Một số ứng dụng của một bất đẳng thức - Vũ Hồng Phong

Nội dung text: Một số ứng dụng của một bất đẳng thức - Vũ Hồng Phong

1. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du số 1,Bắc ninh (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 494) Nội dung bất đẳng thức như sau: 푡 = 2 2 < = 2 2 + 2 + 2 2 Cho t,m,g,h là các số thực thỏa mãn và 𝑔 = 2 ≤ ℎ = 2 + 2 푡 ≤ , 𝑔 ≤ ℎ và 0 < + 𝑔 ( + ℎ). 3 2+ 2 2 2+ 2+ 2 có: = Khi đó ta có: 3 2+2 +3 2 2 2+2 +2 2+ 2+ 2 푡+𝑔 푡+ℎ 2 2+2 2 ( + ) ≤ (*) ≥ = = +𝑔 +ℎ 2 2+2 +2 2+2 2( + )2 + Chứng minh 3 2+ 2 Vậy có ≥ 3 2+2 +3 2 + 푡+𝑔 푡+ℎ Ta có: ∗ − ≤ 0 +𝑔 +ℎ Nhân hai vế với x ta được 푡+𝑔 +ℎ − 푡+ℎ ( +𝑔) 3 3+ 2 2 ≤ 0 ≥ (1) +𝑔 ( +ℎ) 3 2+2 +3 2 + 푡ℎ+ 𝑔 − ℎ−푡𝑔 ≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = +𝑔 ( +ℎ) Tương tự ta có −푡 (𝑔−ℎ) ≤ 0 (luôn đúng) +𝑔 ( +ℎ) 3 3+ 2 2 ≥ (2) 3 2+2 +3 2 + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 푡 = hoặc 𝑔 = ℎ 3 3+ 2 2 2 2 ≥ (3) Sau đây là một số ứng dụng của bất đẳng 3 +2 +3 + thức (*). Đặc biệt việc kiểm tra điều kiện Cộng vế với vế (1),(2) và (3) ta được: 0 < + 𝑔 ( + ℎ) trong các thí dụ xin 3 3+ 2 3 3+ 2 dành cho bạn đọc. + + 3 2+2 +3 2 3 2+2 +3 2 Ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức 3 3+ 2 ≥ 푃 (4) Thí dụ 1. Cho x,y,z là các số thực dương. 3 2+2 +3 2 Chứng minh 2 2 2 3 3+ 2 3 3+ 2 Với 푃 = + + + + + + + 3 2+2 +3 2 3 2+2 +3 2 2 2 2 3 3+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 Xét 푄 = + + có ≥ + + + + + 3 2+2 +3 2 2 +2 2 +2 2 +2 2− 2 2− 2 2− 2 푃 − 푄 = + + = − + Lời giải + + + − + − = 0 Ta có: − 2 ≥ 0 2 + 2 ≥ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 푃 + 푄 = + + Áp dụng BĐT(*) với + + +
2. Suy ra Do − 2 ≥ 0 2+ 2 2+ 2 2+ 2 6 ≤ 3 2 + 2 푃 = 푄 = + + (5) 2 +2 2 +2 2 +2 Lại có 4 < 6 + 3 2 Từ (4),(5) suy ra Áp dụng BĐT(*) với 푡 = 4; = 6 + 3 2 3 3 + 2 3 3 + 2 2 2 + và 𝑔 = 6 ; ℎ = 3( + ) 3 2 + 2 + 3 2 3 2 + 2 + 3 2 2 2 3 3 + 2 4+6 4+3 +3 + Ta được 2 ≤ 2 2 2 3 2 + 2 + 3 2 6+3 +6 6+3 +3 +3 2 2 2 2 2 2 2 2 2+3 4+3 +3 + + + ≤ (3) ≥ + + 2+ 2+2 4+2 2+2 2+2 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 Tương tự Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = 2+3 4+3 2+3 2 Thí dụ 2. Cho a,b,c là các số thực không ≤ (4) 2+ 2+2 4+2 2+2 2+2 2 âm.Chứng minh 2+3 4+3 2+3 2 ≤ (5) 2+3 2+3 2+3 2 2 2 2 + + 2+ +2 4+2 +2 +2 2+ 2+2 2+ 2+2 2+ 2+2 Cộng vế với vế (3),(4),(5) được ≤ 3( + + ) (1) 12+6 2+6 2+6 2 ≤ 2 2 2 = 3 (6) Lời giải 4+2 +2 +2 Từ (2) và (6) suy ra Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng (1) ≤ 3( + + ) (đpcm) 1 1 + 2 2+ 3 3 ≤ Ứng dụng 2: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ 2 2 2 2 2 2 nhất 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 Thí dụ 3. Cho x,y,z là các số thực dương ta được: thỏa mãn 0 ≤ , , ≤ 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 + 3 1 = . 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 푃 = + + 7 + + 7 + + 7 + + Lời giải 2 + 3 2 + 3 + . + . 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 Áp dụng BĐT(*) Với 푡 = 4 + < 6 + + = ≤ + + . (2) 1 1 𝑔 = ≤ 1 = ℎ Với 1 1 4+ + 4+ +1 2+3 2+3 2+3 ta được: ≤ (1) = + + 6+ + + 6+ + +1 2+ 2+2 2+ 2+2 2+ 2+2 Với 푡 = 5 + < 7 + + = và 2+3 3 4+6 2 2 Ta có = . 2+ 2+2 2 6+3 2+6
3. 𝑔2 = 0 ≤ = ℎ2 Thay k lần lượt bằng 2,3, ,98 vào (1) rồi nhân vế với vế các BĐT đó lại được 5+ +0 5+ + ta được : ≤ (2) 7+ + +0 7+ + + 1 2 3 97 1.2.3 6 퐿 > . . . = > 6 Từ (1) và (2) ta có 4 5 6 100 98.99.100 10 2 4+2 5+ 5+2 Ngoài ra sử dụng BĐT(*) với 푡 = 0 4 8 Với ≥ 2 thì 2 푡 = 2 − 1 0 2 4 2−1+0 −1 ( +1) −1 > 2 = = (1) +3. +2+0 +1 ( +2) +2 2 2 푡2 = + < 2 + 4 + 8 = 2
4. 2 2 Thí dụ 7. Giải hệ phương trình Lại có ℎ = 2 − ≥ 0 = 𝑔 2 2 2+ 2 + 2 = 1 Áp dụng BĐT(*) ta có: 2 2 + 4 2 1 − 8 4 2 + 16 4 2 + = 1 + 4 + 1 3 + 4 − 2 2 + 4 1 + 8 4 2 + 16 4 1 ≥ + = 2 2 + 4 + 8 2 2 + 4 + 8 2 Lời giải ℎ = 𝑔 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 ℎ = 𝑔 Dễ thấy = 0 không thỏa mãn hệ PT đã 2 2 cho. Xét ≠ 0 2 2 − = 0 2 = 2 = ± 2 Do 2+ 2 + 2 = 1 nên PT thứ hai của hệ PT đã cho trở thành: Vậy PT đã cho có 2 nghiệm = ± 2 1 2 2 2 2 + 2 2 − 4 Thí dụ 5. Giải phương trình 2 + 2 + 8 2 4 2 + 1 + + 2 + 1 2 4 4 4 + 2 + 3 2− +2 3 2−3 +4 1 2 + = (1) 8 4 2+4 5 2−2 +5 8 = 1 (1) Lời giải Do 2 − 1 2 ≥ 0 suy ra 4 4 4 + Áp dụng BĐT + ≥ 2. . 2 4 2 푡1 = 2 ≤ 1 + = 1 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b(chứng Mà ℎ1 = 2 + ≥ 0 = 𝑔 minh dành cho bạn đọc) ta được: 1 Áp dụng BĐT(*) được: 4 3 2− +2 3 2−3 +4 (1) ≥ 2. + (2) 4 2+4 5 2−2 +5 2 2 + 2 + 2 2 2 ≥ ≥ 0 (2) Áp dụng BĐT(*) ta có 1 + 4 + 2 + 2 1 + 4 4 4 4 3 2 − + 2 3 2 − 3 + 4 Do ≥ 0 nên 푡2 = − ≤ = 2 + 4 2 + 4 5 2 − 2 + 5 Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 2+ +1+ −1 2 2+ +2+2 −1 2 = + 3 2+2 +3+ −1 2 3 2+2 +3+2 −1 2 1 1 2 2 ℎ2 = + 2 ≥ 2 . 2 = 1 = 𝑔2 2 2+ +1 2+ +2 2 2 ≥ + = 1 (3) 8 8 3 2+2 +3 3 2+2 +3 1 Áp dụng BĐT(*) được: Từ (2),(3) suy ra (1) ≥ 8 1 2 4 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 + 2 − 1 − 8 ≥ (3) 1 4 + 2 2 + 4 1 + 3 2 − + 2 3 2 − 3 + 4 8 2 = 4 2 + 4 5 2 − 2 + 5 Do 2 = 1 − 2 − 2 ≤ 1 suy ra 4 ≤ 1 − 1 2 = 2 − 1 2 = 0 1− 4 Vì thế ≥ 0 .Từ (2) và (3) suy ra 1+ 4 = 1 2 2 2 2 1 − 4 Vậy PT đã cho có 1 nghiệm = 1 (1) ≥ + = 1 1 + 4 1 + 4
5. 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 4. So sánh 2 số và 2 2+ 2 + 2 = 1 1 1 1 2 2 = 1 + 4 ℎ표ặ 2 + 2 = 0 3 + 3 + ⋯ + 3 (𝑖) 2 −2−1 3 −3−1 99 −99−1 1 − 4 = 4 ℎ표ặ = 2 2 Bài 5. Giải phương trình 8 2 Hệ PT (i) có 6 nghiệm (x;y;z) là 2+6+14 −1 2 2+2 +4 a) = 2+ +7+14 −1 2+7 2 − 2 − 2 2 2 1 −1 0; ; , 0; ; , ; ; , 2 2+ +1+ 2 2+2 +1 2 2 2 2 2 2 2 b) 2 −1 1 − 2 1 −1 − 2 −1 1 2 2 ; ; , ; ; , ; ; 3 − +5+ 2 +2 +1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+4+ 8 2+8 +4 + = 1 và đó cũng là tất cả các nghiệm của hệ PT 3 2+5+ 8 2+8 +4 đã cho. Bài 6. Tìm các số thực dương x,y,z thỏa Chú ý: Nếu 푡 ≥ , 𝑔 ≤ ℎ và 0 < mãn: + 𝑔 ( + ℎ) thì ta có = 1 푡+𝑔 푡+ℎ + ( − 8 )2 2 + ( − )2 ≥ . Các ứng dụng của bất đẳng + = 1 +𝑔 +ℎ + + ( − 8 )2 1 + 2 + ( − )2 thức này cũng tương tự BĐT(*). Bài 7. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa Bài tập 1 1 1 mãn + + = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài 1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn biểu thức 2+ 2 + 2 = 1 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + ( + 1)2 + ( + 1)2 ( + 1)2 + ( + 1)2 2 1 − 2(1 − ) 2 + 2 + 2 + + − 2 + 1 + 3 2 ( − )2 + 1 + 3 2 ( + 1)2 + ( + 1)2 2(1 − ) + Bài 8. Giải hệ phương trình 2 2 ( − ) + 1 + 3 4+ 4 + 4 = 2 Bài 2. Cho , , ≥ 0 và + + = 1. 1 + 4 1 + 4 4 + 4 + = Chứng minh 7 + 2 8 + 2 8 7 + 2 8 + 2 8 9 5 + 5 + + 3 + + 3 + + 5 + + 3 ≤ 1 + + + + + 2.1+1 2.2+1 Bài 3. Cho P = + + 13+12+1 23+22+1 2.푛+1 ⋯ + 푛3+푛2+1 2푛 3푛 Chứng minh: ≤ 푃 < 푛+1 푛+1