Lý thuyết Hình học Lớp 12 - Chương 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Nội dung text: Lý thuyết Hình học Lớp 12 - Chương 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện

1. CHƢƠNG 1 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A     B H M C  2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: ChọnChọn gócgóc nhọnnhọn là  Cạnh huyền  Cạnh đối  Cạnh kề  3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường: a. Định lý cosin: A c b a B C b. Định lý sin: GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 1
2. A c b R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) B a c. Công thức tính diện tích tam giác: A  c b   B a C  p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: A AB2 AC 2 BC 2 AM 2 24 K N BA2 BC 2 AC 2 BN 2 24 B C 2 2 2 M 2 CA CB AB CK 24 4. Định lý TA-LET: A M N B C (Tỉ số diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 2
3. 5. Diện tích đa giác: B a. Diện tích tam giác vuông:  Diện tích tam giác vuông bằng tích cạnh C góc vuông. A b. Diện tích tam giác đ u: B (cạnh) .2 3  Diện tích tam giác đều: S đều 4 (cạnh) . 3  Chiều cao tam giác đều: h A C đều 2 c. Diện tích h nh vuông và h nh ch nh t: A B  Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. O  ường ch o hình vuông bằng cạnh nh n 2 .  Diện tích hình ch nh t bằng dài nh n rộng. D C A D d. Diện tích h nh thang: 1  S ình Thang .(đáy l n đáy b ) chiều cao 2 B H C e. Diện tích tứ giác có hai đường ch o vuông B góc:  Diện tích t giác có hai đường ch o vuông góc A C nhau bằng tích hai đường ch o.  ình thoi có hai đường ch o vuông góc nhau D tại trung đi m c a m i đường. II. HÌNH ĐA DIỆN, KHỐI ĐA DIỆN 1) Hình đa diện ,khối đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số h u hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) ai đa giác hoặc không có đi m chung, hoặc có một đỉnh chung , hoặc có một cạnh chung. b)M i cạnh c a đa giác nào cũng là cạnh chung c a đúng hai đa giác. Khối đa diện:là phần không gian được gi i hạn bởi một hình đa diện, k cả hình đa diện đó. 2) Khối đa diện lồi, khối đa diện đều Khối đa diện ( ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai đi m bất kì c a (H) luôn thuộc (H). Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đ u loại {n;p} nếu: a)M i mặt c a nó là một đa giác đều n cạnh. b)M i đỉnh c a nó là đỉnh chung c a đúng p mặt. GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 3
4. Chú ý: 2C = nM = pĐ Trong đó: C là số cạnh,M là số mặt, là số đỉnh và n,p phải nguyên  Có 5 loại khối đa diện đều . Loại Tên gọi Đỉnh Cạnh Mặt {3;3} Khối t diện đều 4 6 4 {4;3} Khối l p phương 8 12 6 {3;4} Khối tám mặt đều 6 12 8 {5;3} Khối mười hai mặt đều 20 30 12 {3;5} Khối hai mươi mặt đều 12 30 20 III. HÌNH CH P Đ 1. Định ngh a h n t:  ình chóp đều óc các mặt bên là nh ng tam giác c n bằng nhau. Các mặt bên tạo v i đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên c a hình chóp đều tạo v i mặt đáy các góc bằng nhau. 2. ai h nh chóp đ u thường g p: a. nh chóp tam giác đ u: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC . Khi đó:  áyABC là tam giác đều.  Các mặt bên là các tam giác c n tại S .  Chiều cao: SO .  óc gi a cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO .  óc gi a mặt bên và mặt đáy: SHO . 2 1AB 3  Tính chất: AO AH,, OH AH AH . 3 3 2 S Lƣ : ình chóp tam giác đều khác v i t diện đều.   I b. nh chóp tứ giác đ u: Cho hình chóp tam giác đềuS. ABCD . A D  áyABCD là hình vuông. O  Các mặt bên là các tam giác c n tại S . B C  Chiều cao: SO .  óc gi a cạnh bên và mặt đáy:SAO SBO SCO SDO .  óc gi a mặt bên và mặt đáy: SHO . GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 4
5. IV. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S 1 1. Th tích hối chóp: V B. h 3 B : Diện tích mặt đáy. D h : Chiều cao c a khối chóp. O C A C A C 2. Th tích hối l ng tr : V B. h B B Diện tích mặt đáy. Chiều cao c a khối chóp. A’ C’ A’ C’ ưu : ng tr đ ng có chiều cao cũng là B’ B’ cạnh bên. c a 3. Th tích h nh hộp ch nh t: V a b c a a Th tích khối l p phương: Va3 b a V SA SB SC S 4. Tỉ số th tích: SABC. V SA SB SC S. ABC A’ B’ 5. nh chóp c t ABC. A B C C’ h V B B BB A B 3 i B,, B h là diện tích hai đáy và chiều cao. C GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 5
6. Tính nhanh thể tích một số hình chóp 1.T diện đều cạnh a. a3 2 thƣờng gặp. V Chóp tam giác đều 12 2.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. a23 b 2 a 2 V 12 3.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; góc gi a cạnh bên và mặt đáy bằng α a3 tan V 12 4.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; góc gi a mặt bên v i mặt đáy bằng β a3 tan  V 24 5.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a; góc gi a cạnh bên và mặt đáy bằng α a3 3 Vc sin . os2 4 6.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a; góc gi a mặt bên và mặt đáy bằng β a3 3.tanβ V (tan23β+4) 7.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a; góc ở đáy c a mặt bên α β ac3. os 2 . 9 12cos 2 . V 3 8.Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a; góc góc ở đỉnh c a β 2ac3 .(1 osβ). 1 2cosβ V α 12 Hình chop tứ giác đề 9.Chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a a3 2 V 6 10.Chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b a242 b 2 a 2 V 6 GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 6
7. 11.Chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc gi a cạnh bên v i mặt đáy bằng α a3 2 tan V 6 12.Chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc gi a mặt bên v i mặt đáy bằng β a3 tan  V 6 13.Chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và góc gi a cạnh bên v i mặt đáy bằng α 2ac32 . os .sin V 3 14.Chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và góc gi a mặt bên v i mặt đáy bằng β 4a3 tanβ V 3 (tan23β 2) 15.Chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ở đáy c a mặt bên v i mặt đáy bằng α β a32tan -1 V 6 16.Chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và góc ở đỉnh c a mặt bên v i mặt đáy bằng β Hình có tính chất đặt biệt 17.Cho hình chóp có 3 mặt ở đỉnh đoi một vuông góc v i nhau có diện tích lần lượt là S1, S2, S3 th tích là: 2SSS . . V 1 2 3 3 18.Cho hình chóp có 3 cạnh ở đỉnh đôi một vuông góc v i nhau có độ dài lần lượt là a, b, c th tích là: 1 V a b c 6 19.Cho hình hộp ch nh t có 3 mặt ở 1đỉnh có diện tích lần lượt là S1, S2, S3 th tích là: VSSS 1 2 3 GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 7
8. A. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ABC , SA 3 a . Th tích V c a khối chóp S.ABCD là: 1 A. Va 3 . B. Va 3 3 . C. Va 3 . D. Va 2 3 . 3 Giải. 11 Th tích khối chóp V . SA . S .3 a . a23 a . 33ABCD Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông c n tại A,cạnh bên SA vuông góc v i đáy (ABC). Biết AB 2 a và SB 22 a. Tính th tích V c a khối chóp S.ABC? 8a3 4a3 V V A. 3 B. 3 C. Va 4 3 D. Va 8 3 Giải. S SAB vuông tại A có SA2 SB 2 AB 2 4 a 2 nên SA 2 a 1 Có dt ABC AB.2 AC a2 2 A C 1 14 Có V SAdt. ABC 2a .2 a33 a 3 33 B đáp án ( B ) Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông đường ch o AC 2 2 a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc v i (ABCD). Th tích c a khối chóp S.ABCD là: 43a3 3a3 23a3 A. a3. B. . C. . D. . 3 6 3 Giải. GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 8
9. ạ đường cao S c a tam giác SAB thì Sh là đường cao c a hình chóp Trong hình vuông ABCD: 2 AC 2 2 a AB 2 a ; SABCD 4 a 3 Trong tam giác đều ABC: AB 2 a SH 2 a . a 2 2 1 4 3a3 Va . 3.4a2 . S. ABCD 33 Chọn ( B ) Ví dụ 4. Cho l ng tr đ ng ABC.''' A B C có BB', a đáy ABC là tam giác vuông c n tại B và AC = a. Tính th tích c a khối l ng tr đã cho. 1 2 A. Va 3. B. Va 6.3 C. Va 3. D. Va 3. 3 3 Giải. Tam giác ABC là tam giác vuông c n tại B và AC AC 2 a BA BC 2 a . 2 1 Diện tích c a tam giác ABC: S AB BC a2 ABC 2 23 Th tích c a khối l ng tr ABCABC. ' ' ' : V BBS '. ABC aa . a . Chọn ( C) Ví dụ 5. Cho khối l ng tr đều ABC.''' A B C có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi AB' và đáy bằng 600 . Tính th tích khối l ng tr ABC. A ' B ' C '. 3a3 a3 3 A. . B. . C. a3 3. D. 3.a3 4 4 Giải. Ta có: BB'''' A B C nên A'B, A ' B ' C ' BA ' B ' 600 . BB' Xét tam giác BB'' A vuông tại B' có: tan600 BB ' a 3. BA'' a2 3 aa2333 Và: S . y: V BB'.S a 3. . ABC''' 4 ABC.'''''' A B C A B C 44 Chọn ( A ) GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 9
10. Ví dụ 6. Cho t diện ABCD có AB,AC,AD đôi một góc vuông, AB =4cm, AC =5cm, AD= 3cm. Th tích khối t diện ABCD bằng A. 15cm3 B. 10cm3 C. 60cm3 D. 20cm3 Giải: T diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc Th tích khối t diện ABCD là: 11 V . AB . AC . AD .4.5.3 10 cm3 66 Chọn B. Ví dụ 7. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc gi a cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính th tích c a khối chóp S.ABCD theo a . a3 6 a3 6 a3 6 a3 3 A. B. C. D. 6 2 12 6 Phƣơng pháp: - Xác định góc gi a cạnh bên và mặt đáy. 1 - Tính diện tích đáy và chiều cao suy ra th tích theo công th c V Sh 3 Cách giải: Gọi H  AC BD thì SH là đường cao. Góc gi a SB và ( ABCD) là góc gi a SB là HB hay  SBH 600 . 1a 2 a 2 a 6 Ta có: BH BD SH BHtan600 . 3 2 2 2 2 2 Diện tích hình vuông SaABCD . 1 1aa 63 6 V y th tích V S SH a2 3ABCD 3 2 6 Chọn A. Ví dụ 8. Cho chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc v i đáy, biết rằng SA = 2a, AB = a, BC = b. Gọi M là đi m trên cạnh SB sao cho SM=MB và là trung đi m c a cạnh SC a) Tính th tích khối chóp S.ABC. b) Tính th tích c a khối chóp N.ABC c) Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số th tích gi a hai khối đa diện đó? Giải. a) Tính th tích khối chóp S.ABC. GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 10
11. b) Tính th tích c a khối chóp N.ABC c) Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số th tích gi a hai khối đa diện đó? V Tính S. AMN ? VANMCB Giải. GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 11
12. Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có th tích . ọi M là đi m trên cạnh SB sao cho SM=MB và là trung đi m c a cạnh SC. Mặt phẳng (A M) Chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số th tích gi a hai khối đa diện đó? Giải. GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 12
13. Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc v i đáy. Biết rằng đường thẳng SC hợp v i mặt phẳng đáy một góc 600 . Th tích c a khối chóp S.ABC bằng a3 a3 a3 3a3 A. B. C. D. 8 2 4 4 Giải. Ta có: SA ABC  SC, ABC  SCA 600 Xét SAC ta có: SA AC.tan600 a 3 1 1aa23 3 V SA. S . a 3. 3ABC 3 4 4 Chọn: C GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 - giasutrongtin.vn - Hình 12 – Thể tích Trang 13