Một số bài tập Hình ôn HSG lớp 7

Nội dung text: Một số bài tập Hình ôn HSG lớp 7

1. MỘT SỐ BÀI TẬP HèNH ễN HSG LỚP 7 I. Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú - Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn - Dựa vào tớnh chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng - Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai gúc bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú - Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so le trong ,đồng vị - Dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm - Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3 - Dựa vào tớnh chất 3 đường trung tuyến, phõn giỏc, trung trực, đường cao 4. Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc P2 : - Tớnh chất của tam giỏc vuụng, định lớ Py – ta – go đảo - Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuụng gúc - Tớnh chất 3 đường trung trực, ba đường cao 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) P2 : - Dựa vào tớnh chất của cỏc đường trong tam giỏc 6. So sỏnh hai đoạn thẳng, hai gúc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai gúc vào một tam giỏc từ đú vận định lớ về quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc , BĐT tam giỏc - Dựa vào định lớ về quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu, đường xiờn và đường vuụng gúc . II. Bài tập vận dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC  BE HD: D Phõn tớch tỡm hướng giải E 1 *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) A Cú : AB = AD, AC = AE (gt) ã ã 1 Cần CM : DAC BAE I 2 K 1 B C
2. Cú : Bã AE 900 Bã AC Dã AC * Gọi I là giao điểm của AB và CD à à 0 Để CM : DC  BE cần CM I2 B1 90 à à à ả 0 Cú I1 I2 ( Hai gúc đối đỉnh) và I1 D1 90 à ả Cần CM B1 D1 ( vỡ ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải a) Ta cú Bã AE 900 Bã AC Dã AC Dã AC Bã AE , mặt khỏc AB = AD, AC = AE (gt) Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I là giao điểm của AB và CD à à à ả 0 à ả Ta cú I1 I2 ( Hai gúc đối đỉnh) , I1 D1 90 ( ∆ ADI vuụng tại A) và B1 D1 ( vỡ à à 0 ∆ABE = ∆ ADC) I2 B1 90 DC  BC *Khai thỏc bài 1: Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC  BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn , Từ B kẻ BK  CD tại D thỡ ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta cú bài toỏn 1.2 Bài 1. 1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Từ B kẻ BK  CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ bài 1 chứng minh được DC  BE mà BK  CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thỏc bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thỡ MA  BC từ đú ta cú bài toỏn 1.2 Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA  BC Phõn tớch tỡm hướng giải HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC Để CM MA  BC ta cần CM ∆AHC vuụng tại H Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc vuụng bằng ∆AHC Trờn tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN Kẻ DQ  AM tại Q Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ả ã ã ã CM: ND = AC , N1 ACB , BAC ADN  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)
3. N  Cú AD = AB (gt) 1 D Cần CM : ND = AE ( = AC) và Bã AC ãADN M E + Để CM ND = AE  Q 1 A CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM Bã AC ãADN  Eã AD ãADN 1800 vỡEã AD Bã AC 1800  B CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) H C Lời giải Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trờn tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN kẻ DQ  AM tại Q Ta cú ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vỡ : AM = MN ; MD = ME (gt) và Eã MA Dã MN ( hai gúc đối đỉnh) ả ã DN = AE ( = AC) và AE // DN vỡ N1 MAE ( cặp gúc so le trong ) Eã AD ãADN 1800 ( cặp gúc trong cựng phớa) mà Eã AD Bã AC 1800 Bã AC ãADN Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và Bã AC ãADN ( chứng minh ả ã trờn ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) N1 ACB ã ã ả ã Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , BAC ADN và N1 ACB ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuụng tại H hay MA BC * Khai thỏc bài toỏn 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA  BC , ngược lại nếu AH  BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn R thẳng DE D HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau: 1 M E 2 Kẻ DQ  AM tại Q, ER  AM tại R . Q 1 A Ta cú : + Dã AQ Hã BH ( Cựng phụ Bã AH ) AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn) DQ = AH (1) +ãACH Eã AR ( cựng phụ Cã AH ) B H C
4. AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ ả ả Lại cú M1 M 2 ( hai gúc đối đỉnh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA  DE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC . D Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE M E HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4 A Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) A’B = AC ( = AE) và Hã AC Hã A' B B AC // A’B Bã AC ãABA' 1800 ( cặp gúc trong cựng phớa) 0 H Mà Dã AE Bã AC 180 Dã AE ãABA' C Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt) Dã AE ãABA' ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) A' ãADE Bã AA ' mà ãADE Bã AA ' 900 ãADE Mã DA 900 Suy ra HA vuụng gúc với DE Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC A * Phõn tớch tỡm lời giải a) Để cm DM = EN  Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)  M Cú BD = CE (gt) , Dà Eà 900 ( MD, NE BC) Bã CA Cã BA ( ∆ABC cõn tại A) I C B E b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung D H điểm I của MN Cần cm IM = IN  N O Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
5. c) Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuụng gúc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định  Cần cm OC  AC  Cần cm Oã AC Oã CN 900  Cần cm : Oã BA Oã CA và Oã BM Oã CM  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thỏc bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta cú thể phỏt biểu lại bài toỏn như sau: Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chứng minh rằng: a) I là trung điểm của MN b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D A thay đổi lời giải: Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MD BC ( D BC) NE  BC ( E BC) M Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng I C vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc B E D H đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E N Gọi I là trung điểm của DE . O a) Chứng minh rằng : AI  BC b) Cú thể núi DE nhỏ hơn BC được khụng ? vỡ sao? A *Phõn tớch tỡm lời giải 1 a) Gọi H là giao điểm của BC và AI D   àA ãACK 900 Để cm AI BC Cần cm 1 C H 0 à ã K Để cm A1 ACK 90 I B  Cú ãAEK Eã AK 900 E à ã ã ã cần cm A1 AEK và ACK CAK  Cần cm ∆AIE cõn tại I và ∆AKC cõn tại K
6. b) Để so sỏnh DE với BC cần so sỏnh IE với CK ( vỡ 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sỏnh AI với AK ( vỡ AI = IE, AK = CK) Cú AI AK Lời giải : à ã a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cõn tại I và ∆AKC cõn tại K cần cm A1 AEK và ã ã ã ã 0 à ã 0 ACK CAK mà AEK EAK 90 A1 ACK 90 AI  BC b) ta cú BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK DE BC , DE = BC khi K trựng với I khi đú ∆ABC vuụng cõn tại A Bài 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: A EF 2 a) AH 2 AE 2 4 b) 2Bã ME ãACB Bà . c) BE = CF E 1 lơỡ giải B M Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giỏc vuụng C H AFH, ta cú: HF2 + AH2 = AF2 1 D Mà AHE = AHF (g-c-g) nờn HF = EF; AF = AE 2 F EF 2 Suy ra: AH 2 AE 2 Từ AEH AFH Suy ra Eà Fà 4 1 Xét CMF có ãACB là góc ngoài suy ra Cã MF ãACB Fà à ã à à BME có E1 là góc ngoài suy ra BME E1 B ã ã ã à à à ã ã à vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2BME ACB B (đpcm). à à Từ AHE AHF Suy ra AE = AF và E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => BME CMD(g c g) BE CD (1) à ã ã à Lại cú: E1 CDF (cặp gúc đồng vị) Do đú CDF F CDF cõn CF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Bài 5 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B và gúc C là hai gúc nhọn .Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
7. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hỡnh chiếu của B và C trờn tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xỏc định vị trớ của tia Ax để tổng BH + CK cú giỏ trị lớn nhất. D E *Phõn tớch tỡm lời giải M A N a) Để cm BE = CD k K  Cần cm ABE = ADC (c.g.c) I B C H x b) Để cm M, A, N thẳng hàng.  Cần cm Bã AN Bã AM 1800  Cú Bã AN Nã AD 1800 Cần cm Mã AB Nã AD Để cm Mã AB Nã AD  Cần cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để cm BH + CK BC  Cần cm BH BI;CK CI Vỡ BI + IC = BC d) BH + CK cú giỏ trị lớn nhất = BC khi đú K,H trựng với I , do đú Ax vuụng gúc với BC Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. N b) Chứng minh: EN // FM. E *Phõn tớch tỡm lời giải F a) Để cm EM + HC = NH M A  Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – gúc nhon) B H C
8. + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – gúc nhon) b) Để cm EN // FM  ãAEF Eã FN ( cặp gúc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm ãAEF Eã FN  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 : Cho tam ABC vuụng tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC *Phõn tớch tỡm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB  Cần cm AF = AC (2); Ã FC Bã AC 900 (1); Eã AF ãACB (3) E + Để cm (1) : Ã FC Bã AC 900  F Cm CI // AE vỡ cú FI // AC và Bã AC 900 Để Cm CI // AE  A I Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC B M  H C C/m ∆AFI = ∆ ACI (Cạnh huyền – gúc nhọn) + Cm (3) : Eã AF ãACB ( vỡ cựng phụ Hã AC ) D *Khai thỏc bài toỏn : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vỡ AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = 3 BC khi H trựng M khi đú tam giỏc ABC vuụng cõn 2
9. Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: A a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 F * Phõn tớch tỡm lời giải B C M a) Để cm AE = AF N  I ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) E Hoặc ∆AEF cõn tại A ( Cú AH vừa là tia phõn giỏc , vừa là đương cao) b) Để cm BE = CF cần tạo tam giỏc chứa BE( hoặc cú 1 cạnh = BE) mà bằng tam giỏc MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF  ∆ BEI cõn tại B  Eà Bã EI  Cú Bã IE ãABF ( cặp gúc đồng vị ) mà Eà Ã FE vỡ ∆AEF cõn tại A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF AB AC 2 AE = AB + AC hay AE 2 Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. A a) Chứng minh : Tam giỏc ADE cõn tại A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? K *Phõn tich tỡm hướng giải I E - Xột TH gúc A < 900 D a) Để cm ∆ ADE cõn tại A  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) B C b) Dự đoỏn CI  IB , BK  KC H Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoài của ∆ HIK
10. nờn HA là tia phõn giỏc trong. Do ãAHC 900 nờn HC là tia phõn giỏc ngoài đỉnh H . Cỏc tia phõn giỏc gúc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nờn IC là tia phõn giỏc của gúc HIK , do đú IB  IC , Chứng minh tượng tự ta cú BK  KC - Xột TH gúc A>900 *Khai thỏc bài toỏn : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đú ta cú ∆ AD’E’ cõn tại A và gúc DAC cú Từ đú ta cú bài toỏn sau: Bài 9.1 Cho tam giỏc ABC nhọn . Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME D A thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất. E HD . Tự nhận xột bài 9 dễ dàng tỡm được vị trớ điểm M trờn cạnh BC. C B H M Bài 10. Cho ∆ ABC với gúc A khụng vuụng và gúc B khỏc 135 o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phớa ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuụng cõn đỏy AB. Đường thẳng qua A vuụng gúc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP. E HD. Trờn tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ A - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) D P BQ = CH (1) và Mã BQ Mã CH Q BQ//CH hay PQ // CH ( vỡ Mã BQ, Mã CH là cặp gúc so le trong) C B M - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dự gúc B nhỏ hơn 1350 H
11. Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. Bài 11. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú À 200 , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:A a) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC b) AM = BC 200 HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) M suy ra Dã AB Dã AC Do đú Dã AB 200 : 2 100 b) ABC cõn tại A, mà àA 200 (gt) nờn ãABC (1800 200 ) : 2 800 D ABC đều nờn Dã BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ã 0 0 0 suy ra ABD 80 60 20 . Tia BM là phõn giỏc của gúc ABDB C nờn ãABM 100 Xột tam giỏc ABM và BAD cú:AB cạnh chung ; Bã AM ãABD 200 ; ãABM Dã AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC Bài 12. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuụng gúc với BC. Trờn tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường B thẳng vuụng gúc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : I 4 3 a) BA = BH 1 2 ã 0 K b) DBK 45 H c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK A E HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – gúc nhọn) D C b) Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với EK , cắt EK tại I Ta cú : ãABI 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) à ả à ả ã 0 B3 B4 mà B1 B2 DBK 45 c) Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = = 2.4 = 8 cm * Từ bài ta thấy khi Dã BK 450 thỡ chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu cú chu vi ∆DEK = 2 thỡ ta cũng cm được Dã BK 450 . Ta cú bài toỏn sau : Bài 12.1 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. HD : Bài 13: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, BH vuụng gúc AC tại H. Trờn cạnh BC lấy điểm M bất kỡ ( khỏc B và C). Gọi D, E, F là chõn đường vuụng gúc hạ từ M đến AB, AC, BH.
12. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trờn cạnh BC thỡ tổng MD + ME cú giỏ trị khụng đổi. c) Trờn tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. A H E D F C Q B P M I K Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) Theo cõu a ta cú: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH khụng đổi MD + ME khụng đổi (đpcm) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC +) Chứng minh : BD = FM = EH = CK +) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) DP = KQ(cạnh tương ứng) +) Chứng minh : IãD∆DPIP IãK =Q ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm) Bài 14: Cho tam giỏc ABC. Trờn nửa mặt phẳng bờ AC khụng chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho Cã Ax ãACB , trờn nửa mặt phẳng bờ AB khụng chứa điểm C vẽ tia Ay sao cho Bã Ay ãABC . a) Chứng minh Ax và Ay là hai tia đối nhau. b) Qua C vẽ đường thẳng d vuụng gúc với BC. Đường thẳng d cú vuụng gúc với đường thẳng xy khụng ? Vỡ sao ? Bài 15: Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3, 5, 1 a) Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC. ( Biết tổng số đo ba gúc của tam giỏc bằng 1800 ) b) Tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC ở D. Tớnh ãADC . 14 - Vẽ hỡnh, viết GT&KL y D x B C d
13. a - Hai gúc xAC và ACB là 2 gúc so le trong mà Cã Ax ãACB nờn Ax//BC - Hai gúc yAB và ABC là 2 gúc so le trong mà Bã Ay ãABC nờn Ay//BC - Theo tiờn đề Ơ - clit, qua điểm A chỉ cú một đường thẳng song song với BC nờn đường thẳng chứa cỏc tia Ax và Ay trựng nhau Vậy Ax và Ay là hai tia đối nhau (Điểm A nằm trờn đường thẳng xy) b Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng xy . Vỡ xy //BC nờn xãDC Bã CD (hai gúc so le trong). Do đú đường thẳng d vuụng gúc với đường thẳng BC tại C nờn Bã CD 900 xãDC 900 . Điều này chứng tỏ d  xy 15 - Vẽ hỡnh, viết GT&KL B D A C a àA Bà Cà Theo bài ra ta cú: và àA Bà Cà 1800 3 5 1 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: àA Bà Cà àA Bà Cà 1800 200 3 5 1 3 5 1 9 àA 3.200 600 ; Bà 5.200 1000 ;Cà 1.200 200 Vậy àA 600 ; Bà 1000 ;Cà 200 b àA 600 Trong ADC cú Dã AC 300 ; Cà 200 nờn 2 2 ãADC 1800 Dã AC Cà 1800 300 200 ãADC 1800 500 1300 Bài 16: Cho tam giác ABC có Bã AC 750 , ãABC 350 . Phân giác của góc Bã AC cắt cạnh BC tại D . Đờng thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E . Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh rằng: a) Tam giác ACM là tam giác cân. AD AE b) AB . 2 c) Chu vi tam giác ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE . a) A 350 B D C M E
14. 750 Ta có: Bã AD Cã AD 37030' ãADM ãABD Bã AD 72030' 2 ( Góc ngoài của tam giác ABD ); Tam giác DAE vuông có AM là trung tuyến nên MAD cân tại M , do đó ãAMD 1800 2.ãADM 1800 1450 350 (1) Trong tam giác ABC ta lại có: Bã AC 750 , ãABC 350 ãACB 700 Cã AM ãACB ãAMC 350 (2) Từ (1) và (2) suy rat tam giác ACM cân b) Theo ý a, ta có: ãABM ãAMB 350 AB AM (3) 1 Mặt khác: AM DE (Trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông) mà 2 AD AE DE AD AE AM (4) 2 AD AE Từ (3) và (4) AB (đpcm) 2 c) Ta có: AC CM ( ACM cân), MA ME( AME cân) AM AB( ABM cân). Do đó: BE BC CA AB