Những cách giải sáng tạo bất đẳng thức Côsi

Nội dung text: Những cách giải sáng tạo bất đẳng thức Côsi

1. NHỮNG CÁCH GIẢI SÁNG TẠO Bất đẳng thức CôSi : 1. cho 2 số a, b ≥ 0 . Chứng minh rằng : a+ b ≥ 2 ab chứng minh : ta có : a+ b ≥ 2 ab ⇔(a + b )2 ≥ 4 ab 2 2 ⇔a −2 ab + b ≥ 0 ⇔(a − b )2 ≥ 0 hiển nhiên đúng ,nên bđt được chứng minh 2. cho 3 số a, b , c ≥ 0 chứng minh rằng a+ b + c ≥ 33 abc chứng minh: Cách 1 : trước hết ta chứng minh bđt CôSi cho 4 số a, b , c , d ≥ 0 ta có : a +b + c + d1 a+ b c+ d 1 = ( + ) ≥[ ab + cd ] 4 2 2 2 2 1 ≥ []24 abcd = 4 abcd 2 ⇒a + b + c + d ≥ 44 abcd a+ b + c ()a+ b + c a+ b + c a+ b + c + ≥ 44 abc Đặt d = thì 3 3 3 4(a+ b + c ) ()a+ b + c ⇔ ≥ 44 abc 3 3 ⇔ a + b + c ≥ 3 3 abc Như vậy bđt được chứng minh xong nếu ta xem xét bài toán cần chứng minh ở một góc độ khác, thì ta sẽ có lời giải sáng tạo hơn. Các bạn hãy xem thử cách chứng minh sau : Cách 2: ta sử dụng bđt CôSi cho 2 cặp số không âm ( a , b ),( c , 3 abc ) , tacó : a+ b + c +3 abc ≥2ab + 2 c .3 abc ⎡ 3 ⎤ 3 ≥ 2 2abc . abc = 4 abc ⎣⎢ ⎦⎥ 3 ⇒a + b + c ≥ 3 abc Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán khó . Mấy năm gần đây, hầu hết các đề toán mà Bộ Giáo Dục & Đào Tạo cho ra thi ở các khối A,B,D thường có một câu, rơi vào câu cuối cùng của đề thi. Dạng toán này hầu hết trên 90% học sinh phổ thông không giải được. Với cách cho đề như vậy, Bộ GD&ĐT đã tạo điều kiện cho các trường Đại Học chọn ra những học sinh khá giỏi cho trường mình. Để cũng cố kiến thức, các đọc giả hãy xem cách giải mang tính đột phá, thông qua những bài tập sau: 1 Bài 1: cho a ≥ 3 tìm giá trị nhỏ nhất của S= a + 2a Đa số học sinh sẽ có lời giải như sau: 1 1 Vì a ≥ 3 nên a + ≥2a . = 2 ⇒MinS = 2 2a 2a 1 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = ⇒a = < 3 như vậy ,miền a đã mâu thuẩn với 2a 2 giả thuyết a ≥ 3 nên MinS = 2 là sai
2. Ta thử đi tìm đáp án của bài này, bằng cách xét bảng sau a 3 4 5 6 a 3 4 5 6 1 1 1 1 1 2a 6 8 10 12 19 33 51 73 S 6 8 10 12 19 Nhìn bảng ta thấy MinS= khi a = 3 6 19 Như vậy, ta đã dự đoán được MinS= khi a = 3. 6 1 * lưu ý :như cách giải sai lầm của các bạn ở trên, là các bạn đã chọn cặp số (,a ) để 2a sử dụng bđt CôSi là không chính xác; mà cặp số cần sử dụng lúc này phải a 1 là (, ) trong đó α gọi là hệ số cân bằng của CôSi α 2a Do đó ta có cách giải như sau: ⎧ a 3 = ⎪α α 3 1 Cách 1: Chọn điểm rơi tại a =3 ⇒ ⎨ ⇒ = ⇒α = 18 1 1 α 6 ⎪ = ⎩⎪2a 6 1 a 1 17a Khi đó S= a + = + + 2a 18 2a 18 a 1 17a 1 17.3 19 ≥ 2 . + ≥ + = 18 2a 18 3 18 6 19 a 1 Vậy MinS= .dấu = xảy ra khi và chỉ khi = ⇒a = 3 phù hợp 6 18 2a Nếu ta nhìn bài toán này ở khía cạnh là một hàm số, thì ta lại có cách giải sau: 1 S= a + với a ≥ 3 2a 1 2a 2 − 1 S'= 1 − = 2a 2 2a 2 ⎡ 2 ⎢a = 2 2 S'= 0 ⇔ 2 a − 1 = 0 ⇒ ⎢ ⎢ 2 ⎢a = − ⎣ 2 Bảng biến thiên: a 2 2 − 3 ∞ 2 2 S' 0 0 S 19 ∞ 19 6 Nhìn bảng ta thấy MinS= tại a = 3 6 Đổng Quang Anh giáo viên trung tâm luyện thi đại học ALPHA1(ĐHSP)