›
›
›

Tài liệu ôn tập - Đại số 8

docx 28 trang hoaithuong97 3880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn tập - Đại số 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_on_tap_dai_so_8.docx

Nội dung text: Tài liệu ôn tập - Đại số 8

  1. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 CHUYÊN ĐỀ NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC VÀ BẨY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ. I) Nhân đơn thức với đa thức: 1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 1 2 2 c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); 2 5 7 1 2 3 4 e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; 2 3 4 5 2 g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6); 3 3 i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35); 7 Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng. 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = . 2 b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2. 1 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 2 Bài 3. Thực hiện phép tính sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a). Bài 4. Đơn giản các biểu tức: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 1 c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100). 2 8 Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bài tập nâng cao Bài 7. Tính giá trị biểu thức: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 + .+ 80x + 15 với x = 79. b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 với x = 9. c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 với x = 31. d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x với x = 14. Bài 8. Chứng minh rằng : a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44. Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) nếu 2a + b  13 và 5a - 4b  13 thì a - 6b 13; b) nếu 100a + b  7 thì a + 4b  7; c) nếu 3a + 4b  11 thì a + 5b  11; II) Nhân đa thức với đa thức. 1
  2. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 1 1 c) x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( x - 1) (2x - 3); 2 2 1 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1); 2 2 g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bài 2.Chứng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bài 3. Thực hiện phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4). Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 6. Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2). Bài tập nâng cao Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). Bài 8. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bài 9. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ? HD: Trước hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì dư 0 hoặc 2. Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 dư 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chứng minh rằng A 100 HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - -2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt 2 + 211 2050  A4100 A100 Thõa sè thø hai ch½n  III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức cơ bản: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 2
  3. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2. 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B). 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3. 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Tính a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2. 1 d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - )2. 2 Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: 1 a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + 1. 4 Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z). Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2). Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Với x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 97; d) 25x2 - 30x + 9 với x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 với x = 4. Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4. Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1). Bài 9. Tìm x, biết: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]. Các bài toán nâng cao 3
  4. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bài 13. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2. Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b. Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c. Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c. Bài 17. Cho a + b + c = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) Tính a4 + b4 + c4. Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a) a + b + c = 2(a b + b c +c a ); 4 4 4 2 b) a + b + c = 2(ab + bc + ca) ; 2 a2 b2 c2 4 4 4 c) a + b + c = ; 2 Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến. 2 2 2 a) 9x - 6x +2; b) x + x + 1; c) 2x + 2x + 1. Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bài 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3. Bài 23. Cho x + y = a; xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy. b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy. Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 30. Chứng minh rằng: a) nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương. b) nếu 2n là tổng hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương. c) nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 31. a) Cho a = 11 1(n chữ số 1), b = 100 05(n - 1 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương. b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước : 16, 1156, 111556, 4
  5. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11 12(n chữ số 1), b = 11 14(n chữ số 1). Bài 33. Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương. Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương: a) A = 1 1 1 2 2 2 b) B = 1 1 1 4 4 4 1 2n n 2n n Bài 35. Các số sau là bình phương của số nào ? a) A = 9 9 90 0 025 ; b) B = 9 9 980 0 01 ; n n n n c) C = 4 4 48 8 89 ; d) D = 1 1 12 2 25 . n n 1 n n 1 CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử *) Bài 1: Phân tích thành nhân tử 5
  6. Tài liệu ôn tập - Đại số 8 a) 3x - 3y Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) 2x2 5x3 x2y a) 4x2 6x; c)14x2 21xy2 28x2y2 b)21x2 y 12xy2 ; d)4x3 14x2 c)x3 x2 2x; e)5y10 15y6 d)3x x 1 7x2 x 1 ; 2 2 2 f)9x y 15x y 21xy e)x2 y2z xy2z2 x2 yz; g)x(y 1) y(y 1) f )2x x 1 2 x 1 ; h)10x(x y) 8y(y x) g)4x x 2y 8y 2y x 2 i)3x (x 1) 2(x 1) Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc j)a(b c) 3b 3c a) 15.91,5+150.0,85 k)a(c d) c d b) 5x5 (x 2z) 5x5 (2z x)t¹i x=1999; y=2000; z=-1 l)b(a c) 5a 5c Bµi 4: T×m x, biÕt m)b(a c) 5a 5c a) 5x(x-2)-(2-x)=0 n)a(m n) m n b) 4x(x+1)=8(x+1) o)mx my 5x 5y 1 2 c) x(2x-1)+ x 0 p)ma mb a b 3 3 q)1 xa x a d)x(x 4) (x 4)2 0 2 r)(a b) (b a)(a b) e)x2 5x 0; 2 2 t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b ) f )3x(x 2) 2(2 x) 0; Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) 0. a)2x(x+3)+2(x+3) Bµi 5:Chøng minh r»ng b)4x(x-2y)+8y(2y-x) a) B×nh ph­¬ng cña mét sè lÎ chia cho 4 2 2 2 c) y (x y) zx zy th× d­ 1 d)3x(x 7)2 11x2 (x 7) 9(x 7) b) B×nh ph­¬ng cña mét sè lÎ chia cho 8 e)(x 5)2 3(x 5) th× d­ 1 f)2x(x 3) (x 3)2 Bµi 6: chøng minh r»ng: g)x(x 7) (7 x)2 n2 n 1 2n n 1 h)3x(x 9)2 (9 x)3 lu«n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n. i)5x(x 2) (2 x) j)4x(x 1) 8x2 (x 1) k)pm 2 .q pm 1.q3 p2 .qn 1 p.qn 3 o)5x5 (x 2z) 5x5 (2z x) p)10x(x y) 8y(y x) q)21x2 12xy2 r)2x(x 1) 2(x 1) t)4x(x 2y) 8y(2y x) II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức: 1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 6
  7. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2; e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 1 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y2 36 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 n) x3 + y3 + z3 - 3xyz. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 c) x6 - y3; d)125x3 - 1 e) x3 -3x2 + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; 2 2 b) M = 2 2 2 2 2 2 2 2 4abcd a b c d 4 cd a b ab c d Bài 4 Tính nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 c) 732 -272; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bài 5 Tìm x, biết a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 3 2 e) x + 3x = -3x - 1 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12. Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm 2 2 2 a) x - 2xy + y + a ; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: (4n + 3)2 - 25 chia hết cho 8. III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử. 1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y. d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2; f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; 7
  8. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a. Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; 1 c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2. 3 Bài 6 Tìm x, biết: a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0; c) x2 - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bài 7 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5 Bài 8. Tính nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45. Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3. IV) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. 1) Kiến thức cơ bản: - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2. e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; i) x3 - 11x2 + 30x; j) 4x4 - 21x2y2 + y4; k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6. Bài 2: Tìm x, biết. 1 a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0; 4 d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0 e) x2(x - 3) +12 - 4x =0. Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức: 1 1 a) x2 + x + tại x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6. 2 16 Toán khó mở rộng: 8
  9. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 Bài 4. a) Số 717 + 17. 3 - 1 chia hết cho 9. Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + + (a + 1)2 + a + 2]. Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Với x2 + y2 = 1 2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 với x2 + y2 = a, xy = b 3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 với ab = a + b. 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 với a + b + c = 2p. Bài 6. Tính giá trị biểu thức: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - - 22 - 2 - 1. b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 + - 12x2 + 12x - 1 với x = 11. Bài 7. Rút gọn: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1). 2 3 4 n b) Mở rộng: B = 3(22 1)(22 1)(22 1)(22 1) (22 1) Bài 8. Chứng minh: 1 a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) với a + b + c = 0 2 Bài 9. Chứng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) với a + b + c = 0. Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, , an chia hết cho 3. Chứng minh rằng 3 3 3 3 A = a1 + a2 + a3 + + an cũng chia hết cho 3 V) Một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Phương pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác. 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c. - Bước 1: Tìm tích ac. - Bước 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách. - Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Các bài tập áp dụng dạng này: Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5; j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20. 1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. n n-1 n-2 Trong đó a là ước số của an,, với f(x) = a0x + a1x + a2x + + an-1 + an. b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4. Lần lượt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta tách như sau: Cách 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2). Cách 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” của đa thức để phân tích. 2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngược trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta được: f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24với y = x 2 + 5x + 4 9
  10. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngược trở lại y = x2 + 5x + 4 ta được f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Phương pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. *) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - (3 x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x) *) Bài tập áp dụng : Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4 1 Bài 2. a) Phân tích n4 + 4 4 1 4 1 4 1 1 2 19 4 4 4 b) Áp dụng: Rút gọn S = 4 1 4 1 4 1 2 4 20 4 4 4 4) Phương pháp xét giá trị riêng: Trước hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Như vậy P chứa thừa số x = y nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x). vậy P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x). Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1 vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x) Các bài tập áp dụng của các dạng trên. Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2. Bài 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2; g) x3 + x2 - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiều cách). x3 - 7x - 6. Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3. Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phương pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) 10
  11. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: Đặt x = a + b, y = a - b. Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; e) 4x4 + 1; f) 64x4 + y4; g) x4 + 324; h) x8 + x + 1; i) x7 + x5 + 1; j) x8 + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1. Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63. Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + 98x2 + 1. Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phương pháp xét giá trị dương). a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b). b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c CHUYÊN ĐỀ CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC I) Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B). 1) Phương pháp: - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. - Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B. - Nhân các kết quả tìm được với nhau. 1) Ví dụ và bài tập: Bài 1. Làm phép tính chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16 14 21 18 1 1 3 3 c) : ; d) : . 2 2 5 5 Bài 2. Chia các đơn thức: 1 3 a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) ( a3b4c5) : a2bc5; 2 2 c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y; e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b); g) 27x4y2z : 9x4y; h) 9x2y3 : (-3xy2); 3 1 i) ( m2n4) : m2n2; j) 5x4y3z2 : 3xyz2; 4 2 3 1 k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); l) (a - b)5 : (b - a)2; 2 2 n) (x + y)2 : (x + y); m)(x - y)5 : (y - x)4; 2 o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; ơ) 0,5ambnc3 : ( a2bc); 3 p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c). Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau: 1 (-x2y5)2 : (-x2y5) tại x = và y = -1. 2 Bài 4. Thực hiện phép chia: 4 6 1 a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x); 3 5 3 3 6 9 3 c) ( a3b6c2 + a4b3c - a5b2c3) : a3bc; 4 5 10 5 d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2). 11
  12. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện được các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm được hãy thực hiện phép chia đó . a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4. II) Chia đa thức cho đơn thức. 1) Phương pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B. - Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B. - Cộng các kết quả lại với nhau. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Thực hiện phép tính: a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bài 2. Làm tính chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); 1 1 c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); 2 3 2 e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4); 3 f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2. g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y). Bài 3. Thực hiện phép tính: 15 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4); 4 b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy. d) Chứng minh số có dạng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hết cho 17 ( n thuộc N). Bài 4. Làm tính chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); c) (x3 - 8y3) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3. Bài 5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2. A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3. III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp: 1) Phương pháp chung: - Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì được hạng tử cao nhất của thương. - Nhân hạng tử cao nhất của thương với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ nhất. - Chia hạng tử cao nhất của đa thức dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được hạng tử thứ hai của thương. - Nhân hạng tử thứ hai của thương với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa tìm được, ta được dư thứ hai. - Lặp lại quá trình trên cho đến khi: +) nếu dư cuối cùng bằng 0 thì phép chia có dư bằng 0 và được gọi là phép chia hết. +) nếu dư cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức dư thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó được gọi là phép chia có dư. 2) Ký hiệu: A(x) là đa thức bị chia; B(x) là đa thức chia; Q(x) là đa thức thương; R(x) là đa thức dư; Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x); - Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết. - Nếu R(x) 0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép chia có dư. 12
  13. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 3) Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3); Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa của biến: a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2); k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2). Bài 3. Không thực hiện phép chia, hãy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5). HD: a) Kí hiệu số dư là r, ta có thể biết: x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta được: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9 vậy dư trong phép chia là 9. b) Ta thấy ngay thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x - 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x - 1. Bài 4. Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức dư trong trường hợp không chia hết. 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); 2 c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1). Bài 5. Tính nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); 1 4 1 d) (64a3 - b3) : (16a2 + ab + b2). 27 3 9 4) Một số phương pháp khác để tìm đa thức thương và đa thức dư: 4.1) Phương pháp đặt phép chia: Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Thực hiện phép chia x3 + ax + b x2 + x - 2 x3 + x2 - 2x -x2 + (a +2)x + b x - 1 -x2 - x + 2 (a + 3)x + (b -2) Để chia hết, đa thức dư phải đồng nhất băng 0, nên : 13
  14. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 a 3 0 a 3 b 2 0 b 2 vậy với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x + 2. 4.2) Phương pháp hệ số bất định. - Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì người ta goi là hai đa thức hằng đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x)  g(x). - Hai đa thức (đã viết dưới dạng thu gọn) được gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau. *) Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là x3 : x2 = x. Gọi thương của phép chia là x + c, ta có: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c. Hai đa thức trên đồng nhất nên : c 1 0 c 1 c 2 a a 3 2c b b 2 Vậy với a = -3, b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2, thương là x - 1. 4.3) Phương pháp xét giá trị riêng. *) Ví dụ: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Giải Gọi thương của phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 là Q(x), ta có: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lượt cho x = 1, x = -2 ta được : 1 a b 0 a b 1 a 3 8 2a b 0 2a b 8 b 2 Với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2 và thương là x - 1. 4.4) Phương pháp vận dụng vào định lý Bơdu a) Định lý: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a.(Nghĩa là r = f(a)). b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = 0 Các bài tập áp dụng cho các phương pháp trên. Bài 1. Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức. HD: sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số. x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2 Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2. HD: sử dụng phương pháp giá trị riêng, ta được kết quả a = 2; b = - 4. Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x - 1 dư 21. HD: ta có kết quả a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1. Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để: a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1; b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2. HD a) Thực hiện phép chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 dư là -3 Suy ra -3  (x + 1) x {0; -2; 2; -4}. 14
  15. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 b) x {3; 1; 5; -1}. Bài 5. Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. HD *) Cách 1. (Đặt phép chia đa thức). A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) được thương là a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) và đa thức dư là -a2 + a + 6 - Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức dư phải bằng 0, tức là -a2 + a + 6 = 0, giải phương trình ta được a = -2; a = 3. *) Cách 2. (Dùng phương pháp hệ số bất định). +) Tìm hạng tử bậc cao nhất a2x3 : x = a2x2, hạng tử bậc thấp nhất -2a : 1 = -2a +) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phương pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a = 3 và kết luận. *) Cách 3. (Dùng phương pháp xét giá trị riêng). Bài 6. Xác định hằng số a sao cho: a) 10x2 - 7x + a chia hết cho2x - 3; b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 dư 4; c) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho x - 1. Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b. Bài 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì dư - 5. CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , B trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 A là tử thức (tử). B là mẫu thức Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1. b) Hai phân tức bẳng nhau: A C A C Với hai phân thức và , ta nói = nếu A.D = B.C B D B D 2) Bài tập: Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: x2 y3 7x3 y4 x2 x 2 x a) ; b) ; 5 35xy x x 2 2 x 2 3 x x2 6x 9 x3 4x x2 2x c) ; d) ; 3 x 9 x2 10 5x 5 5y 20xy 3x x 5 3x e) ; f) ; 7 8x 2 x 5 2 x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x2 3x 2 g) ; h) ; x 1 x2 1 x 1 x 1 x3 8 i) x 2 . x2 2x 4 Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. A 6x2 3x 4x2 3x 7 4x 7 a) ; b) ; 2x 1 4x2 1 A 2x 3 4x2 7x 3 A x2 2x x2 2x c) ; d) . x2 1 x2 2x 1 2x2 3x 2 A 15
  16. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng. 5x 3 5x2 13x 6 x 1 x2 3 a) ; b) ; x 2 x2 4 x 3 x2 6x 9 x2 2 x 2 2x2 5x 3 2x2 x 3 c) ; d) . x2 1 x 1 x2 3x 4 x2 5x 4 Bài 5. Ba phân thức sau có bằng nhau không? x2 x 2 x 2 x2 4 ; ; . x2 1 x 1 x2 x 2 Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau: 3 x2 3 a) ; b) ; 5x 2 x2 6x 9 x 2x 1 c) ; d) . x2 3x x2 3x 2 Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. 3x 1 x2 x a) ; b) ; x2 5 2x 1 x2 3x 2 x2 2x c) ; d) ; x2 1 x2 4x 4 x4 x3 x 1 x4 5x2 4 e) ; f) . x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9 Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 3 6 2 x 1 a) ; b) ; c) ; x2 x 1 x 3 x3 1 II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: a) Tính chất: A A.M - Tính chất 1: (M là đa thức khác đa thức 0). B B.M A A: M - Tính chất 2: (M là nhân tử chung khác 0). B B : M A A b) Quy tắc đổi dấu: . B B 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: x x2 x x2 8 3x3 24x a) ; b) ; 5x2 5 2x 1 3x2 3xy x2 2xy y2 c) ; d) 2 2 ; x y 3 y x 2 x y y x x3 x2 5x 5y 5x2 5y2 e) ; f) . x2 1 x 1 2y 2x Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước. 4x 3 8x2 8x 2 a) , A= 12x2 +9x ; b) , A 1 2x ; x2 5 4x 2 15x 1 Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức. 3 x 1 x 5 x2 25 a) và ; b) và ; x 2 5x 4x 2x 3 16
  17. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức: 3x 7x 2 4x 3x a) và ; b) và ; x 5 5 x x 1 x 1 2 x 4 2x x 3 c) và ; d) và ; x2 8x 16 2x 8 x 1 x 3 x 1 x 2 Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không? x3 y3 x2 x2 x2 a) và ; b) và ; xy3 y x y2 x2 y2 1 x x 1 3(x 1) 3(x 1) c) và ; d) và ; (x 1)(3 x) (x 1)(x 3) (1 x)2 (x 1)2 Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3; x2 x x 1 a) ; b) ; c) . x3 1 x 1 x2 x 1 Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau: xy2 1 x2 a) ; b) ; 2x x x 1 y2 x2 2x 1 c) ; d) . x y x 2 Bài 8. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức: x x y a) x2 và ; b) và ; x 1 2y x 2x y x x 1 1 x c) và ; d) và . x3 y3 x y x5 y4 x4 y5 Bài 9. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức: 1 x 2 x y a) và ; b) và ; x x 3 y x x2 y2 x y x3 y2 x2 y3 c) và ; d) và ; 2x2 xy x x y x y BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=180k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=140k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2019-2020)=100k; 80 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k (Các đề thi HSG cấp huyện trở lên) III) Rút gọn phân thức 1) Phương pháp: - Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 2) Bài tập áp dụng: Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 14xy5 (2x 3y) 8xy(3x 1)3 a) ; b) ; 21x2 y(2x 3y)2 12x3 (1 3x) 20x2 45 5x2 10xy c) ; d) ; (2x 3)2 2(2y x)3 17
  18. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 80x3 125x 9 (x 5)2 e) ; f) ; 3(x 3) (x 3)(8 4x) x2 4x 4 32x 8x2 2x3 5x3 5x g) ; h) ; x3 64 x4 1 x2 5x 6 10xy2 (x y) i) . J) ; x2 4x 4 15xy(x y)3 x2 xy x y 3x2 12x 12 k) ; l) ; x2 xy x y x4 8x 7x2 14x 7 2a2 2ab n) ; m) ; 3x2 3x ac ad bc bd x2 xy 2x 2y o) ; ơ) ; y2 x2 x2 2xy y2 2 2a x2 6x 9 p) ; q) ; a3 1 x2 8x 15 x4 2x3 x7 x4 v) ; u) ; 2x4 x3 x6 1 (x 2)2 (x 2)2 24,5x2 0,5y2 ư) ; x) ; 16x 3,5x2 0,5xy a3 3a2 2a 6 (a b)(c d) y) ; z) . a2 2 (b2 a2 )(d 2 c2 ) Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x2 y 2xy2 y3 xy y2 x2 3xy 2y2 1 a) ; b) . 2x2 xy y2 2x y x3 2x2 y xy2 2y3 x y Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức: 45x(3 x) y2 x2 a) ; b) . 15x(x 3)3 x3 3x2y 3xy2 y3 Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau: ax4 a4 x 1 x3 x2 6x a) với a = 3, x = ; b) với x = 98 a2 ax x2 3 x3 4x x3 3x 1 x4 2x3 1 c) với x = ; d) với x = ; 3x3 x5 2 2x2 x3 2 10ab 5a2 1 1 a7 1 e) với a = , b = ; f) với a = 0,1; 16b2 8ab 6 7 a15 a8 2x 4y x2 9y2 g) với x + 2y = 5; h) với 3x - 9y = 1. 0,2x2 0,8y2 1,5x 4,5y a b Bài 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = . a b Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. x2 y2 2ax 2x 3y 3ay a) ; b) ; (x y)(ay ax) 4ax 6x 6y 6ay Bài tập nâng cao. Bài 7. Rút gọn các biểu thức. m4 m ab2 a3 a2b a) ; b) ; 2m2 2m 2 a3b b4 xy 1 x y ax ay bx by c) ; d) ; y z 1 yz ax ay bx by 18
  19. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 a2 b2 c2 2ab a2 b2 e) ; f) ; a2 b2 c2 2ac a2 a b b2 a3 1 a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 ) g) ; h) ; 2a2 4a 2 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) x2 (a b)x ab x2 a2 b2 2bc 2ax c2 i) ; j) ; x2 (a b)x ab x2 b2 a2 2bx 2ac c2 3x3 2x2 4x 5 x x 2 k) ; l) . 6x2 3x 9 x2 5x 6 a2x b2x 1 (2a 3b)2 n) ; m) ; a x bx 2a 3b 1 33x 33y 24m 24n o) ; ơ) ; 3x 3y 22n 22m a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) 2x3 7x2 12x 45 p) ; q) ; ab2 ac2 b3 bc2 3x3 19x2 33x 9 x3 y3 z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz u) ; ư) . (x y)2 (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z)2 (z x)2 Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0. x4 x3 x 1 x4 5x2 4 a) ; b) . x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9 Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức. A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau x2 y2 z2 Bài 10. Rút gọn biết rằng x + y + z = 0. (y z)2 (z x)2 (x y)2 3x 2y Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0. 3x 2y HD 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 8xy 1 Ta có A2 = 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 32xy 4 1 Do 2y < 3x < 0 3x 2y 0,3x 2y 0 A 0 . vậy A = . 2 (14 4)(54 4)(94 4) (214 4) Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = . (34 4)(74 4)(114 4) (234 4) HD Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1 Do đó P =    (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577 1 Bài 13. Cho phân số A = (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân. 1,00 01 HD 10100 Ta có A = . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được: 10100 1 100 100 10100 (10100 1) 99 900 0 A= 200 0,9 9 90 0 0 10 1 9 9 9 100 100 200 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số). 19
  20. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 (a2 b2 c2 )(a b c)2 (ab bc ca)2 Bài 14. Cho phân thức: M = (a b c)2 (ab bc ca) a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức M. HD: a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0. Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0. 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0 a + b = b + c = c + a a = b = c. vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, tức là a2 + b2 c2 0. b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y. x(x 2y) y2 x2 2xy y2 (x y)2 Ta có M = x y a2 b2 c2 ab bc ca x 2y y x y x y (Điều kiện là a2 + b2 c2 0) IV) Quy đồng mẫu thức. 1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức: - Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần). - Lập tích các nhân tử bằng số và chữ: +) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu. +) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất. 2) Bài tập áp dụng Các bài tập cơ bản và nâng cao. Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 3 a) , ; b) , ; 14x2 y 21xy5 102x4 y 34xy3 3x 1 y 2 1 x 1 x 1 c) , ; d) , , ; 12xy4 9x2 y3 6x3 y2 9x2 y4 4xy3 3 2x 5 2 4x 4 x 3 e) , , ; f) , ; 10x4 y 8x2 y2 3xy5 2x(x 3) 3x(x 1) 2x x 2 5 3 g) , ; h) , . (x 2)3 2x(x 2)2 3x3 12x (2x 4)(x 3) Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau. 7x 1 5 3x x 1 x 2 a) , ; b) , ; 2x2 6x x2 9 x x2 2 4x 2x2 4x2 3x 5 2x 6 7 4 x y c) , , ; d) , , ; x3 1 x2 x 1 x 1 5x x 2y 8y2 2x2 5x2 4x 3 x x 1 x 1 e) , , ; f) , , ; x3 6x2 12x 8 x2 4x 4 2x 4 x3 1 x2 x x2 x 1 a x a x a d a d g) , ; h) , ; 6x2 ax 2a2 3x2 4ax 4a2 a2 ab ad bd a2 ab ad bd x y z i) , , ; x2 2xy y2 z2 x2 y2 2yz z2 x2 2xz y2 z2 1 3 2 x x2 y2 j) , , ; k) , , x y ; x3 1 2x 2 x2 x 1 x y x2 2xy y2 x2 2x 1 x 1 l) , , . 6x2 7x 3 2x2 7x 6 3x2 5x 2 Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức: 20
  21. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 a x b x b a 2x 1 x 2a a) , , ; b) , ; axb3 a2 xb2 axb2 x2 4ax 4a2 x2 2ax a x a x a b a c c) , ; d) , ; 6x2 ax 2a2 3x2 4ax 4a2 a2 bc ac ab a2 bc ac b2 x x 2 x 1 x 2 x 2x 1 e) , , ; f) , , . x3 27 x2 6x 9 x2 3x 9 x2 3x 2 2x2 5x 3 2x2 7x 6 Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện). x 1 x 1 1 2x 1 a x 2x2 1 a) , , ; b) , , ; 2x 2 2x 2 1 x2 x a x2 ax a2 x3 a3 24 4x 18 x 1 x 2x 1 c) , , ; d) , , ; 4x3 x x 2x2 2x2 x 2x2 x4 x4 2x2 4 x7 8x 2x y 4xy e) , , . x2 3xy 2y2 3x2 4xy y2 3x2 7xy 2y2 Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau. x2 5x 6 2x2 7x 5 x3 2x2 x 2 x3 5x 4 a) , ; b) , ; x2 4 x2 4x 3 x3 x2 4x 4 x3 2x2 3x 4 x3 2x2 5x 26 x3 4x2 10x 12 c) , ; x3 5x2 17x 13 x3 x2 2x 16 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx x3 y3 z3 3xyz d) , . x2 y2 z2 2yz (x y)2 (y z)2 (z x)2 x x 2 Bài 6. Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức , 2x2 7x 15 x2 3x 10 a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho. 1 2 Bài 7. Cho hai phân thức: , . Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức x2 4x 5 x2 2x 3 x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức. V) Phép cộng các phân thức đai số. 1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu 2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: - Quy đồng mẫu thức các phân thức. - Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng). 3) Bài tập áp dụng: Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức: 1 2x 3 2y 2x 4 x2 2 2 x a) ; b) ; 6x3 y 6x3 y 6x3 y x(x 1)2 x(x 1)2 3x 1 x2 6x x2 38x 4 3x2 4x 2 c) ; d) . x2 3x 1 x2 3x 1 2x2 17x 1 2x2 17x 1 Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức: 5 7 11 4x 2 5y 3 x 1 a) ; b) ; 6x2 y 12xy2 18xy 15x3 y 9x2 y 5xy3 3 3x 3 3x 2 x3 2x 2x 1 c) ; d) ; 2x 2x 1 2x 4x2 x3 1 x2 x 1 x 1 y 4x 1 3 x 14 e) ; f) ; 2x2 xy y2 2xy x 2 x2 4 (x2 4x 4)(x 2) 1 1 1 1 1 g) ; h) ; x 2 (x 2)(4x 7) x 3 (x 3)(x 2) (x 2)(4x 7) Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng. 21
  22. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 4 2 5x 6 1 3x 3x 2 3x 2 a) ; b) ; x 2 x 2 4 x2 2x 2x 1 2x 4x2 1 1 x x2 2 2 1 c) ; d) ; x2 6x 9 6x x2 9 x2 9 x3 1 x2 x 1 1 x x x 4xy e) . x 2y x 2y 4y2 x2 Bài 4. Cộng các phân thức: 1 1 1 a) ; (x y)(y z) (y z)(z x) (z x)(x y) 4 3 3 b) ; (y x)(z x) (y x)(y z) (y z)(x z) 1 1 1 c) ; x(x y)(x z) y(y x)(y z) z(z x)(z y) 4 3 3 d) ; (a x)(c x) (a x)(a c) (a c)(x c) 1 1 1 e) . a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) Bài 5. Làm tính cộng các phân thức. 11x 13 15x 17 2x 1 32x2 1 2x a) ; b) ; 3x 3 4 4x 2x2 x 1 4x2 2x2 x 1 1 2x x4 c) ; d) x3 x2 x 1 ; x2 x 1 x2 x 1 x3 1 x 5 3 x x 1 2x 3 e) ; f) ; 2x2 y 5xy2 y3 2x 6 x(x 3) 3x 5 25 x x4 1 g) ; h) x2 1 ; x2 5x 25 5x 1 x2 4x2 3x 17 2x 1 6 i) ; x3 1 x2 x 1 1 x Bài 6. Cho hai biểu thức: 1 1 x 5 3 A = , B = x x 5 x(x 5) x 5 Chứng tỏ rằng A = B. Bài 7. Tính giá trị của biểu thức : 2x 1 1 a) A = với x = 10; 1 x3 x2 x x2 x 1 x4 b) B = x3 x2 x 2 với x = -99 1 x Các bài tập nâng cao x2 5 a b Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức viết được thành x3 3x 2 x 2 (x 1)2 HD: Dùng một trong hai phương pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng. Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x x y y z z x y z x a) ; b) . xy yz zx (x y)(y z) (y z)(z x) (z x)(x y) Bài 10. Cộng các phân thức : 1 1 1 . (b c)(a2 ac b2 bc) (c a)(b2 ab c2 ac) (a b)(c2 bc a2 ab) (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980) 22
  23. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 Bài 11. Rút gọn biểu thức : 1 1 2 4 8 A = . 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 Bài 12. Tìm các số A, B, C để có : x2 x 2 A B C . (x 1)3 (x a)3 (x 1)2 x 1 Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức : a2 3ab 2a2 5ab 3b2 a2 an ab bn . a2 9b2 6ab a2 9b2 3bn a2 an 3ab VI) Phép trừ các phân thức đại số. 1) Phân thức đối: - Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. A A A A - Công thức: và . B B B B 2) Phép trừ: A C A C - Quy tắc: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của B D B D A C A C - Công thức: B D B D 3) Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính trừ các phân thức: 3x 2 7x 4 3x 5 5 15x a) ; b) ; 2xy 2xy 4x3 y 4x3 y 4x 7 3x 6 9x 5 5x 7 c) ; d) ; 2x 2 2x 2 2(x 1)(x 3)2 2(x 1)(x 3)2 xy x2 5x y2 5y x2 e) ; f) ; x2 y2 y2 x2 x2 y xy2 x x x 9 3 g) ; h) ; 5x 5 10x 10 x2 9 x2 3x 3 x 6 x4 3x2 2 i) ; j) x2 1 ; 2x 6 2x2 6x x2 1 x 1 1 x 2x(1 x) 3x 1 1 x 3 k) ; l) ; x 3 x 3 9 x2 (x 1)2 x 1 1 x2 5 4 3x2 3x 2 6 3x 2 n) 3 ; m) . 2x2 6x x2 9 x2 2x 1 x2 1 x2 2x 1 Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết A C E A C E . B D F B D F Áp dụng điều này để làm các phép tính sau: 1 1 3x 6 18 3 x a) ; b) . 3x 2 3x 2 4 9x2 (x 3)(x2 9) x2 6x 9 x2 9 Bài 3. rút gọn các biểu thức : 3x2 5x 1 1 x 3 1 x2 2 a) ; b) 1 ; x3 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 7 x 36 c) . x x 6 x2 6x Bài 4. Thực hiện phép tính: 1 2 3 a) ; (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 1) 23
  24. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 1 1 1 b) A . a(a b)(a c) b(b a)(b c) (a c)(c b) Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức: 1 x2 2 a) A = 1 với x = 99; x2 x 1 x3 1 2x 1 1 2x 2 1 b) B = với x = . 4x 2 4x 2 1 4x2 4 Các bài toán nâng cao Bài 6. Rút gọn các biểu thức : a a a 1 a) A = ; x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) x 3a 1 1 1 1 b) B = ; 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 3 3 3 3 HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B = 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 3 1 1 Từ đó ta có (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5 3 1 1 Xét từng số hạng cụ thể : 2.5 2 5 3 1 1 5.8 5 8 3 1 1 (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5 3 3 3 3 1 1 3n 5 2 3(n 1) = 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 2 3n 5 2(3n 5) 2(3n 5) 3(n 1) n 1 Hay 3.B = B 2(3n 5) 2(3n 5) 1 1 1 1 c) C = . 1.2 2.3 3.4 n(n 1) HD : Thực hiện như phần trên Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z. x z x y y z . (x y)(y z) (x z)(y z) (x y)(x z) Bài 8. Thực hiện phép tính : 1 1 1 a) A ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1 1 1 b) B ; a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) bc ac ab c) C ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 d) D ; (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho: 1 ax b c a) ; (x2 1)(x 1) x2 1 x 1 1 1 1 Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = , c = , b = . 2 2 2 24
  25. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 1 a b c 1 1 b) ; (ĐS : a ;b 1;c ) x(x 1)(x 2) x x 1 x 2 2 2 1 a b c c) . (ĐS: a = -1; b = 1; c = 1) (x 1)2 (x 2) x 1 (x 1)2 x 2 Bài 10. Cho abc = 1 (1) 1 1 1 a b c (2) a b c Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1. HD bc ac ab Từ (2) : a b c abc Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca (3) Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0 Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1) = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca) Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1. x 2x 3y Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A = . y 2 x 6 3y 6 2x (x 6) HD : A = 3 1 4 . y 2 x 6 x2 y2 z2 x2 y2 z2 Bài 12. Tìm x, y, z biết : . 2 3 4 5 HD: x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 Từ suy ra : 0 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 3 2 1 x2 y2 z2 0 x y z 0. 10 15 20 1 1 Bài 13. Tìm x, y biết:. x2 y2 4 x2 y2 HD 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 Ta có x 2 y 2 4 x 2 2 y 2 2 0 x y 0 x y x y x y 1 x x x2 1 1 2 y y 1 y Có bốn đáp số như sau: x 1 1 -1 -1 y 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 Bài 14. Cho biết : 2 (1), 2 (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc. a b c a2 b2 c2 HD 1 1 1 1 1 1 Từ (1) suy ra : 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc 1 1 1 a b c Do (2) nên : 1 1 a b c abc ab ac bc abc 25
  26. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 x y z a b c a2 b2 c2 Bài 15. Cho 0 (1) , 2 (2). Tính giá trị biểu thức: . a b c x y z x2 y2 z2 HD Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3) a2 b2 c2 ab ac bc Từ (2) suy ra : 2 2 2 2 4 x y z xy xz yz a2 b2 c2 abz acy bcx Do đó : 4 2 4 x2 y2 z2 xyz 1 1 1 3 Bài 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. CMR: . a3 b3 c3 abc HD Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0. ab bc ca 1 1 1 Do đó : 0 0 abc a b c Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz. a b c b c a Bài 17. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. b c a a b c HD Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a2 (c b) a(c2 b2 ) bc(c b) 0 (c b)(a2 ac ab bc) 0 (c b)(a b)(a c) 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên : 2x3 6x2 x 8 5 a) A ; (ĐS : A 2x2 1 x 2;2;4;8 ) x 3 x 3 x4 2x3 3x2 8x 1 3 b) B ; (ĐS : B x2 4 x 0;2 ) x2 2x 1 (x 1)2 x4 3x3 2x2 6x 2 2 c) C . (ĐS : C x2 3x x 0 x2 2 x2 2 1 1 2 4 8 Bài 19. Rút gọn biểu thức : A 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8 8 8 16 = 1 x8 1 x8 1 x16 Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa. Bài 20. Rút gọn biểu thức : 3 5 2n 1 B = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 HD Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được : 2k 1 (k 1)2 k 2 1 1 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 1 1 1 1 1 1 1 n(n 2) Do đó B = 1 12 22 22 32 n2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 VII) Phép nhân các phân thức đại số. A C A.C 1) Kiến thức cơ bản:  . B D B.D 2) Tính chất cơ bản: 26
  27. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 A C C A - Giao hoán:   B D D B A C E A C E - Kết hợp:     B D F B D F A C E A C A E - Phân phối đối với phép cộng:   . B D F B D B F 3) Bài tập cơ bản: Bài 1. Làm tính nhân phân thức : 10x3 121y5 24y5 21x a) 2  ; b) 2  3 ; 11y 25x 7x 12y 18y3 15x2 4x 8 2x 20 c) 4  3 ; d) 3  2 ; 25x 9y (x 10) (x 2) 2x2 20x 50 x2 1 (x2 xy)2 x3 y3 e)  ; f)  ; 3x 3 4(x 5)3 x2 y2 x3 y x2 y2 xy3 (x2 1)(x4 1)(x8 1) x2 6x 9 x3 27 g) . h)  ; x16 1 x2 3x 9 3x 9 1 x2 ax bx ab x2 2ax a2 i) (x3 8y3 ) ; j)  ; 5x2 10xy 20y2 x2 ax bx ab x2 bx b2 a2 ax ba bx a2 ax bx ab x2 ax 3a 3x x2 4x ax 4a k)  ; l)  . a2 ax ab bx a2 ax bx ab x2 3a ax 3x x2 4x ax 4a Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung). x 3 8 12x 6x2 x3 6x 3 25x2 10x 1 a)  ; b)  ; x2 4 9x 27 5x2 x 1 8x3 3x2 x 1 x4 c)  . x2 1 (1 3x)3 Bài 3. Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức : x 2 x2 2x 3 x 1 4 x a)  ; b)  ; x 1 x2 5x 6 x2 2x 8 x2 x x 2 x2 36 c)  . 4x 24 x2 x 2 Bài 4. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức: x3 2x 1954 x3 21 x a)   ; x 1975 x 1 x 1975 x 1 19x 8 5x 9 19x 8 4x 2 b)   . x 7 x 1945 x 7 x 1945 x2 y2 (x y)2 y2 (x y)2 c)   ; x y x2 x y x2 Bài 5. Rút gọn biểu thức : x4 15x 7 x 4x3 4 x7 3x2 2 3x x2 x 1 a)   ; b)   . 2x3 2 14x2 1 x4 15x 7 x3 1 x 1 x7 3x2 2 x y 2 2 c) (x y ) ; x y x y Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức : x2 y2 x y 1 2 2 với x = 15, y = 5. y x x xy y x y Bài 7. Chứng minh rằng : 27
  28. Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8 32 16 2 4 2 8 4 16 8 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 . x x 1 21