›
›
›

Toán 6 - Các dấu hiệu chia hết

doc 13 trang hoaithuong97 5721
Download
Bạn đang xem tài liệu "Toán 6 - Các dấu hiệu chia hết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctoan_6_cac_dau_hieu_chia_het.doc

Nội dung text: Toán 6 - Các dấu hiệu chia hết

  1. CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Bài 1. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số giữa của số đó là 97 So do a97b27va5 Neu b 0 a 9 7 0 a 169 a 2 Ta co 297027va 5 . Neu b 5 a 9 7 5 a 21 a 6 Taco6975 khong chia het27 loai Vậy số đó là 2970 Bài 2. Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a chia hết cho 9. a cotong chu sobang k a chia9va k chia9cocung so du 2a cotong chu sobang k 2a chia9va k chia9cocung so du Lần 1 2a a9 vi k k 0 9 vay a9 a cotong chu sobang k a chia9va k chia9cocung so du 2a cotong chu sobang k 2a chia9va k chia9cocung so du Lần 2 2a a9 vi k k 0 9 vay a9 a cotong chu sobang k a chia9va k chia9cocung so du 2a cotong chu sobang k 2a chia9va k chia9cocung so du Lần 3 2a a9 vi k k 0 9 vay a9 Dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9 Bài 3. Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 11111. 1 1111 1.1000..010000 .019.3 Lần 1 27 so1 9so1 8so0 8so0 Vay 11111. 127 27 so1 11111. 1 1111 1.1000..010000 .019.3 Lần 2 27 so1 9so1 8so0 8so0 Vay 11111. 127 27 so1 Bài 4. Chứng minh rằng số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81
  2. 111 1 111 1 . 1000 010000 01 1000 019.9 (8cap 000 01)       81so1 9so1 8so0 8so0 8so0 Lần 1 8so0 Vay 111 181  81so1 111 1 111 1.1000 010000 01 1000 019.9 (8cap 000 01)       81so1 9so1 8so0 8so0 8so0 Lần 2 8so0 Vay 111 181  81so1 111 1 111 1.1000 010000 01 1000 019.9 (8cap 000 01)       81so1 9so1 8so0 8so0 8so0 Lần 3 8so0 Vay 111 181  81so1 Bài 5. Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó a) Chứng minh rằng b chia hết cho a. b) Tìm các số ab nói trên. a) ab 3.a.b 10a b 3ab a) ab 3.a.b 10a b 3ab Ta co 10aa Va 3aba Ta co 10aa Va 3aba Suy ra :ba Suy ra :ba b) ba b ka (k N *, 0 K 10) b) ba b ka (k N *, 0 K 10) Ta co10a ka 3aka Ta co10a ka 3aka 10 k 3ak 10 k 3ak Lần 1 10k (vi kk, 3akk) Lần 2 10k (vi kk, 3akk) k 1;2;5 k 1;2;5 Neu k 1 11 3a loai Neu k 1 11 3a loai Neu k 2 12 6a a 2 b 4 Neu k 2 12 6a a 2 b 4 Neu k 5 15 15a a 1 b 5 Neu k 5 15 15a a 1 b 5 Vay ab 24;15 Vay ab 24;15
  3. Bài 5*. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó aba.b ab k.a.b (k N * ) 10a b kab aba.b ab k.a.b (k N * ) 10a b kab Ta co 10aa Va kaba Ta co 10aa Va kaba Suy ra :ba Suy ra :ba ba b na (n N * ) (0 n 10) ba b na (n N * ) (0 n 10) Ta co10a na naka Ta co10a na naka 10 n nak 10 n nak 10n (vi nn, nakn) 10n (vi nn, nakn) n 1;2;5 n 1;2;5 Neu n 1 11 ka loai Neu n 1 11 ka loai Neu n 2 12 ka2 6 ka Neu n 2 12 ka2 6 ka Neu a 1 b 2 Neu a 1 b 2 Neu a 2 b 4 Neu a 2 b 4 Neu n 5 15 k5a 5 ka a 1 b 5 Neu n 5 15 k5a 5 ka a 1 b 5 Vay ab 12;24;15ab ka.b (k N * ) Vay ab 12;24;15ab ka.b (k N * ) Bài 6*. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết rằng số đó chia hết cho tíchab.cd . abcdab.cd abcd k.ab.cd (k N * ) 100ab cd k.ab.cd Ta co 100abab Va k.ab.cdab cdab cd nab (n N * ) (0 n 10) Ta co10ab nab nabkab 100 n nabk 100n (vi nn, nakn) n 1;2;4;5 Neu n 1 101 kab loai Lần1 Neu n 2 102 kab2 51 kab Neu ab 17 cd 34 Neu n 4 104 k.4.ab 26 k.ab ab 13 cd 52 Neu n 5 105 k5ab 21 kab (loai) Vay abcd 1734;1352
  4. abcdab.cd abcd k.ab.cd (k N * ) 100ab cd k.ab.cd Ta co 100abab Va k.ab.cdab cdab cd nab (n N * ) (0 n 10) Ta co10ab nab nabkab 100 n nabk 100n (vi nn, nakn) n 1;2;4;5 Neu n 1 101 kab loai Lần 2 Neu n 2 102 kab2 51 kab Neu ab 17 cd 34 Neu n 4 104 k.4.ab 26 k.ab ab 13 cd 52 Neu n 5 105 k5ab 21 kab (loai) Vay abcd 1734;1352 abcdab.cd abcd k.ab.cd (k N * ) 100ab cd k.ab.cd Ta co 100abab Va k.ab.cdab cdab cd nab (n N * ) (0 n 10) Ta co10ab nab nabkab 100 n nabk 100n (vi nn, nakn) n 1;2;4;5 Neu n 1 101 kab loai Lần 3 Neu n 2 102 kab2 51 kab Neu ab 17 cd 34 Neu n 4 104 k.4.ab 26 k.ab ab 13 cd 52 Neu n 5 105 k5ab 21 kab (loai) Vay abcd 1734;1352 Bài 7. Cho A = 13! – 11! a) A có chia hết cho 2 hay không A = 13! – 11! = 11! (12.13 – 1) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.155 chia hết cho 2 b) A có chia hết cho 5 hay không ? A = 13! – 11! = 11! (12.13 – 1) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.155 chia hết cho 5 c) Chia hết cho 155 hay không ? A = 13! – 11! = 11! (12.13 – 1) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.155 chia hết cho 155 Bài 8. Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 hay không ? Có chia hết cho 5 hay không ? 1 +2 +3 +4 + +154=155.77 không chia hết cho 2 1 +2 +3 +4 + +154=155.77 chia hết cho 5 Bài 9. Cho A = 119 + 118 + 117 + + 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5 A = 119 + 118 + 117 + + 11 + 1 Có 10 số hạng mỗi số hạng có tận cùng bằng 1
  5. Suy ra A có tận cùng bằng 0 Vậy A chia hết cho 5 Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 6 không chia hết cho 5. Cách 1: n2 + n + 6 = n(n+1) + 6 Vì n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì có tận cùng là 0; 2 ; 6 Suy ra : n2 + n + 6 có tận cùng là 6; 8; 2 Vậy n2 + n + 6 không chia hết cho 5 Cách 2: 6 chia 5 dư 1 n chia 5 dư 0 thì n2 chia 5 dư 0 suy ra: n2 + n + 6 không chia hết cho 5 n chia 5 dư 1 thì n2 chia 5 dư 1 suy ra: n2 + n + 6 không chia hết cho 5 n chia 5 dư 2 thì n2 chia 5 dư 4 suy ra: n2 + n + 6 không chia hết cho 5 n chia 5 dư 3 thì n2 chia 5 dư 9 suy ra: n2 + n + 6 không chia hết cho 5 n chia 5 dư 4 thì n2 chia 5 dư 1 suy ra: n2 + n + 6 không chia hết cho 5 Bài 11. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5. Bài 12. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3. Goi so dola Ata co A 4x 1 25y 3 4x 25y 2 y 2 x 6y y 24 y 4k 2 Voi (k N * ) 4 Vay A 25y 3 25(4k 2) 3 100k 47 voi k 1 A 53 Lần 1 53 1 524 53 3 5025 Voi k 2 A 153 153 1 1524 153 3 15025 Goi so dola Ata co A 4x 1 25y 3 4x 25y 2 y 2 x 6y y 24 y 4k 2 Voi (k N * ) 4 Vay A 25y 3 25(4k 2) 3 100k 47 voi k 1 A 53 Lần 2 53 1 524 53 3 5025 Voi k 2 A 153 153 1 1524 153 3 15025
  6. Goi so dola Ata co A 4x 1 25y 3 4x 25y 2 y 2 x 6y y 24 y 4k 2 Voi (k N * ) 4 Vay A 25y 3 25(4k 2) 3 100k 47 voi k 1 A 53 Lần 3 53 1 524 53 3 5025 Voi k 2 A 153 153 1 1524 153 3 15025 Bài 13. Tìm các số tự nhiên chia cho 8 thì dư 3, chia cho 125 thì dư 12. Goi so dola A A 8x 3 125y 12 5y 1 8x 125y 9 x 15y 1 5y 18 8 3k 1 5y 8k 1 y k 3k 1 5q 3k 5q 1 5 q 1 k 2q q 13 q 3x 1 k 5x 2 y 5x 2 3x 1 8x 3 3 Vay A 125(8x 3) 12 1000x 387 Voix 1 A 1387 1387 3 13848 1387 12 1375125 Voi x 2 A 2387 2387 3 23848 2387 12 2375125 Bai 14. Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp ba lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không? a 3b b a 4b 1030 (loai) vi1030khong chia het 4 Bài 15. Điền các chữ số thích hợp vào dấu * , sao cho : 521* 5210 * 651.8 2 *8 Khi * 6 Vay 52168 Bài 16. Tìm các chữ số a, b sao cho : a) a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 3.
  7. 7a5b13 7 a 5 b 1 13 a b3 a b 2 hoaca b 5 Hoaca b 8 Nếu a + b= 2 (Loai) Nếu a + b = 5 (loại) Nếu a + b= 8 a = 6 thì b = 2 b) a – b = 6 và 4a7 + 1b5 chia hết cho 9. 4a7 chia 9 du a +2 1b5 chia 9 dư b+ 6 Suy ra: 4a7 + 1b5 chia 9 dư a + b +8 Suy ra: a + b =1 (Loại) Hoặc a + b =10 suy ra : a = 8 thì b = 2 Bài 17. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 5 và 9, biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia. Gọi số đó là abc Ta có 2b = a + c abc5 c 0;5 Nếu c = 0 thì a = 2b Ta có a b c9 3b9 b3 b 3 a 6 Nếu c = 5 thì a + 5= 2b a b c 5 b a9 10 2b 2a9 10 a 5 2a9 Ta có 6 3a9 2 a3 Nếu a = 1 thì b =3 Nếu a = 4 (loai) Nếu a = 7 thì b =6 Vây số đó là 630; 135; 765 Bài 18. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng : a) Tổng của chúng bằng *657 x y và hiệu của chúng bằng 5*91 x y Chia hết cho 9 thì * = 3
  8. *657 x y chia hết cho 9 thi * = 9 suy ra x = 7524 thì y = 2133 b) Tổng của chúng bằng 513* và số lớn gấp đôi số nhỏ. 513* chia hết cho 9 thì * = 0 hoặc * = 9 Nếu * = 0 thì số lớn 3420 số nhỏ 1710 Nếu * = 9 thì số lớn 3426 (loại) vì không chia hết cho 9 Bài 19. Bạn An làm phéo tính trừ trong đó số bị trừ là số có ba chữ số, số trừ là số gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại. An tính được hiệu bằng 188. Hãy chứng tỏ rằng An đã tính sai. abc cba 100a 10b c 100c 10b c 99(a c) 188 (loai) Vi 188khong chia het cho 99 Bài 20. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 45, biết rằng hiệu giữa số đó và số gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 297 abc45 c 0;5neu c 0 a b9 a b 9;18 . Hoac c 5 a b 13;4 abc cba 99(a c) 297 a c 3 Nếu c = 0 thì a =3 , b = 6 Nếu c= 5 thì a = 8 , b= 5 Bài 21. Chứng minh rằng : Lần 1 a) 1028 + 8 chia hết cho 72 ; 28 10 8 1000 .089 vi cotong cac chu sobang 9 27so0 1000 .088vi co3chu so tan cung chia het cho8 27so0 Vay 1028 872 b)88 + 220 chia hết cho 17. 88 220 (23 )8 220 224 220 220 (24 1) 220.1717 Lần 2 a) 1028 + 8 chia hết cho 72 ; 28 10 8 1000 .089 vi cotong cac chu sobang 9 27so0 1000 .088vi co3chu so tan cung chia het cho8 27so0 Vay 1028 872 b) 88 + 220 chia hết cho 17.
  9. 88 220 (23 )8 220 224 220 220 (24 1) 220.1717 Lần 3 a) 1028 + 8 chia hết cho 72 ; 28 10 8 1000 .089 vi cotong cac chu sobang 9 27so0 1000 .088vi co3chu so tan cung chia het cho8 27so0 Vay 1028 872 b)88 + 220 chia hết cho 17. 88 220 (23 )8 220 224 220 220 (24 1) 220.1717 Bài 22. a) Cho A = 2 + 22 + 23 + + 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. A 2 22 23  260 2(1 2) 23 (1 2) 259 (1 2) 3(1 23 259 )3 A 2 22 23  260 2(1 2 4) 24 (1 2 4) 258 (1 2 4) 7(2 24 258 )7 A 2 22 23  260 2(1 2 4 8) 25 (1 2 4 8) 257 (1 2 4 8) 15(2 25 257 )15 c) Cho B = 3 + 33 + 35 + + 31991 . Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41. B 3 33 35  31991 3(1 9 81) 37 (1 9 81) 31987 (1 9 81) 91(3 37 31987 )13 B 3 33 35  31991 3(1 9 81 729) 39 (1 9 81 729) 31985 (1 3 81 729) 820(3 39 31985 )41 Bài 23. Chứng minh rằng : a) 2n + 11. . .1 chia hết cho 3  n chu so Ta co 2nchia cho3du 2n, 111. 1 chia cho3du n nso1 2n 1 11. 1 chia3du 2n n 3n3 nso1 Vay 2n 1 11. 13 nso1 b) 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 10n + 18n – 1 10n –1 9n 27n n Ta co 27n27 va 10 1 9n 999. 9 9n 9(111. 1 n)27 nso9 n n Vi 111. 1 n3 Vay10 + 18n – 127 n
  10. c) 10n + 72n – 1 chia hết cho 81. 10n 72n – 1 10n –1 9n 81n n Ta co 81n81va10 –1 9n 9999. 9 9n 9(111. 1 n)81 nso9 nso1 n Vi111. 1 n9 Vay10 72n – 181 nso1 Bài 24. Chứng minh rằng : a) Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81 111. 1 1 11 1 .1000. 01000. 01 0 00.0181 (8 cap 000 01) 81so1 9so1 8so0 8so0 8so0 8so0 b) Số gồm 27 nhóm chữ số 10 thì chia hết cho 27. 10101010  10 101010 10.1000000 001000000 00127 27so10 9so10 17so0 17so0 Bài 25. Hai số tự nhiên a và 4a có tổng các chữ số bằng nhau. Chứng minh rằng a chia hết cho 3. a cotong cac chu sobang k thi a chia9co so du bang k 4a co tong cac chu bang k thi 4a chia9coso du bang k Lần 1 4a a 3a9 vi k k 09 Vay a3 a cotong cac chu sobang k thi a chia9co so du bang k 4a co tong cac chu bang k thi 4a chia9coso du bang k Lần 2 4a a 3a9 vi k k 09 Vay a3 Bài 26. Tìm số abcd , biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd abcdab.cd abcd k.ab.cd (k N * ) 100.ab cd k.ab.cd vi100.abcd va k.ab.cdab cdab cd n.ab (0 n 10,n N * ) 100.ab ab.n k.ab.ab.n 100 n k.ab.n 100n n 1;2;4;5 Neu n 1 101 k.ab(loai) Neu n 2 102 k.ab.2 51 k.ab ab 17 cd 34 abcd 1734 Neu n 4 104 k.ab.4 26 k.ab ab 13 cd 52 abcd 1352 Neu n 5 105 k.ab.5 21 k.ab(loai) Vay abcd 1734, abcd 1352 Bài 27. Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
  11. abcde 45.a.b.c.d.e Ta có a, b ,c, d, e là số lẻ vì nếu là số chẵn (loai) vì e = 0 Thì abcde 45.a.b.c.d.e = 0 abcd5 45.a.b.c.d.525 d 7 abc75 45.a.b.c.7.59 a b c 7 5 a b c 129 a b c 39 Ta co3 a b c 3 30 a b c 3 9 a b c 6(loai)vi a,b,cle Hoac a b c 3 27 a b c 14(loai)vi a,b,cle Hoac a b c 15 5 5 5 7 7 1 3 3 9 5 7 3 9 1 5 Bài 28. Một cửa hàng có 6 hòm hàng với khối lượng 316kg, 327kg, 336kg, 338kg, 349kg, 351kg. Cửa hàng đó đã bán 5 hòm, trong đó khối lượng hàng bán buổi sáng gấp bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm còn lại là hòm nào? Ta có 316 +327+336+338+349+351=2017 Chia 5 dư 2 Vì số hàng bán buổi sáng gấp 4 lần số hàng bán buổi chiều nên số hàng bán cả ngày là một số chia hết cho 5. Suy ra số hàng còn lại là một số chia 5 dư 2 Vậy hòm hàng còn lại là 327kg Bài 29. Từ bốn chữ số 1, 2, 3, 4 lập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số ấy. Trong các số đó, có tồn tại hai số nào mà một số chia hết cho số còn lại hay không. Số lớn nhất là 4321, số nhỏ nhất l là 1234. Nếu tồn tại hai số x và y mà x chia hết cho y thì thương bằng 2 hoặc 3,. Nếu thương bằng 2 thì các chữ số của x phải là 2,4,6,8 trái với đề bài. Nếu thương là 3 thì x chia hết cho 3 trái với đề bài vì tổng các chữ số bằng 10 không chia hết cho 3 Vậy không tồn tại hai số mà số này chia hết cho số kia. Bài 30. a) Tổng các chữ số của 3100 viết trong hệ thập phân có thể bằng 459 hay không ? b)Tổng các chữ số 31000 là A, tổng các chữ số của A là B, tổng các chữ số của B là C. Tính C. a) 3100 950 chữ số của 3100 không quá 50 chữ số nên tổng các chữ số nhỏ hơn 9. 50 = 450 < 459. Vậy Tổng các chữ số của 3100 viết trong hệ thập phân không thể bằng 459 b) Ta có 31000 9500 có không quá 500 chữ số kí hiệu tổng các chữ số của n là S(n) ta có A S(31000 ) 9.500 4500, Vi Bbang tong cac chu socua A B S(A) 4 9 9 9 31 Vi 31000 9 A, B,C9 B 9;18;27 Vay C 9 (C latong cac chu socua B) Bài 31. Cho hai số tự nhiên a và b tùy ý có số dư trong phép chia cho 9 theo thứ tự là r 1 và r2 . Chứng minh rằng r1r2 và ab có cùng số dư trong phép chia cho 9.
  12. a 9x r1 b 9y r2 (x, y,r1,r2 ) a.b (9x r1).(9y r2 ) 9x.(9y r2 ) r 1(9y r2 ) 9x.9y 9x.r2 9y.r1 r1.r2 9.(9.x.y x.r2 y.r1) r1.r2 Vay ab chia 9duoc thuong (9.x.y x.r2 y.r1 )va du r1.r2 Vậy: r1r2 và ab có cùng số dư trong phép chia cho 9. Bài 32. Một số tự nhiên chia hết cho 4 có ba chữ số đều chẵn, khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng tồn tại cách đổi vị trí các chữ số để được một số mới chia hết cho 4. Goi so dola abc4 va a,b,c chan Ta chung min h bac4 Xet hieu : abc bac 90.(a b)4 vi a,bchan a b2 Vây: tồn tại cách đổi vị trí các chữ số để được một số mới chia hết cho 4. Bài 33. Chứng minh rằng trong tất cả các số tự nhiên khác nhau có bảy chữ số lập bởi cả bảy chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 không có hai số nào mà một số chia hết cho số còn lại. Ta cotong1 2 3 4 5 6 7 28 chia 9 du 1 Gia su tontai hai so x va y ma x chia het cho y thithuong bang 2;3;4;5;6 Vi solon nhat 7654321va so nho nhat la1234567 Neu x chia y cothuong bang 2thi x chia9co so du bang 2(Loai) Neu x chia y cothuong bang 3thi x chia9co so du bang 3(Loai) Neu x chia y cothuong bang 4thi x chia9co so du bang 4(Loai) Neu x chia y cothuong bang 5thi x chia9co so du bang 5(Loai) Neu x chia y cothuong bang 6thi x chia9co so du bang 6(Loai) Vây: bảy chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 không có hai số nào được lập từ bảy số trên mà một số chia hết cho số còn lại. Bài 34. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: a)(n 10)(n 15)2 b) n(n 1)(n 2)2va3 c) n(n 1)(2n 1)2va3 Bài 35. So sánh : A (3031 3131)30 Va B (3030 3130 )31 Bài 36. Tính nhanh: A = 1.2 +2.3 +3.4+ +99.100
  13. a) A 1.2 2.3 3.4 99.100 3A 1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) 99.100.(101 98) 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 99.100.101 98.99.100 99.100.101 A 33.100.101 333300 b) B 12 22 32 42 992 1.1 2.2 3.3 99.99 1(2 1) 2(3 1) 3(4 1) 99.(100 1) (1.2 2.3 3.4 99.100) (1 2 3 99) 333300 4950 328350 c) C 22 222 2222 22222 222 2 10so2 2 2(11 111 1111 1 11 1) (99 999 9999 999. 9) 10so1 9 10so9 2 2 1011 102 (102 1 103 1 104 1 1010 1) .( 9) 2469135798 9 9 9 d)D 3 33 333 333. 3 9so3 3D 9 99 999 999. 9 9so9 3D 10 1 102 1 103 1 109 1 (10 102 103 109 ) 9 1010 10 1010 91 1010 91 9 D 370370367 9 9 27 e) E 5 55 555 555. 5 9so5 5 E 5(1 11 111 111. 1) (9 99 999 999. 9) 9so1 9 9so9 5 5 1010 10 5 1010 81 (10 1 102 1 103 1 109 1) ( 9) .( ) 9 9 9 9 9