Một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba

Nội dung text: Một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA A. ĐẶT VẤN ĐỀ “Căn bậc hai, căn bậc ba” là một phạm trù kiến thức khá phức tạp, tương đối trừu tượng và là kiến thức mới đối với học sinh lớp 9. Khi gặp một bài toán “có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay xở ra sao. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố, để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh vì đây là một dạng toán mang tính chất phức tạp, trừu tượng, khó biến đổi. Vì vậy tôi thấy có nhiều thắc mắc muốn xây dựng chuyên đề để phần nào giúp học sinh học tập tốt hơn phần này nên tôi chọn đề tài : “một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” để làm đề tài. Qua giảng dạy phần “một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” tôi tự rút ra một số vấn đề trọng tâm sau: 1. Lý thuyết căn bậc hai, căn bậc ba 2. Một số bài toán và phương pháp giải. 3. Một số bài toán có dạng tổng đặc biệt nhờ vào số hạng tổng quát để biến đổi và rút gọn. Để học sinh nắm bắt được kiến thức một cách chặt chẽ và lô gíc, giúp học sinh có năng khiếu nâng cao kiến thức một cách có hệ thống theo chương trình được tiếp thu ở trên lớp học hàng ngày đặc biệt là học ở bậc THPT sau này. B. PHẦN KIẾN THỨC I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa căn bậc hai: x 0 x a Với a 0, 2 x a 2. Các công thức vận dụng 2.1. Hằng đẳng thức: A2 A 2.2. Khai phương một tích: A.B A. B với A 0, B 0 A A 2.3. Khai phương một thương: với A 0, B 0 B B 2.4. Đưa thừa số từ ngoài vào trong và từ trong ra ngoài dấu căn A B A2 .B với A 0 ( A2 .B A B với A 0) A B A2 B với A 0 B B C C A  B b) A B A B 2 - 1 -
2. C C A  B c) A B A B 3. Định nghĩa căn bậc ba x 3 a x3 a 4. Tính chất của căn bậc ba 4.1. 3 A.B 3 A.3 B A 3 A 4.2. 3 với B 0 B 3 B II. CÁC DẠNG TOÁN II.1. BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC Dạng phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn Ví dụ: Rút gọn biểu thức x2 x 2x x 1 với x 0 x x 1 x Hƣớng dẫn giải x2 x 2x x x x 1 x x 1 x 2 x 1 1 1 x x 1 x x x 1 x x x 1 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 x x x x 1 Dạng phân tích mẫu thành nhân tử rồi quy đồng sau đó rút gọn Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức x 2 x 1 x 1 : Với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 2 Hƣớng dẫn giải x 2 x 1 x 1 : x x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 1 2 . x 1 x x 1 x x 1 1 x x 1 x 2 x x 1 x x 1 2 . x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 . x 1 x x 1 x 1 2 x x 1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 với x x 2 x 2 x 1 Hƣớng dẫn giải 3x 9x 3 x 1 x 2 x x 2 x 2 x 1 - 2 -
3. 3x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 II.2. BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức 4 2 3 a) b) 3 2 6 6 3 3 6 2 Hƣớng dẫn giải 2 4 2 3 3 1 3 1 1 2 a) 6 2 2 3 1 2( 3 1) 2 2 2 b) 3 2 6 6 3 3 3 3 12 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 Ví dụ 2: Cho x x2 2014 y y2 2014 2014 (1) Tính tổng x + y Hƣớng dẫn giải Ta có: x x2 2014 x x2 2014 2014 (2) y y2 2014 y y2 2014 2014 (3) Từ (1) và (2) suy ra: y y2 2014 x x2 2014 (4) Từ (1) và (3) suy ra: x x2 2014 y y2 2014 (5) Cộng (4) với (5) và thu gọn ta được x y x y x y 0 II.3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH 1 1 Ví dụ 1: Chứng minh hiệu: là số hữu tỉ 2 3 2 3 Hƣớng dẫn giải 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 6 Ta có: là số hửu tỉ 2 3 2 3 2 9 2 9 7 7 Vậy : là số hửu tỉ 2 1 5 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: và là hai số đối nhau 5 1 2 Hƣớng dẫn giải 2 1 5 4 5 1 5 1 Ta có: 0 5 1 2 2 5 1 - 3 -
4. 2 1 5 Vậy: và là hai số đối nhau 5 1 2 Ví dụ 3: Chứng minh tổng: 3 18 5 13 3 18 5 13 là một số nguyên tố Hƣớng dẫn giải 3 3 Đặt x 18 5 13 18 5 13 3 Ta có: x3 3 18 5 13 3 18 5 13 18 5 13 18 5 13 3 3 18 5 13 3 18 5 13 3 18 5 13 3 18 5 13 36 3 182 25.13 x 36 3x x3 3x 36 0 x 3 x2 3x 12 0 x 3 0 vì x2 3x 12 0,x x 3 Vậy: là một số nguyên tố II.4. BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH II.4.1. Một vài phƣơng pháp cơ bản a) Phƣơng pháp nâng lũy thừa Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 3 5 8 (1) Hƣớng dẫn giải 3 Điều kiện: x 2 (1) 2x 3 3 2x 3 9 2x 6 x 3 Đối chiếu điều kiện x 3 thỏa mãn Vậy x 3 là nghiệm của phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình 4x 1 x 1 x 2 (1) Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x 2 1 4x 1 x 2 x 1 4x 1 x 2 x 1 2 x 2. x 1 2x 4 2 x 2. x 1 x 2 x 2. x 1 x 2 2 x 2 x 1 vì x 2 hai vế đều không âm x2 4x 4 x2 3x 2 7x 2 2 x 7 - 4 -
5. 2 x không thỏa mãn điều kiện 7 Vậy phương trình vô nghiệm b) Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phương trình x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 2 Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 2 2 2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 x 2 1 2 (1) Với x 2 1 0 x 2 1 x 3 ta có 1 x 2 1 x 2 1 2 Vì x 2 1 0 với x 2 x 2 1 x 3 x 3 thỏa mãn điều kiện Với x 2 1 0 2 x 3 ta có 1 x 2 1 1 x 2 2 2 2 thỏa mãn với mọi 2 x 3 Kết hợp hai trường hợp ta có: Nghiệm của phương trình là: 2 x 3 c) Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình 8 x 3 5 x 3 5 Hƣớng dẫn giải Đặt: u 8 x 3 u 0,u2 8 x 3 Đặt: v 5 x 3 v 0,v2 5 x 3 u 2 u v 5 v 3 Ta có hệ phương trình: 2 2 u v 13 u 3 v 2 Thay giá trị của u,v ta tìm được nghiệm của phương trình là x 4 II.4.2. Một vài phƣơng pháp khác a) Phƣơng pháp sử dụng đối nghịch hai vế Ví dụ: Giải phương trình 2x2 4x 3 3x2 6x 7 2 2x x2 (1) Hƣớng dẫn giải VT = 2x2 4x 3 3x2 6x 7 2 x 1 2 1 3 x 1 2 4 1 2 3 Dấu „=‟ xảy ra khi x = -1 VP = -(x +1)2 + 3 3 Dấu „=‟ xảy ra khi x = -1 - 5 -
6. Suy ra: 2x2 4x 3 3x2 6x 7 2 2x x2 2x2 4x 3 3x2 6x 7 2 2x x2 3 khi x = 3 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình b) Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ: Giải phương trình 3 2x3 1 3 x 1 Hƣớng dẫn giải +) Với x > 0 ta có: 3 2x3 1 1; 3 x 0 suy ra: VT = 3 2x3 1 3 x 1 = VP Vậy phương trình vô nghiệm +) Với x < 0 ta có: 3 2x 3 1 1; 3 x 0 suy ra: VT = 3 2x3 1 3 x 1= VP Vậy phương trình vô nghiệm +) Với x = 0 ta có : VT = 3 2x3 1 3 x 1 = VP Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. c) Phƣơng pháp bất đẳng thức Ví dụ: Giải phương trình 7 x x 1 x2 6x 13 (1) Hƣớng dẫn giải Điều kiện: 1 x 7 Ta có: a b 2 2 a2 b2 với mọi a,b suy ra 2 7 x x 1 2 7 x x 1 16 7 x x 1 4 Mặt khác : x2 6x 13 x 3 2 4 4 Vậy phương trình (1) tương đương với: 7 x x 1 x2 6x 13 4 x 3 Vì x = 3 thỏa mãn điều kiện Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) BÀI TOÁN VỀ TỔNG ĐẶC BIỆT Ví dụ 1: Tính tổng 1 1 1 1 1 a) 1 2 2 3 3 4 4 5 2013 2014 Hƣớng dẫn giải 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2013 2014 2 1 3 2 4 3 5 4 2014 2013 1 1 1 1 1 2014 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) 1 1 1 1 12 22 22 32 32 42 20132 20142 Hƣớng dẫn giải Với mọi n N* ta có: - 6 -
7. 1 1 n2 n 1 2 n 1 2 n2 n n 1 2 2n n 1 1 1 n2 n 1 2 n2 n 1 2 n n 1 2 n n 1 1 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 2 n n 1 n n 1 n n 1 Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 22 22 32 32 42 20132 20142 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2013 2014 1 1.2013 1 2014 2013 2013 2014 1 1 1 1 c) 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2014 2013 2013 2014 Hƣớng dẫn giải Với mọi n N* ta có: 1 1 n 1 n 1 1 n 1 n n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 Do đó 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2014 2013 2013 2014 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2013 2014 1 1 2014 2014 1 2014 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho S 1.2013 2.2012 2012.2 2013.1 2013 Hãy so sánh S và 2. 2014 Hƣớng dẫn giải 1 1 Bất đẳng thức cauchy viết dưới dạng: với a b a.b a b Áp dụng ta có: S > C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn biểu thức x 2 x 2x x 2 x 1 a) x x 1 x x 1 - 7 -
8. x 2 x 3 x 2 x b) : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 2303 2303 Bài 2: Chứng minh rằng 3 6 3 6 là một số nguyên 27 27 Bài 3: Chứng minh rằng: x 3 2 1 3 2 1 là nghiệm của phương trình x3 3x 2 0 Bài 4: Giải phương trình a) 3x2 21x 18 2 x2 7x 7 2 b) x 1 5x 1 3x 2 c) 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 1 1 1 1 Bài 5: Cho: P 2 3 3 4 4 5 2014 2015 P có phải là số hữu tỉ không? Bài 6: Chứng minh rằng 1 1 1 1 2004 1 2005 2 3 4 1006009 Bài 7: Chứng minh rằng: n 1,n N thì: 1 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 4 n 1 n F. KẾT QUẢ: Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên trong khi truyền thụ cho học sinh. Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba từ đó giải được hầu hết các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề này và qua đó cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra học sinh đã giải được một cách tự lập và tự giác. G. BÀI HỌC KINH NGHIỆM: - Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày, một số còn tỏ ra lúng túng và một số ít vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản (nhất là những bài dễ). - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi nhận được dạng trước một bài toán có chứa căn bậc hai. Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày của học sinh. - 8 -
9. - Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được. Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà tôi đã rút ra được khi dạy phần căn bậc hai. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp và của cán bộ chuyên viên để những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục. Xin chân thành cảm ơn. - 9 -