( x2 + 9y2 + 8xy + 24 = 0 Bài 58. Giải hệ phương trình . x − 3y + xy = 0 ( ( x2 + 9y2 + 8xy + 24 = 0 (x − 3y)2 + 14xy + 24 = 0 Lời giải. ⇔ . x − 3y + xy = 0 (x − 3y) + xy = 0 ( a2 + 14b + 24 = 0 (1) Đặt a = x − 3y, b = xy. Hệ phương trình trở thành a + b = 0 (2) (2) ⇒ b = −a. Thay vào phương trình (1) ta được a2 − 14a + 24 = 0 ⇔ a = 2 hoặc a = 12. ( ( x − 3y = 2 x = 3y + 2 • Với a = 2 ⇒ b = −2. Ta có ⇔ (Vô nghiệm). xy = −2 3y2 + 2y + 2 = 0 ( ( ( x − 3y = 12 x = 3y + 12 x = 6 • Với a = 12 ⇒ b = −12. Ta có ⇔ ⇔ . xy = −12 y2 + 4y + 4 = 0 y = −2 Vậy nghiệm của hệ là (6; −2).  x2−|x| =|yz|  Bài 59. Giải hệ phương trình: y2−|y| =|xz|  z2−|z| =|yx|   x2−|x| =|yz| |x|(|x| − 1) =|yz|   Lời giải. y2−|y| =|xz| ⇔ |y|(|y| − 1) =|xz| ⇒|xyz| = (|x| − 1)(|y| − 1)(|z| −   z2−|z| =|yx| |z|(|z| − 1) =|yx| 1)(xyz 6= 0)(vô lý). Lại có (x, y, z) = (0, 0, 0) là một nghiệm của hệ. Với mọi (x, y, z) = (0, a, b) hoặc (x, y, z) = (0, 0, b) đều không thoả mãn hệ; vai trò của x,y,z như nhau. Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (0, 0, 0). ( p √ √ 2 x + 3y + 2 − 3 y = x + 2 Bài 60. Giải hệ phương trình √ x2 − 3x − 4 y + 10 = 0 Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ −2, y ≥ 0 . √ √ p Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có 3.p3y + x + 2 ≤ (3 + 1)(3y + x + 2), cho nên √ √ phương trình thứ nhất tương đương với y = x + 2, thay vào phương trình thứ hai ta √ (x − 2)2 được x2 − 3x − 4 x + 2 + 10 = 0 ⇔ (x − 2)2 + √ = 0 ⇔ (x − 2)2 = 0 hoặc x + 6 + 4 x + 2 1 1 + √ = 0 (vô nghiệm do x + 2 ≥ 0). Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2; 4). x + 6 + 4 x + 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 24 §Các vấn đề nghiệm nguyên by Mr. Cuong T A o M Bài 61. a) Cho n = 2018.20172016 − 112017 − 62016. Chứng minh n chia hết cho 17. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bạc Liêu, 2017. Lời giải. a) Ta có 2017 ≡ 11 mod 17 ⇒ 20172016 ≡ 112016 mod 17. Mặt khác: 2018 ≡ 12 mod 17. Suy ra 2018.20172016 ≡ 12.112016 mod 17. Hay 2018.20172016 ≡ (11 + 1).112016 ≡ 112017 + 112016 mod 17. Suy ra 2018.20172016 − 112017 ≡ 112016 mod 17. Suy ra n = 2018.20172016 − 112017 − 62016 ≡ 112016 − 62016 mod 17. Ta lại có: • 112 ≡ 2 mod 17, suy ra 112016 = (112)1008 ≡ 22008 mod 17. • 62 ≡ 2 mod 17, suy ra 62016 = (62)1008 ≡ 22008 mod 17. Do đó ta có n ≡ 21008 − 21008 = 0 mod 17. Vậy n chia hết cho 17. b) Cách 1. x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy ⇔ x2 − 2xy + y2 = −5x2y2 + 35xy − 60 ⇔ (x − y)2 = 5(−x2y2 + 7xy − 12). (∗) Vì (x − y)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ Z nên −x2y2 + 7xy − 12 ≥ 0, ∀x, y ∈ Z. (1) Đặt t = xy, (t ∈ Z). Từ (1) ta có −t2 + 7t − 12 ≥ 0 ⇔ 3 ≤ t ≤ 4. Mà t ∈ Z nên ta có t = 3 ∨ t = 4 hay xy = 3 ∨ xy = 4. Khi đó 5(−x2y2 + 7xy − 12) = 0 nên từ (∗) ta cũng có (x − y)2 = 0 hay x = y. ( ( xy = 3 x2 = 3 (không tồn tại x ∈ N) • ⇔ . x = y x = y ( ( ( xy = 4 x = 2 x = −2 • ⇔ ∨ . x = y y = 2 y = −2 Vậy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình trên là: (2; 2), (−2; −2). Cách 2. Xét trường hợp x, y ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm x2, y2 ta có: ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 25 37xy 2xy + 5x2y2 + 60 > by Mr. Cuong 2 2 ⇔ 35xy > 5x y + 60 T A o M 2 2 ⇔ 7xy > x y + 12 2 2 ⇒ 8xy > x y + 12 2 ⇔ 4 > (xy − 4) ⇔ 2 > xy − 4 > −2 ⇔ 6 > xy > 2. Suy ra, xy ∈ {2; 3; 4; 5; 6}. Mặt khác, phương trình ban đầu tương đương với: (x + y)2 = 39xy − 5x2y2 − 60. (∗) Ta xét các trường hợp: • TH1: xy = 2. Từ (∗) suy ra (x + y)2 = −6 (vô lí). • TH2: xy = 3. Từ (∗) suy ra (x + y)2 = 12 (loại vì (x + y)2 là số chính phương). • TH3: xy = 4. Từ (∗) suy ra (x + y)2 = 16. Giải ra ta được x = y = 2. • TH4: xy = 5. Từ (∗) suy ra (x + y)2 = 10 (loại vì (x + y)2 là số chính phương). • TH5: xy = 6. Từ (∗) suy ra (x + y)2 = −6 (vô lí). Thử lại ta thấy (x; y) = (2; 2) là nghiệm của phương trình. Do xy và (−x).(−y) có vai trò như nhau trong phương trình ban đầu nên nghiệm của phương trình là (2; 2), (−2; −2). Bài 62. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn a 0 và phương trình x2 + mx + 2 = 0 có hai nghiệm nguyên âm phân biệt ⇔ ∆ = m2 − 8 = k2, k ∈ N∗ ⇔ (m + k)(m − k) = 8. Do m > k > 0 và cùng chẵn nên( m + k = 4 . Suy ra m = 3. Vậy P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3). m − k = 2 Với n = −1, tương tự ta có x(x + a)(x + b)(x + c) = x(x + m)(x2 + mx − 2) Vì phương trình x2 + mx − 2 = 0 có nghiệm nguyên âm nên trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy (a; b; c) = (1; 2; 3). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 26 Bài 63. by Mr. Cuong 4 T A o M 1. Tìm chữ số tận cùng của a = 20176 . 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 7 (x + y) = 3 x2 + xy + y2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017. Lời giải. 4 4 4 1. 20176 ≡ 76 ≡ 36 ≡ 814·81 ≡ 1 (mod 10). 2. 7(x + y) = 3(x2 + xy + y2) ⇒ 3 | x + y. Từ giả thiết suy ra 0 ≤ x + y ≤ 3 do đó x + y = 0 hoặc x + y = 3. + Với x + y = 0 ta được x = y = 0. + Với x + y = 3 suy ra y = 3 − x thay vào phương trình ta được x2 − 3x + 2 = 0. Giải ra ta được x = 1, x = 2. Vậy ta được 3 nghiệm nguyên (0; 0), (1; 2), (2; 1). Bài 64. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình x3 − y3 = 6xy + 3. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Thái Bình, 2017. Lời giải. Ta có phương trình tương đương với x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3xy(x − y) − 6xy − 8 = −5 ⇔ (x − y − 2) (x − y)2 + 2(x − y) + 4 + 3xy(x − y − 2) = −5 ⇔ (x − y − 2) (x − y)2 + 2(x − y) + 4 + 3xy = −5 (∗) 1 Do (x − y)2 + 2(x − y) + 4 + 3xy = x2 + xy + y2 + 2x − 2y + 4 = (x + y)2 + (x + 2)2 + (y − 2)2 ≥ 2 0 nên (∗) tương đương với (  x − y − 2 = −5  2 "  (x − y) + 2(x − y) + 4 + 3xy = 1 (x; y) = (−2; 1)  ⇔ .  ( − − = − (x; y) = (−1; 2)  x y 2 1 (x − y)2 + 2(x − y) + 4 + 3xy = 5 Bài 65. a b 4c 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: + + > 2. b + c c + a a + b ( a2 + b2 + c2 = 11 2. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: . ab + bc + ca = 7 1 Chứng minh: ≤ a, b, c ≤ 3. 3 Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Đắk Lắk, 2017. Lời giải. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 27 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức Cô-si ta có: by Mr. Cuong a b 4c a2 b2 4c2 (a + b + 2c)2 + + = + + ≥ T A o M b + c c + a a + b ab + ca bc + ab ca + bc 2 (ab + bc + ca) (a + b)2 + 4c (a + b) + 4c2 4ab + 4ac + 4bc + 4c2 = ≥ 2 (ab + bc + ca) 2 (ab + bc + ca) c2 = 2 + > 2 (do c>0). ab + bc + ca 2. Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2 (ab + bc + ca) ⇒ a + b + c = 5 (5 − a)2 ⇒ b + c = 5 − a ⇒ bc ≤ 4 ◦ ab + bc + ca = 7 ⇒ a(b + c) = 7 − bc ⇒ a(5 − a) = 7 − bc (5 − a)2 1 ⇒ a(5 − a) ≥ 7 − ⇔ −3a2 + 10a − 3 ≥ 0 ⇔ ≤ a ≤ 3 4 3 1 Do vai trò của a, b, c là bình đẳng và đối xứng nên ta có: ≤ a, b, c ≤ 3. 3 Bài 66. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1. Chứng minh rằng a b 1 + ab + = p . 1 + a2 1 + b2 2(1 + a2)(1 + b2) Lời giải. Do a, b dương và ab + a + b = 1 cho nên 0 0 và y > 0, ta có: √ √ x + y √ x + y √ x + y − 2 xy x + y + 2 xy − xy + + xy = + 2 2 2 2 √ √ √ √ x − y2 x + y2 = + = x + y = |x| + |y| . 2 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 28 > Trong trường hợp x 0, y 0. Đặt a x, b y. Ta có a 0, b 0. Khi đó: by Mr. Cuong T A o M x + y √ x + y √ −x − y √ −x − y √ − xy + + xy = + xy + − xy 2 2 2 2 √ √ 2 √ √ 2 a + b a − b a + b √ a + b √ = + ab + − ab = + 2 2 2 2 =a + b = |x| + |y| . Vậy đẳng thức vẫn đúng trong trường hợp x, y là các số thực âm. Xin chào tất cả bạn đọc! Hiện TAoM đang thực hiện các dự án toán chuyên cấp hai và cấp ba. Tuyển tập các bài toán từ kì thi HSG các tỉnh thành phố năm học 2017-2018 là dự án thứ hai của nhóm TAoM trong năm 2018. Và bất đẳng thức là chuyên đề đầu tiên mà chúng tôi thực hiện. Ngoài ra, trong năm học 2018-2019 tới chúng tôi thực hiện khoá " TỰ HỌC" theo lộ trình kiến thức chuẩn dành cho các bạn đang chuẩn bị cho kì thi HSG tỉnh thành phố và thi vào lớp chuyên toán. Chúng tôi xin mô tả sơ lượt khoá học. • Thời gian: khoá học từ tháng 6/2018 đến cuối tháng 3/2019 (tổng cộng 10 tháng). • Nội dung: Đại số, số học, hình học và tổ hợp. • Học phí: 50k một tháng như vậy cả khoá học là 500k. • Mô tả: chúng tôi sẽ gửi kế hoạch cả khoá học cho các bạn học viên ( bản kế hoạch sẽ gửi vào đầu tháng 6). Mỗi chuyên đề chúng tôi sẽ cung cấp lí thuyết và bài tập mẫu thật chuẩn với cấu trúc thi HSG tỉnh và đề toán chuyên cho các bạn, sau đó sẽ là bài tập tự luyện. – 21h tối thứ 6 sẽ bắt đầu phát tài liệu và bài tập tự luyện. Các bạn sẽ đọc và làm các bài tập. – 21h tối thứ 4 tuần sau sẽ phát đáp án chi tiết. • Sau mỗi chuyên đề, chúng tôi sẽ có một bài kiểm tra cho các bạn để đánh giá mức độ của mình (trung bình mỗi tháng sẽ có một bài). Chúng tôi sẽ chấm, công bố điểm và sẽ có những lời khuyên về những phần các bạn còn hạn chế. Điểm số 10 tháng sẽ được cộng lại và chúng tôi sẽ tổng kết sau khi kết thúc khoá học. 5 bạn cao điểm nhất sẽ được tặng KHOÁ LUYỆN ĐỀ VÀO 10 CHUYÊN vào tháng 4/2018. Những lí do mà các bạn nên chọn khoá TỰ HỌC của TAoM: • Học phí RẺ (50k mỗi tháng tương đương với một bữa ăn sang). • Lộ trình khoa học dành cho các bạn thi HSG tỉnh, TP và luyện thi vào chuyên (như vậy các bạn sẽ không lan man, không biết bắt đầu học từ đâu) • Hệ thống bài tập chuẩn,và khoa học dựa trên đề thi HSG tỉnh, TP và thi chuyên các năm. • Chúng tôi sẽ liên tục kiểm tra đánh giá và chỉ ra những mặt hạn chế của bạn bạn để giúp các bạn phát triển. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?
Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 29 • Ngoài ra, nếu các thầy cô dạy đội tuyển nếu muốn cũng có thể mua khoá học để bồiby Mr. Cuong dưỡng học sinh của mình. T A o M Chúng tôi sẽ bắt đầu tuyển sinh vào tháng 5/2018. Hy vọng các thầy/cô, các bậc phụ huynh, các em học sinh sẽ quan tâm và giới thiệu để khoá học đến với những học sinh đam mê môn toán, đang có dự định thi HSG tỉnh, TP và thi vào lớp 10 chuyên toán. Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn! Thay mặt các admin nhóm TAoM Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Phạm Hữu Hiệp ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ?