Lý thuyết Hình học Lớp 9

Nội dung text: Lý thuyết Hình học Lớp 9

1. PHẦN LÝ THUYẾT 1. Hai góc đối đỉnh : Là góc có cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia, hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. GT y' và ′ ′ là hai góc đối đỉnh x KL = ′ ′ O x' y Chú ý: - Với n đường thẳng phân biệt giao nhau tại một điểm có 2n tia chung gốc. Số góc tạo bởi hai tia chung gốc là: 2n(2n-1) : 2 = n( 2n – 1). Trong đó có n góc bẹt. Số góc còn lại là 2n(n – 1). Số cặp góc đối đỉnh là: n(n – 1). - Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 1800, hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng 900, góc bẹt là góc có số đo bằng 1800, góc tù là góc có số đo nằm trong khoảng từ 900 đến 1800, góc vuông = 900, góc nhọn có số đo nằm trong khoảng 00 đến 900. 2. Đƣờng trung trực của đoạn thẳng: Là đƣờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của d đoạn thẳng. d AB t¹i I I - d là trung trực của AB A B IA = IB -Tính chất: M Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng M d MA = MB. 3. Góc tạo bởi một đƣờng thẳng cắt hai đƣờng thẳng: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
2. - Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng sẽ tạo ra các cặp góc sole trong, sole ngoài, đồng vị, trong cùng phía. - Các cặp góc sole trong: A1 và B3; A4 và B2. - Các cặp góc sole ngoài: A3 và B1; A2 và B4. - Các cặp góc đồng vị: A2 và B2; A1 và B1;A3 và B3; A4 và B4. - Các cặp góc trong cùng phía : A1 và B2; A4 và B3. - Các cặp góc ngoài cùng phía: A2 và B1; A3 và B4. 3. Hai đƣờng thẳng song song: Hai đƣờng thẳng song song thì các cặp góc sole trong bằng nhau, các cặp góc sole ngoài bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía bù nhau. - Có a // b ; c  a = {A}; c  b = {B} M 3 A 2 a 4 1 b 3 2 B 1 * Dấu hiệu nhận biết hai đƣờng thẳng song song 4 - CÆp so le trong; so le ngoµi;  trong ®ång vÞ b»ng nhau  a // b - CÆp gãc trong cïng phÝa; ngoµi cïng phÝa bï nhau  4. Tiên đề Ơclit : Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng tồn tại duy nhất một đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng đã cho. b A a Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
3. Aa  b qua A b là duy nhất b // a  5. Từ vuông góc đến song song: b GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c a KL a // c c c GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b  c b KL a  c a c GT Cho a ; b phân biệt ; a  c ; b c b KL a // b a A 6. Tổng 3 góc trong một tam giác: Trong một tam giác, tổng ba góc trong bằng 1800 GT ΔABC B C KL + + = 180 B Trong tam giác vuông, tổng hai góc ở đáy bằng 900 GT ΔABC; = 90 KL + = 90 A C Trong tam giác, tổng hai góc trong bằng góc ngoài không kề với nó. ΔABC; GT A Cx là góc ngoài tại C KL + = C B x Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
4. 7. Các trƣờng hợp bằng nhau của tam giác *Trƣờng hợp 1 : Cạnh – cạnh – cạnh - Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 2 : Cạnh – góc – canh - Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 3 : Góc – cạnh – góc Nếu một cạnh và hia góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 8. Các trƣờng hợp bằng nhau của tam giác vuông. *Trƣờng hợp 1 : Hai cạnh góc vuông - Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 2 : Cạnh góc vuông và góc nhọn kề - Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 3 : Cạnh huyền và góc nhọn - Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. *Trƣờng hợp 4 : Cạnh huyền và cạnh góc vuông - Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai A tam giác vuông đó bằng nhau. 9. Tam giác cân - Định nghĩa: ΔABC cân tại A AB = AC = - Tính chất: ΔABC cân tại A 180− = = 2 B H C Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 M 3 A 2 a 4 1 3 2 b 1 B 4
5. - Tính chất các đường: Đường cao từ đỉnh là phân giác, đường trung trực cạnh đáy - Hai đường cao; hai đường phân giác; hai đường trung tuyến của hai góc ở đáy bằng nhau. 10. Tam giác đều A - Định nghĩa: ΔABC đều AB = BC = AC = = - Tính chất: ΔABC đều tại A  = = B C - Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều. - Tính chất các đường: Đường cao từ các đỉnh sẽ đồng thời là đường phân giác, đường trung trực cạnh đáy - Độ dài các đường cao, trung tuyến, phân giác đều bằng nhau. 3 * Đường cao: . 2 2 3 * Diện tích: ( Với a là chiều dài 1 cạnh) 4 11. Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A, đƣờng cao AH: AB2+AC2=BC2; AH2=HB.HC; AC2=BC.HC ; AB2=BC.HB ; AB.AC=BC.AH ; 1 1 1 = + 2 2 2 Định lí Pi-ta-go : Trong tam giác vuông, tổng bình phƣơng hai cạnh góc vuông bằng bình phƣơng cạnh huyền. - Thuận: GT ΔABC có = 90 B KL BC2=AB2+AC2 - Đảo: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 A C
6. GT ΔABC có BC2=AB2+AC2 KL = 90 12. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn A và ngƣợc lại. GT ΔABC; AB AB HC > HB AB = AM HB = HM 15. Các đƣờng trong tam giác a) Đƣờng cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm tam giác. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
7. b) Đƣờng phân giác trong tam giác: Là đường chia góc trong tam giác thành 2 phần bằng nhau. Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc trong với 3 cạnh của tam giác). Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh tam giác. - Một điểm nằm trên đường phân giác của một góc luôn có khoảng cách tới hai cạnh bằng nhau. - Phân giác trong và phân giác ngoài của một góc vuông góc với nhau. - Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc đồng quy với đường phân giác trong của góc còn lại. Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Nếu một điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nó nằm trên tia phân giác của góc đó. c) Đƣờng trung tuyến trong tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm là trọng tâm tam giác. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
8. BF; CD; AE Là 3 đường trung tuyến. O là trọng tâm tam giác thì 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB d) Đƣờng trung trực trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. - Một điểm bất kì nằm trên trung trực luôn cách đều hai đầu mút của đoạng thẳng. Ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại 1 điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác ). Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
9. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : OA=OB=OC=R ( bán kính đường tròn). e) Đƣờng trung bình trong tam giác: Là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên. - Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh đáy thì đi qua trung điểm cạnh còn lại. - Đường trung bình của tam giác song song và bằng một nửa cạnh đáy: 3 đường trung bình trong tam giác là NM; NI; MI. Ta có: 1 1 1 // = ; // = ; // = 2 2 2 CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT - Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác của đỉnh cân là một. - Trong tam giác đều, tất cả các đường từ một đỉnh là một. - Trong tam giác vuông: đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 cũng có độ lớn bằng nửa cạnh huyền. TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN TAN GIÁC ĐỀU CÂN Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
10. A B A HÌNH C VẼ B B C A C ABC cân tại A ABC vuông cân tại A CBC đều Định AB = AC A = 900 và AB = BC = CA nghĩa AB = AC +  B =  C A = B = C 0 0 Tính 1800 A = 60 B = C = 45 = chất 2 - Tam giác có 3 cạnh - Tam giác vuông có hai Dấu - Tam giác có hai cạnh bằng nhau. cạnh góc vuông bằng hiệu bằng nhau(ĐN). - Tam giác có 3 góc nhau. nhận - Tam giác có hai góc bằng nhau. - Tam giác cân có góc ở biết bằng nhau(TC) - Tam giác cân có 1 đỉnh bằng 900 góc bằng 600 HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG 1. Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 2. Tính chất: Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. HÌNH THANG CÂN 1. Định nghĩa: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
11. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Trong hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau. Hai đường chéo bằng nhau. 3. Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1. Đƣờng trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 2. Đƣờng trung bình của hình thang Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. HÌNH BÌNH HÀNH 1. Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. 2. Tính chất: Trong hình bình hành: Các cạnh đối bằng nhau. Các góc đối bằng nhau. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
12. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. HÌNH CHỮ NHẬT 1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 2. Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 4. Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. HÌNH THOI 1. Định nghĩa: Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 2. Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
13. 3. Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. HÌNH VUÔNG 1. Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 2. Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. 3. Dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. ĐA GIÁC 1. Định nghĩa Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 2. Một số kết quả Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng (n 2).1800 . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
14. 0 Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng (n 2).180 . n Số các đường chéo của đa giác n cạnh bằng nn( 3) . 2 3. Diện tích Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: 1 S a. h. 2 h a 1 1 Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: 푆 = = ℎ . 2 2 b a h c Diện tích tam giác đều : ퟒ Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S ab . b a Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: Sa 2 . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 a a
15. Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: 1 S () a b h . 2 h b Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S ah . h a 1 Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: S d d . 2 12 d2 d1 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo: . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
16. d2 d1 I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG PHÂN GIÁC 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB và CD là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu có tỉ lệ thức: AB A B AB CD hay CD C D ABCD 3. Định lí Ta-lét trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ′ ′ ′ ′ B’C’//BC thì = ; = ; = ′ ′ ′ ′ 4. Định lí Ta-lét đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. ′ ′ = => ′ ′//BC ′ ′ 5. Hệ quả Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. ′ ′ ′ ′ Nếu ′ ′//BC thì = = Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
17. A A C’ B’ A B’ C’ B C B’ C’ B C B C 6. Tính chất đƣờng phân giác trong tam giác Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. DB AB EB AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc DC AC EC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác A B C gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′; = ′; = ′; = = Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp đỉnh tương ứng: ABC ∽ ABC . b) Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. A A N M A M N B C M N B C B C 2. Các trƣờng hợp đồng dạng của hai tam giác Trƣờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. ABBCCA A B C ∽ ABC AB BC CA Trƣờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
18. ′ ′ ′ ′ = ′; = A B C ∽ ABC Trƣờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. = ′; = ′; A B C ∽ ABC 3. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác vuông Trƣờng hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trƣờng hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trƣờng hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì: Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. TỈ SỐ LƢỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 1. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn . Chú ý: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
19. Cho góc nhọn . Ta có: 0 sin 1; 0 cos 1. Cho 2 góc nhọn , . Nếu sinab sin (hoặc cos  cos , hoặc tanab tan , hoặc cotab cot ) thì ab . 2. Tỉ số lƣợng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia. Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700 3. Tỉ số lƣợng giác của các góc đặc biệt: 0 0 0 30 45 60 Tỉ số LG 1 2 3 sina 2 2 2 cos 3 tana 1 3 3 cota 1 4. Một số hệ thức lƣợng giác sin cos tan cot cos ; sin ; tanaa .cot 1; 1 1 1 tan2 1 cot2 a sin22 cos 1; cos2 ; sin2 a 5. Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 푆 = . sin = . sin = . sin = P.r = ∆ 2 2 2 4푅 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp. ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó). Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
20. Trong tam giác bất kì: = = = 2푅 sin sin sin Với a là cạnh đối diện góc A, b là cạnh đối diện góc B, c là cạnh đối diện góc C. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. b a.sin B a .cos C ; c a.sin C a .cos B b c.tan B c .cot C ; c b.tan C b .cot B ĐƢỜNG TRÒN 1. Đƣờng tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. 2. Vị trí tƣơng đối của một điểm đối với một đƣờng tròn Cho đường tròn (O; R) và điểm M. M nằm trên đường tròn (O; R) OM R . M nằm trong đường tròn (O; R) OM R . M nằm ngoài đường tròn (O; R) OM R . 3. Cách xác định đƣờng tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. 4. Tính chất đối xứng của đƣờng tròn Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. DÂY CỦA ĐƢỜNG TRÒN 1. So sánh độ dài của đƣờng kính và dây Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 2. Quan hệ vuông góc giữa đƣờng kính và dây Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
21. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Trong một đường tròn: – Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. – Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Trong hai dây của một đường tròn: – Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. – Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 4. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác: Đi qua 3 đỉnh của tam giác và có tâm là giao 3 đường trung trực của 3 cạnh. Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN 1. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng . Đặt d d(,) O . VTTĐ của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 dR Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 dR Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 dR Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn là tiếp điểm. 2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đƣờng tròn Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
22. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 4. Đƣờng tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác. 5. Đƣờng tròn bàng tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia là đường tròn bàng tiếp tam giác. Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C). VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG TRÒN 1. Tính chất đƣờng nối tâm Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó. Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. 2. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; r). Đặt OO d . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
23. Số điểm VTTĐ của hai đường tròn Hệ thức giữa d với R và r chung Hai đường tròn cắt nhau 2 R r d R r Hai đường tròn tiếp xúc nhau: 1 – Tiếp xúc ngoài d R r – Tiếp xúc trong d R r Hai đường tròn không giao nhau: 0 – Ở ngoài nhau d R r – (O) đựng (O ) d R r 3. Tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. GÓC VỚI ĐƢỜNG TRÒN I. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 1. Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn là góc ở tâm. Nếu 000 a 180 thì cung nằm bên trong góc là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc là cung lớn. Nếu a 1800 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn. Ki hiệu cung AB là AB . 2. Số đo cung Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ . Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
24. Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn). Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo . Cung không có số đo 00 (cung có 2 mút trùng nhau). 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: Hai cung là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn. 4. Định lí Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ AB = sđ AC + sđCB . LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1. Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy. c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. GÓC NỘI TIẾP Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
25. 1. Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. 2. Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1. Định lí Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 2. Hệ quả Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 3. Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƢỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƢỜNG TRÒN. Định lí 1 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
26. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2 Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 . Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn. Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D sao cho = thì tứ giác ABCD nội tiếp được. Tứ giác có các đỉnh cách đều một điểm thì nội tiếp đường tròn. Chú ý: Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. ĐƢỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƢỜNG TRÒN NỘI TIẾP 1. Định nghĩa a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác là đa giác ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lí Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
27. Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và là tâm của đa giác đều. Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc. Chú ý: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh. Cho n giác đều cạnh a. Khi đó: – Chu vi của đa giác: 2p na (p là nửa chu vi). 0 – Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng (n 2).180 . n 0 – Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360 . n a 1800 – Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R aR 2 .sin . 1800 n 2sin n a 1800 – Bán kính đường tròn nội tiếp: r ar 2 .tan . 1800 n 2tan n a2 – Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: Rr22 . 4 1 – Diện tích đa giác đều: S nar . 2 ĐỘ DÀI ĐƢỜNG TRÒN, CUNG TRÒN 1. Công thức tính độ dài đƣờng tròn (chu vi đƣờng tròn) Độ dài C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức: CR 2 hoặc Cd ( dR 2 ) 2. Công thức tính độ dài cung tròn Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo công thức: Rn l . 180 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122
28. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN 1. Công thức tính diện tích hình tròn Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức: SR 2 2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức: Rn2 lR S hay S (l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn). 360 2 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122