Ôn tập Hình học 7

Nội dung text: Ôn tập Hình học 7

1. ÔN TẬP HÌNH HỌC. Bài 1:
2. Bài3 Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I và J sao cho AB là đường trung trực của ID, AC là đường trung trực của DJ. Nối I với J cắt AB, AC lần lượt tại L và K. Chứng minh rằng: a) Tam ALJ cân b) DA là tia phân giác của góc LDK c) Ba đường thẳng DA, BK và CL cùng đi qua một điểm cố định. Bài 4 Bài 5 Câu 4(2,5 điểm): a) Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng . b) Tam giác HIK có = =360. Trên tia phân giác của góc HIK lấy điểm N sao cho góc IKN =120 . Hãy so sánh độ dài của KN và KH Câu 4 a) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho MD=DA Từ đó chứng minh ABD = MCD (c.g.c) => AB =MC Áp dụng BĐT tam giác vào AMC ta có AM>AC+MC=AC+AB Hay 2AD >AC+AB b) Trên tia đối của tia HI lấy điểm D sao cho ID=IK. D => IDN= IKN (c.g.c)=> ND=NK (*)và = =120. 60 H 12 N 18 18 I 12 K
3. Tam giác HIK có = =360. Suy ra = 1080. Mà góc DHK kề bù với góc IHK nên = 720.(1) Tam giác IDK có ID=IK ( theo cách vễ điểm D) => Tam giác IDK là tam giác cân, lại có góc DIK =360, nên có = =720.(2) Từ (1) và (2) => KDH cân tại K => KD=KH (3) Mặt khác, = 720 – 120 = 600 ( ) Từ (*) và ( )=> KDN là tam giác đều => KD=KN (4) Từ (3) và (4) => KN=KH . Bµi 6: Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC. Trªn tia ®èi cña c¸c tia BC vµ CB lÊy theo thø tù hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = CE a) Chøng minh tam gi¸c ADE lµ tam gi¸c c©n. b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE c) Tõ B vµ C vÏ BH vµ CK theo thø tù vu«ng gãc víi AD vµ AE. Chøng minh BH = CK d) Chøng minh 3 ®­êng th¼ng AM; BH; CK gÆp nhau t¹i 1 ®iÓm. A ABC cã AB = AC. GT DB = CE (D tia ®èi cña CB; E tia ®èi cña BC) a) ADE c©n H K b) MB = MC, chøng minh AM M KL lµ tia ph©n gi¸c gãc DAE D B C E c) BH  AD = H; CK  AE = K O chøng minh: BH = CK d) AM  BH  CK t¹i 1 ®iÓm Chøng minh: a) ABC c©n cã AB = AC nªn: A· C A· C Suy ra: A· D A· CE XÐt ABD vµ ACE cã: AB = AC (gt) A· D A· CE (CM trªn) DB = CE (gt) Do ®ã ABD = ACE (c - g - c) AD = AE (2 c¹nh t­¬ng øng). VËy ADE c©n t¹i A. b) XÐt AMD vµ AME cã: MD = ME (Do DB = CE vµ MB = MC theo gt) AM: C¹nh chung AD = AE (CM trªn) Do ®ã AMD = AME (c - c - c) M· AD M· AE . VËy AM lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE c) V× ADE c©n t¹i A (CM c©u a)). Nªn ·ADE ·AED XÐt BHD vµ CKE cã: B· DH C· EK (Do ·ADE ·AED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (C¹nh huyÒn- gãc nhän) Do ®ã: BH = CK. d) Gäi giao ®iÓm cña BH vµ CK lµ O. XÐt AHO vµ AKO cã: OA: C¹nh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (v× BHD = CKE )) AHO = AKO (C¹nh huyÒn- C¹nh gãc vu«ng)
4. Do ®ã O· AH O· AK nªn AO lµ tia ph©n gi¸c cña K· AH hay AO lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE . MÆt kh¸c theo c©u b) AM lµ tia ph©n gi¸c cña D· AE . Do ®ã AO  AM, suy ra 3 ®­êng th¼ng AM; BH; CK c¾t nhau t¹i O. Bài 7: Bài 8: Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. Gọi E là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh ABN = AMC và BN  CM. 2. Cho BM = 5 cm, CN = 7 cm, BC = 3 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 9: Cho tam giác DEF có Dµ = 60o . Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF ở P. Tia phân giác của góc F cắt cạnh DE ở Q. Gọi O là giao điểm của PE và QF. 1. Tính số đo E· OF và chứng minh OP = OQ. 2. Tìm điều kiện của tam giác DEF để hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. Bài 10 Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN A 4 B C M H N K
5. Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN a Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900 AH  BC Tính AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16 AH = 4cm b Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17 AM = 17 cm Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- g- c) MAN = c BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM BA > BK BKA > BAK  MAN >BAM=CAN Bài 11 1. Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Lấy điểm E trên tia đối của tia Ox, điểm F trên tia Oy sao cho OE = OB; OF = OA a) Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và EF. Chứng minh tam giác OMN vuông cân. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc với EF. Bài 12: Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính A· IC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh IDE cân.
6. A F E I K B D M C H P a/ Ta có  ABC = 600 suy ra  BAC +  BCA = 1200 1 AD là phân giác của  BAC suy ra  IAC =  BAC 2 1 CE là phân giác của  ACB suy ra  ICA =  BCA 2 1 Suy ra  IAC +  ICA = . 1200 = 600 2 Vây  AIC = 1200 b/ Xét AHP và AHK có  PAH =  KAH ( AH là phân giác của  BAC) AH chung  PHA =  KHA = 900 Suy ra AHP = AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK= 3cm Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 Suy ra AK = 5 cm Vì  AIC = 1200 Do đó  AIE =  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE Xét EAI và FAI có AE = AF  EAI =  FAI AI chung Vậy EAI = FAI (c-g-c) suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)  AIE =  AIF = 600 suy ra  FIC =  AIC -  AIF = 600 Xét DIC và FIC có  DIC =  FIC = 600 Cạnh IC chung  DIC =  FCI Suy ra DIC = FIC( g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I
7. Bài 13: Bài 14 (6 điểm) Cho ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CD. Chứng minh M, A, N thẳng hàng c) Gọi Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Chứng minh rằng BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. Bài 15: Bài 16: (5,0 điểm) Cho ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M vµ C. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H vµ K thuéc ®­êng th¼ng AE). Chøng minh r»ng: a/ BH = AK b/ MBH = MAK c/ MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n Bài 17: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có B = C = 500. Gọi K là điểm trong tam giác sao cho KBC = 100 , KCB = 300. Chứng minh BA = BK.
8. Bài 5 (5,0điểm) - Vẽ hình đúng B a/ HAB = KCA (CH – GN) M BH = AK K E H A C b/ MHB = MKA (c.g.c) c/ MHK c©n v× MH = MK (1) Cã MHA = MKC (c.c.c) AMH = CMK tõ ®ã HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M Bài 6 A (2,0điểm) Vẽ tia phân giác góc ABK cắt đường thẳng CK ở I. I Ta có: IBC cân nên IB = IC. BIA= CIA (c-c-c) · · 0 K nên BIA CIA 120 . C B Do đó: BIA = BIK (g-c-g) BA=BK Câu 18 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng a/ BE = CF AB AC b/ AE 2 Câu 19 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
9. A 2 1 F 1 B 2 1 C 1 M N 1 D E a/ BE = CF Câu Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D. 4 ¶ µ D1 F1(1) BD//AC => ¶ µ D1 F1(2) Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam giác AEF cân tại A µ µ => E F1 (3) µ ¶ Từ (1) và (3) => E D1 BE BD(4) ¶ ¶ Xét BDM và CFM có : MB = MC (5), M1 M 2 (6) Từ 2,5,6 => BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) AB AC b/ AE 2 Tam giác AEF cân tại A => AE = AF  2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)  2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AB AC  AE (ĐPCM) 2 Câu Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D 5 sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
10. B 2 1 15o 120o C 1 2 1 2 E 2 3 F 15o 1 2 1 A 2 D o Trên CA lấy điểm E sao cho Bµ 1 E· CA 15 , Gọi F là trung điểm CD o o => Bµ 2 30 mà Cµ 1 120 => Tam giác CBE cân tại C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD o o Do Cµ 1 120 => Cµ 2 60 => Tam giác CEF đều => FE = CF = FD o o => Dµ 1 Eµ 3 mà Dµ 1 Eµ 3 Fµ 2 60 ( CEF đều) => Dµ 1 30 · o ¶ ¶ 0 Xét tam giác CDE ta có CED 180 C2 D1 90 (1) Ta có : Dµ 1 Bµ 2 => EB = ED, µA1 Bµ 1 => EA = EB => ED = ED (2) o Từ 1, 2 => Tam giác EDA vuông cân tại E => Dµ 2 45 · ¶ ¶ o o o Vậy ADB D1 D2 30 45 75 Câu 20: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM AN 2AB . a) Chứng minh rằng: BM CN . b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh KC  AN . Câu 21: (2,5đ) a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA: MB : MC 3: 4 :5 . Tính số đo góc AMB. b) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
11. c) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số mà số đó chia hết cho tích các chữ số của nó. 7 A (2đ) M I C B E K N Vẽ hình – GT - KL a Ta có AM + AN = AC + (AM + CN) (1) (0,5) vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2) Từ (1) và (2) suy ra BM = CN b Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng song song (0,5) với AC cắt BC tại E ta chứng minh được MEI NCI(g.c.g) MI NI c Chứng minh MIK NIK KM KN (0,5) ABK ACK(c.g.c) KB KC Từ đó suy ra BKM CKN(c.c.c) MBK KCN Mà MBK ACK ACK KCN 900 KC  AN 8 a A (1đ) K 3a M (2,5đ) 4a 5a B C Ñaët MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Treân nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng MB, khoâng chöùa ñieåm C. Veõ tam giaùc ñeàu MBK. Khi ñoù: ·ABK M· BK ·ABM 600 ·ABM Vaø C· BM ·ABC ·ABM 600 ·ABM => ·ABK C· BM ABK vaø CBM coù: AB = CB ( ABC ñeàu) ·ABK C· BM => ABK = CBM (c.g.c) BK = BM ( MBK ñeàu)
12. => KA = MC = 5a AMK coù: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2 Theo ñònh lí Pitago ñaûo, ta coù AMK vuoâng taïi M. Vaäy ·AMB ·AMK B· MK 900 600 1500 b Gọi số chính phương phải tìm là A m2 aabb trong đó (0,75) a;b 0;1 9;a 0 . 2 Ta có A m aa00 bb 11a.100 11b 11 99a a b (1) để A là số chính phương thì 99a a b 11 Mà 1 a b 18 a b 11 thay vào (1) m2 11(99a 11) 112 (9a 1) 9a 1 là số chính phương Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta có a = 7 thỏa mãn khi đó b = 4; Số chính phương cần tìm là 7744 c Gọi số cần tìm làxy với x; y là các số tự nhiên từ 1 đến 9 (0,75) Theo đề bài ta có xy kxy với k Z kx 1 y 10x 10x y với kx 1 10x kx 1 kx 1 ta có x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau 10 kx 1 hơn nữa kx – 1 là số dương nên kx 1 2;5;10 Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12; 15; 24; 36. Câu 22 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. - Vẽ hình , ghi GT,KL D E M A N k K I B C H x
13. a) ABE = ADC (c.g.c) BE= CD b) ABM = ADN (c.g.c) góc MAB = góc NAD Chứng minh được góc MAN = 1800 3 điểm M,A,N thẳng hàng. c) Gọi I là giao điểm của BC và Ax chứng minh BH BI, CK CI mà BI + IC = BC BH + CK BC d) BH + CK có giá trị lớn nhất bằng BC khi đó K,H trùng với I,do đó Ax vuông góc với BC Vậy với Ax vuông góc với BC thì tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. Câu 23. (2,5 điểm). Cho tam giác đều ABC . Trên tia BC ta lấy điểm M sao cho CM BC . Trên tia CA lấy điểm N sao cho AN AC và trên tia AB lấy điểm P sao cho BP AB . a) Chứng minh tam giác MAP vuông tại A . b) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. c) Gọi O là giao của ba đường trung trực của tam giác ABC , gọi D là trung điểm cạnh MP của tam giác MNP . Chứng minh rằng ba điểm N ,O,D thẳng hàng. - Vẽ hình N A O M B C D P + Tam giác CMA cân tại C suy ra C· MA C· AM + Trong CAM có ·ACB là góc ngoài nên C· MA C· AM ·ACB suy ra 2C· AM 600 C· AM 300 + Ta có P· AM P· AC C· AM 600 300 900 . Vậy APM vuông tại A + Chứng minh MCN PBM MN PM PBM NAP PM NP Suy ra MN NP PM + Vậy MPN làm tam giác đều + Chứng minh MCO PBO c.g.c OM OP + Mà theo b) ta có MN NP Suy ra hai điểm N và O đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MP , mà D là trung điểm của MP , nên 3 điểm N ,O,D thẳng hàng. Câu 24:
14. a)Cho tam giác ABC nhọn; AH là đường cao. Vẽ điểm E sao cho AB là trung trực đoạn HE, vẽ F sao cho AC là trung trực của đoạn HF. Đường thẳng E lần lượt cắt các cạnh AB; AC tại M và N. Chứng minh rằng AH; BN; CM đồng quy. b)Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, BI cắt cạnh AC tại D. 1 Chứng minh rằng AC = 3AD; ID = BD 4 a) A E N F M N N B H Do AB là trung trực của HE nênC AB là tia phân giác của góc EMH là góc ngoài tại M của tam giác HMN Tương tự AC là phân giác của góc HNF AB và AC cắt nhau tại A nên tia phân giác của góc H đi qua A Hay HA là tia phân giác của góc H Do HC  HA nên HC là phân giác ngoài của góc H AC là phân giác ngoài tại N cắt phân giác ngoài HC tại c nên MC là phân giác trong tại M Tương tự NB là phân giác trong tại N Do đó theo tính chất tia phân giác của tam giác thì AH, BN, CM đồng quy b) E A K D I F Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE. Trên đoạn EC lấy K là trung điểm ECB C Ta có AK là đườngM trung bình của tam giác EBC Do đó AK // BC do đó góc IAK = góc BMI Mặt khác AK = BM và AI = MI Do đó AIK MIB (c-g-c) Suy ra góc BIM = góc AIK     Mà AIB MIB 1800 AIB AIK 1800 Suy ra B, D, K thẳng hàng Suy ra BK là trung tuyến thuộc cạnh EC của tam giác BCE Mà CA la trung tuyến của cạnh BE Do đó D là trọng tâm của tam giác BCE Do đó AC = 3AD * Chứng minh tương tự ở trên ta có F, A, C thẳng hàng
15. Nên AF, KI lần lượt là trung tuyến của MK và AM Suy ra D là trọng tâm tam giác AKM 1 1 Suy ra ID = IK mà IK = IB suy ra ID = BD 3 4 Bài 25: (4đ) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC c) -Vẽ hình (vẽ hình chính xác 0,5 đ) A d) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1 điểm 20 M e) suy ra D· AB D· AC 0,5 điểm f) Do đó D· AB 200 : 2 100 0,5 điểm D g) b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 h) ABC đều nên D· BC 600 0,5 điểm i) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 ·ABD 80 60 20 . B C j) Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 0,5 điểm k) l) Xét tam giác ABM và BAD có: m) AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 n) Vậy: ABM = BAD (g.c.g) o) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên p) AM = BC Bµi 26(2®iÓm): Cho tam gi¸c ®Òu ABC.Trªn hai c¹nh AB, AC lÇn l­ît lÊy hai ®iÓm M, N sao cho AM = CN. Gäi O lµ giao ®iÓm cña CM vµ BN. Chøng minh r»ng : a) CM = BN b) Sè ®o cña gãc BOC kh«ng ®æi khi M vµ N di ®éng trªn hai c¹nh AB, AC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AM = CN Bµi 27 (2®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã AB BD a)Ta cã :XÐtΔACM vµ ΔCBN AM=CN(gt) A 0 -Cã: Aµ =Cµ (=60 ) ΔACM=ΔCBN (c.g.c) C©u 4 AC=CB(gt) M O N CM = BN. 1 1 µ µ 2 C a) V× : ΔACM=ΔCBN ( theo phÇn a) C1 =B1 B µ ¶ µ ¶ 0 -Ta cã : B1 +C2 =C1 +C2 =60 · 0 µ ¶ 0 0 0 Trong ΔBOC cã BOC 180 (B1 C2 ) 180 60 120 (kh«ng ®æi)
16. -Ta cã :lÊy ®iÓm E trªn c¹nh AC sao cho AE =AB. A XÐt ABD = AED( c.g.c) BD = DE vµ A· DB=A· DE C©u5 -Ta cã : D· EC>A· DE (t/c gãc ngoµi tam gi¸c) E D· EC>A· DB Mµ :A· DB>E· CD (t/c gãc ngoµi tam gi¸c) B C D D· EC>E· CD CD >DE (Quan hÖ gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c) CD > BD Bài 28: